2025年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

7T

1.“函數(shù)沙=sinQ+s）為偶函數(shù)”是“8=5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.若正數(shù)加、n、。均不為1,則下列不等式中與“m〉n”等價的是（）

aamn

A.logam>loganB.logma>lognaC.m>nD.a>a

3.一個質(zhì)地均勻的正四面體，四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.任意擲一次該四面體，觀察它與地面接觸

面上的數(shù)字，得到樣本空間Q={1,2,3,4},記事件4={1,2},事件3={1,3},事件。={1,4},則（）

A.事件B,C兩兩獨立，事件B,C相互獨立

B.事件/,B,C兩兩獨立，事件/,B,C不相互獨立

C.事件B,C不兩兩獨立，事件/,B,C相互獨立

D.事件N,B,C不兩兩獨立，事件N,B,。不相互獨立

n

4.數(shù)學(xué)上用符號［［出表示〃個實數(shù)⑸，a2,廝的積.設(shè)3,x2,…，x2oo,%,紗，…，"2oo為互

2=1

200200

不相同的實數(shù)，已知［［（◎+魴）=2025（4=1,2,…，200）,則［［（0+防）=（）

j=li=l

A.-2025B,2025C,-2026D,2026

二、填空題：本題共12小題，共54分。

5.已知集合4={劍22<1},B={-l,0,l,2}；則4aB=.

6.函數(shù)）=2sina;一3cosc的值域是.

7.若（1—3）6的展開式中的砂項的系數(shù)為20,則實數(shù)a=.

8.如圖是6株果樹植株掛果個數(shù)（兩位數(shù)）的莖葉圖，則6株果樹植株掛果個數(shù)的中位數(shù)

168

3I

9.向量才=（310,118）在向量了=（0,2025）方向上的數(shù)量投影是.

10.已知△ABC的角/、B、。對應(yīng)邊長分別為a=4,b=5,c=6,則4=.

第1頁，共16頁

+oo

11.已知數(shù)列｛廝｝滿足向=1,an=2ara+i,則￡出=.

i=i

12.已知隨機變量（~N（3,曲。>0）,若P（g）l）=0.9,則P（3<E<5）=.

13.已知復(fù)數(shù)z、w滿足⑶=2,2=（1+〃）《;0是虛數(shù)單位），則|3+2|的最大值是.

14.已知點尸是拋物線/=82上一動點，點。在圓g—5）2+/=1上運動，則p與。兩點間最短距離為

15.道路通行能力指單位時間（1小時）內(nèi)通過道路上指定斷面的最大車輛數(shù)，是度量道路疏導(dǎo)交通能力的指

標(biāo).同時為了行駛安全，車輛之間必須保持一定的安全距離.為了研究某城市道路通行能力，現(xiàn)給出如下假設(shè):

假設(shè)1：車身長度均為4.8米；

假設(shè)2：所有車輛以相同的速度。（單位：千米/小時）勻速行駛；

假設(shè)3：安全距離d（單位：米）與車輛速度v近似滿足d=3.2+0.65220+0.0hA

該城市道路通行能力的最大值為.（結(jié)果保留整數(shù)）

三、解答題：本題共4小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題14分）

對于函數(shù)g=f（x）,其中/（工）=loga2：（a>0,a刈.

（1）若函數(shù)4=/⑶的圖像過點（4,2）,求f（2x-2）<f（x）的解集;

⑵求證：當(dāng)&=四時，存在x使得/@+1）、〃3）、〃2+2）成等差數(shù)列.

18.（本小題14分）

7T

如圖，已知四棱錐S—430。的底面為菱形，^BAD=~,4S=CS.

o

（1）求證：4。1平面ADS；

（2）若=2,BS=通，DS=1，求四棱錐S—的體積.

第2頁，共16頁

19.(本小題18分)

222

如圖，橢圓G：W+1=1(0＜匕＜2，5)與雙曲線。2："02=1在第一象限的公共點為

＞0).曲線「由兩段曲線組成：當(dāng)/(24時，曲線「與橢圓G重合，當(dāng)/＞熱4時，曲線「與

雙曲線。2重合.

(1)當(dāng)力4=2時，求6的值；

(2)已知6=四，直線/過點。⑵0)與曲線T交于E、尸兩點，若:或=2,求直線/的方程；

(3)已知4(2,1),斜率為網(wǎng)上21)的直線加過點P(0,1)與曲線T交于M、N兩點，若S^AMN=AtanAMAN,

求實數(shù)人的最大值.

