2025新高考高二橢圓易錯培優(yōu)競賽試題

【專題目錄】

專題一：名校橢圓易錯題精選

專題二：名校橢圓培優(yōu)題精選

專題三：橢圓全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽強基計劃精選試題

【精選練習(xí)】

專題一：名校橢圓易錯題精選

22

1.已知橢圓C:?+方=1（0<6<2）的左焦點為EM是c上的動點，點N（o,⑹，若現(xiàn)四+慳目的最大值

為6,則C的離心率為（）

2.已知橢圓C：5+丁=1的左、右焦點分別為%F2,直線y=x-〃7（—2<相<2）與C交于A,B兩點,

若的面積是△耳AB面積的2倍，則加=（）

22

3.已知橢圓C：5+與=1（4>6>0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,尸為C上一點，且滿足|尸胤=3|尸典.

ab

若線段尸月的中垂線過原點0,則橢圓C的離心率為（）

22

4.如圖，己知橢圓「:三+==1伍>6>0）的右焦點為尸，若過原點。的直線/與橢圓交于兩點，直

ab

線MF與橢圓廠交于另一點尸，若NF工MP,|Ay|=4|PF|,則橢圓「的離心率為（）

V5272

5.已知橢圓C:二■+力=1（。>6>0）的離心率為交，左，右焦點分別為耳工，過F?的直線交C于A,3兩

ab2

點.若則)

A.2B.3C.4D.5

6.（多選題）己知耳、F?是橢圓C：+y2=i（a>i）的左、右焦點，點Q五用在C上，"是C上的動

點，MNLy軸，垂足為N,且尸為肱V的中點，貝|（）

14

A./耳又工的最大值為120°B.版+］的最小值為9

C.點尸的軌跡方程為f+V=iD.|尸。|的最小值為萼-1

7.（多選題）已知橢圓C:總+:=1的左、右焦點分別為片，鳥，P為橢圓上任意一點.下列結(jié)論正確的是

（）

A.|朋的最大值為9B.cosNf；P八的最大值為g

C.|居,朋|+及T%=10D.橢圓C上存在點尸，使得西?%=4

8.（多選題）已知橢圓（3：；+丁=1的左、右焦點分別是￡，B，過坐標(biāo)原點。的直線/與橢圓C交于尸、

。兩點.則下列說法正確的是（）

A.橢圓的短軸長為2

B.三角形尸。鳥面積的最大值是1

C.月A?改的取值范圍為［T,2］

D.以橢圓的長軸為直徑的圓與以線段P4為直徑的圓內(nèi)切

9.（多選題）如圖，曲線C是由爐+丁=1（*<0）,\+,2=1@20）的圖形組合成的，過P（0,2）作曲線C的

切線尸AP8,切點分別為A8,且點A在丁軸左邊，貝。（）

A.“PA建

B.直線AB與x軸平行

C.當(dāng)M在C上時，的最大值為3

D.當(dāng)點（%,%）在C上時，xoyo<^

r2v2

io.已知橢圓「：7r+3=1,尸為r的右焦點，尸為第一象限內(nèi)橢圓上的一點，過點尸作「的切線，與x、y

43

軸分別交于A,3兩點，若麗?麗=-3，則點尸的坐標(biāo)為.

22

11.已知橢圓C:>q=l（0<f<4",為為橢圓C的兩個焦點，若橢圓C上只存在4個點尸使得何也為

直角三角形，則實數(shù)，的取值范圍是

22

12.已知點M是橢圓C:1+3=1（°>6>0）上的一點，耳,月分別是C的左、右焦點，且/￡加入=60°,

ab

點N在N不明的平分線上，。為原點，ONIIMF、,\ON\=b,則C的離心率為.

13.已知一個離心率為長軸長為4的橢圓，其兩個焦點分別為片，鳥，在橢圓上存在一點P,使得

/單科=60。，設(shè)/耳工的內(nèi)切圓半徑為『，則廠的值為.

14.已知橢圓C:工+上=1,圓4:/+;/_31->+2=0,P,。分別為橢圓C和圓A上的點，F(xiàn)（-2,O）,則

1612

|PQ|+|P目的最小值為.

