肇慶市2023-2024學(xué)年高一第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后,

用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非

選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知樣本空間C={123,4},事件/={1,2},'={2,3},則P（/UB）=（）

3111

A.-B.-C.—D.一

4246

2.若向量則下列與向量。垂直的向量是（）

A.（-1,7）B.（1,7）C.（7,1）D.（-7,1）

3.某射手射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為5,6,9,8,7,則命中環(huán)數(shù)的方差為（）

A.2B.2.2C.3D.7

4.歐拉公式efcosx+isinx（e為自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，xeR）建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的

2TI

關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.根據(jù)以上內(nèi)容，可知「Hi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.E^Dl+tanl5°=tan(z(l-tanl5°),則tan2a=()

A--B.史C.-V3D.也

-22

jr

6.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若b2=”+c2—4,B=—,則的面積為

4

（）

A.1B.1C.V2D.2

7.將函數(shù)/（x）=sinxcosx圖象上的所有點(diǎn)都向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫

1/21

坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則（

B-g(x)=gsinUx+y

A.72I5j

C.g(x)=sinx+—D.g(x)=sinf4x+y

—-—■i

8.已知單位圓。與X軸正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)8在第二象限且在單位圓上.若OBOA=——,劣弧的

3

中點(diǎn)為C,則云=（)

fV60(省2

A.B.C.241D.

35T

〔亍司7T'57

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=2-3i,則下列命題為真命題的有（）

A.z的虛部為—3

B.|z|=V13

■10

C.Z-1=Z

D.若z是關(guān)于x的方程/+〃x+q=0（〃qeR）的一個(gè)根，則。+q=9

10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記事件4="第一次向上的點(diǎn)數(shù)為i”[=1,2,3,4,5,6）,

Bj="第二次向上的點(diǎn)數(shù)為/"（/=1,2,3,4,5,6）,C="兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（）

A.P（4）=1B.尸（反

c.4片與其名是互斥事件D.4與。相互獨(dú)立

11.已知函數(shù)/（x）=sinox+J5cosox（0〉0）,xe[0,7i],對(duì)Vxe[0,兀]都有加W",且

/（x）的零點(diǎn)有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有（）

A.M+m=0

811

B.①的取值范圍為

35T

C.使/（玉））=N的與有且只有2個(gè)

2/21

D.方程/(x)=6的所有根之和為6萬

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(1一。(加+3i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加=.

13.已知函數(shù)/(x)=cosx-2sinx,當(dāng)/(x)取得最大值時(shí)，cosx=.

14.如圖，M到N的電路中有5個(gè)元件工，T2,T4,T5,電流能通過7],T2,T3,4的概率都為

0.8,電流能通過《的概率為0.9,且電流能否通過各元件相互獨(dú)立，則電流能在M與N之間通過的概率

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某學(xué)校教研室為了解高一學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了120個(gè)學(xué)生，把記錄的數(shù)學(xué)成績(jī)

分為5組：[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],并繪制成了頻率分布直方圖，如圖

所示：

(1)求。的值，并估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)及眾數(shù)；

(2)在樣本中，若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從樣本中抽取數(shù)學(xué)成績(jī)不及格和及格的學(xué)生共20

人，求及格的學(xué)生應(yīng)抽取多少人.

16.一個(gè)不透明的盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，5個(gè)球除顏色外完全相同.

(1)從盒中有放回地摸球，求第一次與第二次摸到的都是紅球的概率；

(2)每次從盒中任取兩個(gè)球，游戲規(guī)則：若都是紅球，則放回盒中；若有白球，則將白球換成紅球(非盒

內(nèi)，且與原盒中紅球相同)，再把兩個(gè)紅球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是紅球，游戲結(jié)束.求

經(jīng)過2次抽取后游戲結(jié)束的概率.

3/21

17.已知向量,，e2滿足=1，卜21=G,,與e2的夾角為高.

(1)求4?02；

(2)a-ex+2e2,b=-3el,求cos,,3的值;

(3)若［在［方向上的投影向量為〉求以鼻-W(2eR)的最小值.

