衡水市第二中學2024-2025學年度下學期高一年級第二次調(diào)研考試

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且周期為萬的是()

A.y=B.y=|sin%|

C.y=sin^2x+^D.y=l-2sin2x

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導公式和三角恒等變換的知識，依次判斷四個選項的奇偶性和周期性即可得解.

【詳解】對于A選項，＞=/(x)=cos[^-2x]=-sin2x,/(-x)=-sin(-2x)=sin2%=-/(x),

2%

奇函數(shù)，周期T=k=萬，正確；

2

對于8選項，y=/(x)=|sinx|,/(-x)=卜泡(一%)|=|-sinx|=卜由耳=/(尤)，偶函數(shù)，周期T=%,

錯誤；

對于C選項，y=/(x)=sin(2x+yj,

/(-%)=sin^-2x+j=sin—12x—g1]=—sin[2x—不具有奇偶性，周期

7=與二"，錯誤；

2

對于。選項，y=/(x)=l-2sin2x=cos2x,f(-x)=cos(-2x)=cos2x=f(x),偶函數(shù)，周期

T=^=7l,錯誤.

2

故選：A.

2.在平面直角坐標系中，角。與角夕均以X軸的非負半軸為始邊,它們的終邊關于直線y=-X對稱.若

3

sin。=一，則cos/?=()

3344

A.B.-D.

5555

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的定義分角1的終邊在第一象限和第二象限討論即可.

【詳解】若角a的終邊在第一象限，設終邊上一點P（x,y）,則尸關于y=r對稱點P'（一%—尤）在夕終

邊上,

3

此時cosQ===-sma=——

+/5；

若角a的終邊在第二象限，設終邊上一點Q（x,y）,則尸關于丁=-x對稱點0（—%一可在/終邊上,

I)=-sintz=--

此時cos'=7^75-

故選：B

3.已知向量a=（2,0）,b=sina,，，若向量匕在向量。上的投影向量c=；,0,則卜+4=（）

A.幣B.3C.273D.7

【答案】A

【解析】

【分析】利用投影向量的概念結合平面向量數(shù)量積的坐標表示及模長公式計算即得.

=（2,。＞和。萬）（2@=⑻吟。），

【詳解】因向量B在向量q上的投影向量是,

I葉4

則sina=一,

2

故a+b=(2+sina,

于是|a+N=Jg）2+（#）2=沂?

故選：A

4.已知平行四邊形ABCZ）中，點E為。。的中點，AM=mAB，ANAD（加/wO），若

MNIIBE>則一=（）

m

D

A.1B.2C.1D.-2

【答案】B

【解析】

UUUUL1L

【分析】設MN=/LB石，根據(jù)平面向量的線性運算，結合平面向量的基本定理求解即可

UUUUUL

【詳解】解：依題意設腸V=XBE，

uuiruuinuumuunuum/uunuurAuuitt]uunA

則MN-MA+AN=-mAB+HAD=2（BC+CE=2AD--AB

uunumiuunurn〃

即T〃AB+〃AD=—AAB+AAD,所以<2，故一=2；

2i777

n=X

故選：B.

355

5.魏晉南北朝時期，祖沖之利用割圓術以正24576邊形，求出圓周率兀約等于——，和兀相比，其誤差小

113

于八億分之一，這個記錄在一千年后才被打破.若已知兀的近似值還可以表示成4sin52。，則

兀416-兀2

3的值約為（）

cos43.50+sin43.5°

~4

1

B.

A.-32-32C.32D.—

32

【答案】c

【解析】

兀，16—兀2

【分析】將7i=4sin52。代入,43，結合三角恒等變換化簡可得結果.

cos43.50+sin43.5°--

4

71116-兀2

【詳解】將Ji=4sin52°代入3

cos*43.50+sin43.5°--

4

兀,16—兀2

可得一；：3

cos43.5°+sin43.5°--

4

4sin52°-4cos52°

(l+cos7。j+p-cos70J_3

_8sin104°

-cos270--

24

_8sin104°

-(l+cosl4°)--

44

8cos14°

=1----------=32

-cos14°

4

故選：C.

6.已知函數(shù)/(%)=25由(。%+°“0〉0,冏＜引的部分圖象如圖所示，若ABC是直線y=m與函數(shù)

/(九)圖象的從左至右相鄰的三個交點，且A6=2BC,則實數(shù)機=()

c±|D.±1

【答案】D

【解析】

得/(%)=25呵2%+巳

【分析】根據(jù)圖象求出,分類討論爪＜0、771＞0,結合圖形和三角函數(shù)的

對稱性求出/，根據(jù)加=/(.)計算即可.

