二次函數(shù)中求線段，線段和，面積等最值問題-2025年

中考數(shù)學押題

二次期數(shù)中求線段，線段和，面積等最值問題

目錄

解密中考.....................................................................................1

題型特訓(xùn)提分................................................................................2

【題型一】利用二次函數(shù)求線段最值的問題..................................................2

【題型二】利用二次函數(shù)求線段和/差最值的問題............................................7

【題型三】利用二次函數(shù)求面積最值的問題.................................................12

【題型四】利用二次函數(shù)求角度的問題......................................................16

【題型五】利用二次函數(shù)求特殊三角形的問題...............................................21

【題型六】利用二次函數(shù)求特殊四邊形的問題...............................................24

【題型七】利用二次函數(shù)求相似三角形的問題...............................................28

解密中考

考情分析:二次函數(shù)和幾何圖形綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考

生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看，二次函數(shù)占比約15%—20%,高頻考解析式、圖像性質(zhì)、最值；幾何圖形占比25%-30%,H

角形全等/相似、圓性質(zhì)、坐標系幾何?？?壓軸題多綜合考查。

2.從題型角度看，二次函數(shù)多為應(yīng)用題、圖像分析題、與幾何結(jié)合的綜合題;幾何圖形以證明題、計算題、動

點探究題為主，常與函數(shù)、方程結(jié)合命題。

備考策略:在中考數(shù)學備考中，牢記公式定理,多練函數(shù)與幾何綜合題，掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論思想;針對動

點、存在性問題專項突破,分析真題總結(jié)解題模型,強化計算與邏輯推理能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】利用二次函數(shù)求線段最值的問題

1.（2025?云南楚雄?一模）如圖，已知拋物線Z/：g="+館力與直線l:y=—x+b相交于點4（2,0）和點B.

（1）求7n和b的值.

（2）若直線力=。與線段A8交于點P,與拋物線交于點Q,求P。兩點間距離的最大值.

1.設(shè)變量:設(shè)動點坐標為自變量（如X）,目標線段端點用含，的式子表示。

2.建模型:用距離公式或幾何關(guān)系寫出線段長度的二次函數(shù)表達式（如沙=ad+瓦+c）。

3.求最值:通過配方法或頂點公式（-上，華立）求極值，注意自變量取值范圍（如線段端點限制）。

2a4a

4.驗實際:結(jié)合幾何意義驗證最值是否符合題意，避免舍入誤差。

________P

2.（2025?江蘇鹽城?一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=〃-2;z:-3與c軸交于點A和點與g軸交于

點。，頂點為O.

（1）請直接寫出入、口、。三點坐標.

⑵如圖1,點河是第四象限內(nèi)拋物線上的一點，過點M作立軸的垂線，交直線于點N,求線段MN長

度的最大值；

（3）如圖2,若點P在拋物線上且滿足APCB=/CfiD,求點P的坐標.

3.（2025?安徽淮北?一模）如圖,拋物線y=arz：2+bcc+c與宓軸交于4B兩點，與y軸交于點C,點/的坐

標為（1,0）,直線BC的解析式為9=—c+3.

⑴求拋物線的解析式；

（2）點M是拋物線上位于直線下方的一個動點，過點M作MN±x軸交于點N,計算線段MN

的最大值；

（3）若點P是拋物線上一動點,則是否存在點P,使NE4B=NACB.若不存在,請說明理由；若存在，請

求出點尸的坐標.

4.(2025?甘肅隴南?模擬預(yù)測)如圖，拋物線y=-x2+bx+3^x軸交于點/(T,0)和點8,與沙軸交于點

C,拋物線的頂點為點P,對稱軸與非軸交于點Q.

(1)求拋物線的表達式，并直接寫出拋物線的對稱軸及點。關(guān)于對稱軸的對稱點C的坐標;

⑵點河是線段AC上的一個點,過點M作立軸的垂線,與拋物線交于點N.

①若點M在對稱軸上,判斷此時點M是否為線段PQ的中點，并說明理由；

②當線段MN最長時，求點雙的坐標.

5.(2025?四川綿陽?一模)如圖，直線4=一2+3與宏軸交于點與夕軸交于點8,拋物線u=at2+2ic+c

經(jīng)過點A,8,與力軸的另一個交點為點。，連接BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖①，及■是拋物線的對稱軸上一點，連接

若ZAMB=2ZACB，求點M的坐標；

(3)如圖②，P是直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ〃口。，交AB于點Q,求線段PQ的最大值

及此時點尸的坐標.

