高數(shù)2專升本試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞3.函數(shù)$y=x^2$的導數(shù)$y^\prime$是（）A.$2x$B.$x^2$C.$\frac{1}{2}x$D.24.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.2x+C5.設$z=x+y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.0B.1C.xD.y6.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.47.函數(shù)$y=e^x$的一個原函數(shù)是（）A.$e^x+1$B.$e^x-1$C.$e^x$D.$2e^x$8.若$\lim_{n\to\infty}a_n=0$，則級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$（）A.收斂B.發(fā)散C.不一定D.絕對收斂9.函數(shù)$y=\lnx$的定義域為（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,+\infty)$D.$[0,+\infty)$10.定積分$\int_{0}^{1}2xdx=$（）A.0B.1C.2D.4二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導的有（）A.$y=x^2$B.$y=|x|$C.$y=\lnx$D.$y=\sqrt{x}$4.下列積分計算正確的有（）A.$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$B.$\int\cosxdx=\sinx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$5.對于二元函數(shù)$z=f(x,y)$，下列說法正確的有（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$表示固定$y$時，$z$對$x$的變化率B.$\frac{\partialz}{\partialy}$表示固定$x$時，$z$對$y$的變化率C.全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$D.若$z=x+y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialy}=1$6.下列曲線中，有水平漸近線的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\frac{1}{x^2}$C.$y=\arctanx$D.$y=e^x$7.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$8.函數(shù)$y=\sinx$的性質有（）A.周期函數(shù)，周期為$2\pi$B.奇函數(shù)C.值域為$[-1,1]$D.在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上單調遞增9.下列關于導數(shù)與微分關系正確的有（）A.$dy=f^\prime(x)dx$B.導數(shù)是函數(shù)的變化率，微分是函數(shù)增量的近似值C.若函數(shù)可微，則一定可導D.若函數(shù)可導，則一定可微10.設函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則下列說法正確的有（）A.$f(x)$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值B.$\int_{a}^f(x)dx$一定存在C.若$f(a)f(b)\lt0$，則在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點$\xi$，使得$f(\xi)=0$D.若$f(x)$在$[a,b]$上單調遞增，則$f^\prime(x)\geq0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$的定義域為空集。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$和$\lim_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]$一定不存在。（）3.函數(shù)$y=x^3$在$R$上單調遞增。（）4.不定積分$\intf(x)dx$的結果是唯一的。（）5.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處兩個偏導數(shù)都存在，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。（）6.曲線$y=\frac{1}{x}$有垂直漸近線$x=0$。（）7.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}1$收斂。（）8.函數(shù)$y=\cosx$是偶函數(shù)。（）9.若$f^\prime(x)=g^\prime(x)$，則$f(x)=g(x)$。（）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關，與積分變量用什么字母表示無關。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x+1$的極值。-答案：先求導$y^\prime=3x^2-3$，令$y^\prime=0$，即$3x^2-3=0$，解得$x=\pm1$。當$x\lt-1$時，$y^\prime\gt0$；當$-1\ltx\lt1$時，$y^\prime\lt0$；當$x\gt1$時，$y^\prime\gt0$。所以極大值為$y(-1)=3$，極小值為$y(1)=-1$。2.計算定積分$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx$。-答案：根據(jù)定積分運算法則，$\int_{0}^{2}(x^2+1)dx=\int_{0}^{2}x^2dx+\int_{0}^{2}1dx$。$\int_{0}^{2}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^2=\frac{8}{3}$，$\int_{0}^{2}1dx=[x]_0^2=2$，所以結果為$\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$。3.求函數(shù)$z=x^2y+xy^2$的偏導數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。-答案：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時，把$y$看作常數(shù)，得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2$；求$\frac{\partialz}{\partialy}$時，把$x$看作常數(shù)，得$\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy$。4.簡述函數(shù)極限與連續(xù)的關系。-答案：函數(shù)在某點連續(xù)，則在該點極限一定存在且等于該點函數(shù)值；但函數(shù)在某點極限存在，函數(shù)在該點不一定連續(xù)，連續(xù)要求極限值等于函數(shù)值且函數(shù)在該點有定義。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的單調性與漸近線情況。-答案：對$y=\frac{1}{x-1}$求導得$y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0$，所以在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上單調遞減。垂直漸近線為$x=1$，水平漸近線為$y=0$。2.討論級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$的斂散性。-答案：這是交錯級數(shù)，設$u_n=\frac{1}{n}$，$u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$，滿足$u_{n+1}\ltu_n$且$\lim_{n\to\infty}u_n=0$，根據(jù)萊布尼茨判別法，該級數(shù)收斂。但$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$發(fā)散，所以它條件收斂。3.結合實際例子，談談你對導數(shù)在優(yōu)化問題中的應用理解。-答案：比如在生產(chǎn)中，要制作一個無蓋長方體盒子，已知材料面積固定，求盒子最大體積。通過設變量建立體積函數(shù)，對其求導找到駐點，根據(jù)實際意義確定最大值點，從而得出最優(yōu)尺寸，體現(xiàn)導數(shù)能幫助找到函數(shù)最值解決優(yōu)化問題。4.請討論多元函數(shù)與一元函數(shù)在導數(shù)和積分方面的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：多元函數(shù)偏導數(shù)本質上是固定其他變量后對一個變量的導數(shù)，與一元函數(shù)導數(shù)概念類似；多元函數(shù)積分也是一元函數(shù)積分的推廣。區(qū)別：多元函數(shù)導數(shù)有多個偏導數(shù)，積分有重積分等不同形式；一元函數(shù)相對簡單，多元函數(shù)更復雜，要考慮變量間相互關