數(shù)學(xué)符號意識的理解符號語言是在文字語言的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它把文字語言的主要內(nèi)容以直觀、形象的方式簡練地表示出來，方便地進(jìn)行表達(dá)、交流、思考以及解決問題。數(shù)學(xué)符號能夠精確地表達(dá)某種概念、方法、數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，從而為數(shù)學(xué)交流和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了方便?！稑?biāo)準(zhǔn)》根據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科和課程特點，把在解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生的"符號感"作為義務(wù)教育階段的一個重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容。一、如何理解符號感符號是數(shù)學(xué)的語言，是人們進(jìn)行表示、計算、推理、交流和解決問題的工具。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一是要使學(xué)生懂得符號的意義、會運(yùn)用符號解決實際問題和數(shù)學(xué)本身的問題，發(fā)展學(xué)生的符號感?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的符號感，并指出：“符號感主要表現(xiàn)在：從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題?！?．無論在哪個學(xué)段，都應(yīng)鼓勵學(xué)生用自己獨特的方式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化，規(guī)律，這是發(fā)展學(xué)生符號感的決定性因素。學(xué)生已有的生活經(jīng)驗中潛藏著“符號意識”，這是發(fā)展學(xué)生“符號感”的重要基礎(chǔ)。比如，路口有標(biāo)志“”，表示此路不通；某場地有標(biāo)志“”表示可以停車；還有地圖上的各種標(biāo)識，等等。從某種意義上講，我們生活在一個被“符號化”的世界。然而，數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)會“符號運(yùn)算”似乎是一個極大的難題。原因何在？主要的問題在于我們以往的教學(xué)不承認(rèn)學(xué)生經(jīng)驗中的“符號世界”，沒有給學(xué)生提供機(jī)會經(jīng)歷“從具體事物→學(xué)生個性化的符號表示→學(xué)會數(shù)學(xué)地表示”這一逐步符號化、形式化的過程。例如，在解決“一張桌子最多可以圍坐6人，15人至少需要多少張桌子？”這一問題時，有的學(xué)生可能會通過實際“排演”找到答案；有的學(xué)生可能會用長方形的小片表示桌子，用小圓片表示人，然后通過操作找到答案；還有的學(xué)生可能會在白紙上畫出下圖給出答案。當(dāng)然，也有的學(xué)生會通過列算式求得結(jié)果。又如，《標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段給出了一個案例：按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序擺下去，第16個氣球的顏色是什么？學(xué)生利用經(jīng)驗，可以給出多種解題策略。策略一：紅紅紅黃黃綠紅紅紅黃黃綠紅紅紅黃；策略二：A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，AAABBCAAABBCAAAB。策略三：1表示紅氣球，2表示黃氣球，3表示綠氣球，1112231112231112…。又如，表示"由矮到高的3個人"也可以有多種方式：上述案例表明，“符號感”的發(fā)展需要有堅實的經(jīng)驗基礎(chǔ)。應(yīng)促進(jìn)學(xué)生在交流、分享的過程中，豐富經(jīng)驗，學(xué)習(xí)符號化的多種途徑，逐步體會用數(shù)、形將實際問題"符號化"的優(yōu)越性。2．引進(jìn)字母表示是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號、學(xué)會用符號表示具體情境中隱含的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的重要一步。引進(jìn)字母表示，是用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)。荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家H.Freudenthal指出：“代數(shù)開始的典型特征是文字演算。”字母作為數(shù)學(xué)符號有兩種作用。首先，字母可作為專用名詞，如π是個完全確定的數(shù)，或用A表示兩直線交點。顯然，特定集合需要使用標(biāo)準(zhǔn)的專用名詞，如Z，N。其次，字母可作為不確定的名詞，就像日常生活中的“人”，可以表示所有的人。用符號來表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系，也像普通的語言一樣，首先需要引進(jìn)基本的字母。在數(shù)學(xué)語言中，像數(shù)字以及表示數(shù)的字母、表示點的字母、+一×÷等表示運(yùn)算的符號、=<>等表示關(guān)系的符號等等，都是用數(shù)學(xué)語言刻畫各種現(xiàn)實問題的基礎(chǔ)。從第二學(xué)段開始接觸用字母表示數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的重要一步。從研究一個個特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，是學(xué)生認(rèn)識上的一個飛躍，初學(xué)時學(xué)生往往會感到困難，或者是形式地死記硬背，而不理解其意義。要盡可能從實際問題中引入，使學(xué)生感受到字母表示數(shù)的意義。第一，用字母表示運(yùn)算法則、運(yùn)算律以及計算公式。這種一般化是基于算法的，常常開始于算術(shù)中對數(shù)的運(yùn)算。算法的一般化，深化和發(fā)展了對數(shù)的知識。第二，用關(guān)系式、表格、圖象表示變量之間的關(guān)系。