上海市顧村中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試

高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

一、填空題(每題3分，共30分)

1.若角e的終邊在直線y=3無上，貝gcosa的值為.

【答案】土典

10

【解析】

【分析】在直線方程任取一點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)榻莂的終邊在直線y=3無上，取直線y=3尤上任一點(diǎn)(x,3x)(xw0),

當(dāng)尤>0時(shí)，r—Jx2+(3x)2=V10x，則cosa=—=二=——；

'')r?10

當(dāng)x<0時(shí)，r=A/X2+(3X)2=-\/10x>則cosa='=—；

'''r-VlOx10

綜上，cosa的值為±@0.

10

故答案為：土畫

10

2.扇形的半徑等于2,面積等于6,則它的圓心角等于.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)扇形面積與半徑及圓心角的大小關(guān)系列方程求解即可.

【詳解】扇形的半徑r=2,它的圓心角為a,

1,1，

所以扇形面積S=—tz廠=—義。*2~=6,所以a=3

22

故它的圓心角等3弧度，

故答案為：3

3.0。<1<360°且角戊與-60°終邊相同，則角a等于_______度.

【答案】300

【解析】

【分析】任意角表示出a,結(jié)合其所在的范圍確定其大小即可.

【詳解】由題設(shè)2=360。左一60。且左￡Z,X00<6Z<360°,

所以k=1時(shí)，。=300。.

故答案為：300

兀3

4.已知sinC^—。）=一二，貝！Jcos（兀+a）=

3

【答案】-##0.6

【解析】

3

【分析】根據(jù)三角誘導(dǎo)公式，得到cosa二—不，再由cos（兀+。）=一cos。，即可得到答案.

兀33

【詳解】由sin（——a）=cosa=——,又由cos（兀+。）=-cosa=—.

25v75

3

故答案為：—.

5.已知tana=3,貝Usina?cosa=.

3

【答案】一##0.3

10

【解析】

,八■J?口g―?Ad①人心田一必力/I5/口?I.

sina,cosatana代入計(jì)算，即

【分析】根據(jù)二角函數(shù)的基本關(guān)系式，化間得到sin。?cos。=-----------T—=―5--------------

sinor+cosatana+1

可求解.

■…nce?sina-cosatanor33

【詳解】因?yàn)閠ana=3,貝!Jsino-cos。=——-------z—=——7----------------=-------------=一

sinor+cosatana+19+110

3

故答案為：—.

6.已知sincr=—,ae(0,7i),則a=.

_..,_7T_jv5兀

【答案】:或

66

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出角.

IJTTT51E

【詳解】由aw（0,兀），sina=—=sin—,所以a=—或。=一.

2666

.....、7L_5兀

故答案為r：;或

66

7.在VABC中，a-cos[]—A]=6-COS|^1—5；則VABC的形狀是

【答案】等腰三角形

【解析】

【分析】由誘導(dǎo)公式及正弦定理化簡(jiǎn)后，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得解.

【詳解】由誘導(dǎo)公式可得。6皿4=〃6垣5,由正弦定理可得siYAusiYB，

所以sin?A-sin2B=(sinA+sinB)(sinA-sinB)=0,

由sinA+sin3>0,可得sinA—sinB=0,即sinA=sin3,

因?yàn)锳5?0,兀)，

所以A=8或4+3=兀(舍去)，

故三角形為等腰三角形.

故答案為：等腰三角形

8.已知函數(shù)〃x)=sin(2x+°)為偶函數(shù)，則。=.

JT

【答案】—Fku,kEZ

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為/(o)=±l,得到sino=土1,進(jìn)而求得。的值，得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin(2x+0)為偶函數(shù)，可得/(0)=±1,

兀

即sino=±l,解得0二萬+左?；鹑?/p>

7T

故答案為：—I-kji,kEZ.

2

9.已知函數(shù)/(x)=2sin，x+《1—l(0〉0)在(0,兀)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為

【答案】,,|

【解析】

【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】令/(x)=2sin[ox+W)T=0,則sin[s+,,

當(dāng)X￡(0,兀)時(shí)，CDX+—G,CDTI+—J,

,口工?一,口13兀71,17兀

由寇忌可得---<①TlH?-----------------，

666

O/Q-

解得2<刃《§,即實(shí)數(shù)外的取值范圍為[2,§.

故答案為：^2,—.

兀

10.已知函數(shù),=々5也了+(：05%在xe0,—上的最大值為2,則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】出

【解析】

【分析】首先排除a=0的情況，再考慮端點(diǎn)處函數(shù)值，最后利用輔助角公式得y=G1Tsin(x+o)，根

據(jù)最大值求得a=土石，再驗(yàn)證是否滿足題設(shè)，即可得結(jié)果.