22_

15.已知AB分別為橢圓c：A+2=l(a>Z7>0)的左、右頂點，ab=6拒,MN均為橢圓C上異于頂點

ab

的點，71為橢圓C上的點，直線經(jīng)過左焦點可，直線HN經(jīng)過右焦點鳥(1,0).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)試問禺+耦是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由.

16.如圖，圓￡:(彳+1)2+丁=16,網(wǎng)1,0)是圓E內(nèi)一個定點，M是圓E上任意一點.線段M尸的垂直平分線

/和半徑相交于點N,當(dāng)點〃在圓上運動時，記動點N的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵設(shè)曲線C與x軸從左到右的交點為點4,3,點尸為曲線C上異于A3的動點，設(shè)上4交直線x=-4于點T,

連結(jié)2T交曲線C于點Q,直線3尸,8。的斜率分別為kBP,kBQ.

(i)求證：凝1施。為定值;

(ii)證明：直線尸。經(jīng)過》軸上的定點，并求出該定點的坐標(biāo).

17.如圖，圓E的圓心為E（-1,O）,半徑為4,尸（1,0）是圓E內(nèi)一個定點，T是圓E上任意一點.線段尸7的

垂直平分線/和半徑ET相交于點N,當(dāng)點T在圓E上運動時，記動點N的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）設(shè)曲線C與x軸從左到右的交點依次為點A,B,已知動點M在直線x=4上運動且不在x軸上時，直線

AM,3”分別交曲線C于另外的點P,Q.

①求證：NPBQ為鈍角；

②求四邊形4尸8。面積的最大值.

22

18.已知橢圓C:，+2=1但>/7>0）的左、右焦點分別是耳（TO）,2^（1,0）,Af為C上任意一點，AMF'FZ

ab

的內(nèi)切圓半徑的最大值為在.

3

⑴求橢圓C的方程.

⑵過點尸（4,0）的直線交C于A8兩點，。為x-軸上一點，記△4尸。與VBPQ的面積分別為S^BPQ,

是否存在一點。，使得深絲=霽？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

、4BPQ必

22

19.已知直線x=2經(jīng)過橢圓。:彳+2=1（。>6>0）的右焦點為足且被橢圓C截得的線段長為2H

ab

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵橢圓C的下頂點為A,P是橢圓C上一動點，直線AP與圓。：V+y2=〃相交于點M（異于點A）,M關(guān)

于。的對稱點記為N,直線⑷V與橢圓C相交于點。（異于點A）.設(shè)直線MN,PQ的斜率分別為匕,網(wǎng),試

探究當(dāng)心工。時，3是否為定值，并說明理由.

221

20.已知橢圓Erj+avMK?！?gt;。），尸為E的右焦點,P為E上的動點，當(dāng)直線PF與x軸垂直時，|尸刊=5,

R是直線了=2上一動點，1m1的最小值為1.

⑴求E的方程：

（2）過R作E的兩條切線分別交無軸于M,N兩點,求ARWN面積的取值范圍.

專題二：名校橢圓培優(yōu)壓軸試題精選

22

1.設(shè)橢圓C:=+2=1（。>6>0）的左、右焦點分別為4，F(xiàn)2,上頂點為A,直線AK交C于另一點B,^ABF2

ab

的內(nèi)切圓與明相切于點P,若I忸尸月耳閶，則橢圓C的離心率為（）.

A.-B.-C.gD.-

4324

22

2.已知橢圓C：亍+]=1的左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,尸是C上異于頂點的一個動點，記與&的內(nèi)切

圓圓心為M,則點尸與點M的橫坐標(biāo)之比為（）

A.忘B.2C.2A/2D.3

22

3.已知橢圓C:；+/=ig>b>0）的左、右焦點分別為0B，過點K且斜率為M%>0）的直線/與橢圓c

相交于A3兩點，若亞=3用，且乙483=90。，則橢圓C的離心率為（）

A-B.C.45-V7D.8-小

4.（多選題）如圖，曲線C是一條雙紐線，曲線C上的點滿足：到點￡（-3,0）與瑪（3,0）的距離之積為9,

已知點是雙紐線C上一點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點（3近,0）在曲線C上

B.雙紐線C的方程為（丁+力2=9（尤2-力

c.-i<y0<i

D.點。在橢圓支+空=1上，若耳。，居。，則。eC

279

12

5.（多選題）已知曲線E：=+3=l,則下列說法正確的是（）

xy

A.當(dāng)4=-1時，曲線E關(guān)于直線>=一3對稱

B.當(dāng)2=0時，E是兩條直線

C.當(dāng)2=1時，若點P（x,y）是曲線E上的任意一點，則國>1

D.當(dāng)4=2時，曲線E上的點尸（x,y）到原點距離的最小值為0+1

6.（多選題）歷史上，許多數(shù)學(xué)家研究過圓錐的截口曲線.如圖，在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為30°,現(xiàn)有