【題型二】利用二次函數(shù)求線段和/差最值的問題

6.（2025?甘肅張掖?一模）如圖⑥，拋物線夕=2；2+6力與力軸交于。、人兩點，與直線"=-x交于O、

5（5,-5）兩點，過點8作0軸的垂線，交沙軸于點C,點尸從點B出發(fā),沿線段BO方向勻速運動,運動到

點。時停止.

（1）求拋物線y=x2+bx的表達式：

（2）請在圖⑥中過點P作PF,c軸于點尸，延長FP交BC于點、E,當PE=2P斤時,求點P的坐標：

（3）如圖⑦，點P從點8開始運動時，點Q從點。同時出發(fā)，以與點P相同的速度沿力軸正方向勻速運

動，點P停止運動時點Q也停止運動,連接BQ,CP,求CP+的最小值.

線段和最值:利用軸對稱轉(zhuǎn)化（如“將軍飲馬”模型），設(shè)動點坐標，將線段和表示為二次函數(shù)，結(jié)合幾

何對稱找最小值,頂點處取最值需驗證路徑共線。

線段差最值:三點共線時取極值（三角形不等式），建系后用坐標差表示距離差,化為二次函數(shù)，注意

定義域，最大值在端點或頂點，需結(jié)合圖形判斷符號。

7.(2025?青海西寧?一模)已知,在平面直角坐標系中，拋物線夕=。/+就+3與c軸交于點8,。，與y軸

交于點4其中8(—3,0),。(1,0).

圖I

⑴求拋物線的函數(shù)表達式

(2)如圖1,連接AB,點P是直線AB上方拋物線上一動點,過點P作PKH夕軸交于點K,過點K作

KE，,軸，垂足為點?求PK+KE的最大值并求出此時點P的坐標；

__________________________

8.(2025?四川資陽?一模)已知，拋物線,=<1"+辰+3與a;軸交于4(—1,0),8(3,0)兩點，與,軸交于C

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖，點。為拋物線上位于直線口。上方的一點，OE，于點E,。尸〃"軸交于點尸，當

ADEF的周長最大時,求點D的坐標；

(3)將拋物線y=a/+近+3沿,軸向下平移,得到的新拋物線與y軸交于點G,GP_Ly軸交新拋物線

于點P,射線PO與新拋物線的另一交點為Q.當PO=2OQ時，求點Q的坐標.

9.（2025?湖南婁底?一模）在平面直角坐標系中，拋物線v=ac2+2;z：+3與①軸交于點A（—1,0）和點B,

與夕軸交于點C.

⑴求a的值；

（2）如圖，M是第一象限拋物線上的點，AMAB=AACO,求點M的坐標；

（3）在直線上方的拋物線上有一動點P,過點P作于點E,作PF〃AB交BC于點F.

當APEF的周長有最大值時，求點P的坐標和即的周長.

_____________________________

10.（2025?四川自貢?模擬預(yù)測）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線夕=（1尤2+就+。（*b,c為常數(shù)，a:0）

的圖象與c軸交于點A（l,0）,B兩點,與夕軸交于點。（0,—3）,且拋物線的對稱軸為直線T=-1.

⑴求拋物線的解析式；

（2）在直線下方的拋物線上有一動點P,過點P作PAf,立軸，垂足為點交直線于點N,求

PN+V2CN的最大值，并求出此時點P的坐標；

（3）如圖2,若拋物線沿射線AC方向平移乎個單位長度得到拋物線9，點E為新拋物線u上一點，點

尸為原拋物線對稱軸上一點，?。?）中最大值時點P,是否存在以點B、P、E、F構(gòu)成的平行四邊形？若

存在，直接寫出點E的坐標，若不存在，請說明理由.

【題型三】利用二次函數(shù)求面積最值的問題

11.（2025?甘肅隴南?一模）如圖，二次函數(shù)u=（c+2）2—1的圖象與夕軸交于點A,與軸交于點B,c

⑴求點4b。的坐標，

（2）在拋物線上是否存在一點尸，使S&PAB=SAABO?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標;若不存

在,請說明理由.

時30

i.設(shè)變量:選關(guān)鍵線段長或坐標為自變量c,用幾何關(guān)系表示相關(guān)邊長或高。

2.列面積式:利用公式（如S=}*、矩形面積）寫出S關(guān)于，的二次函數(shù)，注意圖形分割或坐標法。

3.求最值:配方或頂點公式得極值，結(jié)合定義域（如線段范圍、圖形存在性）確定最值位置,端點值需驗算。

4.幾何驗證:確保函數(shù)模型符合圖形實際意義,避免虛構(gòu)解。

_________?

12.(2025?山西運城?一模)綜合與實線

如圖,拋物線5=姐2+22+。與2軸的交點分別為4—1,0),8(3,0),與4軸交于點C,連接8ap為線

段8C上方的拋物線上的一動點.