18.如圖1,天津永樂橋摩天輪是天津市的地標(biāo)之一，又稱天津之眼，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪,

兼具觀光和交通功能.永樂橋摩天輪最高點(diǎn)距橋面121m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置48個(gè)均勻分布的透明

座艙，開啟后逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為28min.如圖2,設(shè)座艙距橋面最近的位置為點(diǎn)P,

以軸心。為原點(diǎn)，與橋面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.游客從點(diǎn)尸進(jìn)艙，游客甲、乙的位置分別用

點(diǎn)N(55cosa,55sina),B(55cos/?,55sin/?)表示，其中a,￡是終邊落在。4,08的正角.

/、、十rrt..c-(XB.OL—B

(1)證明：sma-smp=2cos-^-sm--^―；

(2)求游客甲的位置A距橋面的高度〃(m)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間(min)的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的條件下，若游客甲、乙的座艙之間還有二個(gè)座艙，乙的位置8距橋面的高度為〃，求在轉(zhuǎn)

動(dòng)一周的過程中以'-川的最大值.

19.已知的內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為凡仇c,若bcosZ+sin5=0,a=JL。為平面內(nèi)一點(diǎn),

且滿足網(wǎng)=畫=函.

(1)求A；

(2)求(方+/)?4的最小值；

(3)若麗求W+3西的取值范圍.

4/21

肇慶市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，

用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非

選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知樣本空間Q={123,4},事件/={1,2},'={2,3},則P(/UB)=()

3111

A.-B.-C.—D.一

4246

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?{1,2,3,4},且事件］={1,2},5={2,3},則NU8={1,2,3},

所以「

故選：A

2.若向量。=(1,-7),則下列與向量￡垂直的向量是()

A.(-1,7)B.(1,7)C.(7,1)D.(-7,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：lx(-l)+7x(-7)=-50^0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：1x1+7x(―7)=—48w0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：lx7+lx(—7)=0,故C正確；

對(duì)于D：lx(-7)+lx(-7)=-14^0,故D錯(cuò)誤.

5/21

故選：c

3.某射手射靶5次，命中的環(huán)數(shù)分別為5,6,9,8,7,則命中環(huán)數(shù)的方差為（）

A.2B.2.2C.3D.7

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由方差的計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，命中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)為;（5+6+9+8+7）=7,

則方差為耳（5—7）2+（6—7/+（9—7/+（8—7）2+（7—7月=2.

故選：A

4.歐拉公式e?=cosx+isiiu（e為自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，xwR）建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的

關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.根據(jù)以上內(nèi)容，可知.與i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

2兀.1

【分析】由題意可得e^'=-上+9i，可得結(jié)論.

22

【詳解】由歐拉公式en=cosx+isiiw（e為自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，xeR）,

27r.

2兀2兀

可得e3=cos---Fism——二

33

所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-；,?）位于第二象限.

故選：B.

5.E^l+tanl5°=tan（z（l-tanl5°）,貝tan2a=（）

A.一"B.叵C.-V3D.V3

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的和差角公式可得tana=百，再由正切函數(shù)的二倍角公式，代入計(jì)算,

6/21

即可求解.

【詳解】由l+tanl50=tana(l-tanl50)

一，口1+tanl50tan450+tan15°rr

可得tan。=---------=------------------=tan60°=V3，

l-tanl5°l-tan450-tanl5°

c2tana

則tan2a=20

故選：c

JT

6.“BC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,若/=1+,2一4，B=—,則的面積為

4

()

A.yB.1C.72D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理結(jié)合三角形面積公式求解三角形的面積即可.

【詳解】由余弦定理得b~=a~+c——4=a~+c——2accos—=a~+—A/2(7C,則=4，

則ac=2血，則AZ8C的面積為gacsin3=l.

