一線三等角模型

1.一線三等角

【核心考點(diǎn)】：

只要在一條直線上出現(xiàn)三個(gè)角相等，一般都可以構(gòu)造全等三角形解決問題.

【經(jīng)典圖形】：

2.高分寶典

(1)模型識別：

①一條直線上出現(xiàn)三個(gè)直角，考慮一線三垂直

②一條直線上出現(xiàn)三個(gè)相等的角，考慮一線三等角

⑵輔助線構(gòu)造：

①一線三垂直：見于一條直線過直角頂點(diǎn)，且已過45。角頂點(diǎn)向直線作垂，構(gòu)成完整的三垂模型.

②一線三等角：一半不需要自己構(gòu)造輔助線，觀察出全等關(guān)系即可.

真題精煉

L如圖，已知直線11//12.

4

⑴在11,12所在的平面內(nèi)求作直線1,使得/Mil】2,，且1與11間的距離恰好等于1與12間的距離；(要求：尺

規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在⑴的條件下，若11與12間的距離為2,點(diǎn)A,B,C分別在1,h/2上，且△力為等腰直角三角形，求△

ABC的面積

品

⑴如圖1,已知△ABEBCD,AB±BC,AB=BC,CD±BD,AE±BD.用等式寫出線段AE,DE,CD的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在對角線BD和邊CD上，.AELEF,2E=E凡用

等式寫出線段BE,AD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】⑶如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，AE1EF,AE

=ER.用等式寫出線段BE,AD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

3如圖，在ABC中,NACB=90。，AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為低，它的頂點(diǎn)D,E,G分別在△AB

C的邊上，則BG的長為

4如圖邊長為6的等邊△ABC,AD與BE交于點(diǎn)P,若BD=CE=2,則^ABP周長為

A

5如圖邊長為4的正方形ABCD點(diǎn)E,F在CD,AC上，BF±EF,CE=1,貝AF長是()

X.2V2B.-V2C.-V2D.-V2.

234

6如圖，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=130)的圖象交于點(diǎn)A(l,a),在仆ABC中./ACB=9(F,CA=

CB,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0).

1/

⑴求k的值

(2)求AB所在直線的解析式.

7如圖,平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，乙4OB=LB=30°,OA=2,將4AO

B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B，的坐標(biāo)是()

X.(-V3-3)B.(-3-V3)C.(-V3-2+V3)D.(-l-2+V3)

8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=；(久)0)的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=-久久＜0)的

圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-(則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

MMB.好網(wǎng)號)

9如圖A(2,0),B(O,1),AC由AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。而得，則AC所在直線解析式是.

10正方形和等腰RtAAEF,AB=5,AE=4.AAEF繞A轉(zhuǎn),/Z/1BFABF最大SAADE=_

E

11如圖.已知點(diǎn)A(4,3),點(diǎn)B為直線y=-2上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C(0,n),-2<n<3,ACJ_BC于點(diǎn)C,連接AB,右直線AB

與x正半軸所夾的銳角為a,那么當(dāng)sina的值最大時(shí)，n的值為.

12如圖，在RtAABC中,CA=CB,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BM上，AESCD,BF回CD,垂足分別為E,F,連接EM.

則下列結(jié)論中:①BF=CE;②/AEM=/DEM;③AE-CE=y[2ME;@DE2+DF2=2DM?；⑤若AE平分NB4C廁

EF:BF=V2:1;⑥CFDM=BM-DE,正確的有.（只填序號）

13如圖正方形ABCD對角線AC上有一點(diǎn)E,且(CE=44E,,過點(diǎn)E作EG^EF,,交CB延長線于點(diǎn)G,連

接GF并延長，交AC延長線于點(diǎn)P，若AB=5,CF=2,,則線段EP的長是

14回答下列問題.

⑴如圖，在四邊形ABCD中,.ZC=ZD=90。,,點(diǎn)E在邊CD上,.KAEB=90。，，求證：徑=器

EBCB

⑵如圖，在四邊形ABCD中,.ZC=ZXDC=90。，點(diǎn)E在邊CD上點(diǎn)F在邊AD的延長線上,"EG=^AEB

=90。,且累=*連接BG交CD于點(diǎn)H,求證:.BH=GH

EGEB

(3)如圖，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，.乙4EB+乙DEC=180。,且=與過E作EF交AD于點(diǎn)F,使NEFA=NA

EBEC

EB,延長FE交BC于點(diǎn)G.求證:.BG=CG.

