江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研

(二)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|0<log2x<2},則A3=()

A.{2,3}B.{2,3,4}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

2.已知z+2i=-—，貝!Jz=()

i+l

A.-2iB.-iC.iD.2i

3.詩歌朗誦比賽共有八位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從8個

原始評分中去掉1個最高分和1個最低分，得到6個有效評分，6個有效評分與8個原始評

分相比，一定不變的數(shù)字特征是()

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

2

4.已知圓C：x~+(y—2)將直線4：出x-y=0繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30。后得

到直線%則()

A.直線過圓心cB.直線4與圓C相交，但不過圓心

C.直線6與圓C相切D.直線4與圓C無公共點(diǎn)

已知sina+cosa=-^(0<a<7t),

5.則tan2a=(

A.3空2424

BC.——D.—

72525

6.已知等比數(shù)列的公比qw-1,前〃項(xiàng)和為則對于V〃EN*,下列結(jié)論一定正確的

是)

A.Sn+S3n=2S2nB.+=2s2"

((

C.st=sns3nD.52?52?-S?)=S?53?-S?)

7.已知函數(shù)和g(x)的定義域均為R.若〃x+l)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且

/(x)-g(x-2)=2-x,則/(g(T))=()

A.-1B.0C.1D.2

8.一個底面邊長和側(cè)棱長均為4的正三棱柱密閉容器ABC-A與G，其中盛有一定體積的

水’當(dāng)?shù)酌鍭5C水平放置時，水面高為.當(dāng)側(cè)面的“水平放置時（如圖），容器內(nèi)的水

形成新的幾何體.若該幾何體的所有頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的表面積為（）

200400

-----71C.10071D.-----71

333

二、多選題

9.（1一2x）5的展開式中，貝IJ（）

A.犬的系數(shù)為-10B.第3項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等

C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為32

10.已知函數(shù)/（犬）=sinx+cosx+|sinx-cosx：|,則（）

A.〃%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（兀⑼對稱

B.了（九）的最小正周期為2兀

C.了（%）的最小值為-2

D./⑺=石在［0,2可上有四個不同的實(shí)數(shù)解

11.已知尸為曲線E：V=4x上一個動點(diǎn)（異于原點(diǎn)），E在尸（x,y）（yx0）處的切線是指

曲線y=土燈在尸處的切線.直線機(jī)為￡1在尸處的切線，過尸作加的垂線"，若加，〃分別

與x軸交于A,8兩點(diǎn)，則（）

A.￡1關(guān)于1軸對稱

B.P到點(diǎn)尸。,0）的距離不小于P到直線x=-l的距離

C.存在尸，使得2|網(wǎng)=|P同

試卷第2頁，共4頁

D.當(dāng)|取得最小值時，直線OP的斜率為±4五

三、填空題

12.已知平面向量3=(1,2),6=(羽3),若?！?。+26),則實(shí)數(shù)x的值為.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距長為4G.若C

和拋物線y2=x交于A,3兩點(diǎn)，且△OAB為正三角形，則C的離心率為.

14.已知隨機(jī)變量X,￥相互獨(dú)立，且X?N(4,4),丫?則尸(XW4,YW4)=.

15

若2=*+丫，則ZP(z4r)=.

，=1

四、解答題

15.某種產(chǎn)品可以采用甲、乙兩種工藝來生產(chǎn)，為了研究產(chǎn)品的質(zhì)量與所采用的生產(chǎn)工藝的

關(guān)聯(lián)性，現(xiàn)對該種產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，得到的結(jié)果如下表所示.

工藝甲工藝乙合計(jì)

合格6040100

不合格203050

合計(jì)8070150

(1)依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品的質(zhì)量是否與采用的工藝有關(guān)；

(2)在不合格的50件樣本產(chǎn)品中任選3件，求在這3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲

生產(chǎn)的條件下，這3件樣本產(chǎn)品中恰有一件是采用工藝乙生產(chǎn)的概率.

