考點(diǎn)11平面向量及其應(yīng)用（20種題型6個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）

Q一、真題多維細(xì)目表

考題考點(diǎn)考向

2022新高考1,第3題平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算

2022新高考2,第4題數(shù)量積的綜合應(yīng)用由夾角相等求參數(shù)值

2021新高考1,第10題數(shù)量積的定義及夾角與模問題利用坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模，數(shù)

量積

2021新高考2,第15題數(shù)量積的綜合應(yīng)用平面向量的數(shù)量積

2021全國乙理，第14題數(shù)量積的定義及夾角與模問題由向量垂直求參數(shù)

2020新高考2,第3題平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算

2020新高考1,第7題數(shù)量積的綜合應(yīng)用求數(shù)量積的取值范圍

Q二、命題規(guī)律與備考策略

高考對本章內(nèi)容的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算為主，考查與平面向量基本定理相關(guān)的線性

運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，

分值為5分。

高考對本章的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，在知識形成過程、知識遷移種滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、

直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸思想。

Q三、2023真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2023?甲卷）已知向量4=（3,1）,?=（2,2）,則cos〈a+b?a-B〉=（）

A.—B.2ZIZ_C.遮D.2后

171755

【分析】根據(jù)題意，求出Z+E和Z-E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出iZ+以工-三和的值，進(jìn)而

由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，向量Z=（3,1）,b=（2,2）,

則a+b=（5，3），a-b=（1，-1），

則有Ia+b尸A/25+9=J瓦,Ia~bl=V1+1=V2,（a+b）?（a—b）=2,

故cos〈晶總；-b）f二）=1

Ia+bIIa-bIA/34,V217

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查向量的夾角，涉及向量的數(shù)量積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?甲卷）向量|al=lbl=l，lcl=&，且a+b+c=0，則cos〈a-c<b_c>=（）

A.」B.上C.2D.A

5555

【分析】根據(jù)題意，用7、E表示3,利用模長公式求出cos<W，b>>再計(jì)算W-W與E-3的數(shù)量積和

夾角余弦值.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縄al=lbl=l，l3=&，且a+b+c=0，所以-W=a+b，

所以法=?+己2+2丁高

即2=1+1+2X1X1XCOS<Z，b>>

解得cosVa，b>=。，

所以a-Lb.

又a-c=2a+b，b-c=a+2b，

所以（a-c）?（b-c）=（2a+b）?（a+2b）—2'^^+2^^+5a*b=2+2+0=4,

la-d=lb-cl=l/4^2+4^^b+b2=V4+0+1=V5

所以cos（a-b-c）

la-cIlb-cIV5XV55

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長夾角的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

3.（2023?乙卷）正方形A8CD的邊長是2,E是A8的中點(diǎn)，則詼?而=（）

A.A/5B.3C.2遙D.5

【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：正方形A3CO的邊長是2,E是AB的中點(diǎn)，

所以麗?瓦=7,EB1AD-EA1BC，BC-AD=2X2=4,

..............

則E（?ED=（EB+BCXEA+AE）=EB-EA+EB-AE+EA-BC+BC-AD=-1+0+0+4=3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2023?新高考I）已知向量之=（1,1）,b=（1，-1）.若（a+Ab）±（a+Rb）.則（）

A.入+四=1B.入+|i=-1C.入［1=1D.人|i=-1

【分析】由已知求得Z+入E與之的坐標(biāo)，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解.

【解答】解：???1=a,1）,b=（1，-1）,

:?a+入b=（入+1，1-入），a+kb—（四+1，1-四），

由（a+入b）-L（a+Nb），得（入+1）（四+1）+（1-入）（1-黑）=0,

整理得：2入|i+2=0,即入口=-1.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共1小題）

5.（2023?新高考H）已知向量:，6滿足尸F(xiàn)，|1+如=|25-\,則El=_R_.

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，即可求解.

【解答】解：；la-bl—V3'Ia+bl—12a-bl>

?一2—?2——2—?2-?2—2―?-?

,?a+b-2a?b=3，a+b+2a*b=4a+b-4a

?—2——?—2_o

?,a=2a?b'**b一提

**,IbI=V'3.

故答案為：V3.

【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，屬基礎(chǔ)題.

但四、考點(diǎn)清單

1.向量的有關(guān)概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

（2）零向量：長度為Q_的向量，其方向是任意的.

（3）單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.