71

【詳解】由0,-,顯然4=0時(shí)y=cosx最大值不為2,

L2」

JT

當(dāng)x=0時(shí)，丁=<：05%41；當(dāng)犬=一時(shí)，y=aV2

2

當(dāng)a=2時(shí)，y=65也(^+夕)/211夕=3，此時(shí)>最大值為石，舍去；所以函數(shù)y最大值不可能在端點(diǎn)處

取得；

2

當(dāng)aw。,由y=da+]sin(x+夕)且tan(p=-、(P[0,2TI),此時(shí)x+。e[9,。+,],

此時(shí)，要使函數(shù)最大值為2,則，片十]=？,故〃=±百，

當(dāng)a=時(shí)，y—2sin(xH—),xH—G[—,—],此時(shí)有最大值2；

6663

、t,/—>/>?/5兀、5兀「5兀471rrttt=t14

當(dāng)a二—時(shí)，y=2sin(xd---),x-\---e[—,—],此時(shí)取大值不為2；

6663

綜上，a=?

故答案為：下f

二、選擇題(每題4分，共16分)

TV

11.UA=-"是“sinx=l”的（）條件

2

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【解析】

【分析】由充分條件與必要條件定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)X=g時(shí)，sinx=l,故充分性成立；

2

JT

當(dāng)sinx=l時(shí)，x=—卜2kit,keZ,故必要性不成立.

2

故“尤='”是"sinx=l”的充分不必要條件.

2

故選：A

12.若函數(shù)y=cos[2x+m]的圖象向右平移。（。>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)丁=5山2工的圖象，則a的最

小值為（）

7157r?In117t

A.—B.—C.—D.---

12121212

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出變換后的函數(shù)解析式，由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出關(guān)于。的等式，

即可得出結(jié)果.

【詳解】函數(shù)V=cos[2x+l]的圖象向右平移a（a>0）個(gè)單位后得到y(tǒng)=cos2x+f-1-2aj,

所以cos2x+—~2a=sin2x=cos—~2x=cos2x~~

L13JJ12JI2,

jrjrSjr

.\--2a=-—+GZ),解得tz=-GZ),

5兀

又〃>0,令左=0,得。二——，

12

所以。的最小值為5二兀.

故選：B.

13.tana,tan/是一元二次方程九2+3cx+4=。兩根，那么cos(o+尸)等于

()

A.顯B.—且C,--D.1

2222

【答案】C

【解析】

【分析】由tana,tan分是方程￡+3■+4=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出tana+tan分及

tana-tan〃的值，然后將tan(a+/?)利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將tana+tan力及

tana?tan/?的值代入即可求出值，進(jìn)而求得cos(a+⑶的值.

【詳解】tana,tan￡是方程+3退》+4=0的兩個(gè)根，

tana+tan〃=-373,tan。?tan尸=4,

貝"月

1—tanatan尸

[一^,0；：.a+/3a+13=-^-,

又：a,[3e

/c、/2〃、2萬「萬、7i1

costz+?=cos----=cos——=cos|n----=-cos—=——，

')3J33J32

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，考查了特殊角的三角函數(shù)和整體

代入的思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

14.在VA3C中，若l-sm;C=^￡,則VA3C的形狀是（）

1-sinBccosB

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由已知條件可以得到半￡=金￡然后分經(jīng)C=o與您Cwo兩種情況，若9C=o可

cosBccosBcosBcosBcosB

直接判斷，若上一wo,則得到m=上,結(jié)合正弦定理邊化角即可判斷.

cosBcosBc

,、*口、?-1—l—sin2ccos2CbcosCcosCZ??cosC_cosCb,

【詳解】由已知------=——=-------,Z得H------=-或------=0,n即nC=90。或------=一,由

l-sin"Bcos-BccosBcosBccosBcosBc

cosCsinB

正弦定理得-----=-----,即sinCcosC=sin5cosB,即sin2C=sin25,:B,C均為VABC的

cosBsinC

內(nèi)角，.?.2。=26或20+23=180°,...3=（?或5+。=90°,，VABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關(guān)系式，然后利用三角恒等變

換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)

系.另外，在變形過程中要注意A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.

三、解答題（共54分）

3

15.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（T,—x）,且sina=—

（1）求tana值；

sin（兀一。）+2cos（兀+o）

（2）求.；兀一"一的值.

sin——a-cos—+a

U）U）

3

【答案】（1）4

4

⑵-9

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)的定義直接求解即可；

（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式以及弦化切的方法即可直接求解.

【小問1詳解】

3

???角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸且sino=—,<0,

3x

?芬一卜4）2+（—小解得”=3'

-33

tan?！?一.