2n^ad-bc)"

附:,(a+6)(c+i/)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A

16.如圖，在三棱柱ABC-A4cl中，AB=2,BC=2丘,/ABC=45。，BCXAC.

⑴證明：AC，平面4BG；

⑵若CG=2點(diǎn)，二面角G-AC-8的大小為60。，求直線BG與平面4414g所成角的正弦

值.

17.己知橢圓E：￡+==1(。>6>0)的離心率為生且經(jīng)過點(diǎn)(3,學(xué)).%歹2是￡的左、

右焦點(diǎn).

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過尸2的直線與E交于尸，Q兩點(diǎn).若片尸。的內(nèi)切圓半徑為「，/=得|尸0,求優(yōu)斗住Q|

的值.

18.已知函數(shù)/(%)=sinx,g(x)=e",acR.

⑴若曲線y=/(%)在點(diǎn)0(0,0)的切線也是曲線,=且(%)的切線，求〃的值；

(2)討論函數(shù)〃(x)=島在區(qū)間(0,+“)上的單調(diào)性；

⑶若/(x)g(x)<x對任意xw(0,+℃)恒成立，求。的取值范圍.

19.若無窮數(shù)列｛%｝滿足:，VneN*,q…』+%+…+%>…,則稱｛%｝為“均

2n

值遞減數(shù)列

⑴已知無窮數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,，若｛%｝為“均值遞減數(shù)列”,求證：V“eN*,S,>nan+l；

⑵若數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式2=-6(〃-4)3+/2,判斷他,｝是否為“均值遞減數(shù)列”，并說明理由；

(3)若兩個正項(xiàng)數(shù)列｛.｝和｛4｝均為“均值遞減數(shù)列”，證明：數(shù)列｛64｝也為“均值遞減數(shù)列”.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷》參考答

案

題號12345678910

答案ABCBBDDAABCBD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】先利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，得到8={x[l<x<4},利用交集概念求出答案.

【詳解】log2x>0=log2l,故x>l,log2x<2=log24,故無<4,

所以8={x[l<x<4},

又人={1,2,3,4,5},故Ac8={2,3}.

故選：A.

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)除法和減法法則計(jì)算出答案.

i-1i-i2-l+i

【詳解】z=-------2i=^__^-2i=----------------2i=i—2i=—i

i+1(l+i)(l-i)2

故選：B.

3.C

【分析】由極差、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的概念判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，將8個數(shù)據(jù)從小到大排列，從8個原始評分中去掉1個最高分、1個最

低分，

得到6個有效評分，

6個有效評分與8個原始評分相比，最中間的兩個分?jǐn)?shù)不變，

而最高分、最低分、平均分、標(biāo)準(zhǔn)差都有可能發(fā)生變化，

因此一定不變的數(shù)字特征是中位數(shù).

故選：C.

4.B

【分析】首先得到直線4的傾斜角，即可得到直線4的傾斜角，從而求出直線4的方程，再

求出圓心到直線的距離，即可判斷.

答案第1頁，共16頁

【詳解】直線4：瓜-y=0即>=后，斜率為石，傾斜角為60。,

將直線4繞原點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)30。得到直線12,則直線12的傾斜角為30。,

所以直線4的方程為、=乎工，即x-6y=0，

圓C：尤2+（—『=￥的圓心坐標(biāo)為C（0,2）,半徑『=半，

3\13

圓心到直線I,的距離d=迪=后〈羋

2J3

直線，2與圓。相交但不過圓心.

故選：B.

5.B

【分析】利用同角平方和公式和二倍角正切公式即可求解.

【詳解】由sina+cosa=［與si/a+cos2a=1聯(lián)立，結(jié)合?！辏?,兀）可解得：

.434

sincr=—,cosa=——,tancr=——,

553

_8

__…a八_u—r/口，c2tana3=24

再由一'倍角公式可行tan2cr=-=TT'~z~，

1-tana'

§

故選：B.