15如圖，在矩形ABCD中，48=2,4。=8,,點(diǎn)E,F在BC上，點(diǎn)G是射線DC與射線AF的交點(diǎn)，若，

BE=1,^EAF=45。貝！JAG的長為.

16已知汽車貨箱高度BG=2m,貨箱底面距地面的高度BH=0.6m,坡面與地面的夾角/BAH=a,木箱的長(F

C)為2m,高(EF)為1.6m,寬小于汽車貨箱的寬度.已知sina=|,木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合，則木箱底

部懸空部分BF的長為m,木箱上部頂點(diǎn)E到汽車貨箱頂部NG的距離為m.

17如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸正半軸，y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為直角邊作等腰直角

三角形ABC,其中點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)P為斜邊BC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有()

①若點(diǎn)A、點(diǎn)B選擇適當(dāng)位置，則可能有OPLBC；

②若點(diǎn)A(a,O)，點(diǎn)B(O,b),則C點(diǎn)的坐標(biāo)必是((a+b>a);

③無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有OPWAB.

C.①③D.①②③

18如圖將正方形OABC放在坐標(biāo)系中，A的坐標(biāo)為((1，次),，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

19如圖正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F,連接

EF并延長交BC于點(diǎn)G,連接DG,過點(diǎn)E作EH1DE交DG的延長線于點(diǎn)H,連接BH.

(1)求證：GF=GC.

（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

1如圖，已知直線I7/L

--------------------1,

-----------------4

（1）在li,卜所在的平面內(nèi)求作直線?,使得l//li//l2，且I與li間的距離恰好等于I與卜間的距離；（要求：尺規(guī)

作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在⑴的條件下，若I1與b間的距離為2,點(diǎn)A,B,C分別在IJnlziHMBC為等腰直角三角形，求3BC的面積.

【答案】Q）見解析

⑵1或|

【解析】（1）如圖，直線I即為所求作的直線.

十

⑵①當(dāng)NBAC=90°,AB=AC時(shí)，如圖1,

R

4

」〃I1〃I2,直線11與b間的距離為2,且I與11間的距離等于I與b間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：BC=2,

AB=AC=V2,

SMBC:3AB-AC—1,

②當(dāng)NABC=90°,BA=BC時(shí)，

如圖2,分別過點(diǎn)A,C作直線I1的垂線，垂足為M,N,

EB2

.?.zAMB=zBNC=90°,

..V/I//I2,直線li與k間的距離為2,且I與L間的距離等于I與卜間的距離,

.-.CN=2,AM=1,

-zMAB+zABM=90°,zNBC+zABM=90°,

.-.zMAB=zNBC,

."AMB%BNC(AAS),

.-.BM=CN=2,

在RbABM中,由勾股定理彳導(dǎo)AB2=AM2+BM2=l2+22=5,

AB=V5,

???SLABC=\AB-BC=I；

③當(dāng)NACB=90°,CA=CB時(shí),同理②可得，

SA4B0=

綜上所述，MBC的面積為1或|

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】AAS

2.【模型建立】

(1)如圖L已知AABE和ABCD,AB，BC,AB=BC,CD，BD,AE，BD.用等式寫出線段AE,DE,CD的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在對角線BD和邊CD上，AE±EF,AE=EF用等式寫出線段BE,AD,

DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由

【模型遷移】

⑶如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，AE，EF,AE=EF.用等式寫出線段

BE,AD,DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴DE+CD=AE,理由見詳解，(2)4。=立BE+DF,理由見詳解，

(3)4。=V2BF-。凡理由見詳解

【解析】

【分析】

(1)直接證明AABE學(xué)BCD,即可證明；

(2)過E點(diǎn)作EM±AD于點(diǎn)M過E點(diǎn)作EN±CD于點(diǎn)N,先證明RfAEM爾fFEN,可得AM=NF,結(jié)合等腰

直角三角形的性質(zhì)可得：MD=DN=曰DE,NF=ND-DF=MD-DF,即有NF=AM=AD-MD=AD-與DE,NF

=^DE-DF進(jìn)而可得AD-^-DE=^-DE-DF,即可證；

⑶過A點(diǎn)作AH±BD于點(diǎn)H,過F點(diǎn)作FG^BD,交BD的延長線于點(diǎn)G,先證明AHAEg^GEF,再結(jié)合等腰直角

三角形的性質(zhì)，即可證明.

