北京市第一六六中學2024-2025學年上學期八年級數學期中試題

（考試時長：ioo分鐘）

考查目標

知識：八年級上冊

能力：識圖、運算、數據分析、幾何直觀、邏輯推理、數形結合、分類討論

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

1.下面圖形中，是軸對稱圖形的是（）

XX

可回收物其他垃圾廚余垃圾有害垃圾

RecydatMeResidualWasteFoodWasteHazardousWaste

①②③④

A.③④B.①②C.①③D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形.解決問題的關鍵是熟練掌握軸對稱圖形的定義，軸對稱圖形的定

義：如果一個平面圖形沿某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖

形.根據軸對稱圖形的特征及定義逐一判斷.

【詳解】③④為軸對稱圖形，①②不具備對稱性.

故選：A.

2.地處北京懷柔科學城刀“北京光源”（HEPS）是我國第一臺高能同步輻射光源，在施工時嚴格執(zhí)行“防

微振動控制”的要求，控制精度級別達到納米（nm）lnm=0000000001m.將0.000000001用科

學記數法表示應為（）

A.B.1*】09C,10x10*1°D.0k104

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數法的表示形式為aT0”的形式，其中】三忖＜1°,〃為整數.確定"的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞1時，〃是正

數；

當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

【詳解】解：0000000001=1x1O-,.

故選B.

【點睛】此題考查了科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為a-10"的形式，其中

1三同〈1。，〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

3.在生物實驗課上，老師布置了“測量雉形瓶內部底面內徑”的任務.小亮同學想到了以下這個方案：如

圖，用螺絲釘將兩根小棒功，8c的中點。固定，利用全等三角形的性質，只要測得小，。之間的距

離，就可知道內徑的長度.此方案中，判定一月05和一D0C是全等三角形的依據是（）

Cv--jD

A.W33B.S心C.ASAD.AAS

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定.根據題意確定全等三角形的判定條件是解題的關鍵.

由題意可證然后作答即可.

【詳解】解：由題意知，0B~0C,ZA0B=ZD0C,0A=0D,

.一一DOUSASl

,,，

故選：B.

3a

4.若分式。-3有意義，則n的取值范圍是（）

A.。工0B."3c.a<3D.aN3

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查分式有意義的條件，根據分式有意義條件（分式分母不為零）建立不等式求解，即可解

題.

3d

【詳解】解：：分式」-3有意義，

a-Sw0,解得aw3,

故選：B.

5.下列計算中，正確的是（）

/八'5

A.JB.c.aw-a3=a}D,a4-a

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查合并同類項，幕的乘方，同底數幕乘除法，根據法則依次判斷即可，熟練掌握各計算法

則是解題的關鍵.

【詳解】A.〉與/不是同類項，不能合并，故錯誤；

B.（/）"I故錯誤；

C.。故錯誤；

3*7

D.'。=。，故正確；

故選：D.

6.如圖，在平面直角坐標系‘2?'中，一”「為等腰三角形，45=、軸，若

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查坐標與圖形，三線合一，過點A作屈1.T軸，交于點。，求出。點坐標，根據

三線合一，得到。為良。的中點，進而求出r點坐標即可.

【詳解】解：過點A作,蚯_L、軸，交3C于點。，

c.ADlBC,

..?4C.5).a(-Ll),

??，

?.?-，”。為等腰三角形，

.-.BD=CD,

.C(2+2+1,1)即:(5,1).

故選c.

7.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則一S的大小為（）

a

A.85°B.75°c,65°D,60°

【答案】B

【解析】

【分析】先根據直角三角板的性質得出/ACD的度數，再由三角形內角和定理即可得出結論.

【詳解】解：如圖所示，

由一副三角板的性質可知：ZECD=60°,ZBCA=45°,ZD=90°,

ZACD=ZECD-ZBCA=60°-45o=15°,

Za=18O°-ZD-ZACD=180°-90°-15°=75°,

故選:B.

【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180。是解答此題的關鍵.

8.下列變形是因式分解的是()

.-T|v+l,i=T3+TX'+6X+4=(X+3)'-5

A1B.

C.T3+n--3=X|x|-3DIJ+2.V+1=(.T+1|3

【答案】D

【解析】

【分析】根據因式分解的定義：把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案.

