2025年中考數(shù)學(xué)專題突破系列：倍長(zhǎng)中線模型

1.倍長(zhǎng)中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想.某同學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到這樣的一個(gè)問(wèn)題:

如圖1：在V4BC中，AB=6,AC=4,求邊上的中線的取值范圍，經(jīng)過(guò)和小組同

學(xué)的探討，共同得到了這樣的解決方法：延長(zhǎng)/。到點(diǎn)￡,使=M.請(qǐng)根據(jù)他們的方法

解決以下問(wèn)題：

B,_______P

(1)求4D的取值范圍：________.

【問(wèn)題解決】請(qǐng)利用上述方法(倍長(zhǎng)中線)解決下列三個(gè)問(wèn)題：

如圖：已知NB/C+/CDE=180。，AB=AC,DC=DE,P為BE的中點(diǎn)；

(2)如圖2,若/、C、。三點(diǎn)共線，AC:CD=3:5,S4ABp=6,求S四邊加BED；

(3)如圖3,若/、C、。三點(diǎn)不共線，AP=PD,求證：AB1AC.

2.(1)如圖①，在V4BC中，若/3=10,/C=6,則5c邊上的中線4D的取值范圍是；

(2)如圖②，在VN2C中，。是8C邊上的中點(diǎn)，DELDF于點(diǎn)、D,DE交AB于點(diǎn)、E,DF

交/C于點(diǎn)尸，連接所，求證：BE+CF>EF；

(3)如圖③，在四邊形48CD中，ZB+ZD=18Q°,CB=CD,/BCD=140°,以C為頂

點(diǎn)作一個(gè)70。角，角的兩邊分別交AB,4D于E,尸兩點(diǎn)，連接斯，探索線段BE,DF,

跖之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

CC

八Fy\c

3.【特例感知】

如圖1,在VNBC中，AB=S,AC=6,求邊BC上的中線的取值范圍.

4

I.

(1)中線40的取值范圍是.

【類比遷移】

(2)如圖2,在四邊形48助中，尸為8E的中點(diǎn)，點(diǎn)C在4D上，/B4D+NEDA=180。,

AB=AC,DC=DE,求證：/尸平分/A4c.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在V4BC中，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，連接3E并延長(zhǎng)交NC

于點(diǎn)RAF=EF,求證：AC=BE.

4.小雨同學(xué)喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他喜歡不斷地主動(dòng)探索思考，總結(jié)方法，探究問(wèn)題的本質(zhì).學(xué)

完三角形的中線，他主動(dòng)進(jìn)行探究如圖1,。是V4BC的邊5c的中點(diǎn)，連接40,則

為邊8c上的中線.他嘗試延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使得DE=AD,連接BE,發(fā)現(xiàn)

△BDE沿ACDA.

請(qǐng)根據(jù)小雨的探究過(guò)程，解答下面的問(wèn)題.

如圖2,4D是VN8C的中線，E在/C上，連接8E,與AD交于點(diǎn)尸，且NC=2尸.試說(shuō)

明ZEAF=ZEFA.

5.幾何探究與實(shí)踐

(1)【模型認(rèn)識(shí)】如圖1所示，已知在VABC中，ABAC>90°,分別以AB、NC為直角邊構(gòu)

造等腰直角三角形和/CE,連接2ACD,則BE與。的關(guān)系是：一；

2

⑵【初步應(yīng)用】如圖2所示，連接。E,求證：SmBCED=^BE；

(3)【深入研究】在(2)的條件下，試判斷V/8C和V/DE的面積有何關(guān)系，并加以證明；

⑷【拓廣探索】如圖3,在VABC中，/A4c=75。，/3=4及，AC=2,以BC為直角邊

構(gòu)造等腰直角三角形BCP，且NP8C=90。，連接/尸，試直接寫(xiě)出4尸的長(zhǎng)度.

6.某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在V/2C中，AB=6,

AC=8,。是8C的中點(diǎn)，求8C邊上的中線40的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，

得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)/。到E,使DE=AD,請(qǐng)補(bǔ)充證明(1)中

“AABD的推理過(guò)程.

圖1圖2

(1)求證：4ABD咨4ECD

證明：延長(zhǎng)/。到點(diǎn)E,使Z)E=M.

(2)由(1)的結(jié)論，根據(jù)與/￡之間的關(guān)系，探究得出40的取值范圍是

【小結(jié)】將上面題中“/8=6,AC=8”改為4B=m,AC=n,且俏<""，則/。的取值范

圍是(用加，"的代數(shù)式表示)

【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【問(wèn)題解決】如圖2,￡)3=90。，AB=3,是V4BC的中線，CELBC,CE=5,且

ZADE=90。，請(qǐng)直接寫(xiě)出4E的長(zhǎng).

7.八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧.

