2024-2025學(xué)年揚(yáng)州市邗江區(qū)高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月份七校聯(lián)考模擬練習(xí)卷（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：導(dǎo)數(shù)、空間向量與立體幾何、計(jì)數(shù)原理、概率。5．難度系數(shù)：0.7。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以或（舍去）．故選：B.2．已知，向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，解得，，則，．故選:A．3．已知某班級(jí)中，喜歡科幻小說(shuō)的學(xué)生占，喜歡科幻小說(shuō)且喜歡推理小說(shuō)的學(xué)生占，若從這個(gè)班級(jí)的學(xué)生中任意抽取一人，則在抽到的學(xué)生喜歡科幻小說(shuō)的條件下，該學(xué)生也喜歡推理小說(shuō)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，從這個(gè)班級(jí)的學(xué)生中任意抽取一人，記事件“抽到的學(xué)生喜歡科幻小說(shuō)”，“抽到的學(xué)生喜歡推理小說(shuō)”，則，，故．故選：D．4．已知隨機(jī)變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，解得，所以，故.故選：D.5．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由求導(dǎo)可得，根據(jù)題意，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即，分離參數(shù)可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.6．在平行六面體中，，．取棱的中點(diǎn)M，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由圖形可得，所以，所以.故選：B7．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為.若，，則的值可以是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2025【答案】A【詳解】因?yàn)樗员?0除得的余數(shù)為0，而2020，2021，2022，2025被10除得的余數(shù)分別是0，1，2，5，故的值可以是2020.故選：A.8．我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)，，的“躺平點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，即，，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即；，則，即，綜上所述，，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，令，得，兩邊同乘以，得，故A正確；對(duì)于B，令，得，令，得，兩式相減，得，即，故B正確；對(duì)于C，兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，得，再令，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，同理，所以，故D正確.故選:ABD.10．設(shè)甲袋有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙袋有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，以，和分別表示由甲袋取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則（

）A． B． C． D．與相互獨(dú)立【答案】AC【詳解】，選項(xiàng)A正確.，故選項(xiàng)C正確。計(jì)算：，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.又，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．平面B．存在點(diǎn)，滿足平面C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ACD【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，則，，對(duì)于A，，則，所以，又平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，若平面，則，解得，又因?yàn)?，所以不存在點(diǎn)，滿足平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，可看作點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和最小，即點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和最小，，因?yàn)?，所以，解得，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，則，當(dāng)，即，即時(shí)，取得最大值，最大值為，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)，若，則．【答案】/0.4【詳解】∵，由空間向量共面定理得：，故答案為：.13．設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則.【答案】/0.3【詳解】由條件概率的公式：，計(jì)算和事件的概率：，可得.故答案為：.14．英國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地圖只需不超過(guò)四種顏色即可實(shí)現(xiàn)相鄰區(qū)域顏色不同.該猜想于1976年由阿佩爾和哈肯借助計(jì)算機(jī)完成證明.如圖，一個(gè)地區(qū)分為6個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖上的行政區(qū)域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每個(gè)區(qū)域涂1種顏色，相鄰區(qū)域不同色.現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有種（用數(shù)字作答）.【答案】216【詳解】如圖，將6個(gè)行政區(qū)標(biāo)上序號(hào)，區(qū)域1有4種顏色可選，共4種方法；區(qū)域2與區(qū)域1相鄰，不能與區(qū)域1同色，有3種顏色可選，共3種方法；區(qū)域3與區(qū)域1、2相鄰，不能與區(qū)域1、2同色，有2種顏色可選，共2種方法；①若區(qū)域4與區(qū)域2同色，有1種顏色可選，此時(shí)區(qū)域5與區(qū)域2不同色且有2種涂色方法，此時(shí)區(qū)域6有2種涂色方法；②若區(qū)域4與區(qū)域2不同色，有1種顏色可選，此時(shí)若區(qū)域5與區(qū)域2同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有3種涂色方法，若區(qū)域5與區(qū)域2不同色，有1種涂色方法，區(qū)域6有2種涂色方法，所以一共有種方法.故答案為：216.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為64.(1)求的值；(2)求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；(3)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)6(2)1(3)【詳解】（1）由題意可得解得（2）取，故展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，（3）由于，故展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．16．將6個(gè)不同的小球放入編號(hào)分別為的三個(gè)不同盒子.（過(guò)程要用文字簡(jiǎn)要說(shuō)明，結(jié)果用數(shù)字作答）(1)求共有多少種不同放法；(2)當(dāng)每個(gè)盒子的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)時(shí)，求共有多少種不同放法；(3)當(dāng)每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球時(shí)，求共有多少種不同放法；(4)若將題干中“6個(gè)不同的小球”改為“9個(gè)相同的小球”，其他條件不變，則當(dāng)每個(gè)盒子的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)時(shí)，共有多少種不同放法？【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有種不同放法.（2）當(dāng)每個(gè)盒子的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)時(shí)，1號(hào)盒1個(gè)球，2號(hào)盒2個(gè)球，3號(hào)盒3個(gè)球，共有種不同放法.（3）當(dāng)每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球時(shí)，共有三類：第一類，一盒4個(gè)球，其余兩盒各1個(gè)球，有種；第二類，一盒1個(gè)球，一盒2個(gè)球，一盒3個(gè)球，有種；第三類，每盒2個(gè)球，有種.綜上得，共有種不同放法.（4）方法一：在2號(hào)盒子里放入1個(gè)小球，在3號(hào)盒子里放入2個(gè)小球，然后在剩余的6個(gè)相同的小球中間5個(gè)空插入2個(gè)擋板，共有種不同放法.方法二：在號(hào)盒子里首先分別放入個(gè)球，然后剩下的3個(gè)小球和兩個(gè)擋板一起排隊(duì)，5個(gè)位置中給擋板選兩個(gè)位置，共有種不同放法.17．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，我國(guó)乒乓球運(yùn)動(dòng)員取得“五連冠”的優(yōu)異成績(jī)，激發(fā)了全民“國(guó)球熱”.某社區(qū)舉辦了乒乓球比賽，甲、乙兩人爭(zhēng)奪冠亞軍，采用五局三勝制（每局比賽沒(méi)有平局），比賽共有1000元獎(jiǎng)金，約定如下規(guī)則：若比賽3局決出勝負(fù)，冠軍獲得900元獎(jiǎng)金，亞軍獲得100元獎(jiǎng)金；若比賽4局決出勝負(fù)，冠軍獲得700元獎(jiǎng)金，亞軍獲得300元獎(jiǎng)金；若比賽5局決出勝負(fù)，冠軍獲得600元獎(jiǎng)金，亞軍獲得400元獎(jiǎng)金，已知甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為.(1)求比賽4局決出勝負(fù)的概率；(2)求甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）比賽4局決出勝負(fù)有兩種情況：前3局甲獲勝2局，輸1局，第4局甲獲勝，或前3局乙獲勝2局，輸1局，第4局乙獲勝，

若甲獲勝，則；

若乙獲勝，則，

故比賽4局決出勝負(fù)的概率為.（2）由題意可知，X的取值可能為900，700，600，400，300，100，

，，，，，，

所以X的分布列為：X900700600400300100P所以.18．如圖，在四棱錐中．底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若，且點(diǎn)到平面的距離為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；(3)．【詳解】（1）如圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，底面為矩形，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖，以向量為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，，，所以平面的法向量，且平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.（3）由（2）可得，，，，，，平面的法向量，故，設(shè)點(diǎn)與平面的距離為，則，解得．19．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)證明：，．【答案】(1)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函