絕密★啟用前

2023?2024學(xué)年度5月質(zhì)量檢測(cè)

局一數(shù)學(xué)

全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題

區(qū)域均無(wú)效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

?已知集合A={xI/-4x+3<0},B={x\y=4—x2},則（）

A.{X|-2<X<3}B.{%|1<X<2}C.{^|0<X<3}D.{X|X>1}

【答案】B

【解析】

【分析】先確定A,B,再根據(jù)集合交集的定義求解.

【詳解】由尤2—4%+3<0,解得1<%<3,所以A={x[l<x<3}；

又由4—JNO,解得—2W%W2,所以5={刃—2<XK2}.

所以AC3={W1<X<2}.

故選：B.

/\2,Z1

2.已知z=(l—i)~,貝Iz+丁=()

A.J5B.好C.4D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得z=—2i，z+-=-l-2i,即可得模長(zhǎng).

Z

【詳解】由題意可得z=（l—i）2=—2i,貝Uz+-=—2i+」=—l—2i,

z-2i

所以zH—二|—1—2i|=Jl+4=v5.

z

故選：A.

3.函數(shù)=+lnx-3x的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A?gB.加C.（1,+8）DJT

【答案】B

【解析】

【分析】求導(dǎo)，令/（“<0,利用導(dǎo)數(shù)求了（%）的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由題意可知：了（％）的定義域?yàn)椋ā?+。），且r（x）=2x+J_3=（l）（2x-l）,

XX

令L=（x-1）（21）<0,解得g<x<i,

所以函數(shù)/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間是心」［

故選：B.

4.若直線(xiàn)x+y+2=0與圓M:（x—ay+（y—相切，則圓加的半徑為（）

A.2B.4C.2&D.8

【答案】C

【解析】

【分析】由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列方程即可得解.

【詳解】依題意，】哭母,解得。=1（負(fù)值舍），所以圓M的半徑為2JL

故選:C.

5.從裝有2個(gè)白球、3個(gè)紅球的箱子中無(wú)放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球，A表示事件“兩次取出的球顏

色相同”，8表示事件“兩次取出的球中至少有1個(gè)是紅球”，則P（3|A）=（）

【答案】A

【解析】

【分析】求出P(A)和P(AB),再利用條件概率的公式求解.

【詳解】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機(jī)取出兩個(gè)球.

從而==故P(叫A)=^^=:.

。，U-*I11-

故選：A.

6.已知兩個(gè)非零向量￡,甚滿(mǎn)足|日+引=|1引，則￡—2石在石方向上的投影向量為()

1T-1r-

A—bB.2/7C.bD.-2.b

22一

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得7B=o,再利用投影向量的意義求解即得.

【詳解】由0+昨|1引,兩邊平方得/+片+2￡/=4+片一23小則￡名=0，

而0-2歷Z=-2^,所以￡—2石在萬(wàn)方向上的投影向量為g=-2b.

\b\~

故選：D

7.已知函數(shù)“力在R上單調(diào)遞增，且/(%+1)是奇函數(shù)，則滿(mǎn)足(――4)〃力>0的x的取值范圍是()

A.(0,1)O(2,+CO)B.(^?,0)U(2,-H?)

C.(-2,1)U(2,+8)D.(0,2)

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及奇偶性分工大于1或小于1進(jìn)行討論即可得解.

【詳解】由/(1+1)是奇函數(shù)及/(九)在R上單調(diào)遞增，

所以/(-%+1)=-/(j;+l),則/(%)關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)工〉1時(shí)，/(%)>0,此時(shí)若(f一4)/(x)>0,則好一4>o，即尤>2,所以x>2,

當(dāng)x<l時(shí)，/(%)<0,此時(shí)若(爐―4)/(x)>0,則％2—4<0，即—2〈尤<2,所以一24<1,

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)xe(2,+a)或xe(—2,1)時(shí)，伊―4)/(x)>0.

故選：C.