20.(本小題18分)

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有很多有趣的性質(zhì)，例如：函數(shù)沙=c(實數(shù)c為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為？/=0；反之，若函數(shù)4=奴乃

的導(dǎo)函數(shù)為"3)=0,則以乃=c(實數(shù)c為常數(shù)).

已知函數(shù)9=f⑺與n=g(c)定義域都是R,導(dǎo)函數(shù)分別為沙=/'(①)和9=或叫若尸⑺=/(,),則稱

沙=/(乃是“自導(dǎo)函數(shù)"；若/'⑺=9(幻且，3)=-/(，)，則稱沙=/(0與9=g(c)是“共飄互導(dǎo)函

數(shù)”.

(1)請判斷函數(shù)g=e?+b(a,be凡a/))是否是“自導(dǎo)函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)4=/(乃是“自導(dǎo)函數(shù)”，且滿足/(0)=1,求證：/(0/(—數(shù)=1；

第3頁，共16頁

⑶若函數(shù)y=/(功與?/=g(句是''共輾互導(dǎo)函數(shù)"，滿足"0)=0,5(0)=1,求證：產(chǎn)⑵+/(,)=1

進(jìn)而證明f(x)=sin/且g(%)=cosx.

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】B

,,7T,，

【解析】解：若8=5時，4=sinQ+9)=cos，為偶函數(shù)；

7T

若g=sin(工+8)為偶函數(shù)，則8=2+k?r,keZ;

7T

“函數(shù)沙=sin(z+s)為偶函數(shù)”是“8=5”的必要不充分條件，

故選R

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，難度不大.

2.【答案】C

【解析】解：對與/：當(dāng)ae(0,1)時，由loga?n〉loga^,可得m<n,故/錯誤；

對于8：由logma〉log.a,則可能有1<<n或1〉m〉n〉0,故8錯誤；

對于C：因為a為正數(shù)且不為1,所以函數(shù)9=/在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)加?！?!。時，有m〉n,故C正確；

對于。：當(dāng)ae(0,1)時，由小〉曖，可得故。錯誤.

故選：C.

結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可得.

本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

21919111

【解析】解：由題意可知，F(xiàn)(A)=-=P(B)=|=-,P(C)=4=2，P{AB)=P(AC)=

P(BC)=；,P(ABC)=：,

因為P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P⑷P(C),P(BC)=P(B)P(C),

所以事件/,B,C兩兩獨立，

但是PG4BC)rP(4)P(B)P(C)=：,所以事件N,B,C不相互獨立.

o

故選：B.

根據(jù)獨立事件的定義判斷.

本題主要考查了獨立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

第5頁，共16頁

200

【解析】解：定義多項式p⑴=[[?+緲），

j=l

當(dāng)力=⑻時，P（Q）=2025,

即每個◎都是方程尸（t）-2025=0的根，

多項式。⑴―2025有200個根的，/2,…，No,

200

因此可分解為F（t）-2025=k-HU-?），

i=l

由于p⑴的最高次項系數(shù)為1,

比較兩邊最高次項系數(shù)可得k=l,

200

故P⑴—2025=-◎卜

i=l

200

當(dāng)力=一傷時，左邊為P（—傷）—2025=[[（—統(tǒng)+傷）—2025,

j=l

當(dāng)=j時，一傷+傷=。，

200

因此n（一以+傷）=°，

j=i

代入得左邊值為-2025,

200200200

右邊此時為[[（—紡—謁=（一1）2°°[[（0+5）=[[（Q+防），

i=l￡=12=1

200

聯(lián)立左右兩邊得+傷）=—2025.

i=l

故選：A.

200

定義多項式P?）=[[（力+傷），每個0都是方程P⑴—2025=0的根，可分解為

j=i

200

。（力）一2025=k.[[（1—電），求出左聯(lián)立即可求解.

2=1

本題考查了數(shù)列的求和，屬于難題.

5.【答案】{-1,0}.

第6頁，共16頁

【解析】解：集合4={引2①Wl}={a^W]，B={-l,0,l,2},

則4nB={-1,0}.

故答案為：{—1,0}.

結(jié)合交集的定義，即可求解.