37"111jrjr3JE

【詳解】由〃龍)的部分圖象知，解得T=7l,

所以@=——=2,又2x—+夕=—+2左兀，解得/=—+2左兀，左￡Z,

T626

因為|同＜3，所以°=4，所以〃x)=2sin卜x+g]

26＜07

若加＜0,不妨設A,5,C的位置如圖1所示，則人。=%-4=兀，

227171

又AB=2BC,所以AB=—AC——TI—X—X,x+x=2x—=—,

33BABA63

r-...兀z./\z?兀、c?/C兀兀、I

所r以5=_工=7〃=/（5）=/（z一工）=25111（_2＞＜工+工）=_1;

OOOO

22

同理加＞0時，如圖2,AB=—AC=—TI=XB—XA,

令/（x）=2sin12x+tJ=0,解得x=?—5/eZ,

UQr\

所以點（二,0）是/（X）圖象與X軸的一個交點，即A3關于直線X=』=」對稱,

12123

得XB+XA=2xg=?，解得5=]，

所以根=/（5）=/（!?）=2sin（2x1+￡）=l.

綜上，m=±1.

故選：D

7.已知在VABC中，AB=BC=3,AC=4,設。是VABC的內(nèi)心，若AO=mAB+〃AC，則一=

n

【答案】C

【解析】

【分析】以AC的中點。為坐標原點,建立如下圖所示的坐標系，由內(nèi)切圓的性質(zhì)得出廠，再由

AO=mAB+nAC得出一■

n

【詳解】以AC的中點。為坐標原點，建立如下圖所示的坐標系:

則gx(3+3+4)r=275

設VABC的內(nèi)切圓的半徑為廣，-x4xV5,解得

2

,A(—2,0),C(2,0),B(0,若)，則AB=(2,括),AC=(4,0),A。=2,20

5J

V

2m+4〃=2

因為=+所以［23

=(2m+4n,非ni),即</-2逐，解得加=、，"=右，故

051n=―5—510

5

m_210_4

~n-5XT-3'

故選：C

8.已知圓0的半徑為13,PQ和MN是圓0的兩條動弦，若忖。|=10,,N|=24,則LPM+QN|的最大

值是（）

N

【答案】c

【解析】

【分析】利用向量的線性運算、絕對值三角不等式、垂徑定理等知識進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設0是圓的圓心，連接作垂足分別為E,D,

則E,D分別是QP,肱V的中點，由勾股定理得OE=V132-52=12，

OD=A/132-122=5-

PM+QN=OM-OP+ON-OQ

=（OM+ON）-（OP+OQ）=2（OD-OE^,

故+QN,2/D—W2（p"+困）=34,

當OE,O。反向時等號成立，

所以+QN\的最大值是34.

故選：C

M

【點睛】方法點睛：

解決圓中向量問題，垂徑定理是一個重要的工具，通過垂徑定理找到弦的中點，將向量與圓心和中點聯(lián)系

起來，便于進行向量的運算和轉化.

對于求向量和的模的最值問題，利用向量的線性運算將其轉化為己知向量的運算形式，再結合絕對值三角

不等式(當且僅當與同向或反向時取等號)來求解，是一種常用的方法.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.若。//0，則存在唯一實數(shù)彳使得

B.已知非零向量2、6和實數(shù)%，貝『力=他”是",一耳=|4+|可"的必要而不充分條件

C.若麗+岡。且+—AC],則三角形VA5C為等腰直角三角形

D若平面向量加，n,.兩兩夾角相等，且同=2,阿=1,同=4,則|m+n+t\=V7

【答案】BC

【解析】

f_e__.\

ABAC

【分析】由共線向量概念可判斷A,取左=1,可判斷B,由?~r+|~?BC=O,可得/B4C的平

分線垂直于8C,由,5+4。卜|45—4。],平方可得A31AC,即可判斷C,由夾角可能為0或

120，即可判斷D.

【詳解】解：對于A、若b=0，awO時，不存實數(shù)4使得0=2/；,所以選項A錯誤；

對于B、因為非零向量a、b.若卜—川=同+同，則a與6方向相反，則。=劭，

若a=kb，取左=1，貝i||"W=O,而向+|。/0,

故"。=劭”是“1―MTM+網(wǎng)”的必要而不充分條件，故B正確；

對于C、因為|AB+ACHAB—Ac|，對等式兩邊同時平方可得(AB+AC)2=(AB—A0)2,

化簡整理可得AB?AC=0，所以ABIAC,即NR4C=90.

