8.5.2直線與平面平行的性質(zhì)2課時(shí)-2025年高一數(shù)學(xué)新教材同步課堂精講練導(dǎo)學(xué)案（人教A版2019必修第二冊）8.5.2直線與平面平行的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解線面平行的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題2.會用文字、符號、圖形三種語言準(zhǔn)確地描述線面平行的性質(zhì)定理，并能證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．【自主學(xué)習(xí)】知識點(diǎn)1文字語言一條直線與一個(gè)平面，則過這條直線的任一平面與此平面的與該直線符號語言a∥α，?a∥b圖形語言

【合作探究】探究一線面平行性質(zhì)定理的理解【例1】下列說法中正確的是()①一條直線如果和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行；②一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn)；③過直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行；④如果直線l和平面α平行，那么過平面α內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在α內(nèi)．A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④歸納總結(jié)：【練習(xí)1】若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a、b、c…，那么這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)

探究二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．歸納總結(jié)：【練習(xí)2】求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能2．直線a∥平面α，P∈α，過點(diǎn)P平行于a的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)C．只有一條，且在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在α內(nèi)3．過平面α外的直線l作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交但不一定交于同一點(diǎn)C．都相交且一定交于同一點(diǎn)D．都平行或都交于同一點(diǎn)

4．如圖，四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能5．已知正方體AC1的棱長為1，點(diǎn)P是面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)6．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí)，下面結(jié)論正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)B．G，H一定是CD，DA的中點(diǎn)C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC7.如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點(diǎn)，過C，D，E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F，則四邊形DEFC的周長為()A．2＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)二、填空題8.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AE∶EB＝______.10.如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是______．11．如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________．

三、解答題12.如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD中邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動點(diǎn)，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．13．如圖所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的點(diǎn)，E是B′C′的中點(diǎn)，且A′E∥平面DBC′.試判斷D點(diǎn)在AA′上的位置，并給出證明．

B組能力提升一、選擇題1.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命題中，錯(cuò)誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°2．(多選題)如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列命題中，正確的有()A．BM∥平面DE B．CN∥平面AFC．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF二、填空題3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH＝________.

三、解答題4.如圖，四邊形ABCD為矩形，A，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求證：平面BCE∥平面ADF.5．如圖①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D為AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P－ABCD，如圖②所示．求證：在四棱錐P－ABCD中，AP∥平面EFG.

6．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝eq\f(1,2)AP，D為AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.圖①圖②求證：在四棱錐P-ABCD中，AP∥平面EFG.8.5.28.5.2直線與平面平行的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波初審：譚光垠終審：譚光垠廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解線面平行的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題2.會用文字、符號、圖形三種語言準(zhǔn)確地描述線面平行的性質(zhì)定理，并能證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．【自主學(xué)習(xí)】知識點(diǎn)1文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言