【詳解】解：A、‘中，是整式乘法，故本選項不符合題意；

B、Y+6x+4=(x+3)-5不是把多項式轉化成幾個整式積的形式，故本選項不符合題意；

c、'+V-3='"+》)-3不是把多項式轉化成幾個整式積的形式，故本選項不符合題意；

3

Dv+2x+l=(X+1I故本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式.

9.如圖1所示，是一把木工臺鋸時使用的六角尺，它能提供常用的幾種測量角度.在圖2的六角尺示意圖

中，x的值為()

A.135B.120C.112.5D.112

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了多邊形的內角和，一元一次方程的應用等知識.先求出六邊形的內角和為再

列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解:由題意得六邊形的內角和為

.135+1+v+9：i+126+120+2A-12O1=720

??，

解得?=11二5.

故選：c

io.若把一個正方形紙片按下圖所示方法三次對折后再沿虛線剪開，則剩余部分展開后得到的圖形是（）

【答案】A

【解析】

【詳解】自己動手制作一個正方形紙片，再按題目進行操作，最后展開圖形即可.

故選：A.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

x+1

11.若分式1-3的值為0,貝。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】本題考查了分式的值為o,即分子為o,分母不為o,據此進行列式計算，即可作答.

x+1

【詳解】解：?.?分式K的值為0,

???1+1=。,x-3至0，

解得）=-1,

故答案:-1.

12.因式分解：2mJ-2wi3=.

［型安］2桁（僧+力）（加一〃）

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，得到）E2一二］再將利用平方差公式進行分解，即可

解題.

r洋版、板-w,-2wiJ=2w（m3-?j3）=2m|w+n）iw-ni

故答案為：2*g十九）（

【答案】700##70度

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的性質，先根據三角形內角和定理求出/二=70°,再根據全等三角形的性

質得出答案.掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵.

Z2=180°-50°-60°=70°,

..?兩個三角形全等，

.-.21=22=70°,

.-.Z1的度數為70。.

故答案為：70°.

14.等腰三角形的一個內角為5”，則它的頂角的度數為

【答案】80°或50°

【解析】

【分析】分50°的內角是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內角和定理求解.

【詳解】解：當50°的內角是等腰三角形的底角時，

它的頂角的度數為：180°-50°-50°=80°；

當50°的內角是等腰三角形的頂角時，

-x（180o-50°）=65°

它的底角的度數為：2,符合要求；

故答案為：80°或50°.

【點睛】本題考查等腰三角形的定義、三角形內角和定理，解題的關鍵是注意分情況討論，避免漏解.

15.如圖，利用圖①和圖②的陰影面積相等，寫出一個正確的等式_____.

圖①圖②

【答案】（。+2）（。-2）=磁-4

【解析】

【分析】根據圖形分別寫出圖①與圖②中陰影部分面積，由陰影部分面積相等得出等式.

【詳解】?.?圖①中陰影部分面積=（。+2）（。-2）,圖②中陰影部分面積=°2-4,

V圖①和圖②的陰影面積相等，

（a+2）（tz-2）=672-4,

故答案為：（a+2）（a-2）=。2-4.

【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，結合圖形得到陰影部分的面積是解題的關鍵.

16.如圖，在AABC中，點D是AB邊的中點，過點D作邊AB的垂線1,E是1上任意一點，且AC=5,

BC=8,則^AEC的周長最小值為.

【答案】13

【解析】

【分析】連接BE,依據I是AB的垂直平分線，可得AE=BE,進而得到AE+CE=BE+CE,依據

BE+CE>BC,

可知當8,E,C在同一直線上時，8E+CE的最小值等于的長，而AC長不變，故△AEC的周長最小

值等于AC+BC.

【詳解】如圖，連接2E.

:點。是48邊的中點，11AB,是A8的垂直平分線，；.AE=BE,：.AE+CE=BE+CE.

：BE+CE>BC,.?.當8,E,C在同一直線上時，8E+CE的最小值等于8C的長，而AC長不變，.SAEC的

周長最小值等于AC+BC=5+8=13.

【點睛】本題考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數情況要

作點關于某直線的對稱點.