\uuu

ABACABAC

又因為1----r+1----1BC=Of網(wǎng)和分別是AB和AC方向上的單位向量,

【網(wǎng)|AC|J

AB

設AE=網(wǎng)’

則以AE，A/為鄰邊的平行四邊形是菱形，AE+A尸是菱形的對角線，

(AE+AF)BC=O,說明/8AC的平分線垂直于BC,所以A5=AC,

綜上，三角形VABC為等腰直角三角形，選項C正確；

對于D、平面向量m，n,/兩兩夾角相等，則夾角可能為0或120，

當夾角為0時，|m+"+八=|〃4+同+,|=2+1+4=7AJ7,選項D錯誤.

故選：BC

10.如圖，在平面直角坐標系尤Ay中，AB=(4,0),AO=(1,4),—,則下列說法正確的有()

A.|BD|=4B.四邊形ABCO的面積為當

C.VABC外接圓的周長為2扃D.cos(C3,CD)=—g

【答案】BC

【解析】

【分析】利用向量的坐標運算求得BD=(-3,4)即可求解選項A；根據(jù)四邊形ABCD的面積為

S.ADF+SEF?C+SBCE求解選項B；利用正弦定理求解選項C；利用向量數(shù)量積公式求解選項D.

【詳解】由題意可得30=45—43=(—3,4),

所以J(—3『+42=5,故A錯誤;

過點C作X軸的垂線，設垂足為點￡,過點D作無軸的垂線，設垂足為點F

AC=AD+DC=（3,3）,

則四邊形ABCD的面積為SADF+SEFDC+SBCE

1,“1c1,c21

=—xlx4+—x(4+3)x2+—xlx3=—,故B正確；

22'’22

因=J32+32=372,

在直角三角形BCE中，易得sinNCBE=1：E_3y/lQ

(JB~10'

AC_372op

設VABC外接圓的半徑為R,由正弦定理，sin/ABC3710，解得R=j5，

10

故VABC外接圓的周長為2逐兀，故C正確

因CB=AB-AD-8=(1,-3),CD=(-21），

CBCD23

^CBCD-----垃--故錯誤.

CCBCD710x752D

故選：BC.

qinSX

11.設函數(shù)/(x)=..........-,則()

sinx-cosx

A./(龍)的圖象有對稱軸B./（X）是周期函數(shù)

C./(%)在區(qū)間［og)上單調(diào)遞增D./（x）的圖象關于點］,（）］中心對稱

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項由偶函數(shù)得到y(tǒng)軸是其中一條對稱軸；B選項用周期的定義找到其中一個周期為2兀；C選

項通過兩個特殊點函數(shù)值的大小判定函數(shù)在區(qū)間0,1不是單調(diào)遞增；D選項由中心對稱的定義驗證是否

成立即可.

sin5（-x）-sin5xsin5x

【詳解】???/(-%)==〃x），

sin（-x）cos（-x）-sinxcosxsinx-cosx

/.f(x)偶函數(shù)，關于y軸對稱，故A正確;

sin5（x+2兀）sin5x

f（x+2n）=

sin（x+2兀）cos（x+2兀）sinxcosx

???7=2兀是函數(shù)/(力的一個周期，故B正確;

2sin5x

sin2x

顯然/［〉/用，故/(%)在區(qū)間0,］上不單調(diào)遞增,故C錯誤;

cos5%+cos5x

=0,

cosx-sinxcosx-（-sinx）

/(%)的圖象關于點|,ok心對稱.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.VABC是鈍角三角形，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=l,b=2,則最大邊c的取值

范圍是?

【答案】(百3)

【解析】

7T

【分析】由題意可得C〉一，由余弦定理結合c<a+b即可求解.

2

【詳解】因為VA3C是鈍角三角形，最大邊為c,所以角C為鈍角，

在VA3C中，由余弦定理可得:

cr+b2-c21+4-0?

cosC=<0,可得c〉A/5，

2ab~4

又因為c<a+/?=3,所以J5<C<3，

所以最大邊c的取值范圍是：、后<c<3，

故答案為：、后<c<3.

13.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A,D分別在x軸、y軸正半軸（含原點）滑動，則

OBOC的最大值為.

【解析】

【分析】設/。4。=46€[0,1]根據(jù)三角形的邊角關系求得。8，0C，利用平面向量的數(shù)量積公式以

及正弦函數(shù)的最值求解即可.