如，有一張正方形的紙，在它的四個角分別剪去一個相同的小正方形，制成一個無蓋長方體，怎樣才能使制成的無蓋長方體的體積盡可能大？假設(shè)正方形紙的邊長為20cm，剪去的小正方形的邊長依次為1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，折成的無蓋長方體的體積將如何變化？(1)可用表格表示：小正方形的邊長/m12345678910無蓋長方體的體積/cm3通過表格，可以觀察到當(dāng)小正方形的邊長為3cm時，無蓋長方體的體積最大。我們把小正方形的邊長在2.5cm33j3.5cm之間進(jìn)行細(xì)化，這時得到，當(dāng)小正方形的邊長為3.5cm時，無蓋長方體的體積最大。我們還可以把小正方形的邊長在3cm到4cm之間再進(jìn)行細(xì)化?？傊?，我們可以根據(jù)所要求的精確度繼續(xù)上述過程，直到得出滿足要求的結(jié)果為止。(2)用圖象表示：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫圖，把用表格表示的關(guān)系用圖象進(jìn)行表示(下圖)。(3)用關(guān)系式表示：設(shè)所折無蓋長方體體積為V，長方體的高為h，則無蓋長方體的體積V與高h(yuǎn)的關(guān)系是：V=h(20-2h)2。會用符號進(jìn)行表示，也就是會把實際問題中的數(shù)量關(guān)系用符號表示出來，這個過程叫做符號化。符號化的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，隨后就是進(jìn)行符號運(yùn)算和推理，最后得到結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)建模的思想。事實上，我們所熟悉的方程和函數(shù)都是某種問題的數(shù)學(xué)模型。第三，能從關(guān)系式、表格、圖象所表示的變量之間的關(guān)系中獲取所需信息。.如，下圖是汽車運(yùn)動的速度和時間的關(guān)系圖：(1)汽車運(yùn)動的時間范圍和速度范圍是什么？(2)在最初的15分中，汽車速度的變化有什么特點？在開出后的第15分，汽車的速度是多少？(3)在以后的15分中，汽車速度的變化可以怎樣描述？在第30分時，汽車的速度是多少？(4)在最后的10分中，汽車速度的變化有什么特點？在第40分時，汽車的速度是多少？學(xué)生應(yīng)該能夠用語言正確地描述圖象所表示的關(guān)系，從圖中獲得以上問題的答案。4．會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。在現(xiàn)實生活中，符號間的轉(zhuǎn)換是豐富多彩的。這里所說的符號間的轉(zhuǎn)換，主要指表示變量之間關(guān)系的表格法、關(guān)系式法、圖象法和語言表示之間的轉(zhuǎn)換。用多種形式描述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象是一種有效地獲得對概念本身或問題背景深入理解的方法，因此多種表示方法不僅可以加強(qiáng)對概念的理解，也是解決問題的重要策略。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度看，不同的思維形式，它們之間的轉(zhuǎn)換及其表達(dá)方式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。能把變量之間關(guān)系的一種表示形式轉(zhuǎn)換為另一種表示形式，構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要方面。如，某烤雞店在確定烤雞的烤制時間時主要依據(jù)的是下面表格中的數(shù)據(jù)：雞的質(zhì)量/千克0.511.522.533.54烤制時間/分406080100120140160180利用表格我們可以直接地看到雞的質(zhì)量和需要烤制的時間，但是如果我們恰好需要烤制3.2千克的雞，那么就需要把表格表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)系式表示。用關(guān)系式表示：設(shè)雞的質(zhì)量為w千克，烤制時間為t分。從表中可以看出，質(zhì)量每增加0.5千克，時間增加20分，由此可知t可能是切的一次函數(shù)。實際上，烤制時間t(分)與雞的質(zhì)量w(千克)的關(guān)系式為：t=40w+20。利用關(guān)系式我們可以方便地求出表格中沒有給出的數(shù)值，如當(dāng)w=3.2時，t=40×3.2+20=148，即當(dāng)雞的質(zhì)量為3.2千克時，烤制時間為148分。不論是從表格表示還是關(guān)系式表示，我們都可以容易地轉(zhuǎn)化為圖象表示。圖象對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖象表示以其直觀性有著其他的表示方式所不能替代的作用，圖象將關(guān)系式和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何形式，因此，圖象是“看見”相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途經(jīng)之一。這幾種表示之間是互相聯(lián)系的，一種表示的改變會影響到另一種表示的改變。5.能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。解決問題的第一步是將問題用符號進(jìn)行表示，也就是進(jìn)行符號化。第二步是選擇算法，進(jìn)行符號運(yùn)算。第一步是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即數(shù)學(xué)化，第二步是在數(shù)學(xué)內(nèi)部的推理、運(yùn)算等。比如，我們將一個實際問題表示為一個一元二次方程，然后根據(jù)方程我們選擇用公式法去求解。會進(jìn)行符號運(yùn)算也是很重要的。二、如何培養(yǎng)學(xué)生的符號感要盡可能在實際問題情境中幫助學(xué)生理解符號以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，在解決實際問題中發(fā)展學(xué)生的符號感。在教材編寫與教學(xué)中，對符號演算的處理應(yīng)盡量避免讓學(xué)生機(jī)械地練習(xí)和記憶，而應(yīng)增加實際背景、探索過程、幾何解釋等，以幫助學(xué)生理解。如果說代數(shù)是一種語言的話，則數(shù)字和字母就是這種語言的“字母”，表達(dá)式就是這種語言的“詞”，關(guān)系式(如等式、不等式)就是這種語言的“句子”。既然是語言