17.如圖1,某溫室屋頂結構外框為-?必'C,其中一3=￡「=30°,立柱,4L=1m,且與橫梁Bi?垂

直.冬季將至，為了增大向陽面面積，將立柱增高并改變位置，使屋頂結構外框變?yōu)樗?（點E在

的延長線上），立柱跖上80,如圖2所示.若此時立柱EF=3m,則向陽面斜梁增加部分,45的長

度為m.

【解析】

【分析】本題主要考查30°角的直角三角形的性質，掌握30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關

鍵.

利用-3=EC=30°,由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得

BE二二EF二6m,再利用垂直平分線的性質進而得出.45二工「二4m,即可得出，函.

【詳解】解：：立柱4。=,且與橫梁BC垂直，Z5=ZC=30°

AB=AC-2AD=4m,

VZ5=3O°,

：,BE=2EF=6m,

AE=EB-AB=6-4=2m,

故答案為：2.

18.如圖①是某年某月的月歷，用如圖②所示的“凹”字型框在月歷中任意圈出5個數，設“凹”字型框

中的五個數分別為4'''⑦"S'"J

日一二三四五六

12345

，一?―，????，

678;9：10：11;12

131415；161718：19

20212223242526：^4

2728293031Qla。3

圖①圖②

(1)用含。的代數式表示:

⑵年「好=

【答案】①9一6②.74

【解析】

【分析】本題考查了列代數式，多項式乘多項式，整式的加減運算.熟練掌握列代數式，多項式乘多項

式，整式的加減運算是解題的關鍵.

(1)由題意知，4+計算求解即可；

(2)解：由題意知，4=a-1-7=a-8,%=a-l,%=a+l,貝汁

01a「a#,=m-8|(a+D-(a-l)|a-6),計算求解即可.

【詳解】⑴解：由題意知，a4=a+l-7=a-6,

故答案為：a-6；

⑵解：由題意知，4=aT-7=a-8,%=a-l,%=a+l,

.。M廠叩4=(a-8)|a+l-a-1i(a-6l=--7a-8-(J-7a+6|=-14

??，

故答案為：-14.

三、解答題(本題共54分，第19題8分，第20題5分，第21題4分，第22題5分，第

23題4分，第24題5分，第25題4分，第26題5分，第27題7分，第28題7分)解答

應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

19.計算和代數式求值

(1)計算：

⑵己知/+%-1=0,求o—的值

【答案】(1)4(2)-1

【解析】

【分析】本題考查實數的運算，代數式求值，一元二次方程的解法，理解相關知識是解答關鍵.

(1)根據負整數指數累的運算法則，零指數累的運算法則，算術平方根來進行計算求解；

(2)先將/+%-1=0變形求出%=1,再將口+")5?")-(/+%1進行化簡把

"'+%=1代入求值.

【小問1詳解】

(!)■(A2)。+百

解：

=1-1+3

2

■2-1+3

=4.

【小問2詳解】

解：.；，/+%-1=0,

n2+2n=1,

.(m+n)(m-n)-(m1+2n)

=m1-n1-mi-2rt

=-n1-2”

=-1.

20.數學課上，王老師布置如下任務：如圖，AABC中，BOAB>AC,在BC邊上取一點P,使

ZAPC=2ZABC.

A

小路的作法如下：

①作AB邊的垂直平分線，交BC于點P,交AB于點Q；

②連結AP.

請你根據小路同學的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中

蘊含的數學依據：

?/PQ是AB的垂直平分線

/.AP=,（依據：）；

ZABC=,（依據：）.

ZAPC=2ZABC.

【答案】尺規(guī)作圖見解析；BP,線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；ZBAP,等邊對等角.

【解析】

【分析】按照線段垂直平分線的作圖方法作出的垂直平分線，然后按照線段垂直平分線的性質、等腰

三角形的性質、三角形外角的性質求解即可.

【詳解】如圖，

,/PQ是AB的垂直平分線

???AP=BP,(依據：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)；

ZABC=ZBAP,(依據：等邊對等角).

ZAPC=2ZABC.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的性質，熟練掌握

各知識點是解答本題的關鍵.

(2x-3)(x,-2x+2)

【答案】皿-口

【解析】

【分析】本題考查分式加減法，解決本題的關鍵是能對原分式分母進行因式分解，并進行通分，將異分母

分式化為同分母分式，再按照同分母分式的加法計算即可.