圖1

【閱讀理解】如圖1,在VN8C中，若48=10,BC=8.求/C邊上的中線AD的取值范圍.小

聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至E,使DE=BD,連接CE.利用△N8D與全等將

邊43轉(zhuǎn)化到CE,在ABCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍.在這個(gè)過(guò)

程中小聰同學(xué)證與△CED全等的判定方法是：；中線8。的取值范圍是

【閱讀感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)‘中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中.

【理解與應(yīng)用】如圖2,在V/2C中，E）B=90。，點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，點(diǎn)加■在邊上，點(diǎn)

N在8c邊上，若DM1DN.證明：AM+CN>MN.

【問(wèn)題解決】如圖3,在V4BC中，點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，AB=MB,BC=BN,其中

NABM=NNBC=90°,連接ACV,探索2。與的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

8.綜合與探究

圖1圖2

數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，張老師提出了如下問(wèn)題如圖1,在V/8C中,

邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2）.

①延長(zhǎng)ND到點(diǎn)使得。河=/。；

②連接3M,通過(guò)三角形全等把轉(zhuǎn)化在中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為+,從而得到40

的取值范圍.

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明各

邊之間的關(guān)系.

(1)根據(jù)小明組內(nèi)的做法，能得到△2OC絲△加￡■的依據(jù)是,8c邊上的中線40的

取值范圍是.

⑵靈活運(yùn)用：如圖3,在V4BC中，。是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在4B邊上，點(diǎn)N在2C邊上,

若DM工DN,求證：AM+CN>MN.

(3)拓展延伸：以YABC的邊AB,AC為邊向外作“BE和AACD,AB=AE,AC=4D,

/8/￡=/。4。=90。,屈是8c的中點(diǎn)，連接當(dāng)/M=3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出。￡的

長(zhǎng).

9.如圖1,V4BC中，若48=8,AC=6,求2c邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)

經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法延長(zhǎng)到點(diǎn)使DE=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法

思考：

(1)由已知和作圖能得到V2OC0VED8的理由是.

(2)求得AD的取值范圍是.

(3)如圖2,在V4BC中，點(diǎn)。是2C的中點(diǎn)，點(diǎn)M在48邊上，點(diǎn)N在/C邊上，若

DM1DN,求證：BM+CN>MN.

10.數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，老師給出以下問(wèn)題：

圖1BD

圖2

B

F

E

AD

圖3

(1)如圖1,在A48c中，。是邊BC的中點(diǎn)，若48=5,AC=9,則中線40長(zhǎng)度的取值范

圍.

(2)如圖2,在ANBC中，。是邊8c的中點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)的射線DE交邊4B于再作DE

交邊NC于點(diǎn)尸，連結(jié)￡尸，請(qǐng)?zhí)剿魅龡l線段BE、EF、CF之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

(3)己知：如圖3,AB=AC,ABAC=ZCDE=90°S.DC=DE,尸是線段BE的中點(diǎn).求

證：AF1FD.

11.(1)閱讀理解：如圖1,在A/BC中，若N2=10,BC=8.求/C邊上的中線AD的取

值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E,使DE=BD,連接C￡.利用全等將邊

轉(zhuǎn)化到CE,在ABCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線2。的取值范圍，在這個(gè)過(guò)程中

小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是；中線3。的取值范圍是.

(2)問(wèn)題拓展如圖2,在"BC中，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，分別以48,5c為直角邊向A4BC

外作等腰直角三角形/切欣和等腰直角三角形3CN,其中乙42M=ZJ\?C=9O。，連接MN,

探索與"N的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.已知：等腰R/A4BC和等腰而A4D￡中，AB=AC,AE=AD,

ABAC=NEAD=90°.

D

A

(1)如圖1,延長(zhǎng)。E交8c于點(diǎn)尸，若NBAE=68。,則/。尸。的度數(shù)為二

(2)如圖2,連接EC、BD,延長(zhǎng)瓦4交8。于點(diǎn)“，若//EC=90。，求證：點(diǎn)初為8。

中點(diǎn)；

(3)如圖3,連接EC、8。，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，連接/G,交BD于點(diǎn)、H,AG=9,

HG=5,直接寫(xiě)出的面積.

13.(1)如圖①，在四邊形ABCD中，ABIICD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是ZBAD的平分

線，試判斷AB,AD,DC之間的等量關(guān)系.

解決此問(wèn)題可以用如下方法延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證AAEBmAFEC得至1」AB=FC,

從而把AB,AD,DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷.AB,AD,DC之間的等量關(guān)系.

⑵問(wèn)題探究.

①如圖②，AD是AABC的中線，AB=6,AC=4,求AD的范圍：

②如圖③，在四邊形ABCD中，ABHCD,AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,點(diǎn)E是BC的中

點(diǎn)，若AE是NBAF的平分線，試探究AB,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

14.在A48c中，AB=BC=26,ZAJBC=120°,ACDE為等邊三角形，CD=2,連接

M為4D中點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)3,C,￡三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出AFDM關(guān)于點(diǎn)〃■的中心對(duì)稱圖形，判斷

與ME的位置關(guān)系是二

(2)如圖2,當(dāng)A,C,E三點(diǎn)共線時(shí)，問(wèn)(1)中結(jié)論是否成立，若成立，給出證明，若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,取BE中點(diǎn)N,連MN,將ACOE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段MN

的取值范圍是—.