-44

小問2詳解】

3

由（1）知，tana=一,

4

1-2

sin(7i-crId-2cos(兀+asin。-2cosa_tana-2_4_5

則——

(兀cosi+sin。l+tan6z1十。7'

sincos—+a

124

16.在VA5C中，角A昆。所對(duì)的邊分別為。力,c,已知〃=2/=痣，B".

(1)求sinA的值;

（2）求VA5C的面積.

【答案】（1）交

2

(2)3+A/3

2

【解析】

,r\

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理，得到sinA=K一,即可求解;

b

（2）由（1）知sinA=受，得到A=；

，求得sinC=，^±近,利用三角形的面積公式，即可求解.

244

【小問1詳解】

解：在VA5C中,因?yàn)椤?2,b=J^,且5=§,

由正弦定理得上b2xsin—2x

，所以..asin53=T_后.

sinAsinBsinA=-

bA/6y/62

【小問2詳解】

解：由a=2,b=&\可得avb,所以Av5，且5二三,

又由（1）知sinA=?Z,所以4=工

24

兀兀,兀6+0

因?yàn)锳+B=7t-C,則sinC=sin(A+B)=sin(^-+y)=sin：cos—+cos—sm—=-------

3434

3+y/3

所以VABC的面積為S--absmC=—x2x^6x

2242

17.若/(%)=若cos?x-sinxcosx-

（1）求加的值;

⑵在VA3C中，a,"c分別是A,8,C的對(duì)邊，若點(diǎn)［日,。］是函數(shù)八％)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，且

a=l,求VA3C外接圓的面積.

【答案】(1)1

⑵-

3

【解析】

【分析】⑴化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)=—sin(2x—三)，求得/(%)1mx=1,即可得到機(jī)的值.

(2)由點(diǎn)是/(X)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，得到sin(A—三)=0,求得4=三，利用正弦定理，求

得VA5C的外接圓的半徑為尺=走，結(jié)合圓的面積公式，即可求解.

3

【小問1詳解】

解：由函數(shù)f(x)=V3cos2x-sinxcosx-^-=-sin(2x-y)，

當(dāng)sin(2x一?=-1時(shí)，可得/(%)1rax=1,

因?yàn)?(%)圖象最高點(diǎn)都在直線丁=加，所以m=1.

【小問2詳解】

解：因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)/(%)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，可得sin(A—e=0,

jrJT

因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A、=0,可得A=—,

33

設(shè)VA3C的外接圓的半徑為R,

2R=a=1=26r-

由正弦定理得SinA—.71~3所以R=W-

sin-3

3

所以VABC外接圓的面積為S=7rR2=7rx=；.

18.記〃％)=51112X一852%+2，^111：8&1：+>1(%￡2，其中2實(shí)常數(shù).

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期;

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)［曰,0),求該函數(shù)在區(qū)間O,1TT上的最大值，并求取得最大值時(shí)x

的值.

【答案】(1)兀

⑵當(dāng)x=g時(shí)，f(x)max=1.

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)解析式即可得出答案；

(2)求出4,再整體換元2尤-3=人找出/的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

6

小問1詳解】

=2sin[2x-三)+2.

A函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀.

【小問2詳解】

"3=1+…，

丸=_1,貝！|/(x)=2sin(2x-二］一1.

。，|兀717兀

令2個(gè)因?yàn)閤e

,貝U/e~6,~6

71兀

所以當(dāng)2x—二二大即x=g時(shí)，/(X)max=L

62

19.“但有一枝堪比玉，何須九腕始征蘭”，盛開的白玉蘭是上海的春天最亮麗的風(fēng)景線，除白玉蘭外，上海

還種植木蘭科的其他栽培種，如黃玉蘭和紫玉蘭等.某種植園準(zhǔn)備將如圖扇形空地A08分成三部分，分別

種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭；已知扇形的半徑為70米，圓心角為g,動(dòng)點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)。在

OB±,且PQ//OA.

(1)求扇形空地AOB的周長(zhǎng)和面積；

(2)當(dāng)。。=50米時(shí)，求尸。的長(zhǎng)；

(3)綜合考慮到成本和美觀原因，要使白玉蘭種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大.設(shè)NAQP=6?,求

△OPQ面積的最大值.

1404900

【答案】(1)周長(zhǎng)為140+，兀米，面積為上生兀平方米

33

(2)80米

(3)1225石平方米

【解析】

【分析】(1)借助面積公式與周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得；

(2)結(jié)合平行線的性質(zhì)與余弦定理計(jì)算即可得；

(3)結(jié)合題意，利用正弦定理與面積公式表示