2024?2025學年度第二學期期中考試

高一年級數(shù)學試卷

考試時間：2025年4月15日下午：16：15—18：15試卷滿分：150分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若復數(shù)z=l—2i,則z-i的虛部為（）

A.1B.-2C.-lzD.-2i

【答案】A

【解析】

【分析】先利用復數(shù)的乘法運算化簡再求解.

【詳解】解：因為復數(shù)z=1—23

所以彳-i=（l+2i）i=2+i,

所以Ji的虛部為1,

故選：A

2.VA3C的直觀圖△AFC'如圖所示，其中軸，AC'/軸，且A5'=2，AC=3,則

VA3C的面積為（）

A.4B.4.72C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】先求出山”=半，再根據(jù)VABC與△AFC'的面積之比為2血，得到答案.

3兀

【詳解】由題意得=

4

由三角形面積公式得S,,,=-A'B'-A'CsinZB'A'C=-x2x3sin—=,

會BRre2242

又VABC與“'笈。'的面積之比為2叵，

故VA3C的面積為里x20=6

2

故選：C

3.VA5C中，角A&C所對的邊分別為瓦c，若。=6力=J5,A=四，則8=（）

3

Tt3兀71%A3兀

A.—B.—C.—D.一或一

44644

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理可得sin8=走，再由邊角關系確定角的大小即可.

2

abJL-JL及

【詳解】由題意，在VABC中-----=-----,貝I.兀―sin5,所以sin3=在，

sinAsinBsin—2

3

因為BeQn）,所以B或上，又a>b,A=匕,所以8=：.

4434

故選：A

4.將函數(shù)/（x）=2cosx+?圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的g倍（縱坐標不變），得到函數(shù)丫=

g（無）的圖象，則函數(shù)y=g（x）的圖象的一個對稱中心是

（左八）（11萬八）（萬八）（5萬3

16J112J112）D.U—2,0）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換規(guī)律，得到y(tǒng)=g（x）的解析式,求出它的對稱中心，結合選項，選出正

確的一個對稱中心.

【詳解】由題意可知：g（x）=/（2x）=2cos[2x+W1,

、

2x+g=k左+'（左eZ）,=>x=彳（左eZ）,令左=0,,0是函數(shù)y=g（無）的圖象的一個對稱

7

中心，故本題選A.

【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的伸縮變換、對稱中心.

5.已知向量斤/滿足同=忖=卜+5|=1,則向量1—3B在向量4上的投影向量為()

A.—aB.-----Q,C.—2。D.4商

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質，由模長求解心5,再根據(jù)投影向量的公式求解即可.

【詳解】因為同=B=卜+4=1,

所以口+可二+2M?/?+/?2=2+2萬?/?=1,

rr1

則。力=——,

2

3

所以向量1-3方在向量1上的投影向量為回到?方-a2-3a-b_+?-5_

—cQ—CL—CL

同2國12

故選：A.

.1,若Q=m通+1/，則實數(shù)機的值為

6.如圖，在VABC中，AN=-NC,尸是3N上的一點,

6

()

A

BC

,9512

A.—B.—C.-D.一

111135

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件得到Q=小訴+2前，

由共線定理的推論得到方程，求出答案.

3

―.1-._..

【詳解】AN=-NC,故AC=4⑷V，

__kkk2__>

AP=mAB+-AC,i^AP=mAB+-AN

63

21

因為5RN三點共線，故機+—=1,解得加=：.

33

故選：C

7.在VA3C中，角A&C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120%/ABC的平分線交AC于點。,

且應>=1,則4。+c的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可.

【詳解】由題意得ABC=S.ABD+S《BD，

即』acsinl20°=—asin60°+—csin60°，

222

所以a7=a+c,得—i—=1,Q>0,c>0,

ac

^4?+c=(4a+c)f-+-^=4+-+—+l>5+2./---=9,

c)ac\ac

c4a3

當且僅當一二——，即c=3,a=—時，4a+c的最小值為9.

ac2

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=2jJsin^cos曹一2cos2^+1(G>0),在曲線y=與直線y=2的交點

中，若相鄰交點的距離為兀.若xe-,7T且關于X的方程/⑴―(a+l)/(x)+a=0有三個不等的實

根，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(―3,—1)B.(-2,-1]C.(-1,0)D.(-2,1]

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式得出/(%)=25：11115-；|(?！?)，根據(jù)題意出函數(shù)7(%)

的最小正周期，可求出。的值，解題中的方程得出/(x)=a或"％)=1,分析可知函數(shù)

JT

g(x)=〃x)-a在區(qū)間y,7T上有兩個不等的零點，分析函數(shù)g(x)的單調性，可出關于實數(shù)。的不等

式組，即可解得實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】因為=2A/3sincos-2cos2+1=A/3sin-coscox

=2sina)x--69>0),

I6

因為曲線y=/(x)與直線y=2的交點中，相鄰交點的距離為兀.

