PAGEPAGE8第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2024考綱考題考情1．平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號表示公理1假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面A、B、C三點不共線?有且只有一個平面α，使A、B、C∈α續(xù)表名稱圖示文字表示符號表示公理3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l2.空間兩直線的位置關(guān)系(2)平行公理：公理4：平行于同始終線的兩條直線相互平行——空間平行線的傳遞性。(3)等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。(4)異面直線所成的角：①定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)。②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))。3．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)直線l在平面α內(nèi)l?α多數(shù)個直線l與平面α相交l∩α＝A一個直線l與平面α平行l(wèi)∥α0個1．公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面。2．異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。3．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，簡單忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角。一、走進教材1．(必修2P43練習T1改編)下列命題中正確的是()A．過三點確定一個平面B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交則確定一個平面D．兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域解析對于A，過不在同一條直線上的三點有且只有一個平面，故A錯誤；對于B，四邊形也可能是空間四邊形，不確定是平面圖形，故B錯誤；對于C，三條直線兩兩相交，可以確定一個平面或三個平面，故C錯誤；對于D，平面是無限延展的，兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域，故D正確。答案D2．(必修2P49練習題)若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的全部直線與a異面B．α內(nèi)不存在與a平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D．α內(nèi)的直線與a都相交解析若直線a不平行于平面α，且a?α，則線面相交，A選項不正確，α內(nèi)存在直線與a相交；B選項正確，α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不行能平行；C選項不正確，因為α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不行能平行；D選項不正確，α內(nèi)只有過直線a與平面的交點的直線與a相交。故選B。答案B二、走近高考3．(2024·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)解析如圖，連接BD1，交DB1于點O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補角。因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)。故選C。答案C4．(2024·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(1,3)解析在正方體ABCD－A1B1C1D1外依次再作兩個一樣的正方體，如圖所示，易知AE∥B1D1，AF∥CD1，所以平面AEF∥平面CB1D1，即平面AEF就是過點A的平面α，所以AE為平面α與平面ABCD的交線，即為m，AF為平面α與平面ABB1A1的交線，即為n，所以m，n所成角即為AE與AF所成角，也是B1D1與CD1所成角，為∠CD1B1。而△CD1B1為等邊三角形，因此∠CD1B1＝eq\f(π,3)，所以sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)。答案A三、走出誤區(qū)微提示：①對等角定理條件相識不清致誤；②缺乏空間想象實力致誤。5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不確定平行解析兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不確定平行，故選D。答案D6．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面。故選D。答案D7．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________。解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行。所以與EF相交的平面有4個。答案4考點一平面的基本性質(zhì)【例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，推斷下列說法是否正確，并說明理由。(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；(2)設(shè)正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的中心分別為O，O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；(3)由點A，O，C可以確定一個平面；(4)由A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；(5)設(shè)直線l是平面ABCD內(nèi)的直線，直線m是平面DD1C1C內(nèi)的直線，若l與m相交，則交點確定在直線CD上。解(1)錯誤。若AC1?平面CC1B1B，又BC?平面CC1B1B，則A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，所以AB?平面CC1B1B，與AB?平面CC1B1B沖突，故(1)中說法錯誤。(2)正確。因為O，O1是兩平面的兩個公共點，所以平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1。(3)錯誤。因為A，O，C三點共線，所以不能確定一個平面。(4)正確。因為A，C1，B1不共線，所以A，C1，B1三點可確定平面α，又四邊形AB1C1D為平行四邊形，AC1，B1D相交于O2點，而O2∈α，B1∈α，所以B1O2?α，又D∈B1O2，所以D∈α。(5)正確。若l與m相交，則交點是兩平面的公共點，而直線CD為兩平面的交線，所以交點確定在直線CD上。1．三個公理是立體幾何的基礎(chǔ)。公理1是確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2是利用點或直線確定平面的依據(jù)；公理3是確定兩個平面有一條交線的依據(jù)，同時也是證明多點共線、多線共點的依據(jù)。2．證明點共線或線共點的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理3，證明點在兩個平面的交線上，或者選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在該直線上?！咀兪接柧殹?1)在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，假如EF，GH相交于點P，那么()A．點P必在直線AC上B．點P必在直線BD上C．點P必在平面DBC內(nèi)D．點P必在平面ABC外(2)(2024·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A．eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(3\r(2),4) D．eq\f(\r(3),2)解析(1)如圖，因為EF?平面ABC，而GH?平面ADC，且EF和GH相交于點P，所以P在兩面的交線上，因為AC是兩平面的交線，所以點P必在直線AC上。(2)記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等。