■X(X—11

22.如圖，A,。兩點在FC所在直線同側，J_且匚垂足分別為A,DSO的交點

為E,AB-SC.求證：BE-CS.

D

'E

BC

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據垂直的定義得出一4=一0,再由全等三角形的判定和性質證明即可.

【詳解】證明：?必上月。*。,。。，垂足分別為A,D,

，乙4=90。,〃=90。

在^ASE和一DCE中，

Z-A.—/力.

-ZAfiB=乙DEC,

AB=DC,

.-.^ABE'-^DCE.

.BE=CE.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.

2i+84x-3,

-------=--------+1

23.解方程：3A-9.1-3.

【答案】x=:

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的方法和步驟，注意解分式方程需要

檢驗.

先去分母，然后去括號，在移項合并，系數化為1,驗根，即可得到答案；

2x+84x-3,

-------=--------+1

［詳解］解：3.X-9A-3

2x+8=3(4x-3)+3x-9

2x+8=12x-9+3i-9

-13A=-26,

x=2,

檢驗，當】=?時，3、-9H0,

、=?是原分式方程的解.

24.如圖，在平面直角坐標系「中，-兒?？的三個頂點的坐標分別是且1.01,

（1）在圖中作出一Sc關于1軸對稱的一4片01,其中4的坐標為；

（2）如果要使以C。為頂點的三角形與一，獨。全等（A。不重合），寫出所有符合條件的點。

坐標.

【答案】（1）圖見解析，（工-3）

（2）（°,$或（°，一1）或（2.-1）

【解析】

【分析】（1）由關于1軸對稱的點的坐標的特征先確定4、反'?三點的坐標，再描點，連線即可；

（2）根據全等三角形的判定可畫出圖形，根據圖形可直接寫出一個符合條件的點。坐標.

【小問1詳解】

如圖，一4片01即為所求；4的坐標為（2,-3）；

故答案為：（2,-3）；

如圖2,所有符合條件的點。坐標為：（°，（°，1）■*I）?

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，全等三角形的判定等，解題關鍵是牢固掌握關于坐標軸對稱的點的坐

標的特征并能靈活運用.

25.列分式方程解應用題：

截止到2020年11月23日，全國832個國家級貧困縣全部脫貧摘帽.某單位黨支部在“精準扶貧”活動

中，給結對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗.已知每棵乙種樹苗的價格比甲種樹苗的價格貴10元，用

480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數相同，求甲、乙兩種樹苗每棵的價格.

【答案】甲種樹苗每棵的價格是30元，乙種樹苗每棵的價格是40元.

【解析】

【分析】設甲種樹苗每棵的價格是尤元，則乙種樹苗每棵的價格是（'’元，根據用480元購買乙種樹

苗的棵數恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數相同列方程解答.

【詳解】解：設甲種樹苗每棵的價格是尤元，則乙種樹苗每棵的價格是門+1°,元.

480360

依題意有'+10―丫，

解得x.30.

經檢驗，i=是原方程的解，且符合題意.\+10=30+10=40.

答：甲種樹苗每棵的價格是30元，乙種樹苗每棵的價格是40元.

【點睛】此題考查分式方程的實際應用，正確理解題意確定等量關系是解題的關鍵.

26.如圖，甲長方形的兩邊長分別為，“+1,面積為S1，乙長方形的兩邊長分別為，

小+4,面積為5（其中相為正整數）.

m+4

-----------

m+\甲加+2乙

（1）4==,$=（用含機的多項式表示），1（填“<?、

“=”或“>”）；

(2)有一正方形，其周長與甲長方形周長相等，面積為S,求證：為定值.

【答案】(1)巾'+8力+7,力~+6力+8,>

(2)見解析

【解析】

【分析】本題考查了整式的加減乘除混合運算的應用，正確理解題中的數量關系是解題的關鍵.

(1)由長方形的面積可得用,'*的代數式，計算得S-S="L】，根據m的取值范圍即可判斷S1,

S：的大小

(2)計算甲長方形的周長，即可得正方形的邊長及面積，再計算即得答案.

