人教版七年級數(shù)學(xué)下冊期末解答題壓軸題試卷及答案

一、解答題

1.如圖，用兩個面積為200c/〃2的小正方形拼成一個大的正方形.

（1）則大正方形的邊長是一：

（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為

4:3,且面積為360c7"?

2.教材中的探究：如圖，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，用所得到的4個直角

三角形拼成一個面積為2的大正方形.由此，得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應(yīng)點的

方法（數(shù)軸的單位長度為1）.

￡1￡2

（1）閱讀理解：圖1中大正方形的邊長為，圖2中點A表示的數(shù)為

（2）遷移應(yīng)用：

請你參照上面的方法，把5個小正方形按圖3位置擺放，并將其進行裁剪，拼成?個大正

方形.

①請在圖3中畫出裁剪線，并在圖3中畫出所拼得的大正方形的示意圖.

②利用①中的成果，在圖4的數(shù)軸上分別標出表示數(shù)一0.5以及-3+石的點，并比較它

們的大小.

111____1111____L.

-3-2-101234

明3S4

3.動手試一試，如圖1,紙上有10個邊長為1的小正方形組成的圖形紙.我們可以按圖

2的虛線AB.8C將它剪開后，重新拼成一個大正方形ABCO.

（1）基礎(chǔ)鞏固：拼成的大正方形A8co的面積為,邊長AO為：

（2）知識運用：如圖3所示，將圖2水平放置在數(shù)軸上，使得頂點8與數(shù)軸上的-1重

合.以點8為圓心，8C邊為半徑畫圓弧，交數(shù)軸于點E,則點E表示的數(shù)是：

（3）變式拓展：

①如圖4,給定5x5的方格紙（每個小正方形邊長為1）,你能從中剪出一個面積為13的

正方形嗎？若能，請在圖中畫出示意圖；

②請你利用①中圖形在數(shù)軸上用直尺和圓規(guī)表示面積為13的正方形邊長所表示的數(shù).

圖4備用圖

4.觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1,

（1）圖中陰影部分的面積是多少？邊長是多少？

（2）估計邊長的值在哪兩個整數(shù)之間.

5.如圖，在3x3的方格中，有一陰影正方形，設(shè)每一個小方格的邊長為1個單位.請解決

下面的問題.

（1）陰影正方形的面積是?（可利用割補法求面積）

（2）陰影正方形的邊長是?

（3）陰影正方形的邊長介于哪兩個整數(shù)之間？請說明理由.

6.如圖，直線4811直線CD,線段EFIICD,連接8F、CF.

(1)求證：ZABF+NOCF=NBFC；

(2)連接BE、CE、BC,若8E平分N4BC,BE±CE,求證：CE平分N88：

(3)在(2)的條件下，G為EF上一點，連接8G,若ZBFC=NBCF,NFBG=2NECF,

ZCBG=70\求/FBE的度數(shù).

圖1892S3

7.已知直線48〃CD,點P、Q分別在48、C。上，如圖所示，射線P8按逆時針方向以每

秒12。的速度旋轉(zhuǎn)至以便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線ac按逆時針方向每秒3。旋轉(zhuǎn)

至QD停止，此時射線P8也停止旋轉(zhuǎn).

(1)若射線P8、QC同時開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間10秒時，P8,與QC1的位置關(guān)系為；

(2)若射線QC先轉(zhuǎn)15秒，射線P8才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線P8旋轉(zhuǎn)的時間為多少秒時，

PB7/QC.

0?.°?.

(各用圖)Q(各用圖)Q

8.如圖，NE8F=50。，點C是NEBF的邊8F上一點.劭點八從點8出發(fā)在NE8F的邊8E

上，沿8E方向運動，在動點4運動的過程中，始終有過點A的射線4011BC.

(1)在動點4運動的過程中，(填"是"或"否")存在某一時刻，使得4。平分NEAC?

(2)假設(shè)存在4。平分NEAC,在此情形下，你能猜想N8和N4CB之間有何數(shù)顯關(guān)系？并

請說明理由；

(3)當(dāng)4C_L8C時，直接寫出N84C的度數(shù)和此時入。與4C之間的位置關(guān)系.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點3在兩條平行線外，則NA與之間的數(shù)量關(guān)系為;

(2)點“在兩條平行線之間，過點“作于點D.