【詳解】設=

由于A￡>=1，故。A=cos。，OD=sin3

又因為NBAxn,—8,AB=1,所以與=cos9+cos[5—9j=cosd+sin。

%=sin['—“=cos。，則03=(cos9+sin/cos8)

同理可得OC=(sin0,cos3+sinO')

OBOC=(cos0+sin0,cos0)?(sin0,cos6+sin6)=1+sin20

可嗎

jr

二當2。=5時，OB.OC=l+sin29的最大值為2.

故本題的正確答案為2.

【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積公式以及正弦型函數(shù)的最值，屬于中檔題.

14.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫

描繪了筒車的工作原理（如圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，簡車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如

圖2,將筒車抽象為一個半徑為4米的圓，筒車按逆時針方向每旋轉一周用時120秒，當/=0時，筒車上

的某個盛水筒M位于點此（2,-26）處，經(jīng)過r秒后運動到點P（x,y）,點尸的縱坐標滿足

y=/?）=Asin（。/1+夕）,20,o〉0,［d<］J.已知筒車的軸心。距離水面的高度為2米，設盛水筒M

到水面的距離為//（單位：米）（盛水筒M在水面下時，則為負數(shù)），則筒車在［0,240］秒的旋轉運動過程

中，盛水筒M位于水面以下的時間有為秒.

【答案】80

【解析】

【分析】結合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)以及點位置坐標即可得到函數(shù)解析式，再令

/JTJT\

A=/(r)+2=4sin—t--+2<0,求解「的范圍,計算即可;

16。3)

Z7T7T

【詳解】由題意可知A=4,由于T=——二120,所以得力二一.

co60

因為，=0時，y=4sincp=—2^/3,所以sin（p=—

由ld<3，可求得夕=-［從而”。=45扉a/一/

IJTJT\

所以〃=/⑺+2=4sin|-彳|+2,其中年0.

[兀兀1

當盛水筒M位于水面以下時，應滿足/?<(),即sin二1-彳<——

v6032

可歹?。莶坏仁?衍iH-----<—t---<2kjiH------，左eZ,

66036

解得90+120后<r<130+120^,A：eZ.

因為/e[0,240],所以當左=—1時，(0,10)；

當左=0時，?e(90,130)；

當左=1時，re(210,240].

由10+(130-90)+(240-210)=80,

可得盛水筒M位于水面以下的時間有80秒鐘.

故答案為：80.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

JT1

15.在VABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,4c,已知A=——c?.

42

(1)求cos。的值；

(2)若VABC的面積為3,求6的值.

【答案】(1)cosC=—

5

(2)b=3

【解析】

【分析】(1)由余弦定理，結合/—6=工。2,求出人=老叵，進而。=巫°,由余弦定理求出cosC；

244

(2)根據(jù)三角形面積求出c=2&，故匕=空￡=3.

4

【小問1詳解】

,兀

A二一,

4

「?由余弦定理可得：a2=b2+c2-2Z?ccos—,

4

又4—/C，

2

yfibc-(?=-C2,即y/2bc=-C2

22

可得人亨

又c>0,:.41b=-c

2

.../=6二02=九2即。=巫。

284

52922一

—CH-----C—C￡

.-.cosC=^±^88________=75

2ab、M372-5-

2x---ex----c

44

【小問2詳解】

由(1)知，cosC,

5

又Ce(0,兀)，故sinC>0,sinC=Jl-cos?C=~~

L叵“逑”述=3,

SABC=gabsinC=

2445

解得c=20.

:b=^^=3.

4

16.如圖，在VABC中，NBAC=90,AB=2,AC=3,。是8c的中點，點E滿足AE=2EC,3E與

AD交于點G.

(1)設AG=/L4￡＞，求實數(shù)％的值；

(2)設"是距上一點，且H4L5C,求GH4C的值.

4

【答案】(1)y

(2)-2

【解析】

【分析】（1）先建立平面直角坐標系，設G（x,y）,再應用三點共線得出向量平行AG//及BG//

BE＞應用坐標關系求解即可得出參數(shù)

（2）設H&T+2）,再應用垂直的坐標運算計算求解得出點〃的坐標為最后應用數(shù)量積公式

計算即可.

【小問1詳解】

以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A（0,0）,5（0,2）,C（3,0）.

由AE=2EC，得磯2,0）,所以的=（2,-2）.

由。是Be的中點，得所以A0=1m，i

設G（x,y）,則AG=（無,y）,3G=（羽丁一2）.