尤2+dX+1冗V0

8.已知a>0,設(shè)函數(shù)/1(%)=工'—，若存在%,使得則。的取值范圍是()

eQX,x>0

A.(0,20-2)B.(0,2^-2)U(l,+oo)

C.(l,+oo)D.(20—2,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】當(dāng)xWO時(shí)，/(%)的最小值為/［一￡)=1一(，然后分。是否大于1,討論了(%)在x>0時(shí)的最

小值，由此分別列出不等式即可求解.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，易知了(%)的最小值為=l—

當(dāng)尤>0時(shí)，/f(x)=eA—a,令/''(x)=0,解得x=lna,

若0<aWl,則"％)在(0,+e)上單調(diào)遞增，且x.0時(shí)，l—axf1，

所以只需/］一—=\--<a,解得?！?^2—2或a<-2^2-2，

又0<aWl,所以20_2<aKl，

若a>l,則/(X)在(0,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

/(lna)=a-alna<a成立，所以a>l符合題意，

綜上，°的取值范圍是⑵2,+<?).

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及到含參分段函數(shù)的最值時(shí)，一般討論時(shí)盡量做到有序討論，這樣可以不充不漏，

從而即可順利得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(》)=25由[5+]]0〉0),點(diǎn)|一三,0],(go]是曲線(xiàn)y=/(x)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)中

心，則()

A.“X)的最小正周期為兀B.“X)在區(qū)間-：,0上的最大值為2

C.直線(xiàn)x=-《是曲線(xiàn)y=/(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸D.八”在區(qū)間(0㈤上有3個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)于A(yíng)：根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析周期性，即可得結(jié)果；對(duì)于B：由選項(xiàng)A可知：

/(x)=2sm^2x+y^,以2x+1^為整體，結(jié)合正弦函數(shù)求最值；對(duì)于C：結(jié)合選項(xiàng)B中的最值分析判

斷；對(duì)于D：結(jié)合周期性分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)/(%)的最小正周期為T(mén)，且切＞0,

T71

由題意可知：—

CO

2兀

對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：/(x)=2sin2x+

71271712

當(dāng)工￡一二刀時(shí)，則2X+^-￡——,

_4J33_9

可知當(dāng)2x+§=],即x=—5時(shí)，/(%)取到最大值2，

所以/(%)在區(qū)間-：刀上的最大值為2,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B可知：當(dāng)x=-5時(shí)，/(%)取到最大值2,

所以直線(xiàn)》=-《是曲線(xiàn)y=/(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?(%)的最小正周期為兀，

且/(X)在一個(gè)周期長(zhǎng)度內(nèi)至多只有2個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

10.設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為5?,已知an+1=aan-2a,則下列結(jié)論正確的為()

A.若a=l,則｛%｝為等差數(shù)列B.若。=一1,則S2024=2024

C.若。=1,則是公差為—2的等差數(shù)列D.若a=-l,則q%024的最大值為1

【答案】ABD

【解析】

【分析】由遞推數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，從而得解.

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，an+i=an-2,所以｛4｝為等差數(shù)列，A選項(xiàng)正確；

?==—〃+1+Q，所以是公差為-1的等差數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)。=一1時(shí)，a“+i+a“=2,所以S2024=2x1012=2024,B選項(xiàng)正確；

由4+1+4=2可知，/024=。2=2-。1,所以01a2024=4（2—6）41，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

11.已知拋物線(xiàn)C:y=4%2的焦點(diǎn)為產(chǎn)，A,8為C上的兩點(diǎn)，過(guò)A,8作。的兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)尸，設(shè)兩

條切線(xiàn)的斜率分別為&,k2,直線(xiàn)A3的斜率為%,則（）

A.C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1

B.K，k3,42成等差數(shù)列

C.若尸在。的準(zhǔn)線(xiàn)上，則左他=一1

則|AF|+4忸刊的最小值為看

D.若P在。的準(zhǔn)線(xiàn)上,

【答案】BCD

【解析】

【分析】將拋物線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可判斷A,設(shè)A（04x；）,§（々，4后），可以用石，X2表示占&，%，