（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量：長度相等且方向植反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

、一布，Z-h

向量運(yùn)定義法則（或幾何意義）巨舁律

交換律：a+b=b+_

aa；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

結(jié)合律：(a+b)+c=

a+(8+c)

平行四邊形法則

求〃與力的相反向量

減法a—b=a+(—b)

—b的和的運(yùn)算a

三角形法則

|Aa\=W\a\f當(dāng)尤>0

時(shí)，入。與a的方向

Mpta)=；

求實(shí)數(shù)4與向量a的相同;

數(shù)乘(2+=丸〃+；

積的運(yùn)算當(dāng)2<0時(shí)，4Q與a

幾(a+5)=%a+勸

的方向相反;

當(dāng)丸=0時(shí)，幾a=0

3.兩個(gè)向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得b=Xa.

4.平面向量基本定理

如果ei,ez是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量m有且只有一對實(shí)數(shù)

九，42,使4=九61+2202.

其中，不共線的向量ei，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組薨底.

5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a=Qi，yi),b=(X2,/)，則

a+Z>=(xi+x2，vi+v2),a-b=VI-V；),

4a=(Zn，》yi),|a|=\/^+y|.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；

②設(shè)A(無1,>1),8(X2,>2),則??=(無2—尤1,丫2-yi),

\AB\=7(無2-Xi)2+(y2-yi)2.

6.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi，y。，b—(xi,yi),其中a//Z><4xiy2—X2Vi—0.

7.向量的夾角

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和"作G=a,OB=b,則/A08就是向量a與3的夾角.

(2)范圍：設(shè)。是向量。與入的夾角，則0°W0W18O。.

(3)共線與垂直：若0=0°,則a與Z>同向;若0=180°,則。與&反包；若0=90°,貝|a與垂

直.

8.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個(gè)非零向量〃，力的夾角為仇則

定義

⑷網(wǎng)?cos_?叫做a與b的數(shù)量積，記作a-b

lalcos「叫做向量a在b方向上的投影，

投影

向cos「叫做向量&在a方向上的投影

數(shù)量積a-b等于a的長度⑷與方在。的方向

幾何意義

上的投影|A|cos_夕的乘積

9.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)a-b=b-a.

(2}(Aa)-b—X(a-b)-a-(Ab).

(3)(a+Z>)-c=a，c~\~b，c.

10.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

己知非零向量。=(尤1,%),b=(X2,>2),“與》的夾角為。.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y[a^a101=遍+棉

a-bxiX2+yry2

夾角COSc/—I||.|cos

皿1

a±b的充

。協(xié)=0陽_&+丫注2=0

要條件

11.平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用

(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決.

⑵還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、

正、余弦定理等知識.

〈常用結(jié)論》

1.五個(gè)特殊向量

(1)要注意。與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=0.

(2)單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量.

(4)與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量言和一言.

2.五個(gè)常用結(jié)論

(1)一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量,

即4A2+A2A3+A3A4H-----1-4-4=44.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.

(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則。＞=/亦+而).

(3)若4B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則屬+兩+訖=0㈡尸為△ABC的重心.

A

⑷在△ABC中，A￡＞,BE,CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為八ABC

的重心，則有如下結(jié)論:

①芯1+而?+就=0；

―?1—?―?

@AG^AB+AQ；

③麗=；(由+由，GD=1(AB+AQ.

(5)若位=%而+〃沆(九〃為常數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是2+〃=1.

3.基底需要的關(guān)注三點(diǎn)

(1)基底ei，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底.

(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一.

(3)如果對于一組基底0,改，有4=九。1+2262=〃13+〃2?2，則可以得到彳］

L幾2=〃2.

4.共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)

(1)若〃=(?,J1),)=。2，”)，則。〃)的充要條件不能表示成?■=?■，因?yàn)閄2，丁2有可能等于0，應(yīng)

人2yi

表示為即以一次2%=0.

(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定.

5.兩個(gè)結(jié)論

(1)已知尸為線段A8的中點(diǎn)，若4為，J1),8(X2,yi)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為以妻).

(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(xi,yi),B(x2,y2),。(乃，〉3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為(內(nèi)+；+*,yi+1+g).

6.兩個(gè)向量〃，1的夾角為銳角協(xié)＞0且〃，「不共線；

兩個(gè)向量a,1的夾角為鈍角Oa?方＜0且a,「不共線.

7.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+5)(a—力=晨一人.

(2)(a+/)2=a2+2a.5+8.

(3)(a—b)2=a1—2ab+l)2.