6.D

【分析】舉反例即可判斷ABC,再分類討論9=1時和4工1時，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可

判斷.

【詳解】令?！?2〃，百=2,S?=6,S3=14,H+S3W2s2,A錯；

3S1+S3W2s2,B錯;

S；WSN，c錯；

一般情況，4=1時，Sn=nax,Sln-sn=na{9S2n（S2n-Sn）=2r^a^f

^n（^3?=，2嗎=2/彳,此時S?”（S?,-S〃）=（83〃一S〃）；

答案第2頁，共16頁

#1時，s“=

i-q

i-q〔i-qi—qJ(if(if

i-q[i-qi-q)(i-<7)2(i-^)2

邊，D對；

故選：D.

7.D

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出了⑴=。，然后在等式/(x)-g(x-2)=2T中，分別令x=l、

x=3,可得出g(-l)的值，/⑶的值，由此可得/(g(T))的值.

【詳解】因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù)，則〃—x+l)=-/(x+1),

令尤=0,可得"1)=-”1),可得〃1)=0,

在/⑺―g(x—2)=2-x中令》=1得/⑴-g(-l)=l,所以g(—l)=—l,

在/⑺―g(x—2)=2—x中令x=3得”3)—g(l)=-l,

所以"3)=g(l)—l=g(—l)—1=—2,

所以〃g(T))=/(-1)=/(-2+1)=-/(2+1)=-/(3)=2.

故選：D.

8.A

【分析】利用棱柱的體積可得面積之比答些=2,進(jìn)而得長度比例關(guān)系，結(jié)合勾股定理，

聯(lián)立方程可求解半徑，由表面積公式求解，或者利用余弦定理求解8。長度，進(jìn)而根據(jù)正弦

定理求解外接圓半徑，即可利用勾股定理求解球半徑得解.

【詳解】方法一：

匕k=^x4x4x^-x^-=15^,心…曬=；x4x4x*x4=16百

如圖VCRE'DE=1615^=6=Sc,gx4,S5、=￡，

答案第3頁，共16頁

而SAB1G=46，

CR=C1El=D[E[=1,

由于C1到A再距離2石，則2到4月距離，2世=地，

42

設(shè)正方形A期A外接圓圓心q,則釬比48=2應(yīng)

2

設(shè)矩形外接圓圓心。2,則7；=工￡>或=工*核42+12=姮,設(shè)外接球半徑R

-222

22

010+8=7?

<(3君丫172，：.改=3,故外接球表面積為4兀&=粵，

QO+弩+==尺33

故選;A.

方法二：由當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為;可知容器內(nèi)的空氣占容器體積的上，于

416

是側(cè)放時，圖中的空氣區(qū)域的“小三棱柱”的體積為容器的上，因此“小三棱柱”的底面“小三

16

角形”的面積為大三角形的上，則邊長之比為1:4,即“小三角形”邊長為1.然后如圖:

設(shè)圓的半徑為「，由余弦定理可得

BD=VAD2+AB2-2AD-ABcos60=^9+16-2x3x4x-i-=V13,

9BDV13原

故sin606,故r=,

~2

所以外接球的半徑為R=收+,=A,所以球的表面積為S=4蕨=%.

答案第4頁，共16頁

故選：A.

9.ABC

【分析】A選項(xiàng)，寫出展開式的通項(xiàng)公式，得到r=l,求出x的系數(shù)；B選項(xiàng)，第3項(xiàng)和第

4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)均為10；C選項(xiàng)，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2$=32;D選項(xiàng)，賦值法得

到所有項(xiàng)的系數(shù)和.

【詳解】A選項(xiàng)，(1-2x)5展開式第廠+]項(xiàng)T用=&(_2x)’=C；(-2)r/,

廠=1時，C；(-2)'=-10,A對；

B選項(xiàng)，第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為C；=10,第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；=10,兩者相同，B對.