BC

圖1

15.如圖1,為△N8C的中線，延長(zhǎng)/。至E,使DE=4D.

(1)試證明：AACD三4EBD；

(2)用上述方法解答下列問(wèn)題：如圖2,為△N8C的中線，BMI交AD于C,交/C于

M,若求證：BG—AC.

《2025年中考數(shù)學(xué)專題突破系列：倍長(zhǎng)中線模型》參考答案

1.(1)\<AD<5-,(2)32；(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)使DE=AD,連接BE,利用全等三角形的判定與性質(zhì)和三

角形的三邊關(guān)系定理解答即可；

(2)延長(zhǎng)。尸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，利用平行線的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得

到：BF=DE,PD=PF,5/=5皿利用等高的三角形的面積比等于底的比的性質(zhì)求

得邑BPF=10,貝電APF~16,再利用S四邊形ABED=\ADF=25..解答即可；

(3)延長(zhǎng)DP至點(diǎn)R使得PF=PD,連接8/、AF,AD,通過(guò)證明尸之△/CD和

AAPF%&APD,利用全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)/。到點(diǎn)￡,使DE=4D,連接BE,如圖，

在△/DC和△皮>8中，

CD=BD

<AADC=NEDB,

AE=ED

"DC知EDB(SAS),

??AC=BE=4,

AB-BE<AE<AB+BE,

*'?6-4<2AD<6+4,

.,.1<AD<5,

故答案為：1</。<5；

(2)解：如圖，延長(zhǎng)。尸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

：.AF//DE(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行),

ZPFB=ZPDE,APBF=APED,

?；P為BE的中點(diǎn)，

:,BP=PE,

在^BPF和AEP。中,

"NPFB=ZPDE

<ZPBF=APED,

PB=PE

.sBPF'EPDg^),

BF=DE，PD=PF，S^PBF一S^PDE，

.◎s四邊形ABED-OS"DF，

?；DC=DE,

:,DC=BF,

vAB=AC,AC:CD=3:5,

；.AB:BF=3:5,

???SAABPSBPF=AB:BF=3:5,

???S^ABP=6，

-10,

則=16,

???PF=PD,

.v=v

?,^AADP口AAFP，

???S四邊形ABED~SAADF~2SAAPF_32；

(3)證明：延長(zhǎng)OP至點(diǎn)R使得PF=PD,連接Bb、AF、AD,如圖

F

由(1)同理易證：△DF>￡絲△■FBP(SAS),

...BF=DE=CDf/E=/FBP,

-ZBAC+ZCDE=180°fRDABP+DBAC+DCAD+BADC+DCDE+DE=360°,

㈤ABP+DE+DCAD+DCDA=180°,

：.GABF+DCAD+DCDA=180°,

???ACAD+ZACD+ZADC=180。，

??.AABF=ZACD,

在△口尸和△4CZ)中，

AB=AC

<NABF=NACD,

BF=CD

尸之△/CZ)(SAS),

AF=AD,/BAF=NCAD,

在△人尸產(chǎn)和中，

AF=AD

<AP=AP,

PF=PD

.?.△APF%APD(SSS),

??.B4PD=DAPF=180°A2=90°,

???AP=PD,

??.ZPAD=45°,

同理可得，ZPAF=45°,

???NK4O=90。，

??.ABAC=90°,

???ABIAC.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，本題

是閱讀型題目，掌握倍長(zhǎng)中線的方法，恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(1)2<40<8；(2)見(jiàn)解析；(3)BE+DF=EF,證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、角的和差等知

識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)40至E,使DE二AD,連接BE,證明AADE&AC￡%(SAS),得出3E=/C=6,

再利用三角形三邊關(guān)系即可得出答案；

(2)延長(zhǎng)FD至點(diǎn)^.DM=DF,連接BW,同(1)得，ABMDACFD(SAS),

得出破=CF再證明AEDM之A項(xiàng)萬(wàn)(SAS),得出瓦以=跖，最后再利用三角形三邊關(guān)系

即可得出答案；

(3)延長(zhǎng)至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,證明AA?C0AEOC(SAS)得出

CN=CF,ZNCB=ZFCD,再證明ANCE之AFCE(SAS),得出EN=E/，即可得證.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)/。至使DE=AD,連接BE,如圖1所示：