但五、題型方法

向量的概念與向量的模(共2小題)

1.(2023?葉城縣校級模擬)已知二1-24,l+2b=(-5,2)，若二與三模相等，則|7|=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用坐標(biāo)求出Z+2E的模長，進(jìn)而根據(jù)已知條件可以得到一個(gè)關(guān)于|Z|的方程，問題即可得到

解決.

【解答】解：因?yàn)橹?2E=(-5,2)，所以口+2三1=標(biāo)，

故Ia+2bl"|a|?+4|b|?+4a-b=29，而又已知ZE=-24，且lal=lbl，

所以|a|2+4|t96=29,

解得|WI=5.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2023?廣西模擬)已知彳和了是兩個(gè)正交單位向量,？=2彳+3人羨彳+kG且NVIS，則左=()

A.2或3B.2或4C.3或5D.3或4

【分析】根據(jù)題意得到Z=(2,3)，b=(l,k)，求得Z-E=(l,3-k)，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，

列出方程，即可求解.

【解答】解：因?yàn)槿歪苁钦粏挝幌蛄?，?2i+31=(2,3)，b=i+k7=(l.k)，

可得ZG=(1,3-k)>所以|；>|Wl+(3-k)2=后，

解得k=2或k=4.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二.向量相等與共線(共2小題)

3.(2023?南通模擬)若向量5滿足G+E1=Gl+RI，則向量之，石一定滿足的關(guān)系為()

A.a=0

B.存在實(shí)數(shù)入，使得二=入三

C.存在實(shí)數(shù)相，n,使得ma=nb

D.|a-bl=la|-|bl

【分析】對Q+E|=11|+|bI兩邊平方即可得出Z?E=la|lbI，進(jìn)而得出Z底,從而判斷A不

正確；時(shí)，8不一定成立；Ia|<|b。不成立，這樣只能選C

【解答】解：：|Z+El=lWl+lEl，

(a+b)2=(|l|+|b|)2;

?—2—*2———2—2?-???-??

,?a+b+2apb=a+b+2|a||br

*,?a*b=IaIIbb

??cos〈a,b>=l，<a,b〉=0，

aIIb>

.?.；=芍不一定成立；E=[,7卉節(jié)時(shí)，；=避不成立；時(shí)，lZ-El=lZlTbl不成立.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了向量數(shù)量積的計(jì)算公式，共線向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2023?湖北模擬)已知向量Z,則“彳與E共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)人使得彳=入己”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】充分性根據(jù)己=1,^盧3驗(yàn)證；必要性直接證明即可.

【解答】解：當(dāng)己=/，；聲節(jié)時(shí)，滿足W與E共線，

但是不存在實(shí)數(shù)入使得Z=Xb.

故充分性不成立；

存在唯一實(shí)數(shù)人使得Z=入三，則彳與E共線成立，

即必要性成立，

故與E共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)人使得之=入%”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了共線向量的定義，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

三.平面向量的線性運(yùn)算（共1小題）

5.（2023?濟(jì)南三模）在△ABC中，若|屈+菽|=2,|BC+BA|=3,則△人小面積的最大值為（）

A.旦B.旦C.1D.近

842

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)A、B為線段。E的三等分點(diǎn)，

因?yàn)閨標(biāo)+菽1=2,|前+瓦|=3，

所以lAB+BC-BAl=lBC-2BAl=IBC-BD1=|DC1=2，IBC-BE1=lEC1=3-

則SAABCMS^CDE忖xjxICD|xICE|xsinZDCE<4XyX2X3=1-

當(dāng)且僅當(dāng)CDLCE時(shí)取等號，

即AABC面積的最大值為1.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬中檔題.

四.向量的加法（共1小題）

6.（2023?浙江模擬）設(shè)M是平行四邊形ABC。的對角線的交點(diǎn)，則證+2而+2筋+筋=（）

A.ABB.CDc.2ABD.±CD

2

【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則求解.

【解答】解：：四邊形ABC。為平行四邊形，是AC,3。的中點(diǎn),

???MA+MC=0.HB+MD=^

??????1—1?1..1—*.*1/?-?、?

???MA+2MB+2MC+MD=MC+MB=yAC玲DBAC+DB)y(AC+DC+CB)=y<AB+DC)=AB

2

=DC.

故選：A.

A

A/

【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

五.向量的減法（共1小題）

7.（2023?防城港模擬）在△ABC中，。為的中點(diǎn)，則而-示=（）

A.ACB.CAc.BA

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解即可.

【解答】解：：在△ABC中，。為8C的中點(diǎn)，，而=誣，

.....