①如圖2,說明NA8D=NC成立的理由；

②如圖3,BF平分NDBC交DM于點、F,BE平分ZABD交DM于點、E.若

NFCB+NNCF=180°,NBFC=3NDBE,求/EBC的度數(shù).

12.(1)光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折

射現(xiàn)象，如圖1,光線Q從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b,根據(jù)光學(xué)

知識有N1=/2,N3=N4,請判斷光線Q與光線b是否平行，并說明理由.

(2)光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與

鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線。與水平線OC的夾角為40。，問如何放

置平面鏡MN,可使反射光線b正好垂直照射到井底？(即求MN與水平線的夾角)

(3)如圖3,直線EE上有兩點4、C,分別引兩條射線AB、CD.4"=105。，

ZDCF=65°,射線AB、C。分別繞八點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)

動，設(shè)時間為K在射線C。轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得與44平行？

若存在，求出所有滿足條件的時間t.

13.已知：如圖1,AB/iCD,點、E,尸分別為A6,8上一點.

EE

A------------------BA------------------B

（1）在AB,CD之間有一點M（點”不在線段E/上），連接ME,MF,探究

ZAEM,/EMF,/MFC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請補全圖形，并在圖形下面寫出相應(yīng)

的數(shù)量關(guān)系，選其中一個進行證明.

（2）如圖2,在AB,CO之兩點M,N,連接WN,NF,請選擇一個圖形寫出

ZAEM,/EMN,/MNF,NNPC存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）.

14.如圖1,在平面直角坐標系中，A（〃,0）,C（b,2）,且滿足（。+32+|〃一人+4|=0,過。

（1）求三角形A8C的面積.

（2）發(fā)過4作9//AC交V軸于。，且分別平分NC48,NOD8,如圖2,若

ACAB=a,ZACB=fi（a+/3=90°）,求乙4石。的度數(shù).

（3）在V軸上是否存在點P,使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出

。點坐標；若不存在；請說明理由.

15.如圖1,AB//CD,在A3、。。內(nèi)有一條折線￡7平.

（1）求證：ZAEP+NCFP=NEPF；

（2）在圖2中，畫"“的平分線與的平分線，兩條角平分線交于點。，請你補全

圖形，試探索NEQ/7與NEP尸之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的條件下，已知NE滬和NO”均為鈍角，點G在直線AB、。。之間，且滿

足NBEG=L/BEP,NDFG=L/DFP,(其中〃為常數(shù)且〃>1),直接寫出NEGr與

nn

NEP尸的數(shù)量關(guān)系.

四、解答題

16.在△A8C中，N84C=90。，點。是8c上一點，將△48。沿4D翻折后得到△AED,邊

AE交BC于點F.

⑴如圖①，當(dāng)AE_L8c時，寫出圖中所有與/8相等的角：；所有與NC相等的

角:.

(2)若/C-Z8=50°,ZBAD=x°(0<x<45).

①求NB的度數(shù)；

②是否存在這樣的X的值，使得AOEF中有兩個角相等.若存在，并求X的值：若不存

在，請說明理由.

17.如圖，在.A3C中，AO是高，是角平分線，Z8=20°,ZC=60°.

(I)求44。、ZAEC和NE4D的度數(shù).

(2)若圖形發(fā)生了變化，己知的兩個角度數(shù)改為：當(dāng)/8=30。，ZC=60°,則

ZE4D=°.

當(dāng)4=50°,NC=60。時，則ZMD=。.

當(dāng)NB=60。，NC=60°時，則ZE4D=。.

當(dāng)NB=70。,NC=60°時，則ZE4￡>=。.

(3)若D3和NC的度數(shù)改為用字母。和耳來表示，你銬找到NR4〃與。和夕之間的關(guān)系

嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

18.在-ABC中，射線AG平分㈤C交8C于點G,點D在8c邊上運動(不與點G重

合)，過點。作。石〃AC交A8于點E.

(1)如圖1,點Q在線段CG上運動時，DF平分NEDB.

AA

①若N8AC=10(V,ZC=30\則；若N6=40°,則；

②試探究N/IFD與DB之間的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

(2)點。在線段8G上運動時，N8Z)E的角平分線所在直線與射線AG交于點F.試探究

NA77)與D8之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

19.模型與應(yīng)用.