???4D是BC邊上的中線，

:.BD=CD,

在V8OE和ACZM中，

BD=CD

<NBDE=NCDA

DE=AD

.?.△8Z>E0AS4(SAS),

BE=AC=6,

在中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE,

：.10-6<AE<W+6,即4</E<16,

2<AD<8；

故答案為：2<AD<8；

(2)證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)使。赫=。尸，連接BM,EM,如圖所示，

同(1)得，△WZ)0△CTO(SAS),

/.BM=CF

?：DE1DF,DM=DF,DE=DE

???^EDM咨△EDF(SAS),

EM=EF

在△如"中，由三角形的三邊關(guān)系得8石+的以>￡7〃，

:.BE+CF>EF；

(3)BE+DF=EF,

證明如下：延長(zhǎng)45至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖所示,

/.ZNBC=ZD

在ANBC和△尸DC中，

BN=DF

<ZNBC=ZD,

BC=DC

△尸DC(SAS),

:.CN=CF,ZNCB=ZFCD

vZBCD=140°,ZECF=70°

/.ZBCE+ZFCD=10°,

NECN=700=NECF

在和△/C￡中,

CM=CF

<ZECN=ZECF

BC=DC

.?.△NCE^AFCE(SAS),

EN=EF.

-：BE+BN=EN,

:.BE+DF=EF.

3.(1)1<4D<7；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了三角形綜合題和倍長(zhǎng)中線問(wèn)題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),

三角形三邊關(guān)系等知識(shí).

(1)延長(zhǎng)4D到￡,使得m=40,連接BE,得出V/OC0VED3,根據(jù)三角形三邊關(guān)系

即可求解；

(2)延長(zhǎng)D尸交42延長(zhǎng)線于尸，得到△8PF四△EPD,得至1]BF=DE=DC,PD=PF,

進(jìn)而求得/尸=/。，可證明結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)4D到點(diǎn)G,使得。G=AD,連接BG,得出△ADG四△CD4,從而得到

BG=AC,NCAD=NG,進(jìn)而得到8E=5G從而證明.AC=BE

圖I

BD=CD,

在△4DC和中,

CD=BD

<ZADC=ZEDB,

AD=ED

:ADC知EDB(SAS),

BE=AC=6,

???AB=8,

8—6<AE<8+6,

即2<24D<14,

:.\<AD<1；

故答案為：1</。<7；

（2）證明：如圖2,延長(zhǎng)。P交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

ZBAC+ZCDE=180°

AF//DE,

NPFB=ZPDE,NPBF=APED,

P為BE的中點(diǎn)，

BP=PE,

:ARPFHEPD,

BF=DE=DC,PD=PF,

AB=AC,

AB+BF=AC+DC,

即AF=AD,

：.4P平分NR4C；

(3)證明：如圖3,延長(zhǎng)4D到點(diǎn)G,使DG=4D,連接8G,

BD=CD

在xBDG和ACDA中，\NBDG=ZCDA,

DG=DA

.?.△8DG0ACD4(SAS),

/.BG=AC,ZCAD=AG,

???AF=EF,

/.ZCAD=ZAEF,

???/BEG=ZAEF,

/CAD=/BEG,

ZG=/BEG,

BG=BE,

/.AC=BE.

4.詳見(jiàn)解析

【分析】本題考查了倍長(zhǎng)中線法證明三角形的全等，根據(jù)延長(zhǎng)/。到點(diǎn)G,使得4D=DG,

連接2G,得出GD=4D,ZBDG=ZADC,且結(jié)合4D是V4BC的中線，得BD=CD,證

明A/OC之AGOB(SAS),再通過(guò)等邊對(duì)等角以及角的等量代換，即可作答.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使得AD=DG,連接8G.

???4。是V45C的中線，

；,BD=CD,

vGD=AD,ABDG=ZADC,

.-.AADC^AGDB(SAS)f

AC=BG,/EAF=/G.

???AC=BF,

BG=BF,

NG=ZBFD.

又,:/EFA=ZBFD,

；"G=/EFA.

??,/EAF=/G,

???NEAF=ZEFA.

5.(T)BE=CD且BELCD

⑵見(jiàn)解析

(3)V4BC和V4DK的面積相等，理由見(jiàn)解析

(4)2?

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)證明包￡MC(SAS)即可求解；

⑵在V皿中,S—BE.DF,在0CE中,S“*CF,再根據(jù)

S四邊形8CED=S2BDE+，即可求解；

(3)如圖所示，延長(zhǎng)8/到點(diǎn)使得氏4=連接S,根據(jù)題意可證

“DESHC(SAS),再根據(jù)三角形中線平分三角形面積可求解；

(4)如圖所示，以為邊作等腰直角三角形N2。，連接C。，設(shè)“尸，C。交于點(diǎn)R,證明

△ABC知ABP,易得“P_LC0,則可得的長(zhǎng)延長(zhǎng)C4,過(guò)點(diǎn)0作07，◎延長(zhǎng)線于點(diǎn)

T,則可求得N7,7。的長(zhǎng)，在MACQT中，由勾股定理可求得。。的長(zhǎng)，從而得到NP的

長(zhǎng).