如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等。分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，HI，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大。又EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JE＝eq\f(\r(2),2)，該六邊形的六個內(nèi)角都相等，所以該正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(3\r(3),4)，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為eq\f(3\r(3),4)。故選A。答案(1)A(2)A考點二空間兩條直線的位置關(guān)系微點小專題方向1：異面直線的判定【例2】(2024·益陽、湘潭調(diào)研考試)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有()A．①③ B．②③C．②④ D．②③④解析由題意，可知題圖①中，GH∥MN，因此直線GH與MN共面；題圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；題圖③中，連接MG，則GM∥HN，因此直線GH與MN共面；題圖④中，連接GN，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，所以直線GH與MN異面。故選C。答案C異面直線的判定方法1．反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)動身，經(jīng)過嚴格的推理，導出沖突，從而否定假設(shè)，確定兩條直線異面。此法在異面直線的判定中常常用到。2．定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線。方向2：平行垂直的判定【例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行解析如圖，連接C1D，則C1D過點N，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；因為CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN與CC1垂直，故A正確；因為AC⊥BD，MN∥BD，所以MN與AC垂直，故B正確；因為A1B1與BD異面，MN∥BD，所以MN與A1B1不行能平行，故D錯誤。答案D線線平行或垂直的判定方法1．對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來推斷。2．對于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直?！绢}點對應(yīng)練】1．(方向1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線。其中正確的結(jié)論為________(注：把正確結(jié)論的序號都填上)。解析A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線；①②錯誤，④正確；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③正確。答案③④2．(方向2)若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是()①若直線m，n都平行于平面α，則m，n確定不是相交直線；②若直線m，n都垂直于平面α，則m，n確定是平行直線；③已知平面α，β相互垂直，且直線m，n也相互垂直，若m⊥α，則n⊥β；④若直線m，n在平面α內(nèi)的射影相互垂直，則m⊥n。A．② B．②③C．①③ D．②④解析對于①，m與n可能平行，可能相交，也可能異面，①錯誤；對于②，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，m與n確定平行，故②正確；對于③，還有可能n∥β或n與β相交，③錯誤；對于④，把m，n放入正方體中，如圖，取A1B為m，B1C為n，平面ABCD為平面α，則m與n在α內(nèi)的射影分別為AB與BC，且AB⊥BC。而m與n所成的角為60°，故④錯誤。答案A考點三異面直線所成的角【例4】如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點。(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值。解(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，因為A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即為平面ABE，所以P∈平面ABE，這與P?平面ABE沖突，所以AE與PB是異面直線。(2)取BC的中點F，連接EF，AF，則EF∥PB，所以∠AEF(或其補角)就是異面直線AE與PB所成的角。因為∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，所以AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2,2·AE·EF)＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，故異面直線AE與PB所成角的余弦值為eq\f(1,4)。用平移法求異面直線所成的角的3步驟1．一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；2．二證：即證明作出的角是異面直線所成的角或其補角。3．三求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角?！咀兪接柧殹?1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中點，則CA1與BD所成角的大小是()A．eq\f(π,3) B．eq\f(5π,12)C．eq\f(π,2) D．eq\f(7π,12)(2)如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐P－ABC棱的AP，BC的中點，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為________。解析(1)如圖，取A1C1的中點E，連接BE，DE，則DE∥A1C，所以∠BDE或其補角即為CA1與BD所成的角，設(shè)為θ。由幾何體ABC－A1B1C1是正三棱柱且AB＝BB1，可設(shè)其棱長為2。在△BDE中，BD＝eq\r(5)，BE＝eq\r(7)，DE＝eq\r(2)，由余弦定理可得cosθ＝eq\f(BD2＋DE2－BE2,2BD·DE)＝0，所以θ＝eq\f(π,2)。故選C。(2)取AC的中點M，連接EM，MF。因為E，F(xiàn)分別是AP，BC的中點，所以MF∥AB，MF＝eq\f(1,2)AB＝3，ME∥PC，ME＝eq\f(1,2)PC＝5，所以MF與ME所成的角即為AB與PC所成的角(或其補角)。在三角形MEF中，cos∠EMF＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(15,30)＝－eq\f(1,2)，所以∠EMF＝120°，所以異面直線AB與PC所成的角為60°。答案(1)C(2)60°eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例1運用)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β。又D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上。又C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝直線CD。故選C。答案C2．(協(xié)作例1運用)給出下列四個說法：①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面。其中正確說法的序號是________。解析①中說法正確，因為直線在平面外，即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點；②中說法正確，a，b有交點，則兩平面有公共點，則兩平面相交；③中說法正確，兩條平行直線可確定一個平面，又直線與兩條平行直線的兩個交點在這兩條平行直線上，所以過這兩個交點的直線也在平面內(nèi)，即三線共面；④中說法錯誤，這三條直線可能交于同一點，但不在同一平面內(nèi)。答案①②③3．(協(xié)作例2運用)如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點。(1)AM和CN是否是異面直線