【小問1詳解】

由長方形的面積的計算方法可得，

S-Im+7/刖+Fl=.+§川+7,

S=(制+9(帆+]=iw+6煩4-S,

S]-邑=2/w-1,

???加為正整數，

2m-l>0,

c、q

即r5；

故答案為："；：+&"+?,，/+6m+S,>.

【小問2詳解】

甲長方形的周長為(所+7+加+1)><2=4力+16,

4/77+16

“---:—=m+4A

周長為4力+16的正方形的邊長為4,

邊長為力+4的正方形的面積S=""+4/="『+力"+16,

S-S、=(也’+8w+16)—(用'+8zn+7)=9

即S-△為定值9.

27.已知等邊一-M°，點D為4?邊上一點，連接3D,在工「的右側作射線CM，使

Z4CM=ZABD^°<60°I延長BZ)交射線CMl于點后,連接花，作人/flMS于點

H.

EH

(i)如圖i,當點。為工1‘中點時，~AEH=°,的值為；

(2)如圖2,當點。在4c上運動時.

①直接寫出一5五，二的度數；

②用等式表示線段M,CE,萬H之間的數量關系，并證明.

【答案】⑴60,2;

(2)①60°；②BE=CE+2EH,證明見解析

【解析】

【分析】本題考查的是等邊三角形的性質，等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，含30°

的直角三角形的性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵；

(1)利用等邊三角形的性質證明=-EC工=30°,^EAH=300,從而可得結論;

(2)①利用三角形的內角和定理可得答案；②如圖，在CM上截取「二；-￡3,連接4G,證明

^ABE—二.WCG,可得，定=,4。，再證明EH=HG即可.

【小問1詳解】

解：如圖，當點。為幺。中點時，等邊一”「，

AD=CD^-AC

.-.BDLAC,分E=NC5E=30。，2,

是4C的垂直平分線，

三「的，

.?.工4=

IM

4c—

產-----------1c

，:ZACM=ZABD,

.?.乙4cM=30。，

.?.HC=/RCZ=30°,

乙州H=300+30°=60°,

V,

.?._EAH=30°,

EH_1

:.7E=2,

i

故答案為：60,z；

【小問2詳解】

①孫Z/O/,ZADB=^CDE,

...由八字形可得：^BEC=/.BAD=6Q°,

②BE=CR+二EH,理由如下：

如圖，在CM上截取CG=3E,連接4G,

AE=AG,

vAV1CA/,

:.EH=HG,

BE=CG=CE+EG=CE+劃.

28.在平面直角坐標系中，對于點尸和點目（點H的橫、縱坐標相等），給出如下定義：4為過點

E偽劣）且與1軸垂直的直線，4為過點H的.》且與.v軸垂直的直線，先作點P關于『1的對稱點E,再

作點E關于“的對稱點P,則稱點P是點尸關于點月（兒力的“關聯(lián)點”.

例如：如圖，點G（T）關于原點0（0.0）的“關聯(lián)點”是G'.L-D.

（1）①點（-3.1）關于點（一二一0的關聯(lián)點坐標為_；

（2）如果點尸'?！梗┦屈c尸（一泉T）關于點E（辦）的“關聯(lián)點”，那么〃:一

（3）j,（.）的“關聯(lián)點”為H,如果AOA4'是以。月為底的等腰三角形，求該三角形

的面積；

（4）點仇兒？）關于點”仍?瓦的“關聯(lián)點”為8',如果以83'為邊的等腰直角三角形只在第一象限

內，直接寫出〃的取值范圍.

【答案】⑴（T-5）

⑵-1

（3）1：

—<A<2

⑷3或:<方<4

【解析】

【分析】⑴由題意知，'】為直線、=-二，為直線卜=一二，則點「浦）關于’】的對稱點為用一】」），

皿-13）關于h的對稱點為'—L-5i；

（2）設點尸關于7】的對稱點為E,則產'與后關于乙對稱，則點E的橫坐標與產'的橫坐標相同，為1,

L-3+11

由點尸的橫坐標為一?,可得一二一,計算求解即可；

（3）由4。44'是以G4為底的等腰三角形，可知川在。,4的垂直平分線上，即］“=:，設點A關于乙

,A■2+4_3

的對稱點為E,則4與E關于人對稱，如圖1,日3.4、即一二一，可求

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