ACD-DA=DB-DA=AB，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

六.向量的三角形法則（共2小題）

8.（2023?普寧市校級二模）設(shè)e是單位向量，AB=3e，CD=-3e，IADI=3,則四邊形ABC。（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【分析】據(jù)向量相反向量的定義得四邊形為平行四邊形，再據(jù)鄰邊相等四邊形為菱形.

【解答】解：..刀=4，CD=-3^

???AB=-CD

四邊形ABCD是平行四邊形

又：I菽I=3

四邊形ABCD是菱形

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查相反向量的定義，菱形滿足的條件.

9.（2023?西寧模擬）在△ABC中，。是AB邊上的中點(diǎn)，則曰=（）

A.2CD+CAB,CD-2CAc.2CD-CAD.CD+2CA

【分析】利用向量加法法則直接求解.

【解答】解：在△A8C中，。是A8邊上的中點(diǎn),

則'而=而+泥=而+標(biāo)

=CD+(AC+CD)

=2CD-CA.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查向量的表示，考查向量加法法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

七.向量加減混合運(yùn)算（共1小題）

10.（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知z=（1,M）,b=⑵0）,則|1-35=（）

A.2v7B.2遙C.24D.28

【分析】可根據(jù)條件求出彳-3三的坐標(biāo)，從而可求出la-3bI.

【解答】解：；-3b=（-5,?）；

???l7-3bl=V25+3=2V7.

故選：A.

【點(diǎn)評】考查向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法.

八.兩向量的和或差的模的最值（共3小題）

11.（2023?安徽模擬）△ABC中，I屈+菽|=2|屈-菽則sinA的最大值為（）

A.—B.3MC.—D.2加

5555

【分析】由I屈I=2|屈-菽|,兩邊|族+血產(chǎn)=4屈-正|2,整理得到

10-|AB|-|AC|cosA=3|AB|2+3|AC|4結(jié)合基本不等式進(jìn)而得到cosA的最小值，再利用平方關(guān)

系求解.

【解答】解：EfelAB+ACI=2|AB-ACI.

兩邊同時(shí)平方得|AB+AC|2=4|AB-AC|2>

展開整理得10-屈正=3|正|2+3|AC|2-

即10.|AB|■|AC|cosA=3|AB|2+3|AC|2-

...1+3|而、6.|蒜|.|正|二3

C°S~10-1AB|-|AC|^10-|AB|-|AC|-5

當(dāng)且僅當(dāng)|AB1=lAC|時(shí)等號成立.

又sin2A+cos2A=1且sinA>0,，cosA=-時(shí),

5

所以sinA取最大值烏.

5

故選：c.

【點(diǎn)評】本題主要考查向量模的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.（2023?張家口一模）已知向量之，E，3都是單位向量，若（Z二）2+￡;）2=3,則|W￡|的最大

值為（）

A.生B.2C.2/ILD.百

42

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到（a+b）設(shè)〈G+E）,c>=e>即可得到|2》|，

再由|2=4-（2+3）2求出一VI的范圍，即可得解.

【解答】解：由（之:）？+:）2=3，得/+1>2+2（：2-2（a+b）-c=3,即（a+b）〈蔣.

設(shè)〈（a+b）,c/=9,則（a+b），c=|軟+b|cos8顯然cos6*0,

所以|a+b|2=----三---

4cos204

又（^+T）2+（^-b）2=2a2+2b2=4,所以Ia-b|?=4-（a+b）?<4卷=疊，

所以|之工|《陪，即la-b|的最大值為隼?

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

13.（2023?市中區(qū)校級一模）若平面向量Z，,，3滿足lal=LbZ=O'ab=Vac=-P貝1JR+WI

的最小值為2.

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)Z=（l,0）-b=（xp丫1），^=晨2，了2），再結(jié)合平面向

量的數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式的公式，即可求解.

,

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)&=(1,0)，b=(x],yp'c=(x2?y2)

a?—>—?—?—?—?—?

,bc=0,ab=ra-c=-r

.'.XlX2+y1^2=0,Xl=l,X2=-L

??yiy2=1>

22=2>

1'-Ib+c|^/(l-l)+(yi+y2)=M+羽=|yi|=|y[|+?Jj>2^IYII

當(dāng)且僅當(dāng)聲=±1時(shí)，等號成立，

故lb+c|的最小值為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

九.向量數(shù)乘和線性運(yùn)算(共2小題)

14.(2023?石獅市校級模擬)我國古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早

的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)

形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽.如圖，大正方

形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若瓦而=衛(wèi)，E為族的中點(diǎn)，

則立=()

A4-2：口2-「4-2：2-4：

yaVyaVc-Dn-yaV

【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=1,BE=x,則AE=2x.利用勾股定理可得無，通過

的邊角關(guān)系，可得E的坐標(biāo)，設(shè)標(biāo)=優(yōu)標(biāo)+”4，路坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=1,BE=x,則AE=2x.

