安徽省蚌埠市2025屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

I.已知全集。={0,123},集合8={0,1},貝!()

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.“x>l”是“/>x”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知1是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=士,則z的共甄復(fù)數(shù)是（）

12.「12.12.

A.」+匕B.----------1C.-+-1D.----1

55555555

4.已知三棱錐尸-45。的體積為1,V/5C是邊長為2的正三角形，且尸4=2,則

直線為與平面4%所成角的正弦值為（）

]_

A.D.1

2

5.已知x］。弓

-V3+2V2D73+272r1+2指D—1+2^6

666?6

6.已知數(shù)列{%}的前刀項和為S〃，，=%+］-2且4=1,則)

A.數(shù)列{%}是等比數(shù)列B.a2a4=alC.4+。7＜。5+。6

D.數(shù)列也}是等比數(shù)列

7.在四邊形力方⑶中，2萬=3皮，次=（1,&），AD=（A/2,-1）,則該四邊形的面積

為（）

l515

A.4B.2V2C.-D.—

24

8.已知拋物線/=2川（。>0）的焦點為R經(jīng)過點尸的直線/與拋物線相交于點

P,0（點尸在第一象限），若|尸尸|=2］。/|,則直線/的斜率為（）

A.1B.V2C.V3D.2A/2

二、多選題（本大題共3小題）

9.進(jìn)入3月份后，受冷暖空氣的共同影響，我市氣溫起伏較大.現(xiàn)記錄了3月上

旬（1日-10日）我市的日最高氣溫如下（單位：。C）：24,23,3,4,7,12,

12,16,15,19,則下列說法正確的是（）

A.3月上旬我市日最高氣溫的極差為20℃B.3月上旬我市日最高氣溫的

平均數(shù)為13.5℃

1/14

C.3日TO日我市日最高氣溫持續(xù)上升D.3月上旬我市日最高氣溫的60%分

位數(shù)為15.5°C

22

10.已知雙曲線C：二一匕=1(%>0)的一條漸近線方程為X-2了=0,點片，F(xiàn)2

m2

分別是c的左、右焦點，點4，4分別是c的左、右頂點，過點鳥的直線/與c相

交于R0點，其中點尸在第一象限內(nèi)，記直線P4的斜率為小直線P4的斜率為

魚,貝I()

A.雙曲線。的焦距為2而B.\PF,\-\PF2\=4^2C.|PQ|>4行D.

2X3XY<0

11.已知函數(shù)〃X)=2'二'八其中a為實數(shù)，則下列說法正確的是

x-ax+\,x>Q,

()

A.當(dāng)。22時，/(x)有最小值

B.當(dāng)。<0時，/(x)在R上單調(diào)遞增

C.V?eR,/(x)的圖象上都存在關(guān)于y軸對稱的兩個點

D.當(dāng)。=2時，記尸(x)=/(/(x))T,若/(x)有5個零點，貝

三、填空題(本大題共3小題)

12

12.已知x>0,了>0,x+v=l,則一+一的最小值為__________.

xy

13.在V/2C中，48=6,AC=3,點。在8C上且CD=220,則4D的取值范圍

是.

14.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+°)(。>0,0<0檸)，若/(一：］=1，/g)=°，且

“X)在區(qū)間上單調(diào)，貝.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知橢圓a4+p-=1(?>^>o)的離心率為|■，點尸卜,￡|在橢圓「上.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點0(0,6)的直線(非y軸)交橢圓于48兩點，以為直徑的圓經(jīng)過

原點。，求直線46的方程.

16.已知函數(shù)/(x)=ln(ax)+—,其中Q〉0.

x

(1)當(dāng)”=1時，求函數(shù)/(%)的圖象在％=1處的切線方程;

(2)若/(x)2In”恒成立，求a的取值范圍.

2/14

17.如圖，在四棱錐P-48C。中，P/_L平面48CD,AB=BC=CA=2,

(1)求證：8。2平面尸/C；

⑵求平面PA8與平面”D夾角的余弦值.