(1)求拋物線y=ax2+2x+c的解析式.

⑵如圖1,過點P作PQ，力軸交直線于點Q.當PQ=CQ時，求點P的坐標.

(3)如圖2,連接在點P運動的過程中，是否存在點P,使得四邊形ABPC的面積最大？若

存在,求出點P的坐標及四邊形ABPC的面積;若不存在，請說明理由.

13.（2025?安徽合肥?一模）如圖,拋物線y=ax2+bx+6^x軸交于點A,與,軸交于點C,OB=OC=

30A.

⑴求拋物線的對稱軸；

（2）點尸是拋物線上一個動點，連接AP,CP,AP交"軸交于點。，作尸Q，刀軸于點Q.

①若點Q是03的中點，求△B4C的面積；

②若以點C,D,P,Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求山的值.

________0

14.（2025?福建泉州?一模）如圖1,拋物線y=—d+2/+3與c軸交于點A,與y軸交于點C,點P在力軸

上方的拋物線上.

⑴求直線的解析式；

（2）求以A,B,P,。為頂點的四邊形面積的最大值；

⑶如圖2,若直線E4與直線相交于點且器=],求點P的坐標.

【題型四】利用二次函數(shù)求角度的問題

15.（2025?山東濟南?一模）拋物線y=a/—2,+c與力軸分別交于A（-l.O）,8兩點（點A在點B的左側(cè)）,

與"軸交于點。（0,—3）,。是拋物線的頂點.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及頂點。的坐標.

⑵如圖1,線段及7下方拋物線上是否存在一點E,使SABCE=:S四邊形ABB，若存在,請求出點E的坐標；

O

若不存在,請說明理由.

⑶如圖2,P是拋物線第二象限上的點，連接PB,BD.當APBA=2ACBD時,求點P的坐標.

1.設(shè)坐標:設(shè)所求點坐標為ax2+bx+c）,代入二次函數(shù)解析式。

2.轉(zhuǎn)角度條件:用正切函數(shù)、斜率或向量表示角度關(guān)系（如tanO=）,建立方程。

3.聯(lián)立求解:結(jié)合幾何圖形性質(zhì)（如直角、等腰三角形）列方程，化簡為二次方程求，，注意判別式△>00

4.驗圖形意義:代入驗證角度是否符合題意，舍去不合理解（如坐標超出圖形范圍）。

________0

16.(2025?黑龍江大慶?一模)如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-l,0),B(2,0),

交y軸于點0(0,2),M(m,0)為①軸上一動點，連接CM.

⑴求拋物線的表達式；

⑵當點M在線段AB上時，連接AC,8C,過點M作MD〃8C交直線AC于點。.

①直接寫出4MCD面積的最大值及此時點雙的坐標；

②在①的條件下，將該拋物線沿射線方向平移V2個單位長度，P是平移后的拋物線上一動點，連接

CP,若4PCM=45°,求點P的坐標；

(3)將線段OC繞點又順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O'C，若線段O'C與拋物線只有一個公共點，直接寫出

m的取值范圍.

17,(2025?陜西西安?二模)如圖，拋物線夕=[*/+近一4與工軸交于4。兩點(點A在點。的右側(cè))，與沙

O

軸交于點B,且04=OR

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P在拋物線上，當/-PBA+ACBO=45°時,求點P的橫坐標.

_______________________________E

18.（2025?廣東中山?一模）在平面直角坐標系中，拋物線"=a"+比+2與2軸交于A（*,0）、B（6,0）兩點,

（2）點P是立軸上一點，若ABCP是等腰三角形,直接寫出點P的坐標；

（3）如圖（2）,點D是直線8。下方拋物線上的一個動點.過點。作。E，于點瓦問：是否存在點

使得NCDE=2/ABC?若存在，請求出點。的坐標;若不存在,請說明理由.

19.（2025?江蘇鹽城?一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于48兩點，與4軸交于點C,頂點為D.

⑴求該拋物線的表達式；

（2）E是該拋物線上一點.

①連接OE,若4EDA=/.DAB,求點E的坐標；

②在第三象限內(nèi)拋物線上找點E,使/OCE=/O/D,求點E的坐標.

【題型五】利用二次函數(shù)求特殊三角形的問題

20.（2025?天津紅橋?一模）已知拋物線夕=—〃+be+c（b,c為常數(shù)）與宓軸相交于A（—1,0）,B（3,0）兩點,

與"軸相交于點C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若尸是該拋物線的對稱軸上一點.