故選：B

7.將函數(shù)/(x)=sinxcosx圖象上的所有點(diǎn)都向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫

坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則()

B.g(x)=g

A.sinUx+y

,2I5)

C.g(x)=sin[x+]]D.g(x)=sin^4x+jj

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角公式結(jié)合圖像變換的知識(shí)求解即可.

11JT

【詳解】/(x)=-x2siwccosx=-sin2x,將所有點(diǎn)都向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到

兀)1?//兀1)1.J2*

/xH———sin2xH———sin2xH---,

I5；2U5；J2I5J

7/21

再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)=gsin[x+g}

故選：A.

—,—■1

8.已知單位圓O與％軸正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)8在第二象限且在單位圓上.若OBOA=—,劣弧的

3

中點(diǎn)為C,則厲=()

〔33J133J

【答案】A

【解析】

—■—■1一手)，設(shè)。8與x正半軸的夾角為2a,則

【分析】通過單位圓、A點(diǎn)坐標(biāo)及=-得5(

12-\/2

cos2a=——,sin2(z=-^，求出sin/cose即可.

33

【詳解】由題意可知，1(1,0),則02=(1,0),

a2+b2=1

8在第二象限且在單位圓上，設(shè)55))，且《,,,,則無=(a,b),

瞅0/)0

__??11o./o故嗎苧.

因?yàn)镺5-CU=a+0=——,所以。=—士，即6

333

設(shè)05與X正半軸的夾角為2a，貝Ucos2a=1-2sin2a-——,sin2a-2sinacosa-------

33

因?yàn)閟in2a>0,且2a￡(0,7i）,則a所以sina，

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為C(g,g),故反=（且,逅）.

33

故選：A.

8/21

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=2-3i,則下列命題為真命題的有()

A.z的虛部為—3

B.|z|=V13

Cz-i10=z

D.若z是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,qeR)的一個(gè)根，則。+q=9

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得復(fù)數(shù)的虛部與模可判斷AB,求得zl°，可判斷C；由已知可得20+夕-5+(-12-3o)i=0,

可求得0+4判斷D.

【詳解】對(duì)于A：由z=2-3i,可得復(fù)數(shù)z的虛部為-3,故A正確；

對(duì)于B：|z|=722+(-3)2=V13.故B正確；

對(duì)于C：z.i10=(2-3i).i2+4x2=(2-3i).i2=-2+3iz-故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閦是關(guān)于x的方程f+px+q=O(“qeR)的一個(gè)根，

所以(2—3i)2+p(2—3i)+q=0,所以4—9—12i+22—3pi+q=0,

2p+q—5=0

所以20+q—5+(—12—32)i=0,所以二:八，解得夕=—4國(guó)=13,

-12-3^9=0

所以p+q=9,故D正確；

故選：ABD.

10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記事件4="第一次向上的點(diǎn)數(shù)為i”[=1,2,3,4,5,6),

Bj="第二次向上的點(diǎn)數(shù)為/"(/=1,2,3,4,5,6),C="兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則()

9/21

1/_\1

A.P(4)=-B.P(53C)=-

c.4片與4鳥是互斥事件D.4與。相互獨(dú)立

【答案】ACD

【解析】

【分析】由古典概型計(jì)算尸(4),P(53C),判斷A,B;運(yùn)用互斥事件概念判斷C；利用獨(dú)立事件的定義,

結(jié)合古典概型判斷D.

【詳解】拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

4表示第一次向上出現(xiàn)i點(diǎn)(，=1,2,3,4,5,6),第二次向上任一點(diǎn)，P(4)=，(z=1,2,3,4,5,6),則A正確.

6

員4表示第二次向上出現(xiàn)3點(diǎn)且兩次向上點(diǎn)數(shù)之和不是7,則第一次向上出現(xiàn)不是4,

則等價(jià)于說第一次出現(xiàn)1,2,3,5,6,第二次向上是3點(diǎn).

滿足題意的有(1,3),(2,3),(3,3),(5,3),(6,3),共5種，則概率為尸(為可.故B錯(cuò)誤.

