北師大新版九年級下冊《第3章圓》2單元測試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，N8是。。的直徑，EF、￡8是。。的弦，且EF=EB,EF與AB交于點、

O,連接OR若42。尸=40。，貝吐F的度數(shù)是（）

A.35°

B.20°

C.40°

D.55°

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點（一3,4）為圓心，4為半徑的圓（）

A.與x軸相交，與y軸相切B.與x軸相離，與y軸相交

C.與x軸相切，與y軸相交D.與x軸相切，與y軸相離

3.如圖，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，。。的半徑為6,N2BC=120。，則劣

弧NC的長為（）

A.27r

B.47r

C.57r

D.6TT

4.如圖，45是。。的直徑，弦于點E,OC=5cm,CD=8cm,則

AE=cm.()

A.8

B.5

C.3

D.2

5.如圖，45是。。的弦，4C是。。的切線，4為切點，5C經(jīng)過圓心.若

△8=25°,則NC的大小等于（）

A.20°

B.25°

C.40°

D.50°

6.如圖，已知尸是。。外一點，。是。。上的動點，線段的中點為連接OP,OM,若。。的半徑

為2,OP=4,則線段（W的最小值是（）

C.2D.3

7.如圖，。。的外切正六邊形/8CDEF的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為

A.A/3-J

B.V3-f

C.2VM

D.2V3-f

8.如圖，N是半徑為2的。。外的一點，。4=4,切。。于點8,

弦BC〃O4連接/C,則圖中陰影部分的面積等于（）

,2

A?鏟

C.TT

D.，+4

9.如圖，王大伯家屋后有一塊長12加，寬8加的矩形空地，他在以長邊為直徑的半圓

內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時拴4處的一棵樹上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長可以

選用（）

A.3m

B.5m

C.7m

D.9m

10.如圖所示，某賓館大廳要鋪圓環(huán)形的地毯，工人師傅只測量了與小圓相切的大圓的弦

N8的長，就計算出了圓環(huán)的面積，若測量得月8的長為20米，則圓環(huán)的面積為（）

A.10平方米B.10兀平方米C.100平方米D.100兀平方米

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

11.邊長為4的正三角形的內(nèi)切圓半徑為

12.△ABC的三邊長分別為6,8,10,則此三角形的內(nèi)心與外心的距離為.

13.如圖，以原點。為圓心的圓交x軸于N,2兩點，交y軸的正半軸于點C,D

為第一象限內(nèi)。。上的一點，若ND4B=30。，則NOCD=.

14.如圖，。。是四邊形/BCD的內(nèi)切圓，E、F、G、”是切點，點尸是

優(yōu)弧能?上異于￡、〃的點.若立力=50°,則NEP”=.

E

B

15.如圖，正六邊形N8COEF內(nèi)接于O0,邊長4B=3,則扇形N08的面積為

16.如圖，A,B,C,。是。。上的四點，且點8是標(biāo)的中點，AD交。。于點E,

AOED=60°,AOCD=35°,那么乙40C的度數(shù)是.

17.如圖，將一塊含30。角的直角三角板和半圓量角器按如圖的方式擺放，使斜邊與半圓相切.若半徑

。2=2,則圖中陰影部分的面積為.(結(jié)果保留兀)

18.如圖，菱形/BCD,ZB=60°,AB=4,。。內(nèi)切于菱形N8CD,則

。。的半徑為一

三、解答題：本題共4小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題10分)

己知：三角形48c內(nèi)接于。0,過點/作直線EE

(1)如圖(1),為直徑，要使得跖是O。的切線，只需保證NC4E=N,并證明之;

(2)如圖(2),為。。非直徑的弦，(1)中你所添出的條件仍成立的話，斯還是O。的切線嗎？若是，寫

出證明過程；若不是，請說明理由并與同學(xué)交流.

20.（本小題12分）

中華民族的科學(xué)文化歷史悠久、燦爛輝煌，我們的祖先幾千年前就能在生產(chǎn)實踐中運用數(shù)學(xué),1300多年

前，我國隋代建筑的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形（如圖）.經(jīng)測量，橋拱下的水面距拱頂6加時，水面寬

34.64m,已知橋拱跨度是37.4m,運用你所學(xué)的知識計算出趙州橋的大致拱高.（運算時取37.4=14々,

34.64=20?

21.（本小題12分）

如圖，在圓。中，弦2B=8,點C在圓。上（C與/,3不重合），連接C4、CB,過點。分別作。D14C,

OE1BC,垂足分別是點。、E.

（1）求線段DE的長；

（2）點。到N8的距離為3,求圓。的半徑.

C

22.（本小題12分）

如圖，等腰三角形/3C內(nèi)接于O。，CA=CB,過點工作2E〃BC,交。。于點E,過點C作。。的切線

交/E的延長線于點。，已知力B=6,BE=3網(wǎng).