所以函數(shù)的最小正周期為丁=兀="，可得0=2,即〃x)=2si[2x-m]

由/2(%)_(。+1)/(》)+。=0可得[/(尤)_々1[/(%)_1]=0,

解得/(x)=a或/(司=1,

、“兀//rt兀/C71Uli

當一V九V兀時，一V2%V,

3266

由/(x)=2sin(2x_2]=l可得sin(2x-m]=1，可得2x—2=2,解得了=￡,

V6JVoy2662

jrjr

所以方程/(力=1在]兀上只有一個解，故方程/(%)=〃在-,71上有兩個不等的解,

令g(x)-f(x)~a-2sin12x_胃一〃，

，兀兀，3兀一,=兀，，5兀匚371c7i11兀一，口5兀

由一V2九——<——可得一《九V——,由一<2x——<----可得一<X<TI，

262362666

所以函數(shù)g(x)區(qū)間py上單調遞減，在葛，兀上單調遞增，

由題意可知，函數(shù)且(九)在區(qū)間兀上有兩個不等的零點,

IT=2sin]—a=2-a>0

g

所以|[g]=2sing—a=—2—a<0

g解得一2<aW—1.

g(兀)=2sin-a=-\-a>0

因此，實數(shù)。的取值范圍是(—2,—1].

故選：B.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.棱臺的側面都是等腰梯形

B.棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面

C.過圓錐頂點的截面是等腰三角形

D.以直角梯形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺

【答案】BC

【解析】

【分析】利用棱臺的結構特征判斷A；利用棱柱的結構特征判斷B；利用圓錐的結構特征判斷C；利用圓臺

的結構特征判斷D.

【詳解】對A,棱臺的側棱延長后交于一點，但側面不一定是等腰梯形，如一條側棱垂直于底面，那么會

有兩個側面為直角梯形，故A錯誤；

對B,棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面，故B正確；

對C,因為每條腰都是母線，且圓錐的母線長度相等，因此過圓錐頂點的截面是等腰三角形，故C正確；

對D,以直角梯形的直角腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體才是圓臺，故D錯誤.

故選：BC.

10.歐拉公式eM=cosx+isinx是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)

集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋.依

據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是（）

A.父的模長為定值B.e"i為純虛數(shù)

2

C.e對應的點位于第二象限D.。至的共輾復數(shù)為走i

e22

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項，—=-cosx+^i,故模長為:，A正確；B選項，e?=-1.B錯誤；C選項，e對

2222

應的點坐標為（1,0）,C錯誤；D選項，計算出e至=；+乎i,

根據(jù)共輾復數(shù)的概念得到答案.

【詳解】A選項，—cosx+^^-i,故J的模長為J^cosA'+Lsin?%，A正確;

2222V442

B選項，e"i=cos7i+isin兀=—1，為實數(shù)，B錯誤;

C選項，當％=0時，e°=cosO+isinO=l，故e對應的點坐標為(1,0),不在第二象限，C錯誤;

D選項，e^=cos-+isin-=-+^i,共輾復數(shù)為4―Y!"D正確.

332222

故選：AD

11.已知函數(shù)/(x)=Acos(ox+0)(A>O,o>O,[a<7i)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(龍)的圖象向左

=g(x)的圖象，則下列說法正確的是()

A.(0=——71

6

C.函數(shù)g(x)偶函數(shù)D.函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調遞減

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出“X)的解析式，即可判斷A、B,再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x)解析

式，再由正弦函數(shù)的性質判斷C、D.

【詳解】對于A,函數(shù)/(x)=Acos(ox+0)(A>O,o>O,|@<7i)的部分圖象，

—r,口.327157r兀

可得A=2，-x-=,

4。123

二0=2,則/(x)=2cos(2%+j).