【詳解】

(1)DE+CD=AE,理由如下：

-.CD±BD,AE±BD,AB±BC,

..NABC=ND=NAEB=90°,

..NABE+NCBD=NC+NCBD=90°,

.,.zABE=zC,

.AB=BC,

...△ABE^^BCD,

..BE=CD,AE=BD,

.-.DE=BD-BE=AE-CD,

，DE+CD=AE;

(2)XD=42BE+。尸,理由如下：

過E點(diǎn)作EM±AD于點(diǎn)M,過E點(diǎn)作EN±CD于點(diǎn)N,如圖,

???四邊形ABCD是正方形，BD是正方形的對角線，

，NADB=NCDB=45O,BD平分NADC,NADC=90。，

近AD=V2CD=BD,

即DE=BD-BE=42AD-BE,

:EN±CD,EM±AD,

.EM=EN,

:AE=EF.

.RtAAEM^RtAFEN,

AM=NF,

EM=EN,EN±CD,EM±AD,zADC=90°,

..四邊形EMDN是正方形，

,：ED是正方形EMDN對角線，MD=ND,

MD=DN=與DE,NF=ND-DF=MD—DF,

NF=AM=AD-MD=AD-^DE,NF=yDE-DF,

AD-9DE=?DE-DF,即AD=近DE-DF,

???DE=五AD-BE,

AD=V2(V2XD-BE)-DF,

即有AD=&BE+DF;

(3)710=V2F￡-。尸,理由見詳解，

過A點(diǎn)作AH±BD于點(diǎn)H,過F點(diǎn)作FG，BD,交BD的延長線于點(diǎn)G,如圖,

-.AH±BD,FG±BD,AE±EF,

..NAHE=NG=NAEF=90°,

..NAEH+NHAE=NAEH+NFEG=90°,

..NHAE=NFEG,

又.AE=AF,

."HAE乎GEF,

.-.HE=FG,

一.在正方形ABCD中,NBDC=45°,

ANFDG=NBDC=45°,

.-.zDFG=45o,

.?.△DFG是等腰直角三角形，

FG=^DF,

???HE=FG=^DF,

.?NADB=45°,AH_LHD,

.“ADH是等腰直角三角形，

HD=^AD,

：.DE=HD-HE=-AD-—DF,

22

.：BD-BE=DE=^AD-^DF,

???BD=mAD,

：.立AD-BE=當(dāng)AD~~DF,

AD=V2FE-DF.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識,

題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的

關(guān)鍵.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】正方形的性質(zhì)

【知識點(diǎn)】勾股定理

【知識點(diǎn)】角分線性質(zhì)定理

【業(yè)務(wù)題型】證明題

3.如圖，在RbABC中/ACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為有，它的頂點(diǎn)D,E,G分別在MBC的

邊上，則BG的長為.

【答案】3V2

【解析】解:過點(diǎn)G作GH^AC,則:NAHG=NGHD=90°,

..NDGH+NHDG=90°,

?.?NACB=9(T,AC=BC=5,

???AB=5VxZA=ZB=45°,

NAGH=45°=〃

.-.AH=HG,

設(shè)AH=HG=x廁:CH=AC-AH=5-x,

?.正方形DEFG,

，DG=DE/GDE=90。，

.?.zHDG+zCDE=90°.

..NHGD=NCDE.

?.NC=NGHD=90°,

.?.△GHD當(dāng)DCE,

，CD=GH=x,

，DH=CH--CD=5-2x,

Rt△GHD中，由勾股定理彳導(dǎo)：(GD2=DH2+GH2,

.(V5)=(5-2x)2+/解得：x=2,

，AH=2,CH=3,

.NC=NAHD=90°,

.-.HGllBC,

.AG_AH_2

"BG-CH~3'

：.BG=|2B=|x5V2=3V2;

故答案為：3V2

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】正方形與全等綜合

4如圖,在邊長為6的等邊AABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P,若BD=CE=2,

則AABP的周長為.