(模型)

(1)如圖①，已知A8IIC。，求證N1+NMEN+N2=360°.

①

(應(yīng)用)

(2)如圖②，已知A8IIC。，則N1+N2+N3+N4+N5+N6的度數(shù)為

②

如圖③，已知ABWCD,則N1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+Zn的度數(shù)為.

D

(3)如圖④，已知A8IIC0,N4VM42的角平分線Mi。與N的角平分線MQ交

于點O,若NMiOMn=m°.

在(2)的基礎(chǔ)上，求N2+N3+/4+N5+N6+......+/的度數(shù).(用含m、〃的代數(shù)式

表示)

20.已知MN//G”,在mA5C中，Z/ICT=90°,ZBAC=30°,點A在的V上，邊BC在.

GH上,在RfADEF中,N。在=90°,邊。石在直線A8上，N曰W=45。；

(1)如圖1,求N84N的度數(shù)；

(2)如圖2,將用△￡>￡"/沿射線/M的方向平移，當(dāng)點尸在M上時，求4/7;度數(shù)；

(3)將在直線AB上平移，當(dāng)以A、D、尸為頂點的三角形是直角三角形時，直

接寫出度數(shù).

【參考答案】

一、解答題

1.(1);(2)無法裁出這樣的長方形.

【分析】

(1)先計算兩個小正方形的面積之和，在根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可求解；

(2)設(shè)長方形長為cm,寬為cm,根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小

解析：(1)20；(2)無法裁出這樣的長方形.

【分析】

(1)先計算兩個小正方形的面積之和，在根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可求解；

(2)設(shè)長方形長為4xcm,寬為3xcm,根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與2。的大小即

可.

【詳解】

解：(1)由題意得，大正方形的面積為200+200=400cm2,

邊長為：5/400=20?！?

（2）根據(jù)題意設(shè)長方形長為4xcm,寬為3xcm,

由題:4x-3x=360

則f=30

.x>0

x=>/30

.??長為4疝

4730>20

???無法裁出這樣的長方形.

【點睛】

本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)題意列出算式（方程）是解決此題的關(guān)鍵.

2.（1）；（2）①見解析；②見解析，

【分析】

（1）設(shè)正方形邊長為a,根據(jù)正方形面積公式，結(jié)合平方根的運算求出a值，

則知結(jié)果；

（2）①根據(jù)面積相等，利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；

②

解析：（1）&,-&；（2）①見解析；②見解析，一3+石<-0.5

【分析】

（1）設(shè)正方形邊長為a,根據(jù)正方形面積公式，結(jié)合平方根的運算求出a值，則知結(jié)果；

（2）①根據(jù)面積相等，利用割補法裁剪后拼得如圖所示的正方形；

②由題（1）的原理得出大正方形的邊長為逐，然后在數(shù)軸上以-3為圓心，以大正方形的

邊K為半徑畫弧交數(shù)軸的右方與點M,再把N點表示出來，即可比較它們的大小.

【詳解】

解：設(shè)正方形邊長為a,

'/a2=2>

a=±5/2，

故答案為：\{2，-5/2；

（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如圖所示：

②設(shè)拼成的大正方形的邊長為b,

b2=5,

b=±x/5,

在數(shù)軸上以-3為圓心，以大正方形的邊長為半徑畫弧交數(shù)軸的右方與一點M,則M表示的

數(shù)為-3+逐，看圖可知，表示?0.5的N點在M點的右方,

令￡1人■AAAA

-3-2-VVO1234

比較大小：-3+&<-0.5.

【點睛】

本題主要考查平方根與算術(shù)平方根的應(yīng)用及實數(shù)的大小比較，熟練掌握平方根與算術(shù)平方

根的意義及實數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵.

3.（1）10,；（2）；（3）見解析；（4）見解析

【分析】

（1）易得10個小正方形的面積的和，那么就得到了大正方形的面積，求得面

積的算術(shù)平方根即可為大正方形的邊長；

（2）根據(jù)大正方形的邊長結(jié)合實

解析：（1）10,師；：2）Vio-l;（3）見解析；（4）見解析

【分析】

（1）易得10個小正方形的面積的和，那么就得到了大王方形的面積，求得面積的算術(shù)平

方根即可為大正方形的邊長；

（2）根據(jù)大正方形的邊長結(jié)合實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可得結(jié)果；

（3）以2x3的長方形的對角線為邊長即可畫出圖形；

（4）得到①中正方形的邊長，再利用實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可畫出圖形.