【合作探究】探究一線面平行性質(zhì)定理的理解【例1】下列說法中正確的是()①一條直線如果和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行；②一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn)；③過直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行；④如果直線l和平面α平行，那么過平面α內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在α內(nèi)．A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④【答案】D[解析]①根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知：直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，正確．②根據(jù)線面平行的定義，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn)，正確．③可以作無數(shù)個(gè)平面與直線平行，錯(cuò)誤．④根據(jù)直線l與平面α內(nèi)一定點(diǎn)可以確定一個(gè)平面β，則平面α與平面β的交線與直線l平行，且在平面α內(nèi)，正確，所以選D.歸納總結(jié)：eq\a\vs4\al(解決本類問題的技巧,1明確性質(zhì)定理的關(guān)鍵條件；,2充分考慮各種可能的情況；,3特殊的情況注意舉反例來說明.)【練習(xí)1】若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a、b、c…，那么這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)【答案】A解析：因?yàn)橹本€l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A.探究二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．[證明]因?yàn)锳B∥平面MNPQ，且過AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又過AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.所以四邊形MNPQ為平行四邊形．歸納總結(jié)：應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理可以得到線線平行.解此類題的關(guān)鍵是找到過已知直線的平面與已知平面的交線，有時(shí)為了得到交線需要作出輔助平面.必要時(shí)，可反復(fù)應(yīng)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化【練習(xí)2】求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．證明：如圖，直線a、l，平面α、β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β.過a作平面γ交平面α于b.∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c，則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【答案】B解析因?yàn)镚H∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B.2．直線a∥平面α，P∈α，過點(diǎn)P平行于a的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)C．只有一條，且在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在α內(nèi)【答案】C解析由線面平行性質(zhì)定理知過點(diǎn)P平行于a的直線只有一條，且在平面α內(nèi)，故選C.3．過平面α外的直線l作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交但不一定交于同一點(diǎn)C．都相交且一定交于同一點(diǎn)D．都平行或都交于同一點(diǎn)【答案】D解析分l∥α和l與α相交兩種情況作答，對應(yīng)的結(jié)果是都平行或都交于同一點(diǎn)．4．如圖，四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【答案】B5．已知正方體AC1的棱長為1，點(diǎn)P是面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點(diǎn)，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】C解析如圖，連接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∴PQ＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2).6．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí)，下面結(jié)論正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)B．G，H一定是CD，DA的中點(diǎn)C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC【答案】D解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.7.如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點(diǎn)，過C，D，E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F，則四邊形DEFC的周長為()A．2＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)【答案】C解析∵CD∥AB，CD?平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB，∴AB∥EF.∵SE＝EA，∴EF為△ABS的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝1，又DE＝CF＝eq\r(3)，∴四邊形DEFC的周長為3＋2eq\r(3).二、填空題8.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.【答案】eq\f(2\r(2),3)a解析∵M(jìn)N∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AE∶EB＝______.【答案】m∶n解析∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG＝m·eq\f(BE,BA)，同理EH＝FG＝n·eq\f(AE,AB).∵四邊形EFGH是菱形，∴m·eq\f(BE,BA)＝n·eq\f(AE,AB)，∴AE∶EB＝m∶n.10.如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是______．【答案】平行四邊形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四邊形EFHG是平行四邊形．11．如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點(diǎn)，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________．【答案】4eq\r(5)＋6eq\r(2)解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r(5)＋6eq\r(2).三、解答題12.如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD中邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動點(diǎn)，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．解如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O1，連接OM.因?yàn)镻C∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC).在菱形ABCD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，所以eq\f(OC,O1C)＝eq\f(1,2).又AO1＝CO1，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,4)，故PM∶MA＝1∶3.13．如圖所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的點(diǎn)，E是B′C′的中點(diǎn)，且A′E∥平面DBC′.試判斷D點(diǎn)在AA′上的位置，并給出證明．解點(diǎn)D為AA′的中點(diǎn)．證明如下：取BC的中點(diǎn)F，連接AF，EF，如圖．設(shè)EF與BC′交于點(diǎn)O，易證A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F(xiàn)，A共面于平面A′EFA.因?yàn)锳′E∥平面DBC′，A′E?平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.在平行四邊形A′EFA中，因?yàn)镺是EF的中點(diǎn)(因?yàn)镋C′∥BF，且EC′＝BF)，所以點(diǎn)D為AA′的中點(diǎn)．

B組能力提升一、選擇題1.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命題中，錯(cuò)誤的為()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°【答案】C解析由題意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，則AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；C是錯(cuò)誤的，故選C.2．(多選題)如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列命題中，正確的有()A．BM∥平面DE B．CN∥平面AFC．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF【答案】ABCD[展開圖可以折成如圖①所示的正方體．圖①圖②在正方體中，連接AN，如圖②所示．∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四邊形ABMN是平行四邊形．∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF，∴AB正確；圖③如圖③所示，連接NF，BE，BD，DM，CF，可以證明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，則平面BDM∥平面AFN，同理可證平面BDE∥平面NCF，所以CD正確．]二、填空題3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)[因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB＝CD，因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因?yàn)槠矫鍭GF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中點(diǎn)，因?yàn)镻A＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin60°＝eq\r(3).所以GH＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(\r(3),2)