【答案】6+券

【解析】如下圖所示，過點(diǎn)E作EF±AB于F,

?“ABC是等邊三角形,

..AB=BGNABD=NBAC=NBCE=60°,

?：CE=BD=2,AB=AC=6.

..AE=4,

.-.AF=AEcoszEAF=2,EF=AEsinzEAF=2V3

.-.BF=4.

???BE=VSF2+EF2=2V7,

又.BD=CE,

.“ABD學(xué)BCE(SAS),

.-.zBAD=zCBE,AD=BE,

又；NBDP=NADB,

.-.△BDR-AADB,

.BD_BP_DP

''AD~AB-BD1

2BPPD

...BP=%PD=也，

7，7

AP=AD-DP,

7

.'.△ABP的周長：AB+BP+AP=6+寫，

因此正確答案為：6+竿.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】等腰三角形

5如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在CD,AC上,BF_kEF,CE=l,則AF的長是（）.

A.2V2B.-V2C.-V2D,-V2

234

【答案】B

【解析】如圖所示，過F作AB的垂線分別交AB,CD于N,M,

?.四邊形ABCD是正方形，

..NABC=NBCD=NBNM=90°,AB=BC=OD=4,

二.四邊形CMNB是矩形，

，MN=BC=4,CM=BN,

-.BF±EF,

..NEFB=NFNB=90°,

..NFBN+NNFB=NNFB+NEFM,

..NFBN=NEFM,

?.四邊形ABCD是正方形，

..NACD=45。，

..NMFC=NMCF=45°,

，MF=MC=NB,

NEFM=NFBN

在AMEF和ANFB中，豆EMF-FNB,

MF=NB

「.△ME匹△NFB(AAS),

..ME=FN,

設(shè)ME=FN=x,貝QMC=MF=BN=l+x,

:MN=MF+FN,即l+x+x=4,解得x=|,

3

FN=-

2

.?四邊形ABCD是正方形，MN±AB,

.-.zNAF=zAFN=450,

..FN=AN,

AF=yjFN2+AN2=V2FN=|V2.

故選B.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】特殊平行四邊形

6如圖，正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=久%>0)的圖象交于點(diǎn)A(l,a),在SB。中/ACB=9(T,CA=C

B,點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0).

⑴求k的值

⑵求AB所在直線的解析式.

【答案】⑴k=l.

⑵y=-jx+|.

【解析】(1)1?正比例函數(shù)y=x的圖象與反比例函數(shù)y=g的圖象交于點(diǎn)A(l,a),

.'.a=l,

.-.k=lxl=l.

⑵過點(diǎn)A作AD^x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE，x軸于點(diǎn)E,

-.C(-2,0),A(l,l),

.QD=L0C=2,

，CD=OC+OD=2+1=3,DA=L

?.CA=CB,zBEC=zCDA=90°,zACB=90°,

???^1+Z2=^2+Z3=90°,

.,.zl=z3,

.?.△CBE斗ACD(AAS),

，EB=CD=3,EC=DA=L

」QE=OC+EC=2+1=3,

設(shè)yAB=kx+b,

k=~-

2

(k+b=l-3k+b=3,解得｛3

b=-

2

■AB所在直線的解析式為+

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

7如圖,平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，NAOB=NB=30。，OA=2,將^AOB

繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B，的坐標(biāo)是().

A.(-V313B.(-3,V3C.(-V3,2+V3D.(-l,2+V3

【答案】A

【解析】如圖，過點(diǎn)B作B1H±y軸于H,

..NAOB=NB=30°.

.AB=0A=2,

..A'B'=AB=2,

在Rt△A'B'H中，

.AB=2,NB'A'H=60°,

：.AH=ABcos60°=1,

BH=ABsin60°=V3,

.-.OH=2+1=3,

???

故選A.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=式"0）的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=-久％<0）的

圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）.

4&2）B.（爭甸c（2,|?（或修

【答案】A

【解析】設(shè)A的坐標(biāo)為缶，J,%>0,設(shè)C的坐標(biāo)為1-J，沏<0，

..矩形OABC,畫出如圖，

AB與1/軸交于E,OC與x=—：交于F,

?.,BFlIl^BClAO^gL

.-.zCBF=zAOE.

