以高等數(shù)學(xué)知識為背景的導(dǎo)數(shù)問題高考定位1.導(dǎo)數(shù)解答題與高等數(shù)學(xué)知識交匯命題，考查考生的知識遷移能力、現(xiàn)場學(xué)習(xí)能力與現(xiàn)場運用能力，逐漸成為命題的熱點，難度較大，一般作為壓軸題出現(xiàn)；2.常見的高等數(shù)學(xué)知識除了前面學(xué)習(xí)過的泰勒公式與洛必達法則、還有拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微積分、帕德近似等.【題型突破】題型一拉格朗日中值定理、羅爾中值定理、柯西中值定理例1(2024·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2＋eq\f(1,2)(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若0<x1<x2，證明：對任意a∈(0，＋∞)，存在唯一的實數(shù)ξ∈(x1，x2)，使得f′(ξ)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)成立；(3)設(shè)an＝eq\f(2n＋1,n2)，n∈N*，數(shù)列{an}的前n項和為Sn.證明：Sn>2ln(n＋1).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法1.本題第二問實際上是拉格朗日中值定理，其內(nèi)容如下若函數(shù)f(x)滿足如下條件：(1)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo).則在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′(ξ)＝eq\f(f（b）－f（a）,b－a).2.解決以拉格朗日中值定理為背景的問題的一般步驟(1)研究f(x)的單調(diào)性；(2)自定義x1，x2的大小，并判斷f(x1)、f(x2)的大小，去掉分母或絕對值；(3)構(gòu)造新函數(shù)F(x)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決問題.訓(xùn)練1羅爾中值定理是微分學(xué)中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.羅爾定理描述如下：如果R上的函數(shù)f(x)滿足以下條件：①在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，②在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，③f(a)＝f(b)，則至少存在一個ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.據(jù)此，解決以下問題：(1)證明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)內(nèi)至少有一個實根，其中a，b，c∈R；(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點，求a的取值范圍.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二帕德近似例2(2024·廈門模擬)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法，在計算機數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)f(x)在x＝0處的[m，n]階帕德近似定義為：R(x)＝eq\f(a0＋a1x＋…＋amxm,1＋b1x＋…＋bnxn)，且滿足：f(0)＝R(0)，f′(0)＝R′(0)，f(2)(0)＝R(2)(0)，…，f(m＋n)(0)＝R(m＋n)(0).其中f(2)(x)＝[f′(x)]′，f(3)(x)＝[f(2)(x)]′，…，f(m＋n)(x)＝[f(m＋n－1)(x)]′.已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0處的[2，2]階帕德近似為R(x)＝eq\f(a＋bx＋\f(1,2)x2,1＋x＋\f(1,6)x2).(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設(shè)h(x)＝f(x)－R(x)，證明：xh(x)≥0；(3)已知x1，x2，x3是方程lnx＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))的三個不等實根，求實數(shù)λ的取值范圍，并證明：eq\f(x1＋x2＋x3,3)>eq\f(1,λ)－1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法1.利用帕德近似求參數(shù)值的關(guān)鍵是理解其概念列出方程組，從而求解.2.本題的關(guān)鍵點在于借助零點的存在性定理得到當(dāng)且僅當(dāng)0<λ<eq\f(1,2)時，lnx＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))存在三個不等實根，且滿足x1<x2＝1<x3，且x1＝eq\f(1,x3)后，結(jié)合第二問中所得ln(1＋x)>eq\f(3x2＋6x,x2＋6x＋6)，從而得到lnx3＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x3)))>eq\f(3xeq\o\al(2,3)－3,xeq\o\al(2,3)＋4x3＋1)，再進行化簡即可證明.訓(xùn)練2(2024·菏澤模擬)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)在x＝0處的[m，n]階帕德近似定義為：R(x)＝eq\f(a0＋a1x＋…＋amxm,1＋b1x＋…＋bnxn)，且滿足：f(0)＝R(0)，f′(0)＝R′(0)，f″(0)＝R″(0)，…，f(m＋n)(0)＝R(m＋n)(0)(注：f″(x)＝[f′(x)]′，f(x)＝[f″(x)]′，…，f(n)(x)為f(n－1)(x)的導(dǎo)數(shù)).已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0處的[－1，1]階帕德近似為R(x)＝eq\f(ax,1＋bx).(1)求實數(shù)a，b的值；(2)比較f(x)與R(x)的大??；(3)若h(x)＝eq\f(f（x）,R（x）)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－m))f(x)在(0，＋∞)上存在極值，求m的取值范圍.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三微積分、洛必達法則例3(2024·湖北二模)微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)g(x)＝eq\f(1,x)(x>0)，g(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分eq\i\in(a,b,)eq\f(1,x)dx便是由直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝eq\f(1,x)所圍成的區(qū)域(稱為曲邊梯形ABQP)的面積，根據(jù)微積分基本定理可得eq\i\in(a,b,)eq\f(1,x)dx＝lnb－lna，因為曲邊梯形ABQP的面積小于梯形ABQP的面積，即S曲邊梯形ABQP<S梯形ABQP，代入數(shù)據(jù)，進一步可以推導(dǎo)出不等式：eq\f(a－b,lna－lnb)>eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)).(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：eq\f(a－b,lna－lnb)<eq\f(a＋b,2)；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，其中a，b∈R.①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)x1，x2，曲線y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))處的切線均不重合；②當(dāng)b＝－1時，若不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法1.本例以微積分為工具證明對數(shù)平均值不等式：eq\f(a－b,lna－lnb)<eq\f(a＋b,2)，再利用該不等式解決問題.2.求解的關(guān)鍵是理解題中所給微積分基本定理及推證不等式的方法，并會把所求證的問題轉(zhuǎn)化為適用對數(shù)平均值不等式的形式.訓(xùn)練3①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)，g′(x)，且eq^\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0，則eq^\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f（x）,g（x）)＝eq^\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′（x）,g′（x）).②設(shè)a>0，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈[0，a]，均有f(x)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,k)))成立，且eq^\o(lim,\s\do4(x→0))f(x)＝0，則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間[0，a]