【詳解】(1)解：△/(五都是等腰直角三角形，

AB=AD,AC=AE,ABAD=ACAE=90°,

???/BAD+ZDAE=ZDAE+ZEAC,

/BAE=ADAC,

在△O/C中，

BA=DA

<NBAE=ADAC,

AE=AC

.,.△A4E%A4C（SAS）,

：.BE=DC,ZABE=NADC,

在AABD中，ZBAD=90°=ZABE+ZEBD+ZADB,

在YBDF中，ZEBD+NADB+NADC=90°,

ZBFD=90°,即8E_LDC,

故答案為：BE=CD且BELCD；

(2)證明：由(1)可知，BE=CDS.BE_LCD,

在VBDE中，S-=；BE,DF,

在ABCE中，S^BCE=；BE?CF,

S四邊形BCE。=S^BDE+^/\BCE，

S四邊形BCED=JBE,DF+—BE?CF

=；BEX(DF+CF)

=-BE^CD

2

=-BE2,

2

As四邊形5cm=5BE；

(3)解：VZ3C和的面積相等，理由如下,

如圖所示，延長(zhǎng)54到點(diǎn)“，使得=連接C〃,

vZC4E=90°,

??.NCAH+/HAE=90。,

vZBAD=90°,即N_L5H,

：,ZDAE+ZEAH=90°,

；?/CAH=/EAD,

?；BA=AH,BA=DA,

???AH=AD,

在中,

AD=AH

</DAE=ZHAC,

AE=AC

.??△//）摩（SAS）,

S5DE=S/\AHC，

在\/助中，點(diǎn)A是瓦/中點(diǎn),

^/\ABC=S4AHe'

S/\ABC=S/\AHC=SMDE'

??.V45C和V力。￡的面積相等；

（4）解：如圖所示，以45為邊作等腰直角三角形45。，連接C。，設(shè)/尸，CQ交于點(diǎn)、R,

BQ=BA,BC=BP,ZABQ=ZCBQ=90°,

??.ZQBA+/ABC=/ABC+ZCBP,即ZQBC=ZABP,

.??△4B（』"AP（SAS）,

QC=AP,ZBQR=ZBAR,

???/BQR+ZRQA+ZBAQ=90°,

??.ZBAR+ZAQR+ZBAQ=90°,

.?.N/RQ=90。，BPAP.LCQ,垂足為衣,

在中，AB=QB=4V2,

A。==4血x血=8,

如圖所示，延長(zhǎng)C4,過(guò)點(diǎn)。作。延長(zhǎng)線于點(diǎn)7,

VABAC=75°,ABAQ=45°,

AQAT=180°-ABAC-ABAQ=180°-75°-45°=60°,

在MA/QT中，ZAQT=30°,AQ=8,

.-.AT=^AQ=^x8=4,QT=4^AT=4>5,

在瓦ACQT中，TC=TA+AC=4+2=6,

■■QC=y)QT2+TC2=J(4?+62=2721,

???AP=QC=2A/21,

■■AP的長(zhǎng)度為2vH.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，中線平分三角

形面積，勾股定理等知識(shí)的綜合，含30。角的直角三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見(jiàn)詳解(2)1</。<7［小結(jié)］/<40<竽［問(wèn)題解決］8

【分析】本題是三角形的綜合題和倍長(zhǎng)中線問(wèn)題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角

形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運(yùn)用類比的

方法解決問(wèn)題.

(1)運(yùn)用SAS證明△48。取△ECD,即可作答.

(2)由(1)得出名△ECD,再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系列式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可作

答.

［小結(jié)］與(2)同理，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系列式，進(jìn)行化簡(jiǎn)得出%%<40<歲。即可

作答.

［問(wèn)題解決］延長(zhǎng)助，4B交于點(diǎn)、F,得證ABD尸之ACDE(ASA),結(jié)合

ZADE=90°,。尸=即，得出4D是￡下的垂直平分線，即可作答.

【詳解】解:(1)如圖:

延長(zhǎng)AD到點(diǎn)￡,使DE=AD.

因?yàn)?。是BC的中點(diǎn)

所以CD=AD

在△NAD和A￡CZ)中，

AD=ED

<ZADC=ZEDB

CD=BD

之△￡C0(SAS),

(2)由△ABO當(dāng)ABOXSAS)可得：AD=DE,AB=CE=6,

:.AC-CE<AE<AC+CE,

即8-6<240<8+6,

1<AD<7；

［感悟］同理可得：上面題中“48=6,/C=8”改為48=機(jī)，AC=n,且加<〃”,

ftXi.TT^./-+--++-173=1l=t〃—機(jī)/一加+〃

則AD的取值范圍是一馬一<AD<一］一；

一小加、rn-mm+n

故答案為：—^-<AD<—^--

［問(wèn)題解決］

如圖3,延長(zhǎng)￡D4B交于點(diǎn)F,

ECtBC,

ZECD=90°,

??.ZABD=/DBF=/ECD=90°,

???4。是中線，

；,BD=CD

vZBDF=ZCDE

???八BDFaCDE(ASA)

；.BF=CE=5,ED=DF

4尸=3+5=8

???/4。￡=90。，DF=ED

??.AD是EF的垂直平分線，

AE=AF=8

7.閱讀理解：SAS；1<BD<9；理解與應(yīng)用：證明見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：2BD=MN,