NFCB=ZEAO=90°

在ABCF與△(^中］BC=OA

NCBF=ZAOE

.-.△BCF^AOAE(ASA),

."BCF中BF邊上的高=人0人￡中OE邊上的高，

7

即尤c=一5一XA>

，C點(diǎn)坐標(biāo)為(一彳一叼一六二)

\2~2~XA)

,.0(0,0),4除￡),

「QA直線方程為y=會(huì)居

設(shè)丫=kx+b,將0(0,0),A(xA,打代入，解得k=支”=0,

0(0,0)，。(一,叼一力^),

設(shè)y=kx+b,將0(0,0).代入解得AC(-^-xA>-^-4

b=0,

.y=~/「、2xx,

--0C直線方程為修陶

?.OC±OA,

4

2--1-^0,

(母以)

解得XA~1,XA--4舍去，

??.嗚2)

故選A.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)與四邊形綜合

9如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(2,0),B(0,l),AC由AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。而得廁AC所在直線的解析式是_

【答案】y=2x-4

【解析】”(2,0),B(0,l)

.-.OA=2,OB=1,

過點(diǎn)C作CD，x軸于點(diǎn)D,

貝I易知AACD2ABAO(AAS),

..AD=OB=LCD=OA=2,

..C(3,2),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A,點(diǎn)C坐標(biāo)代入得

0=2k+b

r2=3k+b

tk=2

b=-4

二直線AC的解析式為y=2x-4.

故答案為:y=2x-4.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】根據(jù)條件寫一次函數(shù)解析式

10如圖,正方形ABCD和RfAEF,AB=5,AE=AF=4,連接BF,DE.若AAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NABF最大時(shí)，SAADE=

【答案】6

【解析】作DHJ_AE于H,如圖,

:AF=4,當(dāng)3EF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F在以A為圓心，4為半徑的圓上,

，當(dāng)BF為此圓的切線時(shí),NABF最大，即BF±AF,

在RbABF中，BF=7s2—42=3,

.NEAF=90°,

???NBAF+NBAH=90°,

NDAH+NBAH=90。.

..NDAH=NBAF,

在AADH和AABF中，

NAHD=NAFB

^DAH=NBAF

AD=AB

.?.△ADH%ABF(AAS),

.-.DH=BF=3,

11

???SLADE--T4E-DH=-x3x4=6.

故答案為：6.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】正方形與全等綜合

11如圖.已知點(diǎn)A(4,3),點(diǎn)B為直線y=-2上的一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)C(0,n),-2<n<3,AC，BC于點(diǎn)C,連接AB,若直線A

B與x正半軸所夾的銳角為a,那么當(dāng)sina的值最大時(shí)，n的值為.

【答案】

【解析】過點(diǎn)A作AM軸于點(diǎn)M,AN，BN于點(diǎn)N,

..?直線y=-2//z軸,

故zABN=a,

當(dāng)Sina的值最大時(shí)，tana=a=占值最大,

故當(dāng)BN最小，即BG最大時(shí)，tana最大,

即當(dāng)BG最大時(shí)，sina的值最大，

設(shè)BG=y,

貝UAM=4,GC=n+2,CM=3-n,

?.zACM+zMAC=90°,

NACM+NBCG=90°,

..NCAM=NBCG,

..tanzCAM=tanzBCG,

CMBG

A—gn3一-_y

AM~CG'閃4—n+2r

???y=--(n—3)(n+2),

4

1

。，

故當(dāng)n=久3-2)=粗寸，y取得最大值，

故n=/

故答案為。

12如圖，在RfABC中,CA=CB,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BM上,AELCD,BDCD,垂足分別為E,F,連接EM.則

下列結(jié)論中:①BF=CE；②NAEM=NDEM；③AE-CE=V2MF;(4)DE2+DF2=2。叱；;⑤若AE平分NBAC,則EF:BF

=/：1；⑥CF-DM=BM-DE,正確的有.(只填序號)