【詳解】

解：（1）??,圖1中有10個小正方形，

???面積為10，邊長AD為M；

（2）,「BC=Ji6,點B表示的數(shù)為r,

BE=V10，

點E表示的數(shù)為加-1；

（3）①如圖所示：

圖4

②?「正方形面積為13,

邊長為VF5,

如圖，點E表示面積為13的正方形邊長.

【點睛】

本題考查了圖形的剪拼，正方形的面積，算術(shù)平方根，實數(shù)與數(shù)軸，巧妙地根據(jù)網(wǎng)格的特

點畫出正方形是解此題的關(guān)鍵.

4.（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周I韋I四個

直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可

解析：（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是JF7；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形

的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可以得到陰影正方形的邊氏；

（2）根據(jù)巫V/7V衣，可以估算出邊長的值在哪兩個整數(shù)之間.

【詳解】

1'4

（1）由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：5x5——丁’4=17

則陰影正方形的邊長為：V17

答：圖中陰影部分的面積17,邊長是Ji?

（2）,/x/i6<x/i7<VS

所以4VJ萬V5

???邊長的值在4與5之間；

【點睛】

本題主要考查了無理數(shù)的估算及算術(shù)平方根的定義，解題主要利用了勾股定理和正方方的

面積求解，有一定的綜合性，解題關(guān)鍵是無理數(shù)的估算.

5.（1）5；（2）；（3）2與3兩個整數(shù)之間，見解析

【分析】

（1）通過割補法即可求出陰影正方形的面積；

（2）根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)實數(shù)的估算即可求解.

【詳解】

（1）陰影正方形的

解析：（1）5；（2）75;（3）2與3兩個整數(shù)之間，見解析

【分析】

（1）通過割補法即可求出陰影正方形的面積；

（2）根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）根據(jù)實數(shù)的估算即可求解.

【詳解】

（1）陰影正方形的面積是3x3-4xjx2xl=5

故答案為：5；

（2）設(shè)陰影正方形的邊長為X,則X2=5

Ax=x/5口逐舍去）

故答案為：5,

（3）'/逐<%

2<>/5<3

???陰影正方形的邊長介于2與3兩個整數(shù)之間.

【點睛】

本題考查了無理數(shù)的估算能力和不規(guī)則圖形的面積的求解方法：割補法.通過觀察可知陰

影部分的面積是5個小正方形的面積和.會利用估算的方法比較無理數(shù)的大小.

一、解答題

6.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）/FBE=35。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,進而解答即可；

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）/FBE=35。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NA8F=NBFE,ZDCF—EFC,進而解答即可；

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可.

【詳解】

證明:（1）VABWCD,EFWCD,

/.ABWEF,

ZA8F=NBFE,

■：EFWCD,

ZOCF=NEFC,

/.ZBFC=NBFE+NEFC=4ABF+NDCF；

(2)BE±EC,

/.ZBEC=90°,

/.ZE8C+N8CE=90°,

由(1)可得：/8FC=NA8E+/ECD=90°,

ZABE+ZECD=NEBC+NBCE,

?「BE平分NABC,

ZABE=Z.EBC,

：.ZECD=NBCE,

CE平分/BCD；

(3)設(shè)N8CE=B，ZECF=y,

CE平分NBCD,

ZOCE=N8CE=B，

ZDCF=Z.DCE-NECF=B-V，

NEfC=P-Y，

Z8FC=NBCF,

ZBFC=N8CE+NECF=y+B，

Z/ABF=Z8FE=2y,

,/ZF8G=2/ECF,

ZFBG=2y,

：.ZABE+Z.DCE=Z8EC=90°,

ZABE=9Q°-p,

ZG8E=NABE-ZABF-ZFBG=9CT-|3-2y-2y,

1.■BE平分/ABC,

/C8E=N48E=90°-B，

/.ZCBG=NCBE+Z.GBE,

：.70°=90°-P+90°-P-2y-2y?