.".X2+4X2=1,解得

5

設(shè)NBA￡=e,則sinO=cos6=.

55

XE=cos6=",yE=sinS=2.

5555

設(shè)AE=mAB+幾AD，

則(段，—)=m(1,0)+n(0,1).

55

?42

??777,,,72—?

55

.??標(biāo)=卻缶

55

另解：過E分別作EM_L4B,EN1AD,垂足分別為M,N.

通過三角形相似及其已知可得：AM=^.AB,AN—AD.

55

即可得出結(jié)論.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)求值、平面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)

算能力，屬于中檔題.

15.（2023?湖南模擬）如圖，正方形4BC。中，M.N分別是BC、C。的中點(diǎn)，若菽=入高+U而，貝U入+以

A.2B.旦C.旦D.其

355

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，列方程組解出入，n.

【解答】解：以AB,為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)正方形邊長為1,則AM=（1，-）-BN=（-L，1）,AC=（1.1）.

22

AC=AAM+nBN-

入入q

????,,解得I:.

19

不人+|1=1

IND

.'.A+u=—.

5

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

一十.平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共2小題）

16.（2023?天門模擬）已知向量彳，與滿足Z.（Z+g）=2,且1彳1=1，則向量E在向量工上的投影向量為

A.1B.-1C.aD.-a

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出Z石,在根據(jù)向量E在向量Z上的投影向量為與2x3計(jì)算可得.

aa

【解答】解：因?yàn)?+5）=2,且屋1=1，

所以a2+a-b=2,即|a『+a-b=2，

所以ZE=r

—*—*—

所以向量E在向量7上的投影向量為*X^_=a.

hl|a|

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.（2023?淮北二模）已知向量:，E滿足Z?E=10，且^=（-3,4）,則:在E上的投影向量為（）

A.（-6,8）B.（6,-8）C.（一旦，為）D.（旦，一旦）

5555

【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)閃，E=1。，且石=（-3,4）,

所以Z在E上的投影向量Nlcos<W，b>^-=（展三）—^~=iox（-3,4）=「且8.）

Ibl|t|29+1655

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了投影向量的定義與計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

一十一.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共3小題）

18.（2023?射洪市校級模擬）己知平面向量|7|=2，后|=1，!,三的夾角為60。，|；+君|=?（t€R），

則實(shí)數(shù)f（）

A.-1B.1C.AD.±1

2

【分析】對|a+tbI八年兩邊平方，再由數(shù)量積公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：因?yàn)閨a+tbl=愿,所以「+22E-t+t2|]|2=3,

即4+2X2Xcos60°t+r—3,解得t=T.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在邊長為2的菱形ABCD中,

ZBAD=60°，AE=XAB-4^AD?X€[0,1]，則而?皮的最小值為（）

O

A.-2

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

【解答】解：己知在邊長為2的菱形48。中，ZBAD=60°>AE=xAB+?詈AD，x€[0,1]，

則AB?AD=2X2X京=2，

=

則DE"DC=(AE-AD)-AB=AE'AB-AD-AB=XAB一z^-AB-AD---，

oO

又xe[0,1],

則當(dāng)尤=0時(shí)，DE?DC取最小值屋.

3

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

20.（2023?虹口區(qū)校級三模）己知平面向量；，石，彳滿足b-e=-l,V|=4,則I-R

的取值范圍是_（-2\反，273

【分析】設(shè)％=（1,0），則Z=（l,x）,b=（-l.y），得到lx-y|=W5,結(jié)合絕對值三角不等式,

即可求解.

【解答】解：不妨設(shè)％=（1,0），則田=（1,x）,b=（-l.y）,

由Ia-bI=4，可得Ix-y|=2百,

a|-|b||=|V1+x2-Vl+y2I=I

Vl+x2+71+y2

2_2

<II，I+；II=IIxI~IVII<Ix-yI=273，

IxI+|yI

所以|ZI-RI的取值范圍是（-蓊，2愿）.