【答案】①②③④⑤⑥

【解析】?.2ACB=90。，

???NBCF+ZACE=90°,

???NBCF+NCBF=90°,

..NACE=NCBF,

又.?NBFD=90°=NAEC,AC=BC,

..△BCF學(xué)CAE(AAS),

.?.BF=CE,故①正確;

由全等可得:AE=CF,BF=CE,

AE-CE=CF--CE=EF,連接FM,OM,

?.點(diǎn)M是AB中點(diǎn),

1

CM==BM=AM,CM1AB,

在ABDF和ACDM中，

NBFD=NCMD/BDF=NCDM,

..NDBF=NDCM,又BM=CM,BF=CE,

.-.ABFM^^CEM,

，F(xiàn)M=EM,NBMF=NCME,

?.NBMC=90°,

ZEMF=90°,即AEMF為等腰直角三角形,

EF=V2EM=AE-CE,故③正確；

NMEF=NMFE=45°,

ZAEC=90°,

.?.NMEF=NAEM=45°,故②正確；

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接DN,

.「NDMF=NNME,FM=EM,

NDFM二NDEM=NAEM=45。,

/.△DFM^^NEM,

：DF=EN,DM=MN,

."DMN為等腰直角三角形,

DN=而ZDEA=90°,

DE2+DF2=DN2=2。昭,故④正確;

.AC=BC/ACB=90°,

..NCAB=45°,

.AE平分NBAC,

..NDAE=NCAE=22.5°/ADE=67.5°,

.NDEM=45°,

..NEMD=67.5°,即DE=EM,

.AE=AE/AED=NAEC,NDAE=NCAE,

.?.△ADE%ACE,

，DE=CE,

.”MEF為等腰直角三角形，

EF=正EM,

第=蔡=藍(lán)=誓=&故⑤正確;

?.zCDM=zADE,zCMD=zAED=90°,

...△CDMSAADE,

CD_CM_DM

AD-AE~DE

BM=CM,AE=CF,

BM_DM

CF-DE1

..CF-DM=BM-DE,故⑥正確;

故答案為:①②③④⑤⑥.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

13如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點(diǎn)E,且CE=4AE,點(diǎn)F在DC的延長線上，連接EF,過點(diǎn)E作

EG^EF,交CB的延長線于點(diǎn)G,連接GF并延長,交AC的延長線于點(diǎn)P,若AB=5,CF=2,則線段EP的長是

【解析】如圖，作FH_LPE于H.

.?四邊形ABCD是正方形，AB=5,

AC=5WACD=NFCH=45。，

:NFHC=90*CF=2,

，CH=HF=V2

.：CE=4AE,

EC=4近,AE=V2,

.".EH=5V2

22

在RbEFH中，EF2=EH2+FH2=(5&)+(V2)=52,

???NGEF=NGCF=90°,

「.E,G,F,C四點(diǎn)共圓，

/.ZEFG=ZECG=45°A

..NECF=NEFP=135°,

?.zCEF=zFEP,

./CEF?AFEP.

.EF_EC

"EP-EF'

EF2=EC-EP,

-,-EP=5^2—13A/2

故答案為呼

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

14回答下列問題.

(1)如圖，在四邊形ABCD中/C=ND=90。,點(diǎn)E在邊CD上/AEB=90。,求證：色=照

⑵如圖，在四邊形ABCD中,.ZC=NADC=90。點(diǎn)E在邊CD上點(diǎn)F在邊AD的延長線上,NFEG=NAEB=90。,

且寥=慧，連接BG交CD于點(diǎn)H,求證：BH=GH

EGEB

⑶如圖，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)/AEB+NDEC=180。,且黑=需過E作EF交AD于點(diǎn)F，使NEFA=NAEB,延

EBEC

長FE交BC于點(diǎn)G.求證:BG=CG.

【答案】Q)證明見解析.

⑵證明見解析.

⑶證明見解析.

【解析】Q)[NC=ZD=ZAEB=90°,

,zBEC+zAED=zAED+zEAD=90°,

..NBEC=NEAD,

.△AED-△EBC,

AE_DE

EB-CB'

(2)如圖，過點(diǎn)G作GMJ_CD于點(diǎn)M,

同⑴的方法可知H=需,

EF_AEAE_DE

EG-EB'EB-CB'

DE_DE

GM—CB'

.BC=GM,

又??/(：=NGMH=90O,NCHB=NMHG,

「.△BCH%GMH(AAS).