①當點P在第一象限，且△尸是等腰三角形時，求點P的坐標；

②當ZBPC=45°時,求點P的坐標.

TO

1.設(shè)點坐標：設(shè)二次函數(shù)上點為Q,ax1+bx+c）,結(jié)合特殊三角形（等腰、直角等）性質(zhì)。

2.轉(zhuǎn)幾何條件:等腰:用距離公式列兩邊相等方程；

直角：勾股定理或斜率乘積為-1；

等邊:邊相等+60°角（用向量或三角函數(shù)）。

3.聯(lián)立求解:化簡得二次方程，用判別式驗根，分類討論頂點位置（如等腰頂角頂點）。

4.驗圖形合理性:舍去坐標不符或構(gòu)不成三角形的解。

21.(2025?安徽淮南?二模)如圖，拋物線y=—f-T2-^-cx+c(c>0).

oo

（1）若拋物線經(jīng)過點（3,—4）,求c的值；

（2）若該拋物線與T軸交于點A,B（點A在點B的左側(cè)）,與y軸交于點C.

①若以點48,。為頂點的三角形是等腰三角形，求c的值；

②當c=3時，若點（Tx+i./i+i）是該拋物線位于比軸上方的一點，且g=1—2力,求％的最大值.

22.（2025?湖南郴州?模擬預(yù)測）如圖，拋物線夕=—d+尻+c與t軸交于/，口兩點，與y軸交于點C（0,3）,

對稱軸為直線2=1.點加是拋物線上的一個動點，設(shè)它的橫坐標為?。?＜?。?）.過點用作的V，

c軸，與交于點N,連接CM,BM.

（2）求線段AW的最大值；

（3）是否存在以CN為腰的等腰三角形CMN?若存在，求出山的值;若不存在,請說明理由.

【題型六】利用二次函數(shù)求特殊四邊形的問題

23.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bc+c與力軸交于A（—1,0），

8（3,0）兩點，與0軸交于點0（0,-3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點歹為拋物線上一點，點E為直線沙=比上一點，當以4,8,E,尸為頂點的四邊形是以為邊的

平行四邊形時，求點尸的坐標.

1.設(shè)點坐標：設(shè)二次函數(shù)上點為（。,ad+故+c）,結(jié)合特殊四邊形（平行四邊形、矩形等）性質(zhì)。

2.轉(zhuǎn)幾何條件:平行四邊形:對邊平行（斜率相等）且相等（距離公式）；

矩形:鄰邊垂直（斜率積-1）+對邊相等；

菱形:四邊相等或?qū)蔷€垂直。

3.聯(lián)立方程：按條件列方程求解，用判別式驗根,分類討論頂點順序。

4.驗圖形存在性:舍去坐標不符或四邊形退化的解。

24.（24—25九年級上?廣東湛江?階段練習）如圖，二次函數(shù)y=d+辰+。的圖象交工軸于點4（—3,0）,8

（2）若點P在線段AO上運動（點P與點/、點O不重合），求四邊形面積的最大值,并求出此時

點N的坐標.

（3）點D為拋物線的頂點，點、E是g軸上的一個動點，點尸是坐標平面內(nèi)一個動點,是否存在點E、F,使

以4、0、E、斤為頂點的四邊形是菱形？若存在,請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標，若不存在,請

說明理由.

25.(2025?陜西西安?二模)已知拋物線L1y=x2+bx+c^.x軸于點A(-3,0),交y軸于點C(0,-6),連接

AC,將拋物線L］平移后得到拋物線〃，且點入對應(yīng)點及

(1)求拋物線心的表達式.

(2)在y軸上是否存在一點河，使得以點4為頂點的四邊形為矩形？若存在，求點河，E的坐

標;若不存在,請說明理由.

顏

26.(2025?湖南長沙?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)“=^-x2+bx+c的圖象與re軸交于

點A,B(4,0)兩點，與“軸交于點C(0,-2).點雙在線段BC上，動點D在直線8C下方的二次函數(shù)圖

象上.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵求相⑺面積的最大值；

(3)若點N是平面直角坐標系中的一點，以C,D,M,N為頂點的四邊形是正方形，求點N的坐標.

【題型七】利用二次函數(shù)求相似三角形的問題

27.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標系中，拋物線y=-yx2+就+c與比軸相交于點A,B,

與9軸相交于點。，直線0=c+4經(jīng)過A,C兩點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）動點M■在直線4=宓+4上，且ZVIBC與△COM相似，求點的坐標.