本題主要考查交接及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】[―■，可]

【解析】解：y=2sinx—3cosx—\/13sin(2：-0),其中tang=],

因為sin(z—6)E[-1,1],所以W^sinQ—6)G[-\/13,\/13].

即函數(shù))=2sinz-3cosx的值域為[-\/13,>/13].

故答案為：[―\/13,\/13].

利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的值域.

本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】—1

【解析】解：(1—3)6的展開式的通項公式為4+1=&?(—&)「?,『，令r=3,

33

可得展開式中的*項的系數(shù)為(-a)盤=-20a=20,

故。=—1,

故答案為：—1.

在二項展開式的通項公式中，令x的事指數(shù)等于3,求出r的值，即可求得小項的系數(shù)，再根據(jù)小項的系

數(shù)等于20,求得實數(shù)a的值.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】21.5

【解析】解：由題意，6株果樹植株掛果個數(shù)從小到大排列為：16,18,21,22,22,31,

則中位數(shù)為y21+2=221.5.

故答案為：21.5.

根據(jù)中位數(shù)的定義求解.

本題考查中位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9【答案】118

第7頁，共16頁

【解析】解：向量過=(310,118)在向量了=(0,2025)，

方.了_0+118x2025

則數(shù)量投影是118.

itl2025

故答案為：118.

根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)量投影的公式，即可求解.

本題主要考查平面向量的數(shù)量投影，屬于基礎(chǔ)題.

3

10.【答案】arccos-

4

25+36-16_3

【解析】解：由余弦定理得COS4=

"+S=

2bc2x5x64

3

結(jié)合Ae(0,7r),可得4=arccos

3

故答案為：arccos

4

根據(jù)題意，運用余弦定理算出cosA的值，進(jìn)而用反三角函數(shù)表示出角4的大小，可得答案.

本題主要考查余弦定理、反三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，考屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】2

【解析】解：Qi=l,an=2<zn+i,即&-=；,

。九+1N

則｛Q,J是以;為公比的等比數(shù)列，

52f=2.

2=11---

2

故答案為：2.

由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式計算.

本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】0.4

【解析】解：因為隨機變量S~N(3?2)g>0),且P(￡】l)=0.9,

所以P(3<《<5)=P(1/(<3)=21)一0.5=0.4.

故答案為：04

第8頁，共16頁

利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解.

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2+血

【解析】解：由2=。+，)〃，得⑶=|1+訃①|(zhì)=四|刨，結(jié)合⑶=2,可得⑼=四.

設(shè)a=，^(cos。+Esin。)，其中。e[0,2TF),

則u;+2=(v^cos>+2)+(\/2sin。)。，，

所以+2|=J(\/2cos。+2)2+2sin20—2(cos20+sin29)+4Vcos6+4=y6+4-\/2cos0,

當(dāng)cos。=1時，即。=0時，心+2|有最大值，6+4及=2+

綜上所述，當(dāng)2=通時，|方+2|取得最大值2+，^

故答案為：2+四.

由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，算出|M=v^，從而設(shè)s=，^(cose+說in。)，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡得

|w+2|=y6+4^2cos然后根據(jù)余弦函數(shù)的最值算出答案?

本題主要考查復(fù)數(shù)的模及其性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦函數(shù)的最值等知識，屬于中檔題.

14.【答案】2四一1

【解析】解：設(shè)拋物線/=%上的點P坐標(biāo)為((，沙)，

圓(，一5)2+/=1的圓心為。(5,0),半徑『=1,

點P到圓心C的距離d=小弓_5)2+期2=j看_*/2+25+“2=,看_%2+25,

令力=y2(t20),

則4=3+25=右”8)2+24，

對其求最小值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)力=8時，”最小為2方，

則尸與0兩點間最短距離為dmin—r=276-1.

故答案為：2述—1.

因為點尸在圓外，尸與0兩點間最短距離是拋物線上的點到圓心距離減去圓的半徑，設(shè)出點P坐標(biāo)，寫出

距離，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.

本題考查圓以及拋物線方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.【答案】821

第9頁，共16頁

【解析】解：根據(jù)題意可得單位時間（1小時）內(nèi)通過道路上指定斷面的最大車輛數(shù)為:

_10001；1000。

Nr-------=-------------------

4.8+d8+0.6522。+O.Olv2

1000,10001000ccc巾

=----------------------------W——1--------x-------------x820.87

0Q1V+-5+065222708+0.65220.566+0.6522，

V

當(dāng)且僅當(dāng)0.01”=9，即0麗出28.28米/秒時，等號成立，

V

所以該城市道路通行能力的最大值約為821.