整理得：2Y+P=55°,

ZFBE=AF8G+NGBE=2v+900-0-2y-2V=90°-(2y+P)=35°.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

7.(1)PB」QU；(2)當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或25秒或45秒時，

PB'IIQC'

【分析】

(1)求出旋轉(zhuǎn)10秒時，NBPB，和NCQU的度數(shù)，設(shè)PB與QC咬于0,過。作

OEIIAB,根

解析：(1)PBUQC；(2)當(dāng)射線P8旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或25秒或45秒時，PB'IIQC

【分析】

(1)求出旋轉(zhuǎn)10秒時，/8P0和NCQC的度數(shù)，設(shè)P6與交于O,過。作。EIMB,根

據(jù)平行線的性質(zhì)求得NP0E和NQOE的度數(shù)，進而得結(jié)論；

(2)分三種情況：①當(dāng)?！磪^(qū)15時，②當(dāng)15〈理30時，③當(dāng)30V1V45時，根據(jù)平行

線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時間.

【詳解】

解：(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間30秒時，由已知得N8Pe=l(Txl2=：120。，ZCQC=

3°xl0=30°,

過。作。EllAB,

?「4811CD,

：.ABWOEWCD,

ZPOE=180°-Z8P8'=60°,ZQOE=N60(7=30°,

/.ZPOQ=90°,

/.PB'±QC,

故答案為：PB'工QC'；

B-----------------R-------

________________

(2)①當(dāng)0VK15時，如圖，則28P8'=12<ZCQC=45°+3t0,

,/ABWCD,PB'WQC,

：.Z8P8'=NPEC=ZCQC,

即12t=45+33

解得，t=5；

C1

B--------------------?￡_/二A

B1

②當(dāng)15Vt30時，如圖，則NAP8'=12t?180°,NCQ0=31+45°,

,/ABWCD,PB'WQC,

Z8P8'=N8￡Q=NCQC,

即12t-180=45+33

解得，t=25;

c

9

③當(dāng)30Vt“5時，如圖，則N8P8，=12t-360。，ZCQC=3t+45°,

C’

VABWCD,PB'WQC,

/.ZBPB'=NBEQ=/CQC,

即12t-360=45+33

解得，t=45：

綜上，當(dāng)射線P8旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或25秒或45秒時，P&IIQC.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討

論，運用方程思想解決幾何問題.

8.（1）是；（2）ZB=ZACB,證明見解析；（3）NBAC=40。，AC±AD.

【分析】

（1）要使AD平分NEAC,則要求NEAD=NCAD,由平行線的性質(zhì)可得NB=

ZEAD,ZACB=ZCAD

解析：（1）是；（2）NB=NACB,證明見解析；（3）/B4C=40。，AC±AD.

【分析】

（1）要使人。平分N"C,則要求N口。=/CAD,由平行線的性質(zhì)可得NB=NE45,

ZAC8=NCAD,則當(dāng)NACB=ZB時，有AD平分NE4C；

（2）根據(jù)角平分線可得N￡4。=/C4D,由平行線的性質(zhì)可得N8=N￡4D,AACB=

ZCAD,則有NACB=N8：

（3）由AUL8C,有N478=90。，則可求N8AC=40。，由平行線的性質(zhì)可得47_LAD.

【詳解】

解：（1）是，理由如下：

要使AD平分NEAC,

則要求NEAD=ACAD,

由平行線的性質(zhì)可得N8=ZEAD,ZACB=ACAD,

則當(dāng)NACB=N8時，有力D平分/EAC：

故答案為：是；

（2）Z8=NACB,理由如下：

AD平分/EACf

ZEAD=NCAD,

■：ADWBC,

Z8=NEAD,ZACB=￡CAD,

/.Z8=NACB.

（3）'：ACA.BC,

：.ZACB=90°,

NEBF=SO°t

：.Z8AC=40°,

1.1ADWBC,

：.AD1.AC.

【點睛】

此題考查了角平分線和平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行線的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.（1）；（2）見解析；（3）105°

【分析】

（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解.

（2）過點B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.

（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）見解析；（3）105°

【分析】

（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解.

（2）過點B作8GliDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.