18.某市舉行中學(xué)生排球比賽，甲、乙兩所學(xué)校代表隊爭奪比賽的冠軍，比賽采用

三局兩勝制.根據(jù)以往對戰(zhàn)的經(jīng)歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為0.6,

0.4,且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲代表隊奪冠的概率；

⑵比賽開始前，工作人員采購了5個新球作為比賽用球放在袋子中，新球一經(jīng)使

用就變成“舊球”，“舊球”可繼續(xù)使用.每局比賽前，裁判員從袋中的5個球中

隨機(jī)取出一個球用于比賽，且局中不換球.每局比賽結(jié)束后，將本局使用的球放回

袋中，與袋中原有的球混合.記甲、乙兩校代表隊決出冠軍后，袋中新球數(shù)量為

X求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.已知有窮數(shù)列/：a},a2,--■,am(m>3,mcN),設(shè)

S={x\x=aj-ai,\<i<j<m},記S中元素的個數(shù)為|S|.

⑴若數(shù)列40,2,4,12,求集合S,并寫出|S|的值；

⑵若/是單調(diào)數(shù)列，求證：的充要條件是“力為等差數(shù)列”；

⑶若切=2〃+1,neN*，數(shù)列/由1,2,3,4,-??,n,2〃這(〃+1)個數(shù)組成，且

這(〃+1)個數(shù)在數(shù)列A中至少出現(xiàn)一次，求|S|的取值個數(shù).

3/14

參考答案

1.【答案】D

【詳解】由補(bǔ)集的定義可知，,夕={2,3}.

故選D.

2.【答案】A

【詳解】因為/>'，所以x<0或x>l,

則x>l可以推出一>x,但/>x不能推出x>l.

故“尤>1”是“/>x”的充分不必要條件，

故選A.

3.【答案】B

i“2+i）-l+2i12.

【詳解】因為Z=13rM嵩---F—1,

555

12

所以z的共鈍復(fù)數(shù)為-二-二匚

故選B.

4.【答案】C

2

【詳解】AABC是邊長為2的正三角形，其面積為：SAABC=^-X2=

因為三棱錐尸-ABC的體積為1和底面積S,ABC=C

[3

得：展;xS,43CX〃=]XG><〃=1.解得：h=—r==A/3.

設(shè)直線PA與平面ABC所成角為。，所以sin6=-^=".

PA2

故選C.

5.【答案】A

【詳解】因為xe04所以

2亞1162后-6

故選A

6.【答案】B

【詳解】對于A,由S“=a”+「2,可得S,i=%-2（〃22）,

4/14

兩式相減得s,-S,T=a?+1-2-(a?-2)(77>2),所以=an+l-a?(n>2),

所以%+1=24(〃22),所以乎=2(〃22),

當(dāng)”=1時，￡=。2-2,又％=1,所以出=3,所以二*=3,

ax

所以數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，故A錯誤；

對于B,由A可知，數(shù)列｛?！埃サ舻谝豁?，可構(gòu)成以。2=3為首項，2為公比的等比

數(shù)列，

所以a2a4=。；，故B正確；

對于C,由A可得％;仁、”

所以%+%=3x22+3x25=108,%+4=3x2*+3x24=72,

所以&+%>/+&，故C錯誤；

對于D,由C可得岳=1,星=3+1=4,邑=4+6=10,

所以曾建，所以數(shù)列｛SJ不是等比數(shù)列，故D錯誤.

故選B.

7.【答案】C

【詳解】由方=(1,8)，ZO=(V2,-l)-<^A8-Z5=(1,V2).(V2,-1)=V2-V2=0,

所以方_L25，所以LBD=T48MH=gxJl+2xJ2+1=m，

又2次=3覺，所以反=：冠，所以匹卜1洞=乎，

12I—HI---412

^BCD=-X-\^\\AD\=-X-X3=1,

LL35

所以SABCD=S0BCD+S/B0=1+5=5,

故選C.