BDLMN,理由見(jiàn)解析

【分析】閱讀理解：由SAS證明△ABD2△CE。得出CE=4B=10,在ACRE中，由三角

形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

理解與應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使FD=ND,連接”、MF,同(1)得：AAFD必CND,

由全等三角形的性質(zhì)得出“尸=CN，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出=在△4FA/中，

由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

問(wèn)題解決：延長(zhǎng)8。至E,使DE=BD,連接CE,由(1)得：A4BD空乙CED,由全等

三角形的性質(zhì)得出NABD=NE,AB=CE,證出ZBCE=ZMBN,證明ABCE之得出

BE=MN,ZCBE=ZBNM,貝!|2AD=AGV,延長(zhǎng)。3交MV于G,根據(jù)ZNBC=90°,

NCBE=ZBNM,可得NEBC+NNBG=9。°,即有4MVB+NA?G=90。，則有

BD1MN.

【詳解】閱讀理解：解：延長(zhǎng)AD至￡,使DE=BD,連接CE,

QAD是NC邊上的中線，

AD=CD,

在八ABD和XCED中，

AD=CD

<ZADB=ZCDE,

BD=ED

:ABDUCED(SAS),

:.CE=AB=\Q,

在△C8E中，由三角形的三邊關(guān)系得：CE-BC<BE<CE+BC,

.-.10-8<5E<10+8,§P2<5E<18,

???BE=2BD,

.'.2<250<18,

:.\<BD<9-

故答案為：SAS；\<BD<9；

理解與應(yīng)用：證明：延長(zhǎng)ND至點(diǎn)尸，使FD=ND,連接/尸、MF,如圖2所示:

同上可證：AAFD^ACND(SAS),

AF=CN,

?：DMLDN,FD=ND,

MD是線段NF的垂直平分線，

:.MF=MN,

在△NFM中，由三角形的三邊關(guān)系得：AM+AF>MF,

AM+CN>MN-

問(wèn)題解決：解：2BD=MN,BD1MN,理由如下：

延長(zhǎng)8。至E,使DE=BD,連接CE,如圖3所示：

圖3

由（1）得：4ABD出LCED,

ZABD=ZE,AB=CE,

■：AABM=ZNBC=90°,

ZABC+ZMBN=180°,即ZABD+ZCBD+ZMBN=180°,

ZE+ZCBD+NBCE=180°,

NBCE=ZMBN,

?；AB=MB,BC=BN,

：.CE=MB,

在.ABCE和小IBM中，

CE=BM

<NBCE=ZMBN,

BC=NB

:.^BCE^NBM(SAS),

BE=MN,NCBE=ZBNM,

2BD=MN.

延長(zhǎng)。3交MN于G,

vNNBC=90°,ZCBE=4BNM,

:.NEBC+NNBG=90。,

ZMNB+ZNBG=90°,

:"BGN=90。,

:.BD±MN.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、

線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線證

明三角形全等.

8.(l)SAS；1<AD<1

(2)見(jiàn)解析

(3)6

【分析】(1)先判斷出20=8,由“SAS”可證之A4DC,得出3M=NC=6,最后

用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)由(1)知，GNCwmJA,得CN=4J,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到MV=M/,

再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)到N,使得=連接CN,同(1)的方法得出“AW四iTVCMCAS),得

出AB=CN,ZABM=ZNCM,進(jìn)而判斷出NE/D=N4CN再證明“助學(xué)ACAU(SAS),得出

DE=AN,從而可得到。E=,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖2,延長(zhǎng)/。到使得。M=連接

4。是V43C的中線,

BD=CD,

在和△40。中，

BD=CD

<ZBDM=ZCDA,

DM=AD

:.AMDB^AADC(SAS),

BM=AC=6,

在△力中，AB-BM<AM<AB+BM,

/.8-6<AM<8+6,

2<AM<14,

1<AD<1,

故答案為：SAS；1<AD<1.

(2)解：如圖3,延長(zhǎng)加到J,使得DJ=DN,連接47,MJ,

由(1)知GNCQQJA,

:.CN=AJ,

?:MDLDN,DJ=DN,

:.MN=MJ,

'：AM+AJ>MJ,

AM+CN>MN.

(3)解：延長(zhǎng)到N,使得=連接CN,如圖4,

圖4

由(1)知，A^M^ATVCM(SAS),

/.AB=CN,ZABM=ZNCM,

??.AB//CN,

AACNABAC=\^°,

???ZBAE=ACAD=90°,

??.ABAC+ZEAD=1^0°,

ZEAD=ZACN

AB=AE,

AE=CN,

在△4ED和VCW中，

AE=CN

</EAD=ZACN,

AD=AC

:.AAED咨ACNA(SAS),

DE=AN,,

???AM=MN,

AN=2AM,

:.DE=2AM=2x3=6.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),

三角形三邊關(guān)系.倍長(zhǎng)中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

9.(1)"S；

(2)1</。<7；

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理解答即可；

(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；

(3)延長(zhǎng)到使MD=DE,連接砥，CE,證明物修,得到

MN=EN,證明也△D￡C("S),得到MB=EC,再利用EC+NC〉NE即可證明

BM+NC>MN.