C選項(xiàng)，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2$=32,C對.

D選項(xiàng)，x=l時，(1-2)5=-1,即所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1,D錯；

故選：ABC

10.BD

【分析】方法一：結(jié)合〃2兀)+/(0)工0判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式判斷B；作出

函數(shù)大致圖象,判斷CD；

方法二：化簡得由7(x)=2max{sinx,cosx},結(jié)合函數(shù)大致圖象判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】方法一：由/(X)=sinx+cosx+kinx-cosx|,

則/(0)=2,/(2兀)=2,則/(2兀)+/(0)片0,

所以/⑺不可能關(guān)于(兀⑼對稱，A錯誤;

因?yàn)楹瘮?shù)％=sinx+cosx=\/2sin的最小正周期為2兀，

函數(shù)＞2=binx-cosx|=0sin[x-的最小正周期為兀，

則/(%)=%+%的最小正周期為2兀，B正確；

當(dāng)時，/(x)=2cosx,當(dāng)：＜九“事時，/(x)=2sinx；

當(dāng)學(xué)＜x＜2兀時，〃x)=2cosx,作出函數(shù)大致圖象，如圖，

則血產(chǎn)一行，。錯誤，

答案第5頁，共16頁

〃尤)=石在［0,2可有4個根，D正確.

2sin%,sin%2cos%)

方法二：由/(x)=sinx+cosx+|sinx-cosx|=2max({sinx,cosx},

2cosx,sinx<cosx

作出g(x)=2sinx和/?(x)=2cosx的圖像，取位于上方的部分即可:

%g(x)=2sinr

h(x)=2cosx

由圖可知，AC錯誤，B正確，

對于D,計(jì)算知2sinx與2cosx在(0㈤內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為,

而啰＜百＜2,結(jié)合函數(shù)“X)的圖象特征可知函數(shù)與"退圖象在［0,2司內(nèi)有四個交

點(diǎn)，

所以/(%)=石在［0,2可上有四個不同的實(shí)數(shù)解，故D正確.

故選：BD.

11.ACD

【分析1A利用點(diǎn)(毛,%)在曲線E上得出，點(diǎn)(%,-%)也在曲線E上即可判斷;B設(shè)P(%%),

利用距離公式求出距離，再作差即可比較大小；C設(shè)尸(%,%),利用導(dǎo)函數(shù)求出切線斜率，

2

PA6

進(jìn)而求出直線加，“，A,B,再利用距離公式求出TII=只即可求得；D利用基本不等式求

網(wǎng)-

最值，得出取最值時%=±爰即可求斜率.

【詳解】A,若點(diǎn)(%,%)滿足方程,4=4天，則點(diǎn)(％,-%)也滿足方程y4=4x,

則E關(guān)于x軸對稱，故A正確;

B,設(shè)尸(七,%),則巾=4.%,

答案第6頁，共16頁

則P到點(diǎn)*1，。）的距離4=-1）2+犬,尸至U直線X=-1的距離d2=x0+l,

則力一"；=（尤0一1）2+y2一（％+]）2=$一4無0=y；一y；=y；（1一y；）,

當(dāng)$>1時，d；-d；<0,即&<4,所以B錯誤；

C,設(shè)P（M，%）,則第=4%,

]-2_3

因y=±^4x,則y=±—x4x（4x）4=±（4x）々

1

則曲線E在點(diǎn)尸處切線斜率為F,

%

所以直線優(yōu)為>一%=』（尤一*]

直線〃為y-%=

%（4）

所以A1-5；，。,B二4

因?yàn)閣R,故存在尸，使得2|尸山=歸同時，故C正確;

D,由C選項(xiàng)可知,

]、,4111

=----1-----1-

11Jo4=婷2尤2y；

141

等號成立時，即%=±揖，

今0V2

此時O尸的斜率為&=二=±4忘，故D正確.