8.【答案】D

【詳解】設(shè)加是準(zhǔn)線，過尸作PNL加于N,過。作加，加于M,過。作。"，尸N

于H,如圖，

則|尸尸|=|兩|,|。尸|=|鼐］,又|尸用=2|。用,所以|RV|=2|0M|,

所以|PH|=|NH1=|QM\=\QF\,所以坦用=小尸0『-|所=2^\QF\,

所以tanAHPQ=2?叫=2也

\PH\10^1

直線斜率為2vL

故選D.

5/14

9.【答案】BD

【詳解】對于A,3月上旬我市日最高氣溫的極差為24-3=21℃,故A錯誤;

對于B,3月上旬我市日最高氣溫的平均數(shù)為

對于C,3日-10日我市日最高氣溫不是持續(xù)上升，8日到9日氣溫是下降的，故C

錯誤；

對于D,氣溫由低到高排列為3,4,7,12,12,15,16,19,23,24,

又10x60%=6,故3月上旬我市日最高氣溫的60%分位數(shù)為"士蛆=15.5。。，故D

2

正確.

故選BD.

10.【答案】ABD

【詳解】A選項，雙曲線C：^-￡=1(m>0)的漸近線方程為/=±、區(qū)》，

m2Vm

又一條漸近線方程為x-2尸0,故P=L解得加=8,

2

故,=8+2=10,解得c=廂，故雙曲線。的焦距為2而，A正確；

B選項，由A知，a=&=2&,由雙曲線定義得|尸耳|-|尸旦1=2。=4也，B正確；

C選項，7^(710,0),當(dāng)直線/與x軸垂直時，

放-5=1中，令x=時，y=,故IP。1=,C錯誤；

D選項，4卜2后,0),4(2^。)，

222

設(shè)尸(九〃)，則可〒1，即〃2=彳-2,

6/14

,___2

k卜_n________4________________=J_,D正確.

12-m+2s/2m-2y/2~m2-8~m2-8-4

故選ABD

11.【答案】ACD

【詳解】對于A,當(dāng)時，當(dāng)xVO時，〃x)=2x3工，函數(shù)單調(diào)遞增，值域為

(0,2],

當(dāng)％>0時，/(X)=X2-6ZX+1,對稱軸為％

最小值為/(|)=^|J-?-^+l=-^+l<0,所以/(x)有最小值；

對于B,當(dāng)。<0時，當(dāng)xVO時，/(x)=2x3\函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時，f{x}=x2-ax+\,對稱軸為x=]<0,函數(shù)單調(diào)遞增，

其中2X3°>02-〃.0+1,所以在R上不單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于C,設(shè)點(xJ(x))(x>0)關(guān)于V軸對稱的點為(-xj(-x)),需滿足

/(-x)=/(x),

f(x)=x2—ax+1,f(—x)=2x3',即x?—ox+1=2x3x>

設(shè)g(無)=2X3-X-X2+?X-1(X>0),則g(0)=l>0.

解法一：因為g(x)=2x3T-f+ax-1在(0,+s)的圖像是連續(xù)不斷的，當(dāng)xfy時,

所以VaeR,函數(shù)g(x)在開區(qū)間(0,+⑹內(nèi)總有零點，故C正確;

解法二：u(x)=2x3-JC-l,v(x)=-x2+ax,當(dāng)x>max{a,0}時，v(x)<0,當(dāng)x>log32

時，M(X)<0,所以當(dāng)x>%=max{0,a』og32}>0時，g(x)=〃(x)+v(x)<0,

所以對于任意的VaeR,函數(shù)g(x)在開區(qū)間(0,x°)內(nèi)有零點，故C正確;

〃、2xy,x<0,

對于D,當(dāng)。=2時,f(x)="j2c,c圖象如圖所示:

lx-2x+l,x>0,

解/一2x+l=l(x>0)得x=2,解f-2x+l=2(x>0)得x=l+也.