（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：（1）如圖1,設(shè)4M與8c交于點。,?「AMIICN,

NC=NAOBt

?/AB.LBC,

/.Z4BC=90°,

AZA+Z408=90°,

Z4+ZC=90°,

故答案為：N4+NC=90。；

(2)證明：如圖2,過點8作8GII0M,

圖2

BD±AMt

：.DB1.BG,

Z08G=90°,

/.Z48D+Z48G=90°,

?/AB±BC,

NCBG+N/BG=90。,

ZABD=Z.CBG,

'：AMWCN,

NC=NCBG9

/.ZABD=ZC；

(3)如圖3,過點B作8GliDM,

圖3

...BF平分/DBC,BE平分NABDf

ZO8F=NCBF,ZDBE=,ABE,

由(2)知NA8O=NCBG.

N八BF^NGBF,

設(shè)/OBE=/4ABF=6,

則/ABE=a,ZABD=2a=4CBG,

ZG8F=NAFB=6,

ZBFC=3NDBE=3a,

：.ZAFC=3a+6,

,/ZAFC+ANCF=180°,/FCB+NNCF=180°,

：.ZFCB=AAFC=3a+6,

△BCF中，由NC8F+NBFC十乙BCF=180?得：2a十6十3a十3a+6=180°,

?/AB±BC,

/.6+6+2a=90。，

a=15°,

：.AABE=15°f

/.ZEBC=/48E+/48c=15°+90°=105°.

故答案為：105。.

【點睛】

本題考杳平行線性質(zhì)，畫輔助線，找到角的和差倍分關(guān)系是求解木題的關(guān)鍵.

10.（1）見解析；（2）當(dāng)點E在CA的延長線上時，ZBED=ZD-ZB；當(dāng)點E

在AC的延長線上時，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

【分析】

（1）如圖1中，過點E作ETIIAB.利用平行

解析：（1）見解析；（2）當(dāng)點E在C八的延長線上時，NBED=ND-NB；當(dāng)點E在4：的

延長線上時，N8ED=NBET-NDET=NB-ZD；（3）硬二11

【分析】

（1）如圖1中，過點E作ETIIAB.利用平行線的性質(zhì)解決問題.

（2）分兩種情形：如圖2-1中，當(dāng)點E在CA的延長線上時，如圖2-2中，當(dāng)點E在AC的

延長線上時，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可.

（3）利用（1）中結(jié)論，可得/8MD=/A8M+NCDM,ZBFD=ZABF+ZCDF,由此解決問

題即可.

【詳解】

解：（1）證明：如圖1中，過點E作ETIIAB.由平移可得ABIICD,

BJD

AE

ABWET,ABWCD,

：.ETWCDIIAB,

ZB=ZBET,ZTED=Z.D,

ZSED=ZBET+Z.DETM8+ND.

（2）如圖2-1中，當(dāng)點E在CA的延長線上時，過點E作ETIIAB.

圖2-1

?「4811ET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

ZB=ZBET,Z7￡D=ZD,

ZBED=NDET-Z.BET=4D-ZB.

如圖2-2中，當(dāng)點E在AC的延長線上時，過點E作ETII4B.

fillCDIIAB,

Z8=ZBET,ZT￡D=ZD,

/.ZBED=ZBET-4DET=NB-ZD.

(3)如圖，設(shè)NABE=Z.EBM=x,ZCDE=Z.EDM=y,

圖2

■：AB\\CD,

：.Z8MD=NABM+Z.CDM,

m=2x+2y,

x+y=Jm,

,/Z8FD=NABF+NCDF,ZABE=nZ.EBF,ZCDE=nZEDF.

cf/I/?-1〃-I,H-l17?(??-1)

ZBFD=---x+---y=---(x+y)x=---x—m=-i----L.

nn'nn22n

【點睹】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會條件常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考常考題型.

三、解答題

11.(1)NA+NC=90'；(2)①見解析；②105°

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；

(2)①過點B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作

BGII

解析：(1)N4+NC=90。；(2)①見解析；②105。

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；

(2)①過點8作8GII0M,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點8作BGII。"，

根據(jù)角平分線的定義，得出N48FNG8F,再設(shè)ND8E=Q,ZABF=6,根據(jù)

NCBF+/BFC+NBCF=180°,可得2a+6+3cz+3cr+6=180°,根據(jù)4B_L8C,可得6+6+2覆=90°,最

后解方程組即可得到NABE=15°f進而得出N￡BC=NA8E+NA8c=15°+90°=105°.