因為A,G,Z）三點共線，

3

所以AG//AD，即x=^y①，

因為氏G,E三點共線，

所以BG//BE，W2（y-2）=-2x@,

64

聯(lián)立①②解得點G的坐標為

5J5

所以AG=〔河

44

所以AG=《A。，所以實數(shù)4的值為二.

【小問2詳解】

因為3E上的點滿足x+y=2,

設H&T+2）,

則/￡4=（_/,—2+。,3C=（3,—2）.

因為兩所以—3/+（—2）（—2+r）=0,解得所以點H的坐標為[，■!],

所以"

29

又BC=（3,—2）,所以G".3C=—wx3+]X（—2）=—2.

17.已知VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且tan5+tanC=6a.

ccosB

（1）求角C；

（2）若CO是/ACS的角平分線，CD=46，VABC的面積為18若，求c的值.

TT

【答案】（1）c=-

3

（2）c—6A/3

【解析】

【分析】（D利用正弦定理化角為邊，結合和差角公式以及弦切互化可得tanC=百，即可求解,

（2）由5=1。人sinC,可得。》=72,根據(jù)等面積法可求a+A=6,由余弦定理即可求c的值.

2

【小問1詳解】

由tanB+tanC=""可得

ccosB

sinBsinCA/3sinAsinBcosC+cosBsinCA/3sinAsin（B+C）百sinA

------1------==>=----------=>----------=----------

cos5cosCsinCcosB--------cosBcosC--------sinCcosBcosBcosCsinCcosB

、sinAV3sinA.1_6

=>----------------------,/sinAw0,cos_Bw0,..------------,

cosBcosCsinCcosBcosCsinC

故sinC=5/3cosC，進而tanC=6,

由于Ce（0,7i），所以C=1

【小問2詳解】

由面積公式得SABC=—absinC--abx^-=18\fi，解得ab=72,

m222

oo

sZA_1BLJC=LJSBCD+ZSlLA,CD,18A/3=-Z?.CZ)sin30+-G-CDsin30,

Bp|cD-sin30°(o+6)=18』，.-.a+b=18,

又ab-12,c2=a2+b2-labcosC=a2+b2-ab=(a+Z?)2-3ab=182-3x72=108,

??c=6A/3?

18.某公園規(guī)劃一個凸四邊形區(qū)域種植兩種花卉以供欣賞，具體設計如下：如圖，將四邊形A5C。劃分為

37rIT

兩個三角形區(qū)域分別種植兩種花卉，AD=300m,84LAD,ZCBA=—,ZACD=-

44

71571

ABAC=a,tze

24524

(1)用a表示，ACD面積S,并求S的最大值;

(2)為了提高觀賞效果，計劃在A3和5。邊上安裝護欄，其中6c邊上的護欄需要進行延長設計，因此

一共需安裝長度為AB+后的護欄，若該護欄每米造價為200元，求建造護欄所需費用的最小值.(參

TTJ7T

考數(shù)據(jù)：sin—?0.26,sin—?0.97)

1212

1^1(1)S=2250072sin|^2a+^+22500,=22500(A/2+1)(2)75600元

【解析】

【分析】(1)在ACD中，由正弦定理求得AC=3000sin利用三角形面積公式表示S,利

用三角恒等變換化簡求得S最大值；

(2)VABC中，由正弦定理可得8C=J%Csina，A3=0ACsin[-a,代入

AB+及BC，利用三角恒等變換化簡，結合三角函數(shù)性質(zhì)求出最小值.

【小問1詳解】

7171兀

在，ACD中,ZCAD=——a,ZACD=-則NADC=—，

244

ADAC300AC

由正弦定理，.-.(n即行

sinn—sin—+a-sin兀+a

414J2u

解得AC=300A/2sinf巳+a

71

:.S^-ADACsinZCAD=-x300x30072sin-+asin

224

=225002cos2cr+2sincrcosa)=22500(sin2a+cos2a)+22500

71

=22500A/2sin2a+-+22500,

4

兀5兀…71712兀

aG——,——,則2a+一e,sin]2a+2卜1,

24244T

jIjIjI

所以當2。+—=—,即。=—時,S取得最大值，最大值為225000+22500.

428

【小問2詳解】

ACBC

在VABC中，由正弦定理.3兀

sin——sin。，

4

同理可得AB=V2ACsin

AB+y/2BC=42ACsinH+2ACsincr

7171

=600sinsin---FCC+600A/2sina—Fa

44

71

=600sin1：+asm逝'sin。=600si