尸(x)=/(/(x))T的零點就是關(guān)于x的方程尸(x)=/(/(x))T=0(記作①)的實數(shù)解

的個數(shù).

令〃=/(無)，=則方程①的解集為對于關(guān)于“的方程/(")=r(記作②)的

每一個瓦的值，所得到的關(guān)于X的方程y(x)=〃(記作③)的所有的不同的解的集

合，換言之函數(shù)尸(x)的零點的集合X={N/(〃x))=4=何〃x)="J(")=/},根據(jù)題

意cardX=5.

7/14

方程②的解是函數(shù)>=/(〃)和V=f的交點的橫坐標(biāo)，可以參照y=f(x)的圖象與直

線了=:的交點的橫坐標(biāo)估計個數(shù)和范圍；方程③的解是函數(shù)了=/(尤)的圖象與直線

>="的交點的橫坐標(biāo)，其中”是方程②的每一個解.

方程③有解時，必有〃上o,方程②有解，必有此0,

因此下面可以只考慮此o的情況和方程②中的非負(fù)實數(shù)解.

(1)當(dāng)7=0時，方程②有一個非負(fù)實數(shù)解〃=1,方程③有且只有2解，故方程①

只有2解，不合題意；

(2)當(dāng)時，②只有2個非負(fù)實數(shù)解%此且。<小<1<"2<2,

對于內(nèi)方程③有三個解，對于物方程③有兩個解，

這5個解是直線〉=%/=%和函數(shù)/(x)的圖象的5個不同交點的橫坐標(biāo)，

由圖可知顯然是不同的，所以這時方程①共五個解，即函數(shù)*x)有且只有5個零

點，符合題意；

(3)當(dāng)f=l時，②只有1個非負(fù)實數(shù)解〃=2,此時方程③有兩個解，所以方程①

有2解，即尸(x)只有2個零點，不合題意；

(4)當(dāng)止(1,2),方程②只有1個非負(fù)解〃且2<支<1+后，此時③只有1個解，不

合題意；

(5)當(dāng)/=2時，方程②有兩個解，%=0或2</<l+0，

對于%=0,方程③有1個解；對于2<%<1+拒，此時方程③有1個解，故方程①

只有2個解，不合題意；

(6)當(dāng)fe(2,+8),方程②只有一個解“且〃>2,此時方程③只有1個解，故方程

①只有1個解，不合題意.

綜上所述，若尸(x)有5個零點，貝UO<X1,故D正確，

故選ACD.

12.【答案】3+2拒/2及+3

【詳解】由題意得工+冬/1+日?+了>1+2+4注3+2也，

xy\xyJxy

當(dāng)且僅當(dāng)上=2時，即尤=0-1/=2-收時取等號.

xy

13.【答案】(3,5)

【詳解】

由題意，以力為坐標(biāo)原點，N8方向為無軸建立平面直角坐標(biāo)系,

8/14

設(shè)/8公=仇。?0,兀),

因為在V/BC中，AB=6,AC=3,

則^(0,0),5(6,0),C(3cos6?,3sin6>),

又點。在BC上且C￡>=28D,

設(shè)Z)(x,y),貝UCD=(x-3cos0,y-3sin0),DB=(6-x,-y),

又麗=2麗，貝U(x-3cose,_v-3sin6)=2(6-x,-y),

解得x=4+cos6,y=sin。，所以AD=(4+cos。,sin6),

所以=(4+cos6)2+(sin6)2=17+8cos<9,

因為cos。e（-1,1）,所以西、（9,25）,貝l］畫e（3,5）,

所以的取值范圍是（3,5）.

?田g、18

14.【答案】—

【詳解】設(shè)函數(shù)/（X）的周期為T,由

結(jié)合正弦函數(shù)圖象的特征可知,

itTiTkT771T左T7z

—+—=—I-----=—=—I------，左wN.