%%

故選：ACD

【分析】先求出a+2A=（l+2x,8）,根據(jù)向量平行得到方程，求出實(shí)數(shù)x的值.

答案第7頁，共16頁

【詳解】a+2b=(l+2x,8),a(a+2b),

3

.-.8=2(1+2%)x=—.

2

3

故答案為：—

2

13.加

【分析】由對稱性可知A、3為y=±正x與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立求出其中一個交點(diǎn)坐標(biāo),

3

f2_$

代入雙曲線方程，結(jié)合焦距得到"一,，進(jìn)而求出離心率.

\b=6

【詳解】由對稱性知A、5關(guān)于龍軸對稱，VAOB為正三角形，

則由正三角形對稱性可知A、3為y=±tan30°x=±且%與拋物線的交點(diǎn),

3

當(dāng)龍=3時，y=石

丫22

設(shè)雙曲線方程為之-斗=1,故2c=46，解得c=26,

ab

2

H22i\a=6

(3,±g)在雙曲線上，,ab'42=6'

a,"2=12

故離心率為e=￡==A/2；

a76

故答案為：收

一16315

14.---------

5122

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布寫出概率再結(jié)合獨(dú)立事件概率乘積公式計(jì)算即可；根據(jù)概率求和結(jié)果

倒序相加計(jì)算求解.

答案第8頁，共16頁

【詳解】X~N(4,4),尸(XW4)=g,

尸(y〈4)=p(y=o)+p(y=i)+p(y=2)+p(y=3)+p(y=4)

J+8出+28x出+56出+70出=163x

仕L型

X

<2j512

1515

^P(Z<r)=^P(X+y</)=P(Z<l)+P(Z<2)+---+P(Z<15)

t=\t=l

=p(x<i,y=o)+p(x<o,r=i)+---+p(x<-7,y=8)+p(x<2,r=o)

+p(x<i,y=i)+---+p(x<-6,r=8)++p(x(7,y=o)+p(x46,y=i)+…

+p(x<-i,y=8)+---+p(x<i5,y=o)+p(x<i4,r=i)+---+p(x<7,r=8)

并利用P(y=左)=P(y=8-Z),P(X<k)+P(X<8-k)=l

記原式=s，

侄序U相力口ni5[p(y=0)+p(y=i)+--+p(y=8)]=2Sos=T.

故答案為：累

15.(1)產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝有關(guān)

⑵至

259

【分析】(1)根據(jù)卡方的計(jì)算公式求解卡方，即可與臨界值比較作答,

(2)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】(1)零假設(shè)：產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝無關(guān)，

150x(60x30-40x20)2

。5.357>3.841

~100x50x80x70

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，產(chǎn)品的質(zhì)量與采用的工藝有關(guān).

(2)記事件A為3件樣本產(chǎn)品中至少有1件是采用工藝甲，事件8為這3件樣本產(chǎn)品中恰

有一件是采用工藝乙.

-p(B\A)="(期=C；oC.95

…(L(A)IV2591

答案第9頁，共16頁

16.（1）證明見解析

⑵與

【分析】（1）由余弦定理得到AC=2,根據(jù)勾股定理逆定理得到ACLAB,結(jié)合BCJAC

證明出線面垂直；

（2）先由線面垂直得到線線垂直，得到二面角AC-2的平面角為NBAG=60。，求出各

邊長，得到ABG為等邊三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4414g的法向量，由線

面角的向量公式求出答案.

【詳解】（1）AB=2,BC=2版,ZABC=45°,

由余弦定理得AC?=A82+BC2-2AB-8CCOS450=4+8-2X2X2VIX^=4,

2

/.AC=2,

AB2+AC2=BC2,：.ACLAB,

又；AC_Lg,ABIBCX=B,cABC）,

.?.AC_L平面ABC1；

（2）AC-L平面ABC-GA,ABu平面4_BC1,

二.AC_LC]A且4cJ_AB,

，二面角Q-AC-B的平面角為ZBAC,=60°,而CJ=20,

AC】=^CCf-AC2=^/8^4=2=AB,AAASQ為等邊三角形,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC所在直線分別為羽y軸，ABC1所在平面為生平面，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系,

ZA

Bi

??,A（0,0,0）,3（2,0,0）,C（0,2,0）,C1（1,0,⑹,

xD

由AG=ACn4（l,-2,出），指），AB=（2,0,0）,A4,=,

答案第10頁，共16頁

設(shè)平面AA,B}B的一個法向量n=（x,y,z）,

AB?〃=(2,0,0)?(x,y,z)=2x=0

A\?n=(1,-2,6)?(羽y,z)=x-2j+V3z=0

解得兀=0,令>=百，貝llz=2,故〃=(。,月,2),

設(shè)5a與平面朋36所成角為巴

\BC]-n\2布_后

sin0=-----j--

2x77一7

ir小/2y21

17-⑴石+記=1;

(2)也.

19

【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率的意義及所過點(diǎn)求出即可得橢圓方程.

（2）設(shè)出直線P。方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理定理，結(jié)合弦長及三角形面積公式

求解.

【詳解】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為。，由離心率為3力得c上3=巳令，=50>0,。=3，/=今,

5a5

橢圓E：E+二=1過點(diǎn)（3,當(dāng)，則昌+普=1，解得r=1，

25/16/525〃25〃

22

所以橢圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+工=1.

2516

(2)由(1)知耳(-3,0),鳥(3,0),設(shè)直線P0的方程為x=my+3,尸(%,%),Q(x2,y2),

x=my+3

由消去x得(16〃/+25)/+96my-256=0

16f+25y2=400

_?56

A=(96m)2+4x256(16m2+25)=100x256(m2+1)>0,%%=——;------

16m+25

s/2=；I大鳥II%—%1=31M一%|,r=2,PQ='與囚=21X一%I，

24。2010

而|尸。|=jl+而Jx-3[r=^\PQ\,則金IX-%l=*Jl+^2"%-%I，解得病=2,

所以|名尸|?|B。1="^至1/卜6^?”>21=答號?=笠簟=等.

答案第11頁，共16頁

y\

w

18.(I)：

(2)答案見解析

⑶s，。］

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求曲線在某點(diǎn)處的切線方程即可求解；

(2)利用分類討論，通過導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號的判斷可得單調(diào)區(qū)間；

(3)利用端點(diǎn)值剛好為0,要滿足不等式恒成立，必要條件先行，再證明充分性即可求解.

【詳解】(1)由已知得/''("內(nèi)。"左=/'(0)=1,在點(diǎn)0(0,0)處的切線方程為丫=匕

設(shè)與y=g(x)切于尸(x(),e頂),g,(x)=ae￡tt,k=aem0,

則y=g(x)過該點(diǎn)的切線方程為：y-e劭=祀也(尤-%),

整理得y=ae/x-ae/x°+e也，由于該切線與，=%重合，

,〃e*=1a=-

則=>5e.

_〃e//+e也=0

[°U=e

e?-aeR%-1)a+l—ax

(2)由/7(x)==,求導(dǎo)得.(%)

—(e-)2加，

①當(dāng)一IVaVO時，,x>0,:.h'(A)>0,可可在(0,+8)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a<一1時，令〃'(x)=O=>x=g+1

當(dāng)0＜兀＜絲一時，打⑺在區(qū)間(0,巴3上單調(diào)遞減,

當(dāng)x＞巴比時，"(x)＞0,"(x)在區(qū)間(號4,十。

上單調(diào)遞增

③當(dāng)a〉0時，令=0nx=

答案第12頁，共16頁

當(dāng)0<x<g］時，網(wǎng)力在區(qū)間(0,亨］上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，/x)<0,從力在區(qū)間(*,+［上單調(diào)遞減

(3)由題意得eQsiirr<x,即e"sin_Y-x<0對Vxw(0,+°0)恒成立.