一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉(zhuǎn)軸的交點。距離圓錐頂點河長度為1,則以下關(guān)于該截口曲線描述

正確的命題有（）

A.M點與該曲線上的任意一點的距離中，最大值為6

B.點0為該曲線的一個焦點

3

C.該曲線上任意兩點之間的最大距離為力

2

D.該曲線的離心率為也

3

7.（多選題）已知曲線C：f+y2一肛=。，點0』）在曲線c上，則下列說法正確的是（）

A.a=l

B.曲線C上任意一點到原點的距離小于或等于近

C.曲線C內(nèi)部（含邊界）有6個整點（橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）

口26<<2有

D.--------<x<------.

33

22

8.（多選題）給定橢圓二+5=1值>6>0）上有一動點尸（不在坐標(biāo)軸上），片,鳥分別是橢圓的左右焦點，

ab

△尸耳鳥的內(nèi)切圓/與尸片,尸鳥分別切于4,8兩點，則（）

A.若1PA1=（。，則橢圓的離心率為:

B.動點/的軌跡是一個橢圓

C.直線有，/工的斜率之積為常數(shù)

D.內(nèi)切圓/的面積無最大值也無最小值

9.設(shè)。為坐標(biāo)原點，橢圓廠:二+與=1（。>萬>0）的左頂點和左焦點分別為C、F,A、3為r上關(guān)于y軸

對稱的兩點（點A在第二象限）且AFLx軸，IA尸|=；|OC|,則「的離心率為；已知。、E為F上

關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AE,BD交于點P,若橢圓的長軸長為小，則點P的軌跡方程為（結(jié)果

含t）.

10.已知平面向量a,5,1滿足向=忖=1,a-b=^,H=2,若對于任意的向量。，均有歸-司的最小

值為忘日-町,則山-司+揚-。|的取值范圍是.

22

11.已知橢圓c：1r+}=1（。>6>0）的左焦點為耳（-2,0）,橢圓上任意一點到目的距離最大值為6.

⑴求橢圓C的方程；

（2）過原點且斜率為左的直線與橢圓C交于M,N兩點.

kk

（i）當(dāng)左力0時，設(shè)直線可加，耳N的斜率分別是尤，k2,求證：1為定值；

（ii）過點可作垂直于的直線交于T,交圓0：x2+y2=r2（r>2）-^P,Q兩點，記△PMT,4QNT

的面積分別為%S2（SI<S2）,求興的取值范圍.

12.已知橢圓丘4+==1(。>6>0)的離心率為更，A,8分別是橢圓的左、右頂點，C是橢圓的上頂點,

ab2

圖1圖2

⑴求橢圓E的方程；

⑵如圖1,設(shè)P為第四象限內(nèi)一點且在橢圓E上，直線B4與y軸交于點直線尸C與無軸交于點N,求

證:四邊形AOV儀的面積為定值；

(3)如圖2,若。是直線/:x=l上一動點，連接A。交橢圓E于點G,連接8。交橢圓E于點”，連接GH.

試探討直線GH是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

13.已知0C:f+y2-2x-i5=O,點*TO).在。C上任取一點P,線段P尸的垂直平分線與線段尸C相交

于點R,當(dāng)點P在圓上運動時，點R的軌跡為曲線

⑴求曲線「的方程；

(2)過點。(4,0)且斜率不為0的直線/與曲線r相交于N兩點.

(i)若。為原點，求△MON面積的最大值；

(ii)點A(-2,0),設(shè)點。是線段"N上異于的一點，直線QAQM的斜率分別為心片，且《+&=0,

DM\-\NQ

求的值.

DN\-\MQ

14.已知橢圓C:g+4=l(a>"0)的離心率為J,為C上一點.