34421242

T-77t一

----,co=—(1+2t)#€N

故―30+2后廠§1+2左)7

7

又因為y（x）在區(qū)間底句上單調(diào)，所以,7i7ir故Y，

232

所以—r~―r>—k<N

切以3(1+2左)3

兀71

即+0=〃兀(〃wZ)且0<(P<-，

所以，當(dāng)k=0時，co=—,=-—+WTI(HGZ),9〉工或夕<0,舍.

當(dāng)k=\時，co=-,9=一生+〃兀(〃EZ),(p=—,符合條件.

77''7

當(dāng)k=2時，G)=一,(p=------+?7l(77GZ),°〉一或。<0,舍.

77v72

由I、I1871

所以幻二7,9=7.

22

15.【答案】⑴土+匕=1

129

(2)y=±V6x+6

c1

【詳解】(1)由e=—=彳，得”=2c,則/=4/=〃+。2,所以〃=3。2,

a2

9/14

將點尸卜,|］代入橢圓方程得卷+.=1,解得,2=3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+仁=1.

129

（2）依題意直線斜率存在，設(shè)直線48的方程為，=丘+6,并設(shè)點4,6的坐標(biāo)

分別為（國,必）,（%，%）?

（方法一）

\y=kx+6,、，

聯(lián)立方程，2…打消去y得（3+4/）/+48丘+108=0,

3

依題意，△=（48左了一4x108（4〃+3）=144（4左2—9）>0,：.\k\>-,

口—48左108

且西+%=----7T，再入2=----7T，

123+4左2123+4左2

依題意方.礪=0，即再入2+（句+6）（生+6）=0,

整理得（左2+1）再%2+6左（再+%2）+36=0,

”K，2108（7—48左,八

從而（上+1）----+6k-------y+36=0,

3+4左23+4左2

3

「?216—36左之=0,解得左=_遙，k2=469滿足|左>5.

從而直線4夕的方程為>=±46x+6.

（方法二）

將尸丘+6即6=>-丘代入3—+4/=36,得3/+4/=（y-kx）2,

整理得，3卜］+241+3-后2=0,

3

依題意，A=（24）2—4x3（3—左2）>0,：.\k\>~,

依題意，&?匹==仁=-1,解得左=±&，滿足/>：,

xxx232

所以48的方程為歹=±y［6x+6.

16.【答案］（1）>=1

⑵a>-

e

【詳解】（1）當(dāng)“=1時，/（x）=lnx+-,貝

XXX

10/14

所以/'(1)=0,又/(1)=1,

則所求切線方程為y=L

(2)/(x)2Ina=In(tzx)+—>ln6z^>lnx+—>0,其中1>0,

XX

所以問題轉(zhuǎn)化為。2-xlnx(x>0)恒成立，

記g(x)=-xlnx,貝!jg'(x)=Tnx-l,

令g'O)>0,得0<%<,；令gf(x)<0,得%>,，

ee

所以g(x)在(o,j上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減，

g(x)的最大值為所以。

ee

17.【答案】(1)證明見解析

⑵4

【詳解】(1)因為/O=cr>,AB=BC,所以8。是線段/C的中垂線，

即BDYAC,

又PN_L平面ABCD,8。u平面ABCD,則BDVPA,

由尸/nZC=Z,PA,NCu平面P/C,

所以AD1平面尸/C.

(2)設(shè)3。與/C相交于點O,取PC的中點。，連接。。.因為8。是線段/C的中

垂線，

所以。是NC的中點，則。?！Γ襉Q=；P/=1.

由尸/_L平面/8CA,AC,3。匚平面/8。。，得P4_L/C,PAA.BD,

所以O(shè)QL/C,OQYBD.

由條件，可求得OB=JBC2-OC2=6，OD=yJcD2-OC2=273>

以赤，OC，而分別為X軸，y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

易得40,-1,0),5(73,0,0),C(0,l,0),。(-2百,0,0),P(0,-l,2).