巧

1.設(shè)點坐標:設(shè)二次函數(shù)上點為3,ax2+bx+c）,確定相似三角形對應(yīng)頂點。

2.列比例式:利用相似比（如對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等）,結(jié)合距離公式或斜率表示邊長/角度，建立

方程。

3.分類討論：按對應(yīng)頂點不同分情況,化簡得二次方程，用判別式驗根。

4.驗相似性:代入坐標驗證對應(yīng)角相等且比例一致,舍去圖形矛盾的解。

28.（2025?湖南湘潭?模擬預(yù)測）如圖1,直線V=—①―3與］、g軸分別相交于4B兩點，拋物線y=a/—

+c的圖象經(jīng)過點8,與①軸交于D、E兩點（點D在點E左側(cè)）,且頂點C（l,m）也在直線AB1.,P為拋

物線上第四象限內(nèi)一動點且不與點C重合.

⑵如圖2,連接BD、8E,直線OP與跳;相交于點F,若以E、O、斤為頂點的三角形與4ABD相似,請

求出點F的坐標；

（3）如圖3,點Q也為拋物線一動點,連接PQ交拋物線對稱軸于點M.若CP，CQ,點河是否是一定

點？若是，請直接寫出點河坐標;若不是，請說明理由.

29.(2025?陜西商洛?一模)如圖，已知拋物線L-.y=ax2-2x+c^x軸交于點71(-3,0)和點與y軸交于

點。(0,3).

(1)求拋物線乙的函數(shù)表達式；

(2)拋物線L關(guān)于夕軸對稱得到拋物線，，點4的對應(yīng)點為A',P為拋物線L'上一點且在x軸上方,過點

P作尸。立軸于點。，連接PA,BC.當APDA'和△BOC相似時,求符合條件的點P的坐標.

30.(2025?陜西西安?三模)如圖，已知拋物線夕="+就+。的圖象與比軸交于A和3(—3,0)兩點，與沙軸交

于0(0,—3)，直線y=x+m經(jīng)過點且與y軸交于點。，與拋物線交于點E,與對稱軸交于點F.

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點P,使得以。、E、P為頂點的三角形與△BOD相似，若存在，求出點P的坐標;

若不存在,試說明理由.

二次期數(shù)中求線段，線段和，面積等最值問題

目錄

解密中考.....................................................................................1

題型特訓(xùn)提分................................................................................2

【題型一】利用二次函數(shù)求畿段最值的問題..................................................2

【題型二】利用二次函數(shù)求賽段和/差最值的問題...........................................11

【題型三】利用二次函數(shù)求面積最值的問題.................................................21

【題型四】利用二次函數(shù)求角度的問題......................................................31

W型五】利用二次的數(shù)求精珠三角形的問題...............................................44

【題型六】利用二次函數(shù)求特殊四邊形的問題...............................................49

【題型七】利用二次函數(shù)求相似三角形的問題...............................................57

解密中考

考情分析:二次函數(shù)和幾何圖形綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考

生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看，二次函數(shù)占比約15%-20%，高頻考解析式、圖像性質(zhì)、最值；幾何圖形占比25%-30%,三

角形全等/相似、圓性質(zhì)、坐標系幾何?？?壓軸題多綜合考查。

2.從題型角度看，二次函數(shù)多為應(yīng)用題、圖像分析題、與幾何結(jié)合的綜合題;幾何圖形以證明題、計算題、動

點探究題為主，常與函數(shù)、方程結(jié)合命題。

備考策略:在中考數(shù)學備考中，牢記公式定理,多練函數(shù)與幾何綜合題，掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論思想;針對動

點、存在性問題專項突破,分析真題總結(jié)解題模型,強化計算與邏輯推理能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】利用二次函數(shù)求線段最值的問題

1.（2025?云南楚雄?一模）如圖，已知拋物線Z/：g="+館力與直線l:y=—x+b相交于點4（2,0）和點B.

（1）求7n和b的值.

（2）若直線力=。與線段A8交于點F,與拋物線交于點。求P,。兩點間距離的最大值.

【答案】⑴7n=—2,b=2

⑵號

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問題（二次函數(shù)綜合）

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、線段最值問題，解題的關(guān)鍵是掌握

以上知識點.

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）求出點P的坐標為（Q,2-Q）和點Q的坐標為（Q,Q2-2Q）,再得到PQ關(guān)于。的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解導(dǎo)點A的坐標代入拋物線表達式得：0=4+2m,

解得：m=—2,

將點A的坐標代入直線表達式得：0=—2+b,

解得b=2;

⑵解：由⑴得，直線和拋物線的表達式為：y=-x-\-2,y=x2—2x,

由題意得：點P的坐標為（Q,2—Q）和點Q的坐標為（Q,Q2—2Q）,

PQ—2-d-（Q2_2d）-—o?+Q+2-—（a—）'+

V-l<0,

?,?當a=]■時，PQ的最大值為.