【詳解】

解：(1)如圖1,AM與8c的交點記作點0,

,/AMWCN,

ZC=ZA0B,

-：AB±BC,

ZA+Z408=90°,

ZA+ZC=90°；

?/BD±AM,

0B_L8G,

Z08G=90°,

/.ZABD+Z28G=90°,

'：AB±BC,

NCBG+ZABG=30°,

ZABD-Z.CBG,

VAMWCN,BGWDM,

BG//CN,

/.ZC=ZCBG,

ZABD=AC；

②如圖3,過點8作8GliDM,

DEAFM

B-G

??8F平分N08C,BEABDt

ZDBF=NCBF,ZDBE=ZABE,

由（2）知N480=NCBG,

ZABF=4GBF,

設(shè)/DBE=a,ZA8F=6,

則NABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

ZGBF=NAFB=6,

Z8FC=3NDBE=3a,

/.ZAFC=3a+6,

1/ZAFC+ZNCF=180°,ZFCB+ZNCF=180°,

ZFCfi=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由/C8F+Z8FC+N8CF=180°得：

2a+6+3a+3a+6=180°,

?/AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15°,

/48E=15°,

ZE8C=NABE+Z.ABC=15°+S0°=105°.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角

的余角（補角）相等進行推導(dǎo).余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相

關(guān)聯(lián).解題時注意方程思想的運用.

12.（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根據(jù)等角的補角相等求出N3與N4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩

直線平行即可判定aIIb；

（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反

解析：（1）平行，理由見解析；（2）65。；（3）5秒或95秒

【分析】

（1）根據(jù)等角的補角相等求出/3與N4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即

可判定allb；

（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得N1=N2,然后根據(jù)平

角等于180。求出N1的度數(shù)，再加上40。即可得解；

（3）分①48與8在EF的兩側(cè)，分別表示出N4C。與N84C,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)

錯角相等列式計算即可得解；②8旋轉(zhuǎn)到與48都在EF的右側(cè)，分別表示出NOCF與

N8AC,然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與48都在EF

的左側(cè)，分別表示出NOCF與NMC,然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計算即可得

解.

【詳解】

解：（1）平行.理由如下：

圖1

如圖1,VZ3=Z4,

Z5=Z6,

,-1Z1=Z2,

Z1+Z5=Z2+Z6,

「?allb（內(nèi)錯角相等,兩直線平行）；

（2）如圖2：

?「入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等,

Z1=Z2,

入射光線。與水平線OC的央角為40、。垂直照射到井底，

Z1+Z2=180o-40o-90o=50o,

/.Zl=ix500=25%

MN與水平線的夾角為：25。+40。=65。，

即MN與水平線的夾角為65。，可使反射光線b正好垂直照射到井底;

（3）存在.

如圖①，48與CD在EF的兩側(cè)時,

①

ZBAF=105°,ZDCF=65\

Z4CD=180o-65o-3f=115<>-3to,

ZBAC=105°-t°,

要使4811CD,

則NACD=ABAC,

即115-3t=105-L

解得t=5；

如圖②，CD旋轉(zhuǎn)到與48都在EF的右側(cè)時,

E

F\D

②

ZBAF=105\ZOCF=65‘，

/.ZDCF=360°-3t°-65°=295°-3t°,

ZBAC=105°-t°,

要使48IICD,

則NDCF=ZBAC,

即295-3t=105-t,

解得t=95：

如圖③,CD旋轉(zhuǎn)到與48都在EF的左側(cè)時,

,/ZBAF=1O5V,ZDCF=65',

ZDCF=3tQ-（180°-65°+180°）=3t°?295°,

ZBAC=t0-105°,

要使4811CD,

則NDCFSBAC,

即3t-295=M05,

解得f=95,

此時t>105,

...此情況不存在.

綜上所述，t為5秒或95秒時，C。與A8平行.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，光學(xué)原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論.

13.（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）過點M作MPIIAB.根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.NAEM+ZE

解析：（1）見解析：（2）見解析

【分析】

（1）過點M作MPIIAB.根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

證明：過點M作MPIIAB.

?「ABHCD,

/.MPIICD.

Z4=Z3.

,/MPIIAB,

/.Z1=Z2.

ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

CD

§1

證明：過點M作MQIIAB.