⑴求C的方程.

⑵過C的右焦點/的直線/與C交于A,B兩點，記△043(。為坐標(biāo)原點)的面積為S,過線段AB的中

點G作直線尤=4的垂線，垂足為N,設(shè)直線AN,BN的斜率分別為尢，k2.

(i)求S的取值范圍；

S

(ii)求證：尸石為定值.

15.已知P(1,0)為離心率為正的橢圓C：W+￥=l(a>8>0)的右焦點，過點尸(2,。(0</<3作>軸的垂

線與C交于M,N兩點(M在第一象限).

(1)求C的方程；

(2)求AACVF的面積的最大值；

⑶若直線網(wǎng)與了軸交于點Q,求證：M,M。,尸四點共圓.

16.已知橢圓c：，+，=l(a>6>0)的離心率為且點0(2,-1)在橢圓C上.

(1)求C的方程；

⑵若動直線x=[F<C<a)與C交于點A,B,耳，區(qū)分別為C的左、右頂點，直線A厚2當(dāng)交于點G,

求證：點G恒在某圓錐曲線上；

⑶已知直線尤=，孫+4與C交于P,。兩點，直線DRDQ與直線尤=4分別交于點MN,若平面內(nèi)存在一點打,

使得四邊形的網(wǎng)為平行四邊形，求點H的坐標(biāo).

17.已知圓O:/+y2=7,動直線/與圓。交于AB兩點，且|鉆|=2石，點耳(-1,0),乙(1,0)到直線/的

距離分別為4,右，動點P滿足|尸4卜4，/耳|=4，記動點尸的軌跡為曲線C.

(1)求曲線c的方程.

⑵記。為圓。上一動點，過點。作曲線c的切線44.

(i)證明：4，，2；

(ii)若。(1,-布)，記4,4與曲線c的切點分別為求AQMN的面積.

2222

18.如圖，橢圓和二+工=1(m>〃>o),r2:—+^=1,已知一右頂點為“(2,0),且它們的交點分別為

mnnm

6(1,1),7^(-1,1),^(-1,-1),乙(1,T).

⑴求口與「2的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過點A作直線MV,交口于點交「2于點N,設(shè)直線AM的斜率為%直線4N的斜率為心，求勺;

(上述各點均不重合)

⑶點2是口上的動點，直線。出交「2于點。2,直線。2乙交口于點。3,直線Q片交r2于點Q，直線Q乙與

直線。出交于點M求點G坐標(biāo)，使直線NG與直線NH的斜率之積為定值.(上述各點均不重合)

19.“相對運動的本質(zhì)是觀察者所處的參考系不同，物體產(chǎn)生的運動軌跡不同”，在物理學(xué)中研究物體運動時

有很好的運用.比如從正在飛行的飛機上掉落的物體，在地面視角來看，該物體的運動軌跡是拋物線；但是

從飛機的視角來看，該物體是豎直降落的，故可以此為依據(jù)，計算物體的降落時間.其實，數(shù)學(xué)中研究動點

運動軌跡的相關(guān)問題時也可以運用“相對運動”的觀點.

⑴在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O:/+y2=4上有動點P(x,y),已知定點A為(1,0).在研究“/OPA最大值”

問題時，

(i)如果借助兩直線的夾角公式tand=23(其中左,融為已知兩直線的斜率，上的WTg為兩直線的夾

1+k'k2

角，Oe試求出用P點橫坐標(biāo)x表示tan/OR4的函數(shù)/(x),并求出其最大值及取得最大值時尸點

的坐標(biāo)；

(ii)如果運用“相對運動”的觀點，視。，尸點位置不變，A點為動點，試分析NOPA何時取得最大值，并給

出其最大值；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一動橢圓r始終保持與X軸正半軸、y軸正半軸相切，己知橢圓r的長軸長

為4,短軸長為2,試求出該橢圓中心點P的軌跡方程.

2222

20.我們把由半橢圓1r+%=1(x20)與半橢圓方+]=l(xV0)合成的曲線稱作“果圓"，其中/=廿+°2,

fl>0,6>c>0.如圖，點玲、月、F?分別是相應(yīng)橢圓的焦點，4、&和耳、鳥分別是“果圓”與x軸、y

軸的交點.外

⑴若△入片耳是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；

一/\

⑵在⑴條件下，P為半橢圓夕=1(x40)上的任意一點，〃點坐標(biāo)為(1,0),T四

求Ip聞+1p周最大值以及1PM最小值；

⑶當(dāng)|AA|>|與可時，求:的取值范圍.