1.設(shè)變量:設(shè)動點坐標為自變量（如力），目標線段端點用含力的式子表示。

2.建模型:用距離公式或幾何關(guān)系寫出線段長度的二次函數(shù)表達式（如g=a爐+近+c）。

3.求最值:通過配方法或頂點公式（-g,4力―人）求極值，注意自變量取值范圍（如線段端點限制）。

2a4a

4.驗實際:結(jié)合幾何意義驗證最值是否符合題意,避免舍入誤差。

2.（2025?江蘇鹽城?一模）在平面直角坐標系中，拋物線2s；—3與立軸交于點A和點與“軸交于：

點C,頂點為D

(1)請直接寫出4、8、。三點坐標.

(2)如圖1,點河是第四象限內(nèi)拋物線上的一點,過點河作c軸的垂線,交直線BC于點N,求線段MN長

度的最大值；

⑶如圖2,若點P在拋物線上且滿足ZPCB=/CBD,求點P的坐標.

【答案】(1)點人的坐標為(一1,0),點B的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,-4);

【知識點】線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、角度問題(二次函數(shù)綜合)、9=a"+帥+c的圖象與性質(zhì)

【分析】(1)由拋物線g=/一22—3,分別令9=0,c=0,則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標,根據(jù)頂點坐

標可確定點。的坐標；

(2)設(shè)ME_Lc軸于點E,設(shè)_2小-3),確定直線的解析式為？/=/一3,得到N(m,館一3),繼而

得至1MN=(m—3)—(m2—2m—3)(m-)+：，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；

(3)確定直線BD的解析式為"=22一6,然后分兩種情況進行討論即可.

【詳解】(1)解：點力的坐標為(-1,0),點B的坐標為(3,0)，點。的坐標為(1,一4);理由如下：

1/在平面直角坐標系中，拋物線y=22—2a;—3與re軸交于點A和點B,與沙軸交于點C,

當夕=0時，得療一22—3=0,

解得：x=—1或2=3,

當①=0時，得y=—3,

.-.A(-l,0),B(3,0),C(0,-3),

1?拋物線夕="—2a；—3=(①一I)?—4,

A0(1,-4),

.?.點A的坐標為(一1,0),點B的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,—4);

⑵解：設(shè)A/E_Lcc軸于點E,設(shè)河3),如圖1,

設(shè)直線的解析式為y=kBCx+gc，將點、B,點。的坐標代入得:

（3kBC-\-bBC=Q

也c=-3'

^BC~

解得:1

bpc=—3'

?,?直線BC的解析式為。=力一3,

???過點加作T軸的垂線,交直線BC于點、N,

3）,

3129

MN=(m—3)—(m2—2m—3)=—m2+3m=—加一了）+了，

V-l<0,

/.當小=~1時，線段7WN的長度取得最大值,此時最大值為

（3）解:設(shè)直線的解析式為“=kBDx+bBD，將點B,點。的坐標代入得:

f3七0+bpD—0

\^BD^BD=-4，

km=2

解得:

%。二一6，

?,?直線BD的解析式為y=2x-6,

①如圖2,

圖2???APCB=ZCBD,

??.PC//BD,

設(shè)直線PC的解析式為g=21+如0,將點C的坐標代入得：bpc=-3,

???直線的解析式為g=2/一3,

y=2x—3

聯(lián)立

y=x2—2x—3’

解得：f=°q或FU，

叱-35=5

此時點P的坐標為(4,5);

②如圖3,設(shè)CP交BD于點G,作射線OG交BC于點F,

圖3,：NPCB=4CBD,

:.GC=GB,

?.?B(3,0),C(0,-3),

OC—OB—3,

OG垂直平分BO,

.?.點F是BC的中點，

.?.點F的坐標是(電工與3),即居,一年)，

設(shè)直線OG的解析式為y=k。/,過點F(1~,—,

直線OG的解析式為？/=一工,

,/直線OG:y——X與直線BD:g=26一6交于點G,

[n=-R

聯(lián)立

ly=2x—6

fx=2

解得:L=—2

???G(2,—2),

設(shè)直線CG的解析式為y=kCGx+bcG,將點、。，點G的坐標代入得:

Jb°G=-3

[2fcCG+bCG=-2'

k°G=g

解得:

bcG=-3

二直線CG的解析式為y=一3,

y^^x-3

聯(lián)立

y=^—2x—3'

力=0

解得:y"

I'

此時點P的坐標為

綜上所述，點P的坐標為(4,5)或,—1).