4片表示點(diǎn)數(shù)組合(U),表示出現(xiàn)2),不能同時(shí)發(fā)生，故4片與4員是互斥事件，故C正確.

由A知道，P(4)=1,C表示兩次點(diǎn)數(shù)之和是7,則C包含結(jié)果數(shù)為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

共6種，則概率P(C)=9=L

366

4。表示第一次出現(xiàn)1點(diǎn)，且兩次和為7.滿足題意的有(1,6).則p(4O=」-.

36

故p(z。)=P(ZJP(C).則4與c相互獨(dú)立.故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/(x)=sin<wc+J5cos0x(?！?),xe[0,7i],對(duì)X/xe[0,兀]都有zwW且/(x)

的零點(diǎn)有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有()

A.M+m=Q

B.0的取值范圍為(g,?]

10/21

C.使/(玉))=M的％有且只有2個(gè)

D.方程/(x)=6的所有根之和為6萬

【答案】AC

【解析】

【分析】/(x)=sin<wx+V3cos<x>x=2sin(<x?x+j),始終把。x+。看做一個(gè)整體，借助正弦函數(shù)的圖象、

最值、方程的根來對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】/(x)=sinaix+V3cosa)x=2sin(a)x+y),令t=a)x+?,則y=2sin/,

令/(x)=0,即sinf=0,

「八1兀兀兀

VXG0,71,：.t=(DX+—e一,刃兀+一

L」333

則/(X)在［0,可上有3個(gè)零點(diǎn)，

兀

則3兀<tmax<4兀，即3兀V兀+］<4兀，

Q11

解得一<。<一,故B錯(cuò)誤；

33

「八］兀兀71

L」333

則M=2,加=—2,所以M+加=0,故A正確;

若/(%)=Af=2,即sin(^x0+三)=1,

7171v7157T,.

COXQ+§=W或①，0+]=，故C正確；

"0)=6,且/(X)的零點(diǎn)有且只有3個(gè),

所以方程/(X)=V3有四個(gè)根，從小到大分別為0,七,工2戶3?

/(x)=百，即sint=

兀2兀717Tl兀8兀

則‘1~69X]+—=~-,t2—①X2+——―/3—CDX^+——,

14TI

則①(0+$+%2+%3)=~~-，

故0+芭+/+》3=曹，即方程/(》)=百的所有根之和為黑，故D錯(cuò)誤.

11/21

故選：AC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決。的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和卡住口的大致范圍，如本題B選項(xiàng),

具體方法為：

(1)根據(jù)x的范圍，求出的范圍；

(2)把看成一個(gè)整體，即利用換元法，把y=/sin(ox+0)變成y=/sint來降低解決問題的難度,

再借助正弦函數(shù)的圖象，要使〃x)有3個(gè)零點(diǎn)，則&X+。的最大值就必須在［3兀,4兀)之間，列出不等式即

可求出。的取值范圍.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(l—i)(加+3i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加=.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程(不等式)組，解得即可.

【詳解】因?yàn)?l-i)(加+3i)=M+3ii—3/=(加+3)+(3■-加)i,

加+3=0

又(1—i)(加+3i)為純虛數(shù)，所以｛3—加力0，解得％=一3.

故答案為：-3

13.已知函數(shù)/(x)=cosx-2sinx,當(dāng)/(x)取得最大值時(shí)，cosx=.

【答案】省

5

【解析】

【分析】利用輔助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可.

【詳解】f(X)=cosx-2sinx=75cos(x+(p),其中cos。=@,sin。=冬￡,

當(dāng)/(x)取得最大值時(shí)，cos(x+0)=1,sin(x+°)=0,

所以cosx二cos[(x+°)—°]=cos(x+°)cos°+sin(x+0)sin°=1x

12/21

故答案為:

5

14.如圖，M到N的電路中有5個(gè)元件7],T2,T3,T4,T5,電流能通過7；,T2,T3,7；的概率都為

0.8,電流能通過月的概率為0.9,且電流能否通過各元件相互獨(dú)立，則電流能在M與N之間通過的概率

為.