又=2cos(2x1^+“=2,所以2x||+°=0+2E

keZ,

所以0=--------F2kli,kGZ,又|同V兀,

6

5兀，f(-^)—2cosf2x——j,故A正確;

:.cp----

6

f(-x)=2cosf-2x-—2cosf2xH——j—2cosf2x—7K

~6

TT

對于C,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移2個單位長度得到

6

則g(x)為奇函數(shù)，故C錯誤;

因為y=sinx在上單調遞減,

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調遞減，故D正確,

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知昌,馬是兩個不共線的向量，向量力=24一馬,3=怎+&.若4〃石，則左=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)向量平行，設離-馬=加(留+弓)，從而得到方程組，求出答案.

【詳解】因為所以設2召一馬=加(居+舄)，

AT/Z—2

故<,解得k=-2.

m=-1

故答案為：-2

13.已知外尸都是銳角，coscr=—,cos(cr+/?)=-—,則/?=.

714

IT

【答案】§##60°

【解析】

【分析】要求夕，先求cos尸,結合已知可有cos〃=cos[（e+利用兩角差的余弦公式展開可

求.

【詳解】Qa、夕為銳角，.?.0<</+￡<兀

1,小11

,/cosa=—,cos{a+p）=

sina-A/1-COS2a=,sin(a+，)=^1-cos2(<z+^)=

cos0=cos[((z+(3}-a\

=cos((z+p)cosa+sin(tz+)3)sina=(-—)x-+x=—

1471472

JT

由于夕為銳角，，夕=§

故答案為：—

14.已知函數(shù)/(x)=sin(69x+。)(a>〉0,x=—?為/(%)的零點，x=(■為y=/(x)

圖像的對稱軸，且/(%)在]看，上單調，則。的最大值為.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，易得啰=1+2（勺—左2）?，再結合了（%）在（白,冬]上單調，可知三2彳，進

ylo9726

而可得。的最大值.

【詳解】由工=—￡為〃％）的零點，得sin，?0+4=O,

7T

即—]"0+°=k]7i,k、=Z,①

又因x=（■為y=/（x）圖像的對稱軸，

JTJT

得1刃+。=左2萬+萬，％2=Z,②

聯(lián)立①②得：0=1+2（左—&）〃，故。為奇函數(shù),

上單調,

所以12也一2=工，即T2工，故6yW6,

291863

n27r

因。為奇函數(shù)，故%且檢驗滿足〃外在上單調.

ax=5,18,~9~

故答案為：5.

【點睛】本題考查的正弦函數(shù)圖像性質的綜合應用，解決本題的關鍵在于/（%）在上單調，可轉

T27rTCTC

化為-2---------=—,但需驗證結果是否滿足題意即可.

29186

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在梯形A3CD中，AD//BC,BD=5,NCBD=60°.

（1）^smZBCD=~,求CD的長;

4

（2）若AD=2，求cosNAfiD.

【答案】（1）10A/3

⑵嚶

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理進行求解即可;

（2）利用余弦定理進行求解即可.

【小問1詳解】

BDCD

在△BCD中，由正弦定理得

sinZBCDsinZCBD

BDsinNCBD^：=20x

則一sinZBCD

4

【小問2詳解】

因為AD〃3C,所以NADB=NCBD=60°.

由余弦定理得AB?=BD2+AD2-2BD-AD-cosZADB^19，

貝U45=^25+4—2x5x2x；=M

AB2+8￡>2_A￡）219+25-4_4A/19

所以cosNAB。=

2ABBD2x719x5-19

16.已知向量M=（2,3）石=（1,2）,d=依+5（keR）.

（1）若向量不與3B共線，求實數(shù)左的值；

（2）若向量1與5夾角為銳角，求實數(shù)左的取值范圍.

【答案】（1）k=--

3

（2）]一■1,O]D（O,+00）

【解析】

【分析】（1）利用向量共線的坐標運算可知%%-々％=0,即可求出參數(shù)值;

（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是日出＞0且不與B不共線，從而可得不等式組求解即可.

【小問1詳解】

由題意可得章=依+6=（2左+1,3左+2）,=（2,3）-3（1,2）=（-1,-3）,

若向量e與a—3B共線，可得一3（2k+1）+3左+2=0,

解得上=—2.

3

【小問2詳解】

若向量e與方的夾角為銳角可得施＞0,且e與石不共線,

（2左+1）+2（3左+2）〉0

即可得

2（2左+1）/3左+2

解得Z〉—3且左￥0,

8

即實數(shù)k的取值范圍為卜伏〉一上且上。0}

17.如圖，一個半徑為4的筒車按逆時針方向每分鐘轉1圈，筒車的軸心。距離水面的高度為2百米.設筒

車上的某個盛水筒P到水面的距離為"（單位：m）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時

開始計算時間，則d與時間單位：S）之間的關系為

d—Asin（cot+cp^+KA〉0,o〉0,—＜夕＜一.

