貴州省六盤水市第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)11-12學(xué)年高二下學(xué)期期中考試試題（數(shù)學(xué)理）（無(wú)答案）一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢.$[1,+\infty)$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$D.$(-\infty,+\infty)$2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=13$，則$a_{10}$的值為（）A.23B.24C.25D.263.若$a$，$b$，$c$是等比數(shù)列的三項(xiàng)，且$a+b+c=1$，$abc=8$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的值為（）A.3B.4C.5D.64.在三角形ABC中，$AB=AC$，$AD$是$BC$邊上的中線，若$AD=3$，$BD=4$，則三角形ABC的周長(zhǎng)為（）A.12B.13C.14D.155.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為（）A.$x=-1$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$6.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2^n+3^n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為（）A.$S_n=(2^n+3^n)(n+1)$B.$S_n=(2^n+3^n)n$C.$S_n=(2^n+3^n)(n-1)$D.$S_n=(2^n+3^n)(n+2)$7.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=(\sqrt{2})^{2n-1}$B.$a_n=(\sqrt{2})^{2n}$C.$a_n=(\sqrt{2})^{2n+1}$D.$a_n=(\sqrt{2})^{2n-2}$8.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，則$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,0)$對(duì)稱的充要條件是（）A.$f(2x-1)=f(1-2x)$B.$f(2x-1)=-f(1-2x)$C.$f(2x-1)=f(1-2x)+2$D.$f(2x-1)=-f(1-2x)-2$9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$，則$f(x)$的圖像關(guān)于直線$y=x$對(duì)稱的充要條件是（）A.$f(-x)=f(x)$B.$f(-x)=-f(x)$C.$f(-x)=f(x)+2$D.$f(-x)=-f(x)-2$10.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x^2+1)$，則$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(0,0)$對(duì)稱的充要條件是（）A.$f(-x)=f(x)$B.$f(-x)=-f(x)$C.$f(-x)=f(x)+2$D.$f(-x)=-f(x)-2$二、填空題要求：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則$f(x)$的對(duì)稱中心為__________。12.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$d=2$，則$a_{10}$的值為__________。13.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為__________。14.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$，則$f(x)$的值域?yàn)開_________。15.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為__________。四、解答題要求：本大題共3小題，共75分。16.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-1$，試證明數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。17.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并找出函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。18.設(shè)三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為$a$，$b$，$c$，且滿足$a+b+c=10$，$ab+bc+ca=20$，求三角形ABC的面積$S$。五、證明題要求：本大題共1小題，共15分。19.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$(x^2-1)^2\geq0$。六、應(yīng)用題要求：本大題共1小題，共20分。20.已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為$C(x)=1000+10x+0.5x^2$（單位：元/件），其中$x$為生產(chǎn)的件數(shù)。求：（1）當(dāng)生產(chǎn)$100$件產(chǎn)品時(shí)，該工廠的總成本；（2）若該工廠希望總成本不超過(guò)$5000$元，最多可以生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，由于$x^2+1\geq1$，所以函數(shù)的值域?yàn)?[1,+\infty)$。2.答案：B解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=10$，得$a_{10}=3+9\times2=24$。3.答案：A解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，有$a+b+c=abc$，代入$a+b+c=1$，$abc=8$，得$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{8}{1}=8$。4.答案：B解析：由等腰三角形的性質(zhì)，$AD$為$BC$邊上的中線，所以$BD=DC=4$，$BC=BD+DC=8$，因此三角形ABC的周長(zhǎng)為$AB+BC+AC=4+8+4=16$。5.答案：B解析：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，$f'(x)$在$x=1$兩側(cè)符號(hào)不同，所以$x=1$是$f(x)$的極值點(diǎn)。6.答案：A解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$，代入$a_n=2^n+3^n$，得$S_n=2^1+2^2+\ldots+2^n+3^1+3^2+\ldots+3^n=(2^{n+1}-2)+(3^{n+1}-3)=(2^n+3^n)(n+1)$。7.答案：C解析：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n^2-1$，可得$a_2=a_1^2-1$，$a_3=(a_2)^2-1$，以此類推，得$a_n=(\sqrt{2})^{2n-1}$。8.答案：B解析：函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,0)$對(duì)稱，意味著$f(2x-1)=-f(1-2x)$。9.答案：A解析：函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于直線$y=x$對(duì)稱，意味著$f(-x)=f(x)$。10.答案：B解析：函數(shù)$f(x)$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(0,0)$對(duì)稱，意味著$f(-x)=-f(x)$。二、填空題11.答案：$(0,0)$解析：對(duì)稱中心是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上的點(diǎn)，對(duì)于$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，其對(duì)稱中心為$(0,0)$。12.答案：24解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$，$d=2$，$n=10$，得$a_{10}=1+9\times2=19$。13.答案：$a_n=2^n$解析：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n$，可得$a_2=2a_1=2$，$a_3=2a_2=4$，以此類推，得$a_n=2^n$。14.答案：$[0,1)$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，由于$x^2\geq0$，所以函數(shù)的值域?yàn)?[0,1)$。15.答案：$S_n=2^n-1$解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$，代入$a_n=2^n$，得$S_n=2^1+2^2+\ldots+2^n=2^{n+1}-2=2^n-1$。四、解答題16.答案：證明如下：解析：對(duì)于任意$n\geq1$，有$a_{n+1}=a_n^2-1$，要證明$a_{n+1}>a_n$。由$a_{n+1}=a_n^2-1$，得$a_{n+1}-a_n=a_n^2-1-a_n=(a_n-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$。由于$(a_n-\frac{1}{2})^2\geq0$，所以$a_{n+1}-a_n\geq-\frac{5}{4}$。當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_2=a_1^2-1=1^2-1=0$，$a_3=a_2^2-1=0^2-1=-1$，$a_4=a_3^2-1=(-1)^2-1=0$。因此，對(duì)于任意$n\geq2$，有$a_{n+1}-a_n\geq-\frac{5}{4}$，所以數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。17.答案：$f'(x)=3x^2-6x+9$，極值點(diǎn)為$x=1$。解析：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，$f'(x)$在$x=1$兩側(cè)符號(hào)不同，所以$x=1$是$f(x)$的極值點(diǎn)。18.答案：$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}=\frac{1}{4}\sqrt{10^2-2\times20}=\frac{1}{4}\sqrt{60}=2.5$。解析：由海倫公式$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}$，代入$a+b+c=10$，$ab+bc+ca=20$，得$S=\frac{1}{4}\sqrt{100-40}=2.5$。五、證明題19.答案：證明如下：解析：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，有$(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2