專題三：橢圓全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽強基計劃精選試題

22

1.（2024高三下?全國?競賽）給定橢圓T：5+2-1=。（其中〃＞。＞。）和直線，：＞=日交于點P、Q（其

中尸點的橫縱坐標(biāo)分別滿足不＜。，%＞。），點M、N分別為橢圓T的右焦點和右頂點，若直線9平分

線段NQ,且的長度為4,則/+從的值為（）

A.14B.68C.40D.49

2.（2024高三下?全國?競賽）已知asinx+〃cosx=Ja2+從sin（%+0）（其中tanp=2），在平面直角坐標(biāo)系xOy

2

中，有一個動點尸（牡〃），且“2=1一給定/：x+y-8=0,作PQ，/,垂足為點Q,則|P0的最大值為

（）

A.472+73B.473+72C.4巫+64A/3+A/6

22

3.（2018高二?全國?競賽）已知過橢圓斗+3=1（。＞6＞0）的焦點片，耳的兩條互相垂直的直線的交點在

ab

橢圓內(nèi)部（不含邊界），則此橢圓離心率的取值范圍是（）.

J_V2

A.（0,1）

4.（2016高二?全國?競賽）已知圓。］的圓心為（2,0）,半徑為4,圓。2：/+丁2=r（0＜廠＜2）,動圓〃與圓。1，

圓。2都相切，若動圓圓心M的軌跡是兩個橢圓，且這兩個橢圓的離心率分別為4,02匕＞e?）,貝|2q+3e2的

最小值為（）

A.5+2—B.-C.72D.-

42v8

5.（2012高二.全國?競賽）已知直線/交橢圓4/+5/=80于/、N兩點，橢圓與＞軸的正半軸交于8點，

若ABMN的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線/的方程是（）.

A.6x-5y-28=0B.6%+5＞-28=0

C.5%+6y—28=0D.5x-6y-28=0

6.（2008高二?全國?競賽）在VABC中，sinB+sinC=2sinA,已知點3（3,2）,C（7,2）,則凡權(quán)的最大值為

（）.

A.4A/3B.873C.4D.8

7.（2009高二?全國?競賽）以橢圓焦距為直徑的圓交橢圓于四點，若這四點與兩焦點恰構(gòu)成正六邊形，則橢

圓離心率為（）.

A.@B.72-1C.癢1D.B

22

8.（2007高二?全國?競賽）已知過原點的所有直線都與橢圓八：2+/-日+2外+/一1=。有兩個不同的交點，

那么實數(shù)上的取值范圍是（）

A.左＞1或左＜一1B.k^±lC.—l＜%＜0或0＜后＜1D.0＜左＜1

9.（2007高二.全國?競賽）若方程41一"一,尤?+2表示一條非圓的二次曲線，則它表示（）.

-----------------+-------=1

493

A.橢圓B.雙曲線

C.焦點為（7,0）的拋物線D.焦點為（6,。）的拋物線

22

10.（2007高二?全國?競賽）橢圓'+與=1上的任意一點到焦點距離分別為4、d2,焦距為2c.若4、3c、

ab

《成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（）.

1Ra「百2

-n---I---D.

4

22

—高三.北京?強基計劃）如圖，過橢圓的右焦點工作一條直線，交橢圓于4B兩點,

則△耳A3的內(nèi)切圓面積可能是（）

A.1B.2C.3

22

12.（17-18高三?北京?強基計劃）如圖，過橢圓土+乙=1上一點M作圓f+y2=2的兩條切線，過切點的

94

直線與坐標(biāo)軸于P,。兩點，O為坐標(biāo)原點，則△尸。。面積的最小值為（）

3_

c.-D.前三個答案都不對

13.（17-18高三?北京?強基計劃）設(shè)實數(shù)x,y滿足《+丁=1,則|3x+4y-12|的取值范圍為（）

4'