故答案為：（-273,273）.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)以及絕對值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

一十二.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）

21.（2023?廣州三模）已知向量Z=（3,4>b=（4,且|Z+%I=|ZGI，則|E1=（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出機(jī)，再利用向量的求模公式求解.

【解答】解：:Ia+bI=Ia-bI，

+22

??a+bab—a+匕~ab，??ab—。，

:a=（3,4>b=（4,m>

12+4m=0,m=-3,

b=（4,-3）,

IbI=A/42+（-3）2=5-

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了向量的數(shù)量積，向量的求模公式，屬于基礎(chǔ)題.

22.（2023?丹東模擬）已知向量；=（2,1），羨（3,2），則；?（；4）=（）

A.-5B.-3C.3D.5

【分析】由己知求得的坐標(biāo)，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【解答】解：：a=(2,1>b=(3,2)1?-a-b=(-l.-1),

則a，(a-b)=2義(-1)+1X(-1)=-3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

一十三.向量的投影（共2小題）

23.（2023?翠屏區(qū)校級模擬）已知向量；=（1,O）,E=（2,2>若UG，則3在Z方向上的投影

為（）

A.1B.-1C.1D.—

55

【分析】利用坐標(biāo)運(yùn)算求出3然后求投影即可.

【解答】解:a=（i,0），b=（2,2）-

則W=（-l,-2），

—?—?

則口在7方向上的投影為[a=7=_].

lai1

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查向量的投影公式，屬于基礎(chǔ)題.

24.（2023?宜賓模擬）己知點(diǎn)M是圓C：（尤-4）2+/=4上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)N是直線y=x上除原點(diǎn)。外

的任意一點(diǎn)，則向量而在向量而上的投影的最大值是（）

A.272+2B.272C.372+2D.3A歷

【分析】取點(diǎn)N（a,a）,則aWO,設(shè)點(diǎn)M（4+2cos。，2sin0）,其中0We<2m利用向量投影的定義以

及三角恒等變換可求得向量而在向量而上的投影的最大值.

【解答】解：取點(diǎn)N（a,a）,則aWO,設(shè)點(diǎn)M（4+2cos。，2sin0）,其中0W0<2m

所以，向量而在向量而上的投影為|0M|cos而，0N>=|0M|工?

10M|-|ON|

?ONa（4+2sin8+2cos8）

|0N|V2|a|

若向量而在向量而取最大值，則a>0,

所以，|祈|cos標(biāo),—=a（4+2sg+濘se）翌氏9啦阻9+2點(diǎn)

V2IaI

7T

=2sin（6q）+2料<2+2如，

因?yàn)?We<2m則工之，

444

當(dāng)且僅當(dāng)e」L工時(shí)，等號成立，故向量而在向量不上的投影的最大值是為木歷+2.

42

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查向量的投影，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

一十四.投影向量（共2小題）

25.（2023?東莞市校級三模）已知向量1=（2,-1）,^=（1,3））則向量Z+2E在向量Z方向上的投影

向量為（）

A.（6,-3）B.（2^5,飛）C.（￥“立醇）D.春-J-）

【分析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)，求投影向量公式求解即可.

【解答】因?yàn)?，?,-1）,b=（l,3），

所以Z+2E=（4,5），a=（2,-1）-

故所求投影向量為：（a+g））a*士二器士⑵二1）且⑵-1）=（立，-3）.

|a||a|V5V55'5'

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

26.（2023?開福區(qū)校級二模）已知單位向量7,E的夾角為60°,則向量Z+E在Z方向上的投影向量為（）

A1-173-1-

A.—aoR.-ybJcyanu-而a

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義即可求解.

【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量Z和E的夾角為60°,

則；?E=1XlX-j-U--

所以（a+b）-a=a2+a-b=l總號,|7+b|=7（-a+b）2=^2+2^+i>2=V3,

（a+b）*aV3

cos\a+b，a/=.~~^=r-=-r—?

|a+bL|a|2

故所求投影向量為|a+b|-cosQ+b,a）

IaI2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

一十五.平面向量的基本定理（共3小題）

27.（2023?斗門區(qū)校級三模）在梯形43。中，AC,BD交于點(diǎn)O,3BC=4AD.則正=（）

1

Q1??Q?■■?—*Q??Q■■?

A--yOB+OCB.-^-OB-OCC.0B吟0CD.QB-^-OC

4444

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可求出結(jié)果.

【解答】解：如圖，

由3前=4標(biāo)，可得型（利用平行關(guān)系求得線段比）,

OBBC4