【詳解】(1)解：???力。是邊上的中線,

???BD=DC,

在△4DC和中,

BD=DC

<NBDE=/ADC

DE=AD

,?.△ADgAEDB(SAS),

故答案為：SAS

(2)解：MADCmAEDB(SAS),

.?.AC=EB=6,

vAB=8,

.,.在中，AB-BE<AE<AB+BE,即2<NE<14,

,:AE=2AD,

1<AD<7,

故答案為：1</。<7

(3)解：延長(zhǎng)Aff)到E,使〃。=?！?連接A?,CE,

圖2

-MDVDN,

??.AMDN=ZEDN,

在和ADEN中,

MD=DE

<ZMDN=ZEDN

DN=DN

.?.ADMNAEDN(SAS),

:,MN=EN,

在&DMB和ADEC中，

MD=DE

，ZMDB=NEDC

BD=DC

...ADMB皿DEC(SAS),

■.MB=EC,

???在中，EC+NC>NE,

：.BM+NC>MN.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系應(yīng)用等知

識(shí)；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，作出輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

10.⑴2</。<7

(2)CF+BE>FE,證明見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)延長(zhǎng)4D到E,使月。=Z)E,連接CE,證AADB均EDC,推出=

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可；

(2)延長(zhǎng)FZ)到點(diǎn)G使。G=ED,連結(jié)GE,GB,就有FE=GE,連結(jié)EG、BG,可證

△DCFADBG,貝!|8G=C/，即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)北到G使FG=/尸，連接GE,GD,證明尸(SAS),

"CD2AGED(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4)=G。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可

得證.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)40到E,使4D=DE,連接CE,

E

???4。是V45C的中線,

；,BD=CD,

BD=CD

v<ZADB=ZCDE,

AD=DE

.?.△/。以0△￡7）C（SAS）,

EC=AB,

???根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：AC+CE<AE<AC-CE,

???/B=5,AC=9

EC=AB=5.

.*.4<^<14

???2<AD<7.

故答案為：2<AD<7.

（2）解：如圖，延長(zhǎng)尸D到點(diǎn)G,使DG=FD,連結(jié)GE,GB,

vFD±DE,FD=DG

；.FE=GE,

???。是CB的中點(diǎn)，

:.CD=BD,

在VCD/和△MG中，

FD=GD

</CDF=ZGDB

CD=BD

.“DCF%DBG（SAS）,

??.CF=BG,

???BG+BE>GE,

??.CF+BE>FE；

(3)解：延長(zhǎng)Z尸到G使尸G=/尸，連接GE,GD

?.,/是BE的中點(diǎn)，

???BF=EF,

???在△AFB與AEFG中

AF=FG

<ZAFB=ZEFG,

BF=EF

“ABFaGEF？網(wǎng),

AB=EG,4B=4FEG,

vAB=AC,

:.AC=GE,

VABAC=ZCDE=90°,.??ZB+/DEF+/CAD+NCDA=180°,

-ZCAD+ZC+ZCDA=1SO°,

??.ZC=ZB+ZFED=/FEG+/FED=AGED,

???在△ZCD與△GE。中，

AC=GE,

</C=/GED,,

CD=ED

小ACD會(huì)公GED(SAS),

AD=GD,

???AF=GF,

???AFLFD.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì),

線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理.本題前兩問(wèn)都是利用中線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，再利

用全等三角形的性質(zhì)，將線段放在同一個(gè)三角形中進(jìn)行討論.

11.(1)SAS；1<BD<9；(2)2BD=MN,BD1MN,理由見(jiàn)詳解

【分析】(1)由“S證明AzlB。三△(?￡￡>得出C￡=N8=10,在ACBE中，由三角形的三邊

關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)2D至E,使DE=BD,連接CE,由(1)得："BDmACED,由全等三角形的

性質(zhì)得出UBD=AE,AB=CE,證出乙8C￡=乙MBN,證明4BCE任NBM得出BE=MN,乙EBC

=AMNB,貝?。?8O=MV.延長(zhǎng)。8交MV于G,證出N8GN=90。，得出8D1ACV.即可.

【詳解】(1)解：MD是NC邊上的中線，

：.AD=CD,

在MBD和△CED中,

AD=CD

<ZADB=ZCDE,

BD=ED

：.4ABD三ACED(SAS),

；.CE=4B=1Q,

在ACBE中，由三角形的三邊關(guān)系得：CE-BC<BE<CE-BC,

.?.10-8</￡<10+8,即2<2E<18,

故答案為：SAS；1<BD<9；

(2)解：2BD=MN,BDVMN,理由如下：

延長(zhǎng)AD至E,使DE=BD,連接CE,如圖所示：

由（1）得：AABDWACED,

：&BD=LE,AB=CE,

:UBM=ANBC=90°,

??.ZABC+NMBN=180°,即ZZAD+NCAD+NMBN=180°,

?"+NC5D+N5CE=180。，

；.乙BCE=LMBN,

和A8CN是等腰直角三角形，

：.AB=MB,BC=BN,

：.CE=MB,

在ABCE和△NS”中，

CE=BM

<NBCE=ZMBN,

BC=NB

:.4BCE34NBMCSASJ,

:.BE=MN,乙EBC=4INB,

：.2BD=MN.