A.[0,+oo）B.[12-2而,12+2加

C.[0,12+2V13JD.前三個答案都不對

22

14.（18-19高三?北京?強基計劃）已知橢圓二+乙=1上一點P與該橢圓的兩個焦點所圍成的三角形的內(nèi)切

2516

圓圓心為/,半徑為1,貝力以1=（）

A.6B.2C.75D.以上答案都不對

22

15.（20-21高三?北京?強基計劃）已知橢圓土+匕=1的兩個焦點分別為片，6,P為橢圓上一點，HPF]

1612

的平分線與x軸交于點叫,0）,作片交尸片于點人則|P"|等于（）

A.3B.4C.5D.6

16.（19-20高三?湖北武漢?強基計劃）已知直線=l2:y=^x,動點尸在橢圓《=1（。>b>o）

上，作PM〃/?交L于點“，作/W/〃2交4于點N.若|PM『+|PN「為定值，則（）

A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b

22

17.⑵-23高二上?福建莆田多選題）已知點P是橢圓一點，外耳為其左、右焦點，且△F“

的面積為3,則下列說法正確的是（）

3

A.尸點到x軸的距離為3B./8尸工>90。

C.△月尸耳的周長為4（忘+1）D.△耳時的內(nèi)切圓半徑為

22

18.（19-20高三?北京?強基計劃多選題）已知點ACM）,Q（l,0）,P為橢圓工+工=1上的動點，則IPAI+IPQI

43

的（）

A.最大值為4+粗B.最大值為4+0

C.最小值為4-百D.最小值為4-石

22

19.（2024高二下?四川宜賓.競賽）已知左、F?是橢圓二+二=1的左、右焦點，尸是橢圓上任意一點，過6

2516

引/耳尸鳥的外角平分線的垂線，垂足為Q,則。與短軸端點的最短距離為.

22

20.（2024高二下.廣西.競賽）已知橢圓=+2T=1（。>6>0）的焦點為片，尸2,M為橢圓上一點，NRMF,=￡,

ab3

OM=叵b,則橢圓的離心率為.

3

21.（2024高二下?內(nèi)蒙古?競賽）。是原點，橢圓：+:=1,直線/過（1,0）且與橢圓交于A,B兩點，貝履至。

面積的最大值為.

22.（2007高二?全國?競賽）射線。4的方程是丫=白犬（丘0）,射線08的方程是>=-瓜（*20）,長為2方

的動線段MN的端點加在。4上移動，端點N在08上移動，則MN的中點P（x,y）的軌跡方程為.

23.（2010高二?全國?競賽）一圓形紙片的圓心為點0,點。是圓內(nèi)異于點0的一個定點，點A是圓周上一

動點，把紙片折疊使點A與點。重合，然后抹平紙片，折痕C。與交于點尸，當(dāng)點A運動時，點尸的軌

跡是.（只需填曲線的名稱）

24.（2010高二?全國?競賽）直線與x軸交于點人（辦0）,與y軸交于點8（0,〃）（加>0,〃>0）,且直線與橢圓

22

二+與=1（”>人>0）相切，則|AB|的最小值為_____.

ab

22c

25.（2011高二?全國?競賽）若點尸（-3,1）在橢圓=+當(dāng)=1（〃>6>0）的左準(zhǔn)線上，過點尸且斜率為-士的光

ab2

線經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為.

26.（2011高二?全國?競賽）如圖，43是平面。的斜線段，點A為斜足，若點尸在平面a內(nèi)運動，使得AABP

的面積為定值，則動點尸的軌跡的形狀是

r2v2_2

27.（2008局二?全國?競賽）已知橢圓二+與=1,其禺心率6=不4B是橢圓上兩點，/為AB的垂直平分

a'b'3

線，交x軸于點（1,0）,4?的中點為（毛,％）,則與=

28.（2008高二?全國?競賽）已知圓C:爐+y2至產(chǎn)過+°2y2=力/（0>方>0）的兩焦點耳（一60）,8高0）,

且它們有4個交點，其中1個交點為「，若“耳尸2面積為26,橢圓長軸為15,則a+6+c=.

29.（2008高二?全國?競賽）若7依2+④2=1.>0,〃>0）與2彳+3；-1=（）相交于4、g兩點，且在A8線段上

存在一點使西=：（函+礪）（。為原點），傾斜角為g,貝ij'=__________.