（1）求證：四邊形/BCD為平行四邊形.

（2）求。。的直徑長度.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：如圖，連接8尸，0E.

vEF=EB,0E=OE,OF=OB,

??.△OEF會△OEB(SSS),

???Z,OFE=乙OBE,

??,OE=OB=OF,

??.Z.OEF=/LOFE=乙OEB=乙OBE,Z.OFB=(OBF,

-Z.ABF=^AAOF=20°,

???乙OFB=^OBE=20°,

vZ-OFB+Z.OBF+Z,OFE+(OBE+乙BEF=180°,

???4zEFO+40°=180°,

.-.ZOFF=35°,

解法二：???44。F=40°,

/.140°,

/.zFEB=|zBOF=70°,

??,EF=EB,

???Z.EFB=乙EBF=55°,

??,OF=OB,

：.Z.OFB=Z.OBF=20°f

???NF=乙EFB-乙OFB=55°-20°=35。.故選:

如圖，連接2ROF.ilE^AOEF^AOEBQSSS),推出4OFE=NOBE,由。E=OB=OF,推出

乙OEF=4OFE=/.OEB=乙OBE,乙OFB=AOBF,由NABF=jzXOF=20°,推出N0F8=乙OBE=20°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求出Z-EFO即可.

本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

2.【答案】C

【解析】解：圓心到X軸的距離是4,到y(tǒng)軸的距離是3,

4=4,3<4,

???圓與X軸相切，與y軸相交，

故選C.

首先畫出圖形，根據(jù)點的坐標(biāo)得到圓心到X軸的距離是4,到丫軸的距離是3,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系

即可求出答案.

本題主要考查對直線與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用直線與圓的

位置關(guān)系定理進(jìn)行說理是解此題的關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】解：如圖，連接OC,OA.

vzB+z￡)=120°,48=120°,

ZD=60°,

：.^AOC=2AD=120°,

??-AC的長1/=—120—,7T—,6=.

loU4TT,

故選：B.

如圖，連接OC,。4利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出ND,再利用圓周角定理求出N40C,利用弧長公式求解

即可.

本題考查弧長公式，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式/=黑.

4.【答案】A

【解析】解：???ABICD,是直徑,

??.CE=ED=4cm,

在Rt△OEC中，OE=xjOC2-EC2=收-42=3(cm),

AE=OA+OE=5+3=8(cm),

故選：A.

根據(jù)垂徑定理推出EC=ED=4,再利用勾股定理求出OE即可解決問題.

本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

5.【答案】C

???4C是的切線,

N。4c=90°,

???OA=OB,

NB=N。4B=25°,

.-.^AOC=50°,

NC=40°.故選：c.

連接。4根據(jù)切線的性質(zhì)，即可求得NC的度數(shù).

本題考查了圓的切線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，已知切線時常用的輔助線是連接圓心與切點.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距

離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

取。尸的中點N,連結(jié)ACV,OQ,如圖可判斷肱V為APOQ的中位線，則MN=9Q=1,則點M在以N

為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)點M在ON上時，最小，最小值為1.

【解答】

解：設(shè)0P與。。交于點N,連結(jié)〃N,OQ,如圖，

o

■.■OP=4,ON=2,

.?.N是。P的中點，

???M為尸。的中點，

為APOQ的中位線，

MN=^OQ=^X2=1,

.?.點M在以N為圓心，1為半徑的圓上，

當(dāng)點〃■在ON上，。與N之間時，0M最小，最小值為1,

???線段的最小值為1.

故選B.

7.【答案】A

ED

［解析］解：「六邊形ABCDEF是正六邊形，/一《

????,r\

；.△。48是等邊三角形，04=0B=48=2,\,f/'\/

設(shè)點G為N5與。。的切點，連接。G,則0G14B,飛ALi/

AGB

OG=OA-sin60°=2X字=8，

1B60X7TX(4)2后兀4小4,

S陰影=SA04B-S扇形0MN=2X2x.3----------260=*一《?故選A

由于六邊形4BCDE尸是正六邊形，所以乙4。8=60。，故△04B是等邊三角形，04=0B=4B=2,設(shè)點

G為與。。的切點，連接OG,則。G14B,0G=OA-sin60°,再根據(jù)S陰影=SAOAB—S扇形.MN，進(jìn)而

可得出結(jié)論.

本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出△。/1B是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.

8.【答案】A

【解析】解：延長C8,做4D1CB,交于一點。，

???△OCB與AACB同底等高面積相等，

???圖中陰影部分的面積等于扇形OCB的面積，

???4是半徑為2的。。外的一點，。4=4,48切。。于點2

?-?BOLAB,

???乙OAB=30°,

Z.AOB=60°,

???弦BC//OA,

???4。8。=60°,

??.△OBC是等邊三角形，

圖中陰影部分的面積等于扇形OCB的面積為：60個『二|：

3oUD

故選：A.