,/ABIICD,

/.MQIICD.

/.ZCFM+Z1=180°；

,/MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

ZEMF=Z1+Z2,

ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如圖2第一個圖：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

過點M作MPIIAB,過點N作NQIIAB,

ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2+Z3=180°,

,/ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

/.NEMN+ZMNFNAEM/NFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如圖2第二個圖：ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180<>.

過點M作MPIIAB,過點N作NQIIAB,

/.ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2=Z3,

ZCMN=Z1+Z2,ZMN「=N3+Z4,

/.ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

圖2

【點睛】

本題考杳了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(1)4：(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,則A

(-2,0),B(2,0),C(2,2),即可計算出

解析：(1)4；(2)45°；(3)P(0,-1)或(0,3)

【分析】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到a=-b,a-b+4=0,解得a=-2,b=2,則A(-2,0),B

(2,0),C(2,2),艮］可計算出三角形ABC的面積=4；

(2)由于CBIIy軸，BDIIAC,則/CAB=NABD,即N3+N4+/5+/6=90。，過E作

EFIIAC,則BDIIACIIEF,然后利用角平分線的定義可得到/3=Z4=Z1,Z5=Z6=

N2,所以NAED=N1十N2=￡X9CT=45";

(3)先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=gx+l,則G點坐標為(0,1),然

后利用SAPAC=SAAPG+SACPG進行計算.

【詳解】

解：(1)由題意知：a=-b,a-b+4=0,

解得：a=-2,b=2,

/.A(-2,0),B(2,0),C(2,2),

SAABC=—AB?BC=4；

2

(2)1/CBIIy軸，BDIIAC,

ZCAB=ZABD,

Z3+/4+Z5+Z6=90°,

過E作EFIIAC,

BDIIACIIEF,

AE,DE分別平分NCAB,ZODB,

Z3=Z4=Z1,Z5=Z6=Z2,

ZAED=Z1+Z2=?X90°=45°；

(3)存在.理由如下：

設(shè)P點坐標為(0,t),宣線AC的解析式為y=kx+b,

把A(-2,0)、C(2,2)代人得：

-2k+b=0k=l

<2k+b=2,解得2

b=l

???直線AC的解析式為y=gx+l,

???G點坐標為（0,1）,

SAPAC=SAPG+SCPG=7|t-l|?2+：|t-l|?2=4,解得t=3或T,

aAJ/

??.P點坐標為（0,3）或（0,-1）.

【點睛】

本題考查了絕對值、平方的非負性，平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同

旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

15.（1）見解析；（2）；見解析；（3）

【分析】

（1）過點作，根據(jù)平行線性質(zhì)可得；

（2）由（1）結(jié)論可得：，，再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得；

（3）由（2）結(jié)論可得：.

【詳解】

（1）證明：如圖1,過

解析：（1）見解析：（2）NEPF+2/EQ*=36O。；見解析；（3）

NEPF+nNEGF=360。

【分析】

（1）過點?作PG//A8,根據(jù)平行線性質(zhì)可得；

（2）由（1）結(jié)論可得：/EPF=ZAEP+/CFP,NEQF=NBEQ+NDFQ,再根據(jù)角平

分線性質(zhì)可得"QF=ZBEQ+ZDFQ=1（360°-NEPF）；

（3）由（2）結(jié)論可得：ZEGF=ZBEG+ZDFG=（ZBEP+ZDFP）=-^（360°-ZEPF）.

【詳解】

（1）證明：如圖1,過點尸作依〃

AB//CL）,

：.PG//CD,

AZ4EP=ZbZCFP=Z2,

又「ZI+Z2=ZEPF,

ZAEP+ZCFP=ZEPF；

圖1

(2)如圖2,

由(1)可得：NEPF=ZAEP+NCFP,NEQF=NBEQ+/DFQ,

的平分線與/。尸尸的平分線相交于點。，

NEQF=/BEQ+ZDFQ=-(ZBEP+ADFP)

=-[360°-(ZAFP+ZCFP)]=-(360°-NEPF),

/砂尸+2NE。產(chǎn)=360°；

(3)由(2)可得：NEPF=ZAEP+CFP,ZEGF=ZBEG+ZDFG,

■/ZBEG=-ABEP,/DFG=1/DFP,

NