重難點(diǎn)突破：數(shù)式、圖形與函數(shù)的規(guī)律探索問(wèn)題

目錄

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

類型一數(shù)式規(guī)律

題型01記數(shù)類規(guī)律

題型02系數(shù)規(guī)律

題型03等式類規(guī)律

題型04數(shù)陣類規(guī)律

題型05末尾數(shù)字規(guī)律

題型06楊輝三角

題型07與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題

類型二圖形規(guī)律

題型01圖形固定累加型

題型02圖形漸變累加型

題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型

題型04圖形循環(huán)規(guī)律

題型05與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索

類型三函數(shù)規(guī)律

題型01函數(shù)圖象規(guī)律

題型02函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律

題型03函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律

類型四新定義類規(guī)律

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

記數(shù)類規(guī)律

系數(shù)規(guī)律

等式類規(guī)律

數(shù)陣類規(guī)律

數(shù)數(shù)式規(guī)律

末尾數(shù)字規(guī)律

式

楊輝三角

,與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律題

圖

形

圖形固定累加型

與

圖形漸變累加型

函

圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加型

數(shù)圖形規(guī)律

的圖形循環(huán)規(guī)律

規(guī)與幾何圖形有關(guān)的規(guī)律探索

律

探函數(shù)圖象規(guī)律

索函數(shù)上點(diǎn)的規(guī)律

函數(shù)規(guī)律

問(wèn)函數(shù)圖象與幾何圖形的規(guī)律

題

新定義類規(guī)律

類31—數(shù)式。

關(guān)列爾1律性問(wèn)題的TUMUMIh

(1)先對(duì)給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較；

(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律；

(3)用得到的規(guī)律去解決其他問(wèn)題

1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問(wèn)題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過(guò)

適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問(wèn)題。

2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問(wèn)題主要是通過(guò)觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函

數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.

?S01創(chuàng)康戰(zhàn)體

1.（2023?浙江衢州?校考一模）觀察下列數(shù)據(jù)：0,3,8,15,24,…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此

規(guī)律，第201個(gè)數(shù)據(jù)是（）

A.40400B.40040C.4040D.404

【答案】A

【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減L然后列式計(jì)算即可得解.

【詳解】V0=12-1,

3=22-1,

8=32-1,

15=42-1,

24=52-1,

.?.第201個(gè)數(shù)據(jù)是:2012-1=40400,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察出各數(shù)據(jù)都等于完全平方數(shù)減1是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為點(diǎn)p套……按此規(guī)律排列,

則第30個(gè)數(shù)是—.

【答案】磐

【分析】由所給的數(shù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律為第n個(gè)數(shù)是當(dāng)n=3。時(shí)即可求解.

【詳解】解：《,套工…,

???第n個(gè)數(shù)是肅,

當(dāng)時(shí),371—23x30—288

n=30n2+l302+1901’

故答案為：黑.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過(guò)所給的數(shù)，探索出數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?西藏?統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,

I,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1,第2個(gè)相同的數(shù)是7,…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103,則n等于（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

［分析］根據(jù)探究發(fā)現(xiàn):第1個(gè)相同的數(shù)是1,第2個(gè)相同的數(shù)是7,…,第n個(gè)相同的數(shù)是6（幾-1）+1=6n-5,

進(jìn)而可得九的值.

【詳解】解：第1個(gè)相同的數(shù)是1=0x6+1,

第2個(gè)相同的數(shù)是7=1x6+1,

第3個(gè)相同的數(shù)是13=2x6+1,

第4個(gè)相同的數(shù)是19=3x6+1,

…,

第71個(gè)相同的數(shù)是6（n-1）+1=6n-5,

所以6九一5=103,

解得九=18.

答：第九個(gè)相同的數(shù)是103,則九等于18.

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，確定出相同數(shù)的差值，從而得出相同數(shù)的通式是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?湖南懷化?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）正偶數(shù)2,4,6,8,10,……,按如下規(guī)律排列，

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個(gè)數(shù)是.

【答案】744

【分析】由圖可以看出，每行數(shù)字的個(gè)數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第三行

有3個(gè)數(shù).....第n行有n個(gè)數(shù)，則前n行共有也羅個(gè)數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾個(gè)數(shù)是幾.

【詳解】解：由圖可知，

第一行有1個(gè)數(shù)，

第二行有2個(gè)數(shù),

第三行有3個(gè)數(shù),

第n行有n個(gè)數(shù).

...前n行共有1+2+3+…+n」用個(gè)數(shù).

,前26行共有351個(gè)數(shù),

，第27行第21個(gè)數(shù)是所有數(shù)中的第372個(gè)數(shù).

?.?這些數(shù)都是正偶數(shù)，

...第372個(gè)數(shù)為372x2=744.

故答案為：744.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是先根據(jù)題目的已知條件找出其中的規(guī)律，

再結(jié)合其他已知條件求解.

題型。2系胸律

5.（2023?四川成都??？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式:X、-2/、4x\-8x\16x\....根

據(jù)其中的規(guī)律得出的第9個(gè)單項(xiàng)式是（）

A.-256x9B.256/c.-512x9D.512/

【答案】B

【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以-2為底的幕，指數(shù)是式子的序號(hào)減1,x的指數(shù)是式子的序號(hào).

【詳解】解:第9個(gè)單項(xiàng)式是（―2）9-59=256/.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號(hào)、次數(shù)與式子的序號(hào)之間的關(guān)系是關(guān)鍵.

6.（2020?云南?統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,第九個(gè)單

項(xiàng)式是（）

A.（-2）n-1aB.（~2）naC.2兀-%D.2na

【答案】A

【分析】先分析前面所給出的單項(xiàng)式，從三方面（符號(hào)、系數(shù)的絕對(duì)值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行

概括即可得到答案.

【詳解】解：1?1a,-2a,4a,-8a,16a,—32a,

可記為：（-2）°a,（—2）%,（—2）2。，（-2）3。,（一2）4。,

第九項(xiàng)為：(—2)聯(lián)一%.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.(2023?云南昆明?昆明八中?？既?按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：一％,3久2,—5―，7x3—9尤5,…，第

幾個(gè)單項(xiàng)式是()

A.(2n-l)(-x)nB.(2n+l)(-x)nC.(2n+l)xnD.(2n-l)xn

【答案】A

【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)的絕對(duì)值是一些連續(xù)的奇數(shù)且第奇數(shù)個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

%的指數(shù)是一些連續(xù)的正整數(shù)，從而可以寫出第n個(gè)單項(xiàng)式.

【詳解】解：A、當(dāng)n=l時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：—X符合題意；

B、當(dāng)n=l時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：-3x,不符合題意，排除；

C、當(dāng)幾=1時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：3￡，不符合題意，排除；

D、當(dāng)n=1時(shí)，第一個(gè)單項(xiàng)式為：x,不符合題意，排除；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)，解此題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式系數(shù)

和字母指數(shù)的變化特點(diǎn)及規(guī)律.

題型。3等式類第體

8.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題)觀察下面的等式：32-I2=8x1,52-32=8x2,72-52=8x3,92-

72=8x由…

⑴寫出192—172的結(jié)果.

(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含"的等式表示，"為正整數(shù))

(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的.

【答案】(1)8x9

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；

(2)根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；

(3)將(2n+1)2—(2幾—1)2因式分解，展開(kāi)化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】(1)192-172=8x9；

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n；

(3)(2n+l)2-(2n-l)2

=(2n+1+2n—l)(2n+1—2n+1)

=4nX2

=8n.

【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過(guò)觀察，分析、歸納

發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律.

9.(2022?安徽?統(tǒng)考中考真題)觀察以下等式：

第1個(gè)等式：(2x1+1尸=(2x2+1尸一(2x2尸，

第2個(gè)等式：(2x2+=(3X4+-(3X4)2,

第3個(gè)等式：(2X3+=(4x6+1)2-(4x6)2,

第4個(gè)等式：(2x4+1)2=(5x8+一(5x8)2,

按照以上規(guī)律.解決下列問(wèn)題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第"個(gè)等式(用含"的式子表示)，并證明.

【答案】(1)(2x5+I)2=(6x10+I)2-(6x10)2

(2)(2n+I)2=[(n+1)-2n+I]2—[(n+1)-2n]2,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；

(2)觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為(2n+1尸=[(n+1)-2n+I]2-[(n+1)-2n]2,

利用完全平方公式和平方差公式對(duì)等式左右兩邊變形即可證明.

【詳解】(1)解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：(2x5+I)2=

(6x10+I)2-(6x10)2,

故答案為：(2x5+=(6x10+I)2-(6x10)2；

(2)解:第n個(gè)等式為(2n+I)2=[(n+1)-2n+l]2—[(n+1)-2n]2,

證明如下：等式左邊：(2n+l)2=4n2+4n+1,

等式右邊：[(九+1)-2n+I]*2—[(n+1)-2n]2

=[(n+1)-2n+1+(n+1)-2n]-[(n+1)-2n+1—(n+1)-2n]

=[(n+1)-4n+1]x1

=4n2+4n+1,

故等式(2九+l)2=[(n+1)?2幾+l]2—[(n+1)-2n]2成立.

【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)

鍵.

10.(2022?安徽淮南?統(tǒng)考二模)(1)初步感知，在④的橫線上直接寫出計(jì)算結(jié)果：

①=1；②W+23=3；③，13+2?+3?=6；(4)V13+23+33+43=；...

(2)深入探究，觀察下列等式：

①1+2=y；②1+2+3=^!^；③1+2+3+4=(1+?X4；…

根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容：

1+2+3+…+zi+(7i+l)=.

(3)拓展應(yīng)用，通過(guò)以上初步感知與深入探究，計(jì)算：

①“3+23+33+…+993+1003；

33

②113+123+133+…+19+20.

【答案】(1)10；(2)但+2,1)；(3)①5050；②41075

【分析】(1)觀察可得，每個(gè)式子的結(jié)果都等于被開(kāi)放數(shù)中所有加數(shù)的底數(shù)之和；

(2)所有自然數(shù)相加的和等于首項(xiàng)十尾項(xiàng)的和再乘以自然數(shù)的個(gè)數(shù)，最后除以2即可；

(3)利用(1)(2)中的規(guī)律綜合運(yùn)用即可求解.

【詳解】解：(1)10；

(2)("+2)5+2)

(3)①原式=1+2+3+4+5+…+99+100=(i+*)xi。。=5050；

②原式=13+23+33+---+183+193+203-(I3+23+33+???+103)

2O2X2121O2X112400X441100X121=44100-3025=41075.

44

【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡(jiǎn)、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,

其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵.

題型04數(shù)陣知體

11.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)^若

排在第。行6列，貝b—b的值為（）

1

1

12

21

123

321

1234

4321

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)

一致.

【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)

一致，故黑在第20歹U,即b=20；向前遞推到第1列時(shí)，分?jǐn)?shù)為就左=總，故分?jǐn)?shù)總與分?jǐn)?shù)總在

20232023+19Z04zZUZ3Z04Z

同一行.即在第2042行，則a=2042.

：.a-b=2042-20=2022.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性.

12.（2018?湖北十堰?中考真題）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行

從左至右第5個(gè)數(shù)是（）

1

V2V3

2V5V6

V72V23V10

A.2V10B.V41C.5V2D.V51

【答案】B

【分析】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為VI+2+3+…n=J當(dāng)Z據(jù)此可得答案.

【詳解】由圖形可知，第n行最后一個(gè)數(shù)為+2+3+…n=

??.第8行最后一個(gè)數(shù)為檸=V36=6,

.?.第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是^=V41,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個(gè)數(shù)為

13.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）將從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問(wèn)題：

⑴第6行有個(gè)數(shù)；第"行有個(gè)數(shù)（用含"的式子表示）；

（2）若有序數(shù)對(duì)（71,zn）表示第〃行，從左到右第加個(gè)數(shù)，如（3,2）表示6.

①求（11,20）表示的數(shù)；②求表示2023的有序數(shù)對(duì).

【答案】（1）11;2n-l；

⑵①120；②（45,87）

【分析】（1）觀察前5行發(fā)現(xiàn)：后一行數(shù)字的個(gè)數(shù)比前一行多2個(gè)，以此規(guī)律解答即可；

（2）①先求第11行最后一個(gè)數(shù)，然后判斷（11,20）為第11行倒數(shù)第二個(gè)數(shù)即可解答；

②先根據(jù)442<2023<452判斷2023為第45行的數(shù)字，然后根據(jù)2023比第45行最后一個(gè)數(shù)字2025小2,

即可判斷.

【詳解】（1）解：第1行有1個(gè)數(shù)，

第2行有3=1+2個(gè)數(shù)，

第3行有5=l+2x2個(gè)數(shù)，

第4行有7=1+2x3個(gè)數(shù)，

第5行有9=l+2x4個(gè)數(shù)，

.?.第6行有1+2x5=11個(gè)數(shù)，

第n行有1+2(n-1)=(2n-1)個(gè)數(shù)；

(2)解：①：第11行有2xll-l=21個(gè)數(shù)，且最末尾的數(shù)是11z=121,

而(11,20)表示第11行的第20個(gè)數(shù)，

.?.(11,20)表示的數(shù)是121-1=120；

②；442=1936,452=2025,

A442<2023<452,

；.2023位于第45行，

；第45行有45X2-1=89個(gè)數(shù)，而2023與2025相差2個(gè)數(shù)，

.?.2023位于第45行的第87個(gè)數(shù)，

表示2023的有序數(shù)對(duì)是(45,87).

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

題型。5末M字刪

14.(2022?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題)生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模

型.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來(lái)表示.即:

21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,……,請(qǐng)你推算22"的個(gè)位數(shù)字是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】利用己知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：'：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，

；2022+4=505.......2,

Z.22022的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是：4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

15.(2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考一模)觀察下列等式：7。=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...,

根據(jù)其中的規(guī)律可得7。+71+72+-+72023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是()

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【分析】由已知可得尾數(shù)1,7,9,3的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，則70+7】+72+…+72。23的結(jié)果的個(gè)位數(shù)

字與7。+7】+72+73的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解.

【詳解】解：；7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

尾數(shù)1,7,9,3的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，

71+7+9+3=20,

.'.7O+71+72+73的個(gè)位數(shù)字是0,

又；2024+4=506,

，7。+7】+72+…+72。23的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與7。+71+72+73的個(gè)位數(shù)字相同,

/.7°+71+72+-+72。23的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是o.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過(guò)所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?湖南湘西??？寄M預(yù)測(cè)）觀察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,

…,根據(jù)這個(gè)規(guī)律，則21+22+23+24+…+22022的末尾數(shù)字是（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】D

【分析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位數(shù)字是2、4、8、6四個(gè)數(shù)字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；

【詳解】解：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位數(shù)字是2、4、8、6四個(gè)數(shù)字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20,尾數(shù)為

0

2022-4=500...2,

則尾數(shù)為2+4=6,

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查察的乘方末尾的數(shù)字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數(shù)字規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題.

題型06楊庫(kù)三角

17.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出如圖，此表揭示

了（a+b嚴(yán)（"為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，例如：

（a+b）i=a+b,展開(kāi)式有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1,1;

（a+fo）2=a2+2ab+b2,展開(kāi)式有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1,2,1；

^a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,展開(kāi)式有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1,3,3,1；

根據(jù)以上規(guī)律，（。+6）4展開(kāi)式共有五項(xiàng)，系數(shù)分別為

11

121

1331

?????1?

【答案】1、4、6、4、1

【分析】此題考查完全平方公式，多項(xiàng)式展開(kāi)式，數(shù)字的變化規(guī)律，正確觀察已知的式子與對(duì)應(yīng)的三角形

之間的關(guān)系是關(guān)鍵.

觀察可得（a+b）"（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1,中間各項(xiàng)系數(shù)等于

（a+by1-1相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和.

【詳解】解：根據(jù)題意知，（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1,

即：1、4、6、4、1；

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

故答案為：1、4、6、4、1.

18.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了

如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”.

1

11（a+b）1=a+b

121（a+B戶“2+2漏+〃

1331（a+6）3=a3+3a2M3a62+63

14641（a+6）4=a4+4a2b2+6a262+4aA3+64

*s????

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（a+6）7展開(kāi)的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為—.

【答案】128

【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開(kāi)，即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意得：（a+b）5展開(kāi)后系數(shù)為：1,5,10,10,5,1,

系數(shù)和：1+5+10+10+5+1=32=2',

(a+b)6展開(kāi)后系數(shù)為：1,6,15,20,15,6,11

系數(shù)和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

(a+b)7展開(kāi)后系數(shù)為：1,7,21,35,35,21,7,1,

系數(shù)和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案為：128.

【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律.

19.(2022下?重慶?九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí))我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位于世界前列，其中

楊輝三角(如圖)就是一例.這個(gè)三角形給出了(a+b)n(幾=1,2,3,456...)的展開(kāi)式(按a的次數(shù)由大到

小順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2,1,恰好對(duì)應(yīng)6+⑦2=。2+2仍+匕2展

開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的五個(gè)數(shù)1,4,6,4,1,恰好對(duì)應(yīng)著(a+6)4=a4+4口3/)+6a2b2+4a%3+/展

開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)等等.有如下結(jié)論：①“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和1024；②“楊輝三角”中第20行

第3個(gè)數(shù)為190；③(a+6)3=a3-3a2。一3(1匕2+匕3；④99?+3X99?+3X99+1的結(jié)果是1。6；⑤當(dāng)代

數(shù)式44+8￡13+24￡12+32￡1+16的值是1時(shí)，a的值是—1或—3.上述結(jié)論中，正確的有()

竽

o行

rj1

y行

r1

rj11

竽

2行

r7

小

行121

弓3

竽

4行1331

。

行

長(zhǎng)14641

弓5

15101051

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)每一行的數(shù)字，找到其和的規(guī)律為1,2,4,8,16,25,…可得每一行的數(shù)字和為2%進(jìn)而可以判斷①，

根據(jù)從第2行起，每一行的第三個(gè)數(shù)字分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4…找到規(guī)律第踐行的的第3個(gè)

數(shù)字為若2,即可判斷②，根據(jù)第三行的數(shù)字可得(a+b)3=a3+3a2b+3。爐+力3,即可判③④，根據(jù)

(a+2)4=a4+8a3+24a2+32a+16=1,因式分解一元二次方程即可求得a的值，即可判斷⑤

【詳解】解：???每一行的數(shù)字，其和的規(guī)律為1,2,4,8,16,25,…

???第九行的數(shù)字和為2%

則“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和29=512

故①不正確；

???從第2行起，每一行的第3個(gè)數(shù)字分別為1,1+2,1+24-3,1+2+3+4-

???第M亍的第3個(gè)數(shù)字為也合，

???“楊輝三角”中第20行第3個(gè)數(shù)為甯二2=190；

故②正確；

第三行的數(shù)字為1,3,3,1KTW，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

故③不正確，

.-?993+3x992+3x99+1=(99+I)3=(102)3=106

故④正確

(a+2尸=a4+8a3+24a2+32a+16=1,

(a+2)4=1

???(a+2)2=1

解得a=—1或a=—3

a的值是一1或一3.

故⑤正確

故正確的有3個(gè)，

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解解一元二次方程，數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

20.(2022?重慶巴南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))“楊輝三角”給出了(a+6尸展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律(其中”為正整數(shù)，展開(kāi)

式的項(xiàng)按a的次數(shù)降幕排列)，它的構(gòu)造規(guī)則是：兩腰上都是數(shù)字1,而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個(gè)數(shù)

之和.例如：(a+b)2=a2+2ab+b?展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)1,2,1與“楊輝三角”第三排對(duì)應(yīng)：(a+fa)3=a3+

3a2b+3。爐+。3展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)i,3,3,1.與“楊輝三角”第四排對(duì)應(yīng)；依此類推……判斷下列說(shuō)法正

確的是()

1

11................(a+4

121................9+6)2

1(a+6)3

14641'(a+6)"

①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1,5,10,10,5,1；

②當(dāng)a=2,b=—1時(shí)，代數(shù)式CJ3+3a2。+3ab2+/的值為—1；

③(a+匕)2。22展開(kāi)式中所有系數(shù)之和為22022；

④當(dāng)代數(shù)式-8a3+24a2-32a+16的值為1時(shí)，a=1或3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】運(yùn)用楊輝三角形的排列規(guī)律，及展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律采用賦值法逐一驗(yàn)證即可求解.

【詳解】如圖，依次規(guī)律可得“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1,5,10,10,5,1,故說(shuō)法①正確;

當(dāng)a=2,b=-l時(shí)，a3+3a2b+3ab2+b3=(a+h)3=(2—l)3=1,故②說(shuō)法錯(cuò)誤；

令a=1,6=1,則(d+b)2°22=(1+1)2022=22022；故說(shuō)法③正確；

當(dāng)代數(shù)式a4-8a3+24a2-32a+16的值為1時(shí)，

即a4-8a3+24a2-32a+16=1,

?a4+4X(—2)1a3+6X(—2)2a2+4X(—2)3a+(—2)4=(a—2)4=1,

(a-2尸=1或(a—2)2=-1(不合題意，舍去)，

a—2=±1,

解得a=3或1,

故說(shuō)法④正確，

1

11................................(a+b)1

VQ

121................................(a+b)2

綜上可得，說(shuō)法正確的有①③④，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了楊輝三角的規(guī)律與展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，正確把握其中的關(guān)系以及合理使用賦值法是解

題的關(guān)鍵.

題型07與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的般律題

21.（2022?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）觀察下列一組數(shù)：2,|,g…,它們按一定規(guī)律排列，第"個(gè)數(shù)記為

Q,且滿足---1------=-----?則。4=，。2022=?

nanan+2an+l

【答案】

【分析】由題意推導(dǎo)可得an不事p即可求解.

【詳解】解：由題意可得:al=2=-,

a4a3

a3a5a4

同理可求a6=i=—

816

3(n-l)+l，

6064—3032

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）已知的為實(shí)數(shù)，規(guī)定運(yùn)算：-工，一工

22.（2021a2=1-L，=1=1a5=

a2a3

1--,……，a=1——按上述方法計(jì)算：當(dāng)?shù)?3時(shí)，口2021的值等于（）

a4nan-l

A.--B.-C.--D.-

3323

【答案】D

【分析】當(dāng)內(nèi)=3時(shí)，計(jì)算出的=|,。3=-”4=工……，會(huì)發(fā)現(xiàn)呈周期性出現(xiàn)，即可得到3）21的值.

【詳解】解：當(dāng)。1=3時(shí)，計(jì)算出o2=|,。3==3,...，

會(huì)發(fā)現(xiàn)是以：循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律，

???2021=3x673+2,

.__2

?*,^2021==?

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)律的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)條件，先計(jì)算出部分?jǐn)?shù)的值，從中找到相

應(yīng)的規(guī)律，利用其規(guī)律來(lái)解答.

23.（2020?浙江金華?統(tǒng)考一模）求1+2+2?+23+…+2?02。的值，可令S=1+2+22+23+...+22°2。，則2s

=2+22+23+24+...+22021,因此2S—S=2?02i—1.仿照以上推理，計(jì)算出1+2020+202（）2+20203+…+

202。2°2。的值為（）

.20202020-120202021-1廠20202021-1八2020202°-l

A.--------B.--------C.--------D.--------

2020202020192019

【答案】c

【分析】由題意可知S=1+2020+20202+20203+...+20202020①，可得到2020S=2020+20202+20203

+...+20202020+20202021②，然后由②一①，就可求出S的值.

【詳解】解：設(shè)$=1+2020+20202+20203+...+20202020①

貝ij2020S=2020+20202+20203+...+20202020+20202021②

由②一①得：

20198=20202021-1

,020202021-1

.?3.

2019

故答案為：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查探索數(shù)與式的規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算.

24.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）有一列數(shù)，記為由,a2,an,記其前〃項(xiàng)和為無(wú)=的+a2+…+時(shí),定義

丸=&+S；…+S”為這列數(shù)的，，亞運(yùn)和，，,現(xiàn)有99個(gè)數(shù)。2,…，。99,其“亞運(yùn)和”為1000,則1,%,。2,…，

%9這I。。個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”為（）

A.791B.891C.991D.1001

【答案】C

【分析】根據(jù)“亞運(yùn)和”的定義分析可得99個(gè)數(shù)的,。2,…，的9,其“亞運(yùn)和”為1000,,即S1+S2+…+S99=

99x1000.同理根據(jù)定義求新數(shù)列1,a1,。2，…，的9這10。個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”?

【詳解】解：?產(chǎn)+S2：JS99=1000,

?'?Si+S2+…+S99=99X1000,

A1,%,a2,的9這100個(gè)數(shù)的“亞運(yùn)和”為

1+1+S1+1+5*2+,,,+1+S99

100

1x100+Si+$2+…+S99

二100

_1x100+99x1000

二100

=1+990

=991.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分

發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.關(guān)鍵是找到S1+S2+-+S99=99x1000.

25.（2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題）人們把雪?0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的

“0.618法”就應(yīng)用了黃金比?設(shè)a=烏±b=嚀之記S1=士+士，$2=+-■■,Sioo=二；*。+

則S1+52+???+Si。。=—?

【答案】5050

【分析】利用分式的加減法則分別可求Sl=l,S2=2,S100=100,--利用規(guī)律求解即可.

【詳解】解：???a=號(hào)，等,

V5—1Vs+i

???ab=----x-----=1,

112+a+b2+a+匕

■:S]E+G=l+a+b+ab=1,

2+a+匕

2,2-2+a2+b232+a2+b2

=2X=2X

1+a2--1+b2------l+a2+b2+a2b2------2+a2+b2

_1001001+a100+1+b100_

100100

S100=1+aioo+1+*00=x1+aioo+bioo+aioobioo=

?**Si+S2+…+Si。。=1+2+……+100=5050

故答案為：5050

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得ab=l,找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵.

26.(2021?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題)觀察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=

25—2,……，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：21°°,2101,2102,……,2】99,若21。。=小，用含小的代數(shù)

式表示這組數(shù)的和是.

【答案】m2-m

【分析】根據(jù)規(guī)律將21。。，2101,2102,……，2】99用含皿的代數(shù)式表示，再計(jì)算2。+2】+…+299的和，即

可計(jì)算21°°+2101+2101+…+2】99的和.

【詳解】由題意規(guī)律可得：2+22+23+…+2"=2100-2.

2100=m

二2+22+23+…+299+2=210°=m=2°m,

V2+22+22+■■■+2"+2100=2101-2,

2101=2+22+23H-----F2"+2100+2=m+m=2m=21m.

2102=2+22+23+—F2"+2100+2101+2=m+m+2m-4m=22m.

2103=2+22+23+—F2"+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.

.?.2199=299nl.

故21°°+2101+2101+—F2199=2°m+21m+—F299nl.

令20+21+22+?--+2"=S①

21+22+23+…+2100=2s②

②-①，得21°°-1=S

2100+2101+2101+…+2199=2°m+21m+—F2"m=(2100—l)m=m2-m

故答案為：m2-m.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律問(wèn)題，用含有字母的式子表示數(shù)、靈活計(jì)算數(shù)列的和是解題的關(guān)鍵.

113I

27.（2021?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）觀察下列等式：叼=i+形+/=&=I+R；

1171

%2=1+至+￡=&=1+痂;

%3=1H—32—427=-12=1H--3--X-4-;

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算/+&+%3----H%2020-2021=

【答案】一感

【分析】根據(jù)題意，找到第n個(gè)等式的左邊為等式右邊為1與的和；利用這個(gè)結(jié)論

qn2(Ti+l)zn(n+l)

得到原式=1匕"1~_1」_+...+1--------2021,然后把工化為1-工，工化為工-工，--------化為1-1,再進(jìn)

26122020X2021226232020x202120152016

行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算即可.

【詳解】解：由題意可知，/1+W+廣三=1+x2020=1+--—

7n2(n+1)2n(n+l)zuzu2020x2021

%i+冷+%3■1--------?"12020—2021

—1-+1-+1-H-...+1---------2021

26122020X2021

1

=2020+1--2021

22320202021

=2020+1---2021

2021

_1

2021,

故答案為:1

2021

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡(jiǎn)便

運(yùn)算.

28.(2023?內(nèi)蒙