延長(zhǎng)。3交MN于G,

??-ZA?C=9O°,

:.乙EBC+MBG=90。,

:.LMNB+乙NBG=9Q°,

；/BGN=90°,

：.BDVMN.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、

等腰直角三角形的性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過(guò)作輔助線證明

三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.(1)68°；(2)見(jiàn)解析；(3)36

【分析】(1)由已知條件可得ZD=NC=45。，對(duì)頂角44。。=/。。尸，則ND/C=ND尸C,

根據(jù)ZDAE=ZCAB即可的ZDFC=NBAE；

(2)過(guò)點(diǎn)8作ME的垂線交的延長(zhǎng)線于N,證明四得=進(jìn)而可得

AD=NB,再證明LDAM學(xué)4BNM即可得證點(diǎn)〃■為2D中點(diǎn)；

(3)延長(zhǎng)4G至K,使得GK=/G=9,連接CK,設(shè)/E交3C于點(diǎn)尸，先證明

△ABE名4CD,進(jìn)而證明a/EG之ZiKCG,根據(jù)角度的計(jì)算以及三角形內(nèi)角和定理求得

/BAD=NKCA,進(jìn)而證明AABD%ACAK,再根據(jù)NCAG=ZABD/BAC=90。,證明

AH1BD,根據(jù)已知條件求得S.ABD最后證明S.AEC=S.ABD即可.

【詳解】(1)設(shè)。尸交4。于。，如圖1,

圖1

vMABC是等腰Rt^ABC和YADE是等腰Rt^ADE

ZD=ZC=45°

ZAQD=ZCQF

???ZDAQ=\SO-ZD-ZAQD,ZQFC=\SO-ZC-ZCQF

:.ZDAQ=ZQFC

ZBAC=ZEAD=90°

即/BAE+ZEAQ=ZEAQ+ZQAD

/BAE=ZQAD

ZDFC=/BAE

???ZBAE=68°

/.Z.DFC=68°

故答案為68。

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)8作小的垂線交的延長(zhǎng)線于N,

-ZAEC=90°

...NN=NAEC

???ZBAC=90°

ZEAC+ZNAB=90°

-ZNAC+ZACE=90°

ZNAB=ZECA

???\JABC是等腰Rt^ABC和YADE是等腰Rt^ADE

AB=AC,AD=AE

又＜AC=AB

△AECmABNA

NB=AE

???AE=AD

AD=NB

?：ZDAE=9Q°

/.ZDAM=90°

ZDAM=NN

又???ZDMA=ZBMN

ADAMmNBNM

/.DM=BM

即M是m的中點(diǎn)

(3)延長(zhǎng)4G至K,使得GK=ZG=9,連接CK,設(shè)ZE交5c于點(diǎn)尸，如圖

ZBAC=ZEAD=90°

即ZBAE+NEAC=NEAC+ACAD

ZBAE=ACAD

???MABC是等腰Rt^ABC和YADE是等腰Rt^ADE

AB=AC,AE=AD

在△/BE與-48中，

AE=AD

</BAE=ZCAD

AB=AC

AABE義"CD(SAS)

??S^ABE=SAABD，BE=CD

???G點(diǎn)是EC的中點(diǎn)

:.EG=GC

?:/AGE=NKGC,AG=GK

:.AAGE義ZXKGC(SAS)

/.AE=CK,/AEG=ZKCG

AE=KC=AD.

ZACK=NACB+/BCE+ZKCG

=45°+ZAEC+ZBCE

=45。+N4BC+NB4P

=90°+ZBAE

=ZBAD

AAKC^AABD(SAS)

:.BD=AK=18,ZCAK=ZABD

???ZBAG+ZCAG=90°

ZABD+/B4G=90。

SPZAHB=90°

vAG=9,HG=5

AH=AG-HG=9-5=4

SAABD=；B?/"=；xl8x4=36

'^AZEC=S&AEG+S/^AGC=S&QCK+S&AGC=^/\ACK=^AABD=36

?'-S*AEC=36

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，

三角形外角性質(zhì)，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(1)AD=AB+DC；(2)?1<AD<5；②AB=AF+CF,證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，易證NBAE=NF,ZBAE=ZDAF,從而可

以推出ZF=NDAF,再利用等角對(duì)等邊，可證AD=DF,利用線段中點(diǎn)的定義，可知BE=CE,

然后利用AAS證明AABEmAFCE,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可