進(jìn)一步判斷B,設(shè)直線(xiàn)Q4：>=8玉%-4%；,PB：y=8x2x-4x^,從而得至1J4西％2=--二，進(jìn)一步結(jié)合

16

B選項(xiàng)分析可判斷C,由拋物線(xiàn)定義結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】對(duì)A,拋物線(xiàn)C：x2=-y,拋物線(xiàn)。的準(zhǔn)線(xiàn)方程為丁=-工，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

4-16

對(duì)B,設(shè)A（%,4x；）,3（%,4君）,

r

Vy=Sx,：.k1=8xj,k2=8X2,k3=―—―=4(x2+xJ,

k{+k2=2k3,B選項(xiàng)正確;

對(duì)C,由上可知直線(xiàn)R4：>=8七%-4%；,PB：y=8x2x-4xl,

玉+x

解得「2,4x^2^,左］左2=64%］犬2=—1,C選項(xiàng)正確;

2

對(duì)D,|AF|+4|BF|=yx+4%+'=以；+16x；+'＞161x^1+^=^,當(dāng)且僅當(dāng)X]=-2々時(shí)取等號(hào),

D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出石々,進(jìn)一步結(jié)合%=8%，k2=8X即可順利判

642

斷.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

5

12.的展開(kāi)式中，孫3的系數(shù)為..（用數(shù)字作答）

【答案】-80

【解析】

【分析】直接利用二項(xiàng)式展開(kāi)式，通過(guò)賦值即可得解.

2k

25-k

【詳解】X的展開(kāi)式的通項(xiàng)為c。X2=(_2『C5I°-3R,

令左=3,盯3的系數(shù)為c；（—2）3=—80.

故答案為：-80.

r2y2

13.己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)C：j=1（。＞0,Z?〉0）的右支上存在兩點(diǎn)A,B,使得

a~

AOB=60°9則。的離心率的取值范圍是

【答案】

【解析】

b

【分析】由題意得出。＞30。，其中tan9=—,結(jié)合離心率公式即可得解.

a

b

【詳解】設(shè)漸近線(xiàn)丁=—九的傾斜角為則2夕＞60。，即。＞30。,

a

所以tan6=2〉立，離心率e=ji+W＞述.

a3\a23

\

故答案為:

7

14.已知某圓錐內(nèi)切球的半徑為1,則該圓錐側(cè)面積的最小值為

【答案】（3+2夜）兀

【解析】

2

【分析】分析可知/cos26＞=廠(chǎng)，tan8=,，整理可得側(cè)面積為S=7i1+tan0一

1-tan26^)tan26換兀

r

l+tan2^=x＞l，結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為乙母線(xiàn)長(zhǎng)為/,且母線(xiàn)與底面所成角為26,

則/cos2。-r,tan。=一,

07戶(hù)11+tan20

可得圓錐側(cè)面積為Si兀嬴）=兀"見(jiàn)野/;而t3g

設(shè)l+tan?0=x>\y即tan?g—x_\,

TLX

S=

則(2-x)(x-l)

當(dāng)且僅當(dāng)1+tan?9=x=,即tan?8=—1時(shí),等號(hào)成立,

所以該圓錐側(cè)面積的最小值為（3+2后）兀.

故答案：（3+20）71.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=2,a“+i=3a〃+2.

（1）證明：數(shù)列｛%+1｝為等比數(shù)列;

3k

(2)在g與%+i之間插入左個(gè)數(shù)，使得這左+2個(gè)數(shù)組成公差為二的等差數(shù)列，求k.

20

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)39

【解析】

【分析】(1)分析可得%+1+1=3(%+1),結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；

(2)由(1)可得見(jiàn)=3"-1,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?+1=3%+2,則an+]+1=3an+3=3(a,I+1),

且q+l=3wO,可得"==3,

所以｛q,+1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；

小問(wèn)2詳解】

由⑴可得:4+1=3",則%=3"-1,

由題意可得：am—怎=3"|—3''=(k+1)/，keN*，

即3?上=卬卜,解得上=39,所以上的值為39.