令F(%)=emsinx-x,r(x)=aemsiax+e3cosx-1=(asinx+cosx-e-ai),

4>^(^)=asinx+co&x-e-aT,(p\x)=acosx-sinx+a&m,

因?yàn)閎(O)=e°sinO-O=O,尸'(0)=0,

若“(0)=2a>0,則(p(x)=asinx+co&x-e-Q在x=0處的切線必然是上升的,

又因?yàn)?(0)=asinO+cosO-e°=0,所以當(dāng)x>0且靠近0的函數(shù)值滿足O(x)>0,

此時就有(x)=e21(asinx+COSJT-e-ai)>0,

從而可推導(dǎo)F(x)=e"'sin-x在x>0且靠近0的附近是遞增的,

又因?yàn)閎(0)=e°sin0-0=0,

所以在x>0且靠近0的附近必有尸(xhe%inx-x>0

則必然不滿足對Vxe（0,+e）恒有F（x）<0,

所以要滿足對Vxe（0,+⑹恒有F（x）<0,

首先必需滿足在x>0且靠近。的附近尸'（x）W0,

所以滿足。'（0）=2aW0naV0,

從而可得參數(shù)。滿足的必要條件是a<0;

Y

下面再證充分性，當(dāng)aWO,x>0時，則em<e°=l,即有F>X,

e

又構(gòu)造夕（％）=%-sinx,x>0,可得d（x）=l-cosxNO,

所以夕（x）=x-sin%在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，即0（x）=%-sinx>^（0）=0,

則可知sinx—二<sinx-x<0,則F（x）=e"“[sinx—2）<0,

「?尸（x）<0恒成立，符合題意，

答案第13頁，共16頁

綜上：a的取值范圍為0].

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:針對端點(diǎn)值剛好是不等式的臨界值時，利用必要條件先確定參數(shù)的范圍，

再進(jìn)行充分性證明，如若成立，則這個必要條件就是充要條件.

19.(1)證明見解析

(2)是，理由見解析

(3)證明見解析

【分析】法一：

(1)“均值遞減數(shù)列”定義可得答案；

(2)求出力的前〃項(xiàng)和為(，令&="，則判斷G”+「G”的正負(fù)可得答案；

n

+。2+…+?！╛Y

VI一

⑶設(shè)L,T，求出cn^n，結(jié)合xn<Xn-1,%<%一1得Cn^n>

dx-\-a2-\---an_

-yn

Ln

=%％-(〃-1)為1%-1，求和由⑴的結(jié)論知x”>c“+i，yn>dn+1,可得答案；

法二：

(1)根據(jù)｛%｝為“均值遞減數(shù)列”得之、<2化簡可得答案；

(2)判斷出色｝的單調(diào)性，得>…>4+4+?+…+4,設(shè)也｝前〃

236

項(xiàng)和為S“，利用歸納法可得答案；

(3)設(shè)｛%｝的前〃項(xiàng)和為s“，｛4｝的前〃項(xiàng)和為7.，設(shè)｛c,4｝的前〃項(xiàng)和為利用歸納

法可得答案.

【詳解】(1)法一：

——>“用予=5+1)S”>"+I+電oS,>nan+l；

nn+\nn+1

法二：

(??)為“均值遞減數(shù)列"，,關(guān)于"單調(diào)遞減，

即關(guān)于〃單調(diào)遞減，，辿〈之，二修,用<("+l)S"="S'+S,

InJn+ln

=^Sn>n(S?+1-S?)=ra?+1；

(2)法一：

答案第14頁，共16頁

設(shè)。的前”項(xiàng)和為王,

3991

7；=216--(n-4)(H-3)+-n(n+l)(2n+l)

=幾］++——7〃+24)：

令G'=：=g5+1)(2〃+1)-1(〃-7乂4