【答案】0.99216

【解析】

【分析】先應(yīng)用獨(dú)立事件的概率乘法公式，再結(jié)合互斥事件的概率和公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)TZZ，&4能通過電流分別為事件4,4,4，4，4，事件相互獨(dú)立，

設(shè)電流能在〃與"之間通過為事件B,

所以P(5)=P(4)+(1—P(ZZ))(1-P(4W))P(4)=09+(1-0.2x0.2)x(1-0.2x0.2)x0.1=0.99216.

故答案為：0.99216.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某學(xué)校教研室為了解高一學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了120個(gè)學(xué)生，把記錄的數(shù)學(xué)成績(jī)

分為5組：[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],并繪制成了頻率分布直方圖，如圖

所示：

(1)求。的值，并估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)及眾數(shù)；

(2)在樣本中，若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從樣本中抽取數(shù)學(xué)成績(jī)不及格和及格的學(xué)生共20

人，求及格的學(xué)生應(yīng)抽取多少人.

【答案】(1)。=0.0125；中位數(shù)102.5；眾數(shù)100

(2)15

13/21

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由頻率分布直方圖的性質(zhì)代入計(jì)算，即可求得。，再由中位數(shù)與眾數(shù)的計(jì)算公式代

入計(jì)算，即可求解；

(2)根據(jù)題意，由頻率分布直方圖可得及格的人數(shù)，再由分層抽樣的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，(0.0025+0.01+0.02+a+0.005)x20=l,

解得a=0.0125，

設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)?0.0025+0.01)x20=0.25<0.5,

(0.0025+0.01+0.02)x20=0,65>0,5,

所以中位數(shù)在［90,110)范圍內(nèi)，

則(0.0025+0.01)x20+(x—90)x0.02=0.5,解得x=102.5,

則中位數(shù)為102.5,再由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為100.

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖可知,及格的人數(shù)為(0.02+0.0125+0.005)x20x120=90人，

90

再由分層抽樣可得，及格的學(xué)生應(yīng)抽取——x20=15人.

120

16.一個(gè)不透明的盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，5個(gè)球除顏色外完全相同.

(1)從盒中有放回地摸球，求第一次與第二次摸到的都是紅球的概率；

(2)每次從盒中任取兩個(gè)球，游戲規(guī)則：若都是紅球，則放回盒中；若有白球，則將白球換成紅球(非盒

內(nèi)，且與原盒中紅球相同)，再把兩個(gè)紅球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是紅球，游戲結(jié)束.求

經(jīng)過2次抽取后游戲結(jié)束的概率.

【答案】⑴福

，、

(2)-2--7-

100

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；

(2)首先利用列舉法求出取一次球取到兩球都是紅球的概率，取到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率，取得兩球都

是白球的概率，再分兩種情況討論，利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

設(shè)第一次與第二次摸到的都是紅球?yàn)槭录嗀,

14/21

339

PllJP（/l）=-X-=-.

【小問2詳解】

記3個(gè)紅球分別為“，b,c,2個(gè)白球分別為。、E,

則從盒子中任取兩個(gè)球所有可能結(jié)果為,訛，aD,aE,be,bD,bE,cD,cE,DE共10種,

所以取到兩球都是紅球的概率為正，取到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為歷=],

取得兩球都是白球的概率為工；

10

經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球分兩種情況：

31

①第一次取出兩個(gè)紅球，概率為一，第二次取出兩個(gè)白球，概率為一，

1010

313

故經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為一義一=——；

1010100

342

②第一次取出一個(gè)紅球一個(gè)白球，概率為—，第二次取出一個(gè)紅球一個(gè)白球，概率為一=—,

5105

故經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為之義工=9；

5525

綜上，經(jīng)過2次抽取后盒中恰好都是紅球的概率為一+—=—.

10025100

17.已知向量,，滿足I4=1，,a1=G,,與62的夾角為

（1）求1?線;

（2）a-ex+2e2,b=-3et,求cos1,B的值；

（3）若[在[方向上的投影向量為卻求k]-@（2eR）的最小值.