故答案為：821.

根據(jù)題意建立函數(shù)模型，再根據(jù)基本不等式，即可求解.

本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，屬中檔題.

2

16.【答案】arccos-

O

7T

【解析】解：根據(jù)題意，將4場繞直線。氏旋轉(zhuǎn)a到段場,

則41仍14（或其補角）就是直線AB與直線A'B'的所成角.

在正方體ABCD-AjBiCiDi中，cosAA.B.D=鬻=￡

DBi3

7T

設(shè)歷小、易尚是圓錐810的兩條母線，/4。4=可，

O

設(shè)4Bi=a,在RtABiCMi中，cos=萼=J，可得為。=1小臺=遺&，

>11-01333

所以0小=，小禺—氏。2=乎a，

在△04省中，04=0出，=?所以△出是正三角形，可得小4=理&

3

2,2/V^Q\2

在△4M4中，由余弦定理得C0S/A54=掰石1+4田珞=0+。一（?。?2

C0S1112用3?AiBi2xaxa3

第10頁，共16頁

22

所以ZA[BrAi=arccos-,即直線ZB與直線A9的所成角等于arccos不.

J3

2

故答案為：arccos

o

7F

將AB平移到4耳，設(shè)4耳繞直線DBi旋轉(zhuǎn)可到出3,可得/4氏4（或其補角）就是直線AB與直線

4?的所成角.然后在圓錐馬。中，利用銳角三角函數(shù)的定義與勾股定理，結(jié)合余弦定理算出cos/43A，

進(jìn)而可得直線AB與直線所成角的大小.

本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、解三角形及其應(yīng)用、異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題.

17.【答案】（1,2）；

證明見解析.

【解析】解：⑴根據(jù)題意，/（e）=logM，其圖像過點（4,2）,

則有l(wèi)oga4=2,解可得a=2，則/⑶=log2/，

若/（22-2）</⑶，即log42/-2）<log2a?,

則有0<2x—2<x,解可得即不等式的解集為（1,2）；

⑵證明：當(dāng).=松時，/（立）=1。8方/，

若/儂+1）、“姐）、"2+2）成等差數(shù)列，則/@+1）+/（工+2）=2/（皿），

即log以c+1）+log^2（z+2）=210g能（松2），即（/+1）3+2）=2x2,

解可得，=紅色!或

22

（1+1〉0_

又由｛c+2>0,解可得i>0,則有力=3+'17,

[V2x>02

故存在x使得“2+1）、/（姐）、+2）成等差數(shù)列.

（1）根據(jù)題意，由對數(shù)的性質(zhì)求出。的值，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得0<2c-2<為解可得答案；

（2）當(dāng)&=株時，/（乃=1。8禽4,由等差中項的定義可得/3+1）+/3+2）=2/（社），結(jié)合對數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)，變形可得儂+1）儂+2）=2/,解可得x的值，即可得結(jié)論.

本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解析；

1.

【解析】解：（1）證明：記ACnBO=O，連結(jié)。S,因為4s=cs,

所以4CL0S由于底面/BCD為棱形，則AC1BO，

第11頁，共16頁

因為nos=0,所以471平面5OS.

（2）由（1）知，40_L平面皮）S所以，Vs-ABCD=^VS-ABD=^VA-BDSY

根據(jù)題意，得，RD=2又，BS=M，DS=1,

所以_BS-LDS，故VA-BDS=:S/\BDS-AO=:，

所以%.ABCD=1，所以，四棱錐S—AB。。的體積為1.

（1）因為4S=CS,所以ACLLOS由于底面/BCD為棱形，則因為B0COS=O,即得證；

（2）根據(jù)第一問結(jié)論，可將四棱錐S-48。。的體積，轉(zhuǎn)換為四棱錐A—BOS的體積，再通過四棱錐面積

公式求解.

本題考查棱錐的體積，屬于中檔題.

19.【答案】5=,\/2；

1=2；

14

入最大值為

5

【解析】解：（1）

222

如圖，已知當(dāng)以=2時，點4（2,94）為橢圓6：[+4=1（0<6<2，1）與雙曲線G：芻一娘=1在第一

8bzbz

象限的公共點.