(1)求A0,0,K的值;

（2）盛水筒出水后至少經過多少時間就可以到達最高點？

【答案】（1）A=4,co=—,（p=—,K=2^/3

303

（2）25s

【解析】

【分析】（1）根據(jù)振幅得到A=4,根據(jù)題意得到最小正周期，co=—=—,由最值得到K=2g\代

T30

7T

入特殊點函數(shù)值求出°=-1；

（2）由（1）得到d=4sin+從而得到方程，求出。=25+60人次eZ,求出最小值，得

到答案.

小問1詳解】

由題意，振幅A等于半徑，即A=4,

2冗2冗7i

?.?逆時針方向每分鐘轉一圈，，T=60s,.?.0=—=—=一,

T6030

由題意K=九+dmin=4+2用（2尺4）=,

22

因為，=0時，d=0,所以0=4sin°+2A/3,所以sin(p=———,

「兀兀71

又???-5<夕<5，「?0=一1；

【小問2詳解】

由(1)可得，="in—]]+，

令d=4+26，則有4+2A/3=4sint-+2y/3,

口一.，兀兀兀兀兀?

即sin—t—=I,---=—F2E,keZ,

(303J/.—30t32

二.1=25+60左,keZ,

當上=0時，t最小，t—25s,

???盛水筒出水后至少經過25s就可以到達最高點.

18.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,csinA+V3asin^C+^=0,c=6.

(I)求VABC外接圓的面積；

(2)若。=百萬，AM=^AB,求的周長.

【答案】(I)12不；⑵4+273.

【解析】

【分析】(1)先利用誘導公式將原式化簡，再運用正弦定理進行邊角互化，得出角C的大小，然后運用正

弦定理^^=27?求解外接圓的半徑，從而得出外接圓的面積.

sinC

(2)由c=6及c=6。可解出6，sinB的大小，得出角B的大小，進而得出角A,然后在zMCM中，

由余弦定理可解得。0的值，得出△ACM的周長.

【詳解】(1)*.*csinA+百asin[c+^]=0,

csinA+百acosC=0，由正弦定理得：sinCsinA+^3sinAcosC=0,

因為sinAwO,所以sinC+CcosC=0，得tanC=—g，

24

又0<C<?,故c=—,

八1c16cA

R——?------——x—■=~=3

，VA3C外接圓的半徑2sinC2下1

2

，NABC外接圓的面積為12乃.

好

(2)由c=6及0=屜得：b=26，■?_sinC_2_1>

sinD=—7=—=——=—

662

■:C=+，則3為銳角，

TTTT

/.B,故A=?—B—C=3.

66

如圖所示，在八4&0中，由余弦定理得，

CM2=AM2+AC2-2AM-AC-COSA=22+(2A/3)Z-2X2X273X^=4,

解得。1=2,

貝iJAAQW的周長為4+26.

C

【點睛】解三角形時，若題目所給式子中含有角的余弦或邊的二次式，則考慮用余弦定理；若式子中含有

角的正弦或者邊的一次式時，則考慮用正弦定理；若以上特征不明顯，則兩個定理都有可能用到.

19.如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，。為48的中點，而=2而，過點。的直線交邊AB與點

交邊AC于點N.

（1）用荏，衣表示不少；

（2）AM=mAB，AN=nAC，求---1—的值;

mn

（3）求0河2+92的取值范圍.

?1—?1—?

【答案】(1)AO=-AB+-AC

33

(2)—+—=3

mn

「251

(3)

[_912j

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知可得出通二!通+!正，然后即可得出答案；

22

-、1.1—>11

(2)先根據(jù)已知結合(1)的結論得出AO=丁AM+丁AN,然后根據(jù)三點共線得出——+—=1,即可

3m3n3m3n

得出答案；

(3)先用Z反而得出兩，兩，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律可推得3〃+QN2=9,72"-』]-根

I18J36

據(jù)(2)的結論可得出加+〃=3M〃，m=-----，mn=------，換元3〃一1二%,可得出

3n—13〃-1

機〃=2f+1+2.然后根據(jù)對勾函數(shù)的單調性可得