Q

Ao、\

B

___UUl

設(shè)平面FAB的法向量為nx=(xl,yl,zl),PA=(0,0-2),尸B=(j3,l,-2),

n,-PA=—2Z]=0I-

由,———?i—，取項=1,則必=—A/39Z]=0,

々?尸5=>/3再+弘一24=0

所以平面尸的一個法向量為成=(1,-6,0).

11/14

設(shè)平面產(chǎn)⑶的法向量為第=(工2，%/2),PC=(0,2,-2),而=(—2月,1,—2),

n??PC=2%-2z=0

由《一——?r-?，取為=2百，貝！J%=-1，z2=，

n2-PD=-2>/3%1+y2-2z2=0

所以平面PCD的一個法向量為％=(-1,2百,2百).

7

所以平面尸48與平面PCD夾角的余弦值為歷

18.【答案】(1)0.648

(2)分布列見解析；期望為2.8928

【詳解】(1)記甲代表隊奪冠為事件4甲代表隊以比分2:0奪冠為事件4，比分

2:1奪冠為事件4，

尸(4)=0.6x0.6=0.36,

P(4)=60.6x0.4x0.6=0.288,

P(A)=P(4)+P(A2)=0.36+0.288=0.648,

所以甲代表隊奪冠的概率為0.648.

(2)比賽2局結(jié)束的概率為0.6x0.6+0.4x0.4=0.52,

比賽3局結(jié)束的概率為1-0.52=0.48,

隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,

P(^=4)=0.52x1+0.48x|x1=0.1232,

43

P(X=2)=0.48x-x-=0.2304,

44214

P(X=3)=0.52x-+0.48x-x-+0.48x—x—=0.6464,

55555

故隨機(jī)變量X的分布列為

X234

p0.23040.64640.1232

E(X)=2x0.2304+3x0.6464+4x0.1232=2.8928.

19.【答案】(1)S={2,4,8,10,12},|S|=5

⑵證明見解析

(3)2〃

【詳解】(1)因為％=0,%=2,%=4,%=12,貝!］尤=%—卬,14，</4雙的可能

情況有：

電一％=2,%%=4,%—4=12,a3~a2=2,a4—a2=10,a4-a3=S,

所以S={2,4,8,10,12},|S|=5.

(2)“充分性”：4為等差數(shù)列:%,%+d,%+2d,…，％+O-l)d

(dwO).

12/14

貝1x=%-4=［%+(/-1)即_［。］+(7—1)引=(1<z<j<m),

J—能取從1到優(yōu)-1的每個整數(shù)，故5={4,2乩3分-,(冽一1)4},

因此

“必要性”：不妨設(shè)/為遞增數(shù)列：4,外，…，金，作運(yùn)算并比較如下：

電-%<%-4<%-%<,,<%-%，共("7-1)個互不相等的數(shù)，同理

a3-a2<a^-a2<a5-a2<---<am-a2<am-ax,共(〃2-1)個互不相等的數(shù).

a4-a3<a5-a3<a6-a3<---<am-a3<am-a1<am-ax,共(mT)個互不相等的數(shù).

??,-i<a,?-am_2<am-娛<…<am-a2<am-ax,共(mT)個互不相等的數(shù)，

由|S|=/n-l及力的有窮性，知

==a

。2—Q]='''m~〃加一1.

即/為等差數(shù)列.

(3)因為數(shù)列/由1,2,3,4,…，n,2〃這(〃+1)個數(shù)組成且項數(shù)為2〃+1,所

以數(shù)列/中必有相等的項，則任意兩項的差值可能為0,±1,±2,±3,…，+n,

±(n+1),±(M+2),???,±(2n-l),

其中，必有OeS,對于f=l,2,3,…，2n-l,t和T至少有一個屬于S,

所以2〃4|S區(qū)4?-l.

(方法一)

①當(dāng)數(shù)列力為