9221%2力2

將2=2代入橢圓方程得土+?4=1，即9+《=1，解得"2=3

8〃2接y2

把z=2,力=匕代入雙曲線方程馬—藝=1,整理得昌—

y2b22/2

設(shè)力=必（力>（））,則士一1=1即8一%2=2%，力2+2/-8=0（t+4）（力-2）=0,解得t=2或力=—4（舍去

）,所以胖=2,即

第12頁，共16頁

222-i--L

當(dāng)6=四時，橢圓。1：2+外=1，雙曲線。2：2-沙2=1.聯(lián)立《82,

822

L9=i

222

解方程組求交點/的坐標(biāo).由2+"=1，得/+4峭=8,由Z—/=1，

822

得/—2/=2兩式相減消去/,得6/=6,/=1,

代入雙曲線方程得/=4,因為點/在第一象限，所以4(2,1).設(shè)磯孫加，“如力)，

刈=(0,-1)屏=5-孫續(xù)一以)，由疝.或=2，得一僅2-見)=2,

即為-於=2.故譏〉?/2,當(dāng)直線/斜率不存在時，直線/方程為立=2，

此時而=(0,—1),則E(2,l),F(2,—1),或=Q—2),標(biāo)=2成立.

當(dāng)直線/斜率存在時，由題知交點E,歹必定在直線/=2兩側(cè)，即左側(cè)為/與橢圓的交點，

右側(cè)為直/與雙曲線的交點，易知當(dāng)交點在位于第一象限橢圓上曲線段Q4Q(0,x/5)之間時，

以>?M=1或時?/2<—1,故陰—於=2不可能，舍去；因為雙曲線。2：；-才=1的漸近線方程為

故直線QO：沙=—彳2+0與雙曲線。2：1—/=沒有橫坐標(biāo)大于2的交點，

即當(dāng)交點位于橢圓第二象限時，不可能，舍去；同理：當(dāng)直線/與橢圓交于X軸下方時，也舍去,

綜上：直線/方程為/=2,

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222

如圖，已知4(2,1),由⑴知橢圓G：［+4=1,雙曲線G：1—/=1.

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直線.過點P(O,1)且斜率為1),則直線小的方程為?/="+1.設(shè)“(與明)，N(x2,y》,

由SAAMN=AtanZMATV,根據(jù)三角形面積公式=j|AA?|-|A^|sinAMAN,

則:悶.國sinAMAN=1小翼騎

21111cosAMAN

即'=||AA?|?|A^|cosAMAN=?五萬.國?.”=(為一2,加一1)?(電一2,統(tǒng)一1)

=(%1-2)(^2-2)+(陰-1)?2-1)

=(61—2)(62—2)+小N1)2—(『+1)/1①2—2(61+力2)+4,

因為雙曲線的漸近線方程為4=±在/，而故直線g=k力+1與雙曲線右支無交點,

M2

y=kx+1

故M,N均為直線？/=fcr+l與橢圓的交點，聯(lián)立29

尹…(2)

貝I](4廿+1)?+—4=0,則/1+62=—.71，6162二一47J1，

4就+14爐+1

—4(9+1)16k—4k2—4+16k+16fc2+412fc2+16A:16fc—3

=2=3+2

AM-AN=4fc2+i+^^+4=^271=4k+14k+1

,o-rrtc1c641064

A.-1ip+3.AM-AN=3H,,-------=3+-^————；=3H--------------

令力=16k—3213,k7=-^則m3+3Q、2「伊+61+7373,

164(--)+1^+(—+6

16t

?-?+%=1>0,在力》13時成立，故力+”單調(diào)遞增，

tt

3I64

且力+"13>0,所以'十一73”遞減，

所以當(dāng)±=13，比=1時而？取得最大值自，又入=/羽?而，所以人的最大值為上

(1)將2=2,分別代入橢圓及雙曲線方程求解即可；

(2)設(shè)直線方程為沙=M2-2),聯(lián)立橢圓或雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解;

⑶由50力.=Atan/上L4N得到A=；:宿?市再判斷出直線與雙曲線右支無交點，從而轉(zhuǎn)化為直線與

橢圓交于M,N兩點，利用韋達(dá)定理將A=：了瓦?麗表示為斜率左的函數(shù)求最值即可.

本題考查直線與圓錐曲線的綜合，屬于難題.