20

16.近年來(lái)，我國(guó)青少年近視問(wèn)題呈現(xiàn)高發(fā)性、低齡化、重度化趨勢(shì).已知某校有學(xué)生200人，其中40人每

天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)，160人每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于1小時(shí)，為研究體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)與青少年近

視相關(guān)性，研究人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法從學(xué)生中抽取50人進(jìn)行調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于1小時(shí)合計(jì)

近視4

無(wú)近視2

合計(jì)

(1)請(qǐng)完成上表，并依據(jù)小概率值￡=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有

關(guān)？

(2)為進(jìn)一步了解近視學(xué)生的具體情況，現(xiàn)從調(diào)查的近視學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行進(jìn)一步的檢測(cè)，設(shè)隨

機(jī)變量X為體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:

a0.100.050.0100.0050.001

6635

Xa2.7063.8417.87910.828

n(ad-bc]

參考公式：/=7-------~77——--------------7，其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

【答案】（1）可以認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)

（2）分布列見(jiàn)詳解,E（X）=2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣完善列聯(lián)表，求/2,并與臨界值對(duì)比分析；

（2）由題意可知：X的可能取值為0,1,2,3,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【小問(wèn)1詳解】

40

由題意可知：抽取50人中體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)的人數(shù)為50x——=10,

200

據(jù)此可得列聯(lián)表：

體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)小于1小時(shí)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于或等于1小時(shí)合計(jì)

近視8412

無(wú)近視23638

合計(jì)104050

零假設(shè)Ho：學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)無(wú)關(guān),

50x(8x36-2x4)2_1225

可得/?21.491>10.828-

12x38x10x40-57

根據(jù)小概率值1=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷出Ho成立,

因此可以認(rèn)為Ho不成立，即認(rèn)為學(xué)生是否近視與體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：X的可能取值為0，1，2,3,

P(x=o)=M=5，P(x=i)=罟12

。12,’J255

p(X=2)=^S-=—,P(X=3)=^S-=—

C[255C],255

所以X的分布列為

X0123

1122814

P

55555555

i12OR14

X的期望E(X)=0xg+l><M+2><^1+3x^=2.

17.如圖，在直三棱柱ABC-45cl中，AB=AC=2,AA[=72,AB1AC,。為AG的中點(diǎn).

4DCl

(1)證明：BCt1CD；

(2)設(shè)E為BG的中點(diǎn)，尸在棱Ad上，滿(mǎn)足PE，平面求尸。與平面。所成角的正弦值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

(2)

5

【解析】

【分析】(1)只需結(jié)合已知以及線(xiàn)面垂直的判定定理證明CD,平面ABC一再結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得

證；

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出的方向向量與平面￡出。的法向量，由向量夾角的余弦的坐標(biāo)

公式即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

4DG

B

連接AG，設(shè)AG與CO交于點(diǎn)。，因?yàn)閹r=等，且N￡>GC=AC￡=90。，

0/1CxCxi

所以△ACC］S/^CC］。，

所以/04。+/004=/。］。0+/。04=90。，

所以AGLCD,

又在直三棱柱ABC-4用G中，ABJ.AC,AB/平面441clC,CDu平面A41clC,

故ABLCD,

又ABcAG=A,AB,A￡U平面ABC一所以CDJ_平面ABC一

又3。1<Z平面ABC一故5C］，C。；

【小問(wèn)2詳解】

8（2,0,0）,E（1,1,V2）,C（0,2,0）,D（0,1,A/2）,

BC=（-2,2,0）,CD=（0,-l,V2）,

設(shè)P（0,0,a）,PE=（1,1,42-a）,

因?yàn)?？EL平面￡>6C,BCu平面。3C,CDu平面QBC,

所以PE，BC,PE，C￡>,

PEBC=QJ—2+2+0=°

解得a=X2,

PECD=0,<#[-l+72(V2-a)=0

2

所以平面。BC的一個(gè)法向量為尸石=1,1,—,設(shè)。。與平面。Be所成角為e,

3

PDPE

PD=0,1,^-則疝'=可度

675-5

所以與平面DBC所成角的正弦值為巫.