23m

i222

30.（2010高二?全國?競賽）己知一+—=1（加>0,〃>0）,則當(dāng)〃加取得最小值時橢圓二+與=1的離心率

mnmn

是.

（5322

31.（2007高二.全國?競賽）已知尸是橢圓工+匕=1上的一點，點小鳥分別是橢圓的左，右焦

[22J259

點，點。在々P上，且|尸。|=|尸閶，那么點。分有向線段造所成的比是.

22

32.（2007高二?全國?競賽）實數(shù)無、y滿足土+匕=1,則爐+/一4%+3的最大值是____.

124

22

33.（2024高三上?全國?競賽）設(shè)。為坐標(biāo)原點，橢圓%+與=1（。>6>0）的左、右頂點分別為A，4,點

cib

P為橢圓上一點，直線尸4的斜率為;，P。的斜率為2,則%的斜率為.

34.（2023高二?全國?競賽）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓。與尤軸、,軸均相切，圓心在橢圓

22

「:,+方=l（a>6>0）內(nèi)，且。與「有唯一的公共點（8,9）.則「的焦距為.

35.（2022高三.浙江金華.競賽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線丁=%（%+1）（%>0）與橢圓]+y2=i在第二

象限交于點A,交，軸于點8.設(shè)點C（l,0）,若|AB|=|AC|,則％的值為.

36.（23-24高三下.全國?強基計劃）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，M（x,j）——+^-<1>,A（2,l）,若的面

201）o

積不超過3,則滿足條件的整點M個數(shù)為

22

37.（2024高一下.海南海口.競賽）已知橢圓二+2=1（。>6>0）的上頂點A與左頂點B的距離為歷，離

ab

心率為：，P（t,0）（TWf<-L）為x軸上一點.

（1）求橢圓方程；

（2）連接AP交橢圓于點C,過C點作x軸的垂線，交橢圓另一個點。，求S"BD的取值范圍.

38.（2024高二下?吉林?競賽）已知橢圓G的中心為坐標(biāo)原點。，焦點在坐標(biāo)軸上.圓g的圓心為坐標(biāo)原

點0,過點A（-2,0）且傾斜角為30。的直線與圓C相切.

⑴求圓G的方程；

⑵過圓C2上任意一點P（x0,%乂%?%?（））作圓C2的切線，與橢圓G交于A5兩點，均有

ZAOB=9ff成立.判斷橢圓G是否過定點？說明理由.

39.（2010高二?全國?競賽）已知橢圓=+口=1（m>0,">0）,過原點且傾斜角為。和萬<彳］的

mn\J

兩條直線分別交橢圓于A、C和8、。四點.

⑴用。、機、〃表示四邊形ABCD的面積S；

（2）若心、〃為定值，當(dāng)。<04?時，求S的最大值.

40.（2007高二?全國?競賽）已知橢圓上+;/=1的短軸上端點為p,過點P作橢圓互相垂直的兩弦尸M,PN.

3

連接試求點P在兒W上的射影。的軌跡方程.

41.（2013高二?全國?競賽）已知A、B是橢圓10f+y2=5上兩動點，。為原點，定點E0,o）,向量次，礪

在向量匠方向上的投影分別為優(yōu)，“，且）?而=-9m〃，動點P滿足屈=函+麗.

⑴求點P的軌跡G的方程；

（2）記點C（0,-3）,0（0,3）,求證：無論動點。在軌跡G上如何運動，|匕|"+|"恒為一個常數(shù).

QCQD-OQ

42.（2024圖三下?上海?競賽）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓「:丁=1,A,8是橢圓的左、右頂

4

點，點C是橢圓「內(nèi)（包括邊界）的一個動點.若動點尸滿足題.無=0,求|。尸|的最大值.

43.（2013高二?全國?競賽）在直線/：x-y+9=0上任取一點尸，過點尸以橢圓三+亡=1的焦點為焦點作

123

橢圓，當(dāng)點P在何處時，所作橢圓的長軸最短？并求出長軸最短時的橢圓方程.

44.（2011高二?全國?競賽）在VA3C中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊，成等差數(shù)列，且62c,

B（-l,0）,C（l,0）.

（1）求頂點A的軌跡E的方程；