根據(jù)三角形面積求法，得出AOCB與A4CB同底等高面積相等，再利用切線的性質(zhì)得出NCOB=60。，利

用扇形面積求出即可.

此題主要考查了切線的性質(zhì)以及三角形面積求法和扇形的面積公式等知識，根據(jù)已知得出△OCB與AACB

面積相等以及NCOB=60。是解決問題的關(guān)鍵.

9.【答案】A

【解析】解：連接04交半圓。于E點，

在RtAOZB中，OB=6cm,AB=8cm,

所以。A=yjOB2+AB2=10cm；

又OE=OB=6cm,

所以AE=OA—OE=4cm.

因此選用的繩子應(yīng)該不大于4m,

故選：A.

為了不讓羊吃到菜，必須小于等于點/到圓的最小距離.要確定最小距離，連接。4交半圓于點￡,即NE

是最短距離.在直角三角形/。8中，因為。B=6,AB=8,所以根據(jù)勾股定理得04=10.那么/￡的長即

可解答.

此題考查了勾股定理的應(yīng)用，確定點到半圓的最短距離是難點.熟練運用勾股定理.

10.【答案】D

【解析】解：過。作。C1AB于C,連CM,如圖，

：.AC=BC,而ZB=20,（（，￡））

■■AC=10,

?；4B與小圓相切，

???OC為小圓的半徑，

??.圓環(huán)的面積=7T?OA2—71-OC2

=<OA2-OC2）=TI-AC2=loo兀（平方米）.

故選：D.

過。作OC1AB于C,連。4,根據(jù)垂徑定理得到4C=BC=10,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到48為小圓的切

線，于是有圓環(huán)的面積=兀?042—兀.℃2=兀（0人2—℃2）=兀.即可圓環(huán)的面積.

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.也考查了切線的性質(zhì)定理以及勾股

定理.

11.【答案】手

【解析】解:如圖,

設(shè)O為等邊△4BC的內(nèi)心（也是等邊△ABC的外心），連接04OC,OB,設(shè)/。交于D,

則1D1BC,BD=DC,

即。。是AABC內(nèi)切圓的半徑，

BC=4,

BD=DC=2,

??,。為等邊△ABC內(nèi)切圓的圓心，

...^OBD=^ABC=IX60°=30°,

在RtAOBD中，OD^BD-tan30°=2x^-=

33

正三角形的內(nèi)切圓半徑是竽，

故答案為：竽.

根據(jù)O為等邊AABC的內(nèi)心（也是等邊A4B的外心），連接。4、OC、OB,設(shè)/O交8C于。，貝U

AD1BC,BD=DC,即。。是△ABC內(nèi)切圓的半徑，求出BD=DC=2,然后根據(jù)含30度角的直角三角

形性質(zhì)即可解決問題.

本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等

知識，掌握正三角形內(nèi)心概念是解題關(guān)鍵.

12.【答案】V5

【解析】解：如圖，圓。是△力8C的內(nèi)切圓，切點分別為。，E,N,M為N8的中

點，

-AC=6,BC=8,AB=10,

AC2+BC2=AB2,

/.ZC=9O°,

???點M是的外心，

設(shè)ABC的內(nèi)切圓的半徑為八則。。=?！?=廠，

vzC=90o,

??.CE=CD=r,AE=AN=6—r,BD=BN=8—r,

8—r+6—r=10,

解得r=2,

■.AN=4,

在RtAOMN中，MN=AM—AN=1,

OM-y/22+l2=,

???直角三角形的外心是斜邊的中點，

此三角形的內(nèi)心與外心的距離為在.

故答案為：V5.

由三角形三邊關(guān)系確定它是直角三角形，根據(jù)直角三角形的特殊性，外心是斜邊的中點，進(jìn)而根據(jù)勾股定

理即可解決問題.

此題考查了三角形的外心與內(nèi)心概念，及內(nèi)切圓的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心和外心的定義.

13.【答案】75。

【解析】解：連接OQ,

??.乙DAB=30°,

ABOD=2乙DAB=60°,\、

JT\OjBx

：./.COD=90°-/.BOD=30°,\J

■：OC=OD,

180°一乙COD

"CD="DC=--------------------=75°.故答案為：75。.

首先連接。。，由圓周角定理可求得N8。。的度數(shù)，NCO。的度數(shù)，然后由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案.