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析

式，平行線的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，等角對等邊，中點坐標，垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識點.

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標的方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?安徽淮北?一模)如圖，拋物線夕=a"+牧+c與①軸交于A,B兩點，與沙軸交于點。，點A的坐

標為(1,0),直線BC的解析式為y^-x+3.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點M是拋物線上位于直線下方的一個動點，過點M作MN±x軸交于點N,計算線段MN

的最大值；

(3)若點P是拋物線上一動點,則是否存在點P,使/弘6=/4。8.若不存在,請說明理由；若存在，請

求出點P的坐標.

【答案】(1)9=爐-4rc+3;

(2)A4N的最大值為年；

⑶點P的坐標為居，一,)或怎()，

【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問

題(二次函數(shù)綜合)

【分析】(1)先求得。(0,3),B(3,0),設(shè)拋物線的解析式為v=a(x—1)(/—3),利用用待定系數(shù)法求解即可；

⑵設(shè)M(m,m2-4m+3),N(m,-m+3),用m表示出兒GV,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

⑶連接AC,作AH，于點H,求得AABH是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)再求得tan/ACB=需

=叵1—J，設(shè)口小療―4九+3),作PK_L/軸于點K,由題意得到n—1=2|"-4九+3|,再分別求解即可.

2V22

【詳解】(1)解：對于直線g=—力+3,

令力=0,則g=3,令g=0,則6=3,

???0(0,3),8(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為g=aQ-l)(/-3),

將0(0,3)代入得3=a(0-l)(0-3),

解得Q=1,

/.拋物線的解析式為y=(力一1)(力-3)=〃—4/+3;

(2)解：設(shè)Al(m,m?—4/71+3),N(m,—m+3)，其中0V?nV3,

MN——m+3—(m2—4m+3)——w?+3m

_(3f9

=-g一5)+-,

........……_____—0

v-l<0,

.?.當小=暫時，AW有最大值，最大值為半

（3）解:連接AC,作4F/，BC于點女，

VC（O,3）,B（3,O）,

:.OB—OC—3,

4OBC=45°,AB=3-1=2,BC=V32+32=372,

/.△ABH是等腰直角三角形,

AH=BH=AB-sin45°=V2,

：.CH=BC-BH=20

???tan/月但器=會1

2

設(shè)「⑺,"一4九+3），作PK.L力軸于點K,

/.AK—n—1,PK—|n2—4n+3|,

???/PAB=/ACB,

PKi

???tanZR4K=笠二!，

??.AK=2PK,

n—1=2|n2—4n+3|,

當ri—1=2（n2—4n+3）時，

整理得2"—9n+7=0,

解得n=1（舍去）或,

.?.點P的坐標為（「號）;

當n—1=—2（n2—4n+3）時，

整理得24—7n+5=0,

解得n=1（舍去）或九二~|~,

.?.點p的坐標為（MT）；

綜上，點的坐標為（卷,一/）或（-^,年）?

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識,

解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

4.（2025?甘肅隴南?模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=-x2+近+3與t軸交于點4（—1,0）和點3,與4軸交于點

C,拋物線的頂點為點P,對稱軸與力軸交于點Q.

y)

(1)求拋物線的表達式，并直接寫出拋物線的對稱軸及點c關(guān)于對稱軸的對稱點。的坐標；

⑵點河是線段人。上的一個點，過點河作T軸的垂線,與拋物線交于點N.

①若點河在對稱軸上，判斷此時點河是否為線段PQ的中點，并說明理由；

②當線段MN最長時，求點雙的坐標.

【答案】(l)y=—d+22+3,直線2=1,(2,3),

(2)①點Af是線段PQ的中點，理由見解析;@(4-,y)

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、y=a±2++c的最值、坐標與圖

形變化---軸對稱

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用.