3

【答案】（1）--

2

【解析】

【分析】（1）由向量的數(shù)量積的定義即可求解；

（2）利用向量的夾角公式求解即可；

（3）先求得投影向量，進(jìn)而計(jì)算可求-4（XeR）的最小值.

【小問1詳解】

15/21

因?yàn)?"卜石，,與的夾角為看，

—--—?——?57r/—、h3

所以q.2二|,|“e21cos-=lxV3x(-----)=——；

【小問2詳解】

—?—?—?—?2-----3

因?yàn)?2?2),(—3eJ——3,-6e2?ex=-3-6x(—)=6

0=J(,+2e2)2q+4f?j*^2+4^=Jl+4(—)+4x3='x/^Z

向=1-3+3,

所以cos(a,?=±L=」^=￡7

\/\a\-\b\3xV77

【小問3詳解】

3

司在02方向上的投影向量為"=里包,1-

一百

33

(Afij+夭了+Ae*e+^e=

l242力T+L十4+1/6

3V3

當(dāng)X二一時(shí)，區(qū),c4eR)的最小值為

414

18.如圖1,天津永樂橋摩天輪是天津市的地標(biāo)之一，又稱天津之眼，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪,

兼具觀光和交通功能.永樂橋摩天輪最高點(diǎn)距橋面121m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置48個(gè)均勻分布的透明

座艙，開啟后逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為28min.如圖2,設(shè)座艙距橋面最近的位置為點(diǎn)尸，

以軸心。為原點(diǎn)，與橋面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.游客從點(diǎn)尸進(jìn)艙，游客甲、乙的位置分別用

點(diǎn)/(55costz,55sina),B(55cos民55sin0表示，其中a,尸是終邊落在。4,03的正角.

16/21

y.

圖1圖2

(1)證明：since-siny5=2cos~~sin-；

(2)求游客甲的位置A距橋面的高度A(m)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間/(min)的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的條件下，若游客甲、乙的座艙之間還有三個(gè)座艙，乙的位置3距橋面的高度為〃'，求在轉(zhuǎn)

動(dòng)一周的過程中以的最大值.

【答案】(1)證明見解析

2

【解析】

【分析】(1)利用和差角的正弦公式計(jì)算可得；

TT7T

(2)由周期求出旋轉(zhuǎn)角速度，即可得到&=一/一-,從而求出解析式；

142

(3)依題意可得￡=夕+巳，即可得到〃=55sin]R/—g]+66,從而表示出結(jié)合(1)中公式

及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【小問1詳解】

...(cc+Ba—.(ocBa—

因?yàn)閟ina-sm0n=sinI--^―+-I-smI--^―-----I

.ccBci—BccB.oc—B(.ccBcc—BccB.ex,-B

-sin------cos-----+cos------sin--------sin------cos--------cos------sin......-

2222V2222

-ccB.ex.—B

=2cos-----sm------,

22

所以sin。-sin/=2cos尸sin?

17/21

【小問2詳解】

依題意可得P(0,-55)，點(diǎn)。到橋面的距離為66m,

又摩天輪旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為28min,所以旋轉(zhuǎn)角速度為生=2(rad/min),

2814v7

LLt、t兀兀

所以(Z=-t——

142

所以〃=55sin[-段J+66(720)；

【小問3詳解】

因?yàn)镹ZO8=@X4=5,則〃=e+工，

4866

尸尸.(717171?//__.?7171],,

所以/z—55sin—t-----1—+66—55sin—t—+66,

U426JU43J

所以歷'―/?|=55sin—t~—-55sin-t--

111143J1142

=55回收)MM”當(dāng)(0W芯28),

2(1412)

所以當(dāng)工/-2=0(或兀)時(shí)W-力|取得最大值，最大值為55(/一

1/11O11

7171兀.兀百y/21Ca-亞

=sin—cos——cos—sm—="——x——---x-----=----------

3