此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

14.【答案】650

【解析】解：如圖，連接OE,OH,憶幺、P

???。。是四邊形/BCD的內(nèi)切圓，E、F、G、〃是切點，

.?.NOEA=NO/M=90°,]/

又NA=50°,

；.KEOH=360°-^OEA-乙OHA-ZX=360°-90°-90°一50°=

130°,

又NEPH和NEOH分別是麗所對的圓周角和圓心角，

11

；-LEPH=-AEOH=]X130°=65。.故答案為：65。

連接?！?OH,由已知的。。是四邊形/BCD的內(nèi)切圓，E、F、G、”是切點，根據(jù)切線的性質(zhì)得到

Z.OEA=/-OHA=90°,再

由已知的N4的度數(shù)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360度，求出NE?！钡亩葦?shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓周角等于

它所對圓心角度數(shù)的一半即可求出NEPH的度數(shù).

此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形的內(nèi)角和定理，在做有關(guān)圓的切線問題時，我們常常需要連

接圓心和切點，利用切線的性質(zhì)得到直角來解決問題.

15.【答案】:

【解析】解：，??正六邊形4BCOE廠內(nèi)接于。。，

???Z.AOB=60°,

OA—OB,

.??△40B是等邊三角形,

OA=OB=AB=3,

?,?扇形AOB的面積=‘°?氏—=筍，

DOUN

故答案為：

根據(jù)已知條件得到NAOB=60。，推出AAOB是等邊三角形，得到。2=。8=23=2,根據(jù)扇形的面積公

式即可得到結(jié)論.

本題考查了正多邊形與圓及扇形的面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式.

16.【答案】100°

■■■AOED=60°,4。。。=35°,

:.乙D=Z.OED-Z.OCD=25°,

ZBOC=2ZO=50°,

點2是蔡的中點，

???AB=BC,

.-./.AOB=NBOC=50°,

ZXOC=4AOB+NBOC=100°,

故答案為：100°.

連接08,先利用三角形的外角性質(zhì)求出ND=25。，然后利用圓周角定理可得NBOC=50。，再根據(jù)已知可

得筋=前，從而可得乙4OB=NBOC=50。，最后進(jìn)行計算即可解答.

本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

17.【答案】萼+孚

JZ

【解析】解：,?,斜邊與半圓相切，點B是切點，

??.NEBO=90°.又..2=30。,

.-.A.BOD=120°,AAOB=60°,

0A=OB=2,

OC=^OB=1,BC=8

1207TX22147rA/3鯉史

陰影扇形+—x1x平=-2-+/-.故答案是:

S=SB0。+S4B0C=-360-3十^

圖中陰影部分的面積=扇形50D的面積+4BOC的面積，即可求解.

本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算.此題利用了“分割法”求得陰影部分的面積.

18.【答案】V3

【解析】【分析】

本題考查切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角

形解決問題，屬于中考常考題型.作輔助線，構(gòu)建直角AAOB,分別計算。/、的長，根據(jù)面積法可得

的長.

【解答】

解：設(shè)和8c上的切點分別為￡、F,連接。/、OE、OB、OF,貝l|0E12B,OF1BC,

OE=OF,

??.。8平分N48C,

???乙4BC=60°,

???448。=30°,

同理得484。=60。,

???4108=90°,

.-.AO=^AB=2,。8=24,

S&AOB=,OE-p40-OB,

4OE=2x2p,

OE-yf3,

故答案為：平.

19.【答案】ABC

【解析】(1)保證"4^=428。；

證明：???28為O。直徑，

N4CB=90°.^BAC+乙ABC=90°.若/或5=乙ABC.

ABAC+ACAE=90°,

即乙B2E=90。，OA1AE.

??.EF為。。的切線.

(2)EF還是。。的切線.

證明：連接并延長交O。于點。，連接CD,如圖,

^ADC="Be....an為Q0的直徑，

^DAC+NAD。=90°-ACAE=4ABe=AADC,

圖2

^-DAC+/.CAE=90°....Z_DAE=90°,

即。aIEF

所以E尸為。。的切線.

(1)要使即是。。的切線，必須NB2E=90。，即NE4C與ABAC互余.而與ABAC互余的另一個角N2C就是

我們要找的角.

(2)把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況，即(1)的情形，所以過/作直徑.證明的方法和前面一樣.

熟練掌握切線的判定定理.把證明切線的問題轉(zhuǎn)化為證明線段垂直的問題.在解決數(shù)學(xué)問題中，要學(xué)會運

用特殊情形解決一般情形.

20.【答案】解：如圖，設(shè)圓弧所在圓的圓心為。，

AB=374=14"m,CD=34.6=20眄n,GE=6m

在RtAOCE中，OE=OG-6,CE=10y/3

???OC2=CE2+0E2,AOC2=(10道)2+(0C-6)2

OC=28(m),OA=28

在RtA?！敝?，AF=7^7

*0F=^OA2-AF2=,282—(762=21(m)....拱高GF=28-21=7(m).

【解析】設(shè)圓的半徑是兀根據(jù)垂徑定理和勾股定理列方程進(jìn)行求解