⑴將點A(—1,0)代入g=—〃+b力+3中，求出b的值,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定對稱軸和對稱點即可；

⑵①設(shè)直線47的表達式為g=+從而求出M的坐標為(1,2),根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點P的坐

標為(1,4),進而判斷即可；

②將7WN的長度表示出來，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

【詳解】⑴解:將點A(—l,0)代入失=—d+版+3得,0=—1—6+3,

解得b—2,

y=—x2+21+3,

拋物線的對稱軸為直線7=---------=1,

2x(-1)

當2=0時，夕=3,即(7(0,3),

?,?點。關(guān)于對稱軸的對稱點Cf的坐標為(2,3);

(2)解:①點河是線段PQ的中點，理由如下：

設(shè)直線ACr的表達式為y=kx-\-m,

將4T,0)0(2,3)代入得仁惠二

解得產(chǎn)

直線的表達式為9=C+：!,

當t=1時，y=2,

此時點M■的坐標為(1,2),

當必=1時，？/=-12+2+3=4,即點P的坐標為(1,4),Q(l,0),

.?.點M為線段PQ的中點；

②設(shè)M(t,i+1),—則N(力,一i2+2t+3),

???MN=-i?+1+2=-(t-y)2+J,

V-l<0,

_______0

當力=十時，AW最長，

將代入n=c+1,得沙="!■，即“（L）,

當線段AW最長時，點Af的坐標為（上等）

5.（2025?四川綿陽?一模）如圖，直線y=—力+3與多軸交于點4與0軸交于點8,拋物線y=aa?+2c+c

經(jīng)過點4B,與re軸的另一個交點為點。，連接BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖①，河是拋物線的對稱軸上一點，連接AM,8河，

若AAMB=2ZACB，求點M的坐標；

（3）如圖②，P是直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ〃8C,交4B于點Q,求線段PQ的最大值

及此時點尸的坐標.

【答案】（1）拋物線的解析式為9=—d+22；+3

⑵點M的坐標為（1,1）

（3）線段PQ的最大值為，點P的坐標為（2,~~）

Iov247

【知識點】線段周長問題（二次函數(shù)綜合）、角度問題（二次函數(shù)綜合）、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三

角形的相關(guān)計算

【分析】（1）先求出AB兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可；

⑵如圖，以M■為圓心，AM為半徑作圓，當B點過?！吧蠒r，則4AMB=2ZACB,

得到AM=MB,求出拋物線的對稱軸為2=1,設(shè)MQ,m）,建立方程求解即可；

（3）先求出點。的坐標，證明△408是等腰直角三角形，延長PQ交沙軸于點F,過點P作沙軸的平行線交

于點H,過點。作QG，于點G,解直角三角形求出PQ=乎,當求最大值時，則PQ取得最

大值，求出直線AB的解析式為y=—x+3,設(shè)P（n,—痔+2九+3）,則H（n,—TI+3）,求出PH=—[n—~+

（■，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）解:將力=0代入g=—力+3,則y=3,

令y——X+3=0,解得：力=3,

.-.A（3,0）,B（0,3）,

把4、B的坐標代入g=ax2+2力+c得：

t9a+2x3+c=0'解得：fc=3'

拋物線的解析式為：y=—x2+2rr+3;

(2)解:如圖，以M為圓心，為半徑作圓,

???AC兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即拋物線對稱軸垂直平分4C,

:,MA=MC,

當石點過。M上時，則AAMB=2Z.ACB,

拋物線的對稱軸為力=----------=1,4(3,0),8(0,3),

2x(—1)

設(shè)M(1,7)2),

/.(1—3)2+m2=12+(772—3)2,

解得:俏=1,

???點河的坐標為(1,1);

(3)解:令g=-x2+2力+3=0,則—X2+2%+3=0,

解得：力1=—1,%2=3,

C(—1,0),

???OC=1,

vA(3,0),B(0,3),

:.OB=OA=3,

???AAOB是等腰直角三角形，即AABO=45°,

延長PQ交g軸于點F,過點P作沙軸的平行線交AB于點過點Q作QGLPH于點G,

??,PQ"BC,PH〃y軸,

：.AQPH=ABFP,ABFP=AFBC,ZPHQ=AABO=45°,

???(QPH=Z.FBC,是等腰直角三角形，

__________—加

tan/QPH=等=tanZFBC=條=J,QG=HG,

JCrCJJDO

PG=3QG=3HG,

：.PH=PG+HG=4HG,

：.PQ=VQG2+PG2^VlOQG^VlOHG,

：.PQ=^~PH,

當PH求最大值時，則PQ取得最大值，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3,

將？1(3,0)代入g=k/+3,則3k+3=0,解得:k=-1,

?,?直線AB的解析式為。=一力+3,

設(shè)P(n,—療+2n+3),則H(n,—n+3),

/.PH=—ri2+2n+3—(—n+3)=—n2+3n=—(n—-|-)+-|-,

V-l<0,

當"="1時，PH有最大值.，

此時,PQ=^x乎號+2x-+3=號，

線段PQ的最大值為9/^^，點P的坐標為)?

【點睛】主要考查了用待定系數(shù)法二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，