5

18.已知函數(shù)/(x)=ln%+5—奴.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(￡)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2)已知了(九)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(i)求。的取值范圍；

(ii)若〃尤)的極小值小于ln2—3,求〃力的極大值的取值范圍.

【答案】(1)2x-2y-3=0

9

(2)(i)(2,+8)；(ii)-co,-In2——

8

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程；

(2)(i)分析可知原題意等價(jià)于工+x=a有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合基本不等式分析求解；(ii)設(shè)

X

-+x=a有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根。<玉<1<9,根據(jù)單調(diào)性可知f(x)的極值點(diǎn)％=占,尤2,結(jié)合零點(diǎn)代換

X

22

可得“Xo)=lnxo—±—1,構(gòu)建g(x)=lnx—三―l,xe(0,l)U(l,+oo),結(jié)合單調(diào)性分析可得%>2,

則0<X]<L,即可得取值范圍.

2

【小問(wèn)1詳解】

丫21

當(dāng)〃=1時(shí)，則/(x)=ln%+----x,(x)=—+x-l,

2%

可得/(1)=一3,/")=1，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為［1,-;1,切線(xiàn)斜率％=1,

所以曲線(xiàn)y=/(x)在處的切線(xiàn)方程為=即2x_2y_3=0.

【小問(wèn)2詳解】

(i)由題意可知：〃力的定義域?yàn)?0,+。)，f(x\=-+x-a=X'~aX+X，

XX

令/'(%)='+元一Q=。,可得，+犬=。,

XX

原題意等價(jià)于-+x=a有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，

X

因?yàn)楣?x?2,當(dāng)且僅當(dāng)工=x,即x=l時(shí)，等號(hào)成立,

XX

可知。＞2,所以。的取值范圍(2,+8)；

(ii)由(i)可知：^+x=a有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根為，巧,

x

不妨設(shè)。＜玉可知%%2=1，

當(dāng)士＜了＜彳2時(shí)，/'(x)＜。；當(dāng)0＜x＜石或無(wú)＞々時(shí)，/‘X)＞0；

可知"龍)在(0,%),(%,+8)上單調(diào)遞增，在(七,龍2)上單調(diào)遞減，

所以巧為〃尤)的極小值點(diǎn)，為為“％)的極大值點(diǎn)，

對(duì)于“X）的極值點(diǎn)無(wú)0=占,/，則a='+%/e（0,1）u（l,+co）,

xo

22

可得/（Xo）=lnxo/[不11%1

+=ln%0+~2~---FXQXQ—InXQ------1,

2

V-11_r

設(shè)g（%）=lnx------1,XG（0,1）U（1,+OO）,貝=——九=-----

2xx

當(dāng)0cx＜1時(shí)，g'(x)＞0；當(dāng)x＞l時(shí)，g'(x)＜0；

可知g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

龍21

則g(%)=ln%-----l<ln2-3=g(2),可知％2>2,則?！磥V心方,

22

又因?yàn)間(x)在區(qū)間［0,g)上單調(diào)遞增,9

則"xj<g-In2——,

8

所以"％)的極大值的取值范圍是［-s,—ln2-1］.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法

(1)若求極值，則先求方程/'(￡)=0的根，再檢查/'(九)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào)；

(2)若探究極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，則探求方程/'(x)=0在所給范圍內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)；

(3)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程/'(1)=0根的大小或存在情況來(lái)求解；

⑷求函數(shù)病)在閉區(qū)間可的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/(a),〃與與

了(%)的各極值進(jìn)行比較，從而得到函數(shù)的最值.

22

19.已知橢圓。:自+二=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，工，離心率為4，點(diǎn)「(0,1)，且△尸4心

為等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。為。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△尸耳。面積的最大值；

(3)若直線(xiàn)/與C交于A(yíng)3兩點(diǎn)，且NPE2A=NPg3,證明：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn).

22

【答案】(1)土+匕=1

43

⑵