..BH=GH.

⑶方法一：如圖，在EG上取點(diǎn)M,使NBME=NAFE,過點(diǎn)(：作CN〃BM,交EG的延長線于點(diǎn)N,則NN=NBMG,

*/zEAF+zAFE+zAEF

=NAEF+NAEB+NBEM

二180。，

NEFA=NAEB,

:NEAF=NBEM,

/.△AEF-△EBMZ

tAE_EF

??BE-BM1

???NAEB+NDEC=18(r,NEFA+NDFE=180。,

而NEFA=NAEB,

:NCED=NEFD,

/zBMG+zBME=180°z

NN=NBMG,

NBME=NAFE,

??.NN+ZAFE=180°,

「.NN二NEFD,

?/zEFD+zEDF+zFED

=NFED+NDEC+NCEN

=180°,

:NEDF二NCEN,

/.△DEF-AEON,

DE_EF

EC-CN'

AE_DE

?EB-EC'

EF_EF

BM-CN'

.-.BM=CN,

X-.zN=zBMG,zBGM=zCGN,

.,.△BGM學(xué)CGN(AAS),

.-.BG=CG.

方法二:作BH//CE交EG延長線于點(diǎn)G,

.?.zEBH+zBEC=180°,

/zAED+zBEC=180°l

：NEBH=NAED,

又.NBEH=NEAD（外角），

?.△BEHdEAD,

AE_DE

,,BE.BE'

又蔡=陽已知），

.-.BH=EC,

.-.△BGH^EGC,

.BG=CG.

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

15如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=8,點(diǎn)E,F在BC上，點(diǎn)G是射線DC與射線AF的交點(diǎn)若,BE=1/EAF=45°

則AG的長為.

AD

BIE

G

【答案】

【解析】f=》

o—XZ

8

X=-

3

GN=-,MN=—

33

.-.MG=—,AG=—

33

【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)與特殊平行四邊形問題；相似三角形的性質(zhì)；三垂直模型

16如圖1,這是一個(gè)裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨箱的立體示意圖，圖2是它的平面示

意圖.已知汽車貨箱高度BG=2m,貨箱底面距地面的高度BH=0.6m，坡面與地面的夾角zBAH=a,木箱的長(FC)

為2m,高(EF)為1.6m,寬小于汽車貨箱的寬度.已知sina=|,木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合，則木箱底部懸

空部分BF的長為m,木箱上部頂點(diǎn)E到汽車貨箱頂部NG的距離為m.

【答案】1；0。2

【解析】-BH=0.6米sina=|,

.BH_3

"AB-5，

???他=嬰=竽=1（米）,

55

AH=7AB2—BH2=Vl2-0.62=0.8（米）,

.AF=FC=2（米）,

..BF=AF-AB=2-1=1（米）,

作FJ^BG于點(diǎn)J,EKLFJ于點(diǎn)K,

貝UNEKF=NFJB=NAHB=NEFA=90°,易彳導(dǎo)NEFK=NFBJ=NABH,

.?.△EFKSAFBJSAABH,

?.FB=AB,

."FBaABH

,喘=^=知BJ=BH=0.6（米）,

1.6_FK_EK

1―0.6—0.8，

..EK=1.28（米）,

.BJ+EK=0.6+1.28=1.88（米）,

...點(diǎn)E到NG的距離為2-1.88=0.12(米),

故答案為:L0.12.

17如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸正半軸，y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，以AB為直角邊作等腰直角

三角形ABC,其中點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)P為斜邊BC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有()

①若點(diǎn)A、點(diǎn)B選擇適當(dāng)位置，則可能有OP,BC;

②若點(diǎn)A(a,0),點(diǎn)B(0,b),51!]C點(diǎn)的坐標(biāo)必是(a+b,a);

③無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有OP4AB.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】B

【解析】解：①由等腰直角三角形ABC,P是斜邊BC的中點(diǎn)，得APLBC,過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知

直線垂直，OP不能垂直斜邊BC,故①錯(cuò)誤；

②如圖作CD±x軸于點(diǎn)D,由余角的性質(zhì)得NOBA=NDAC,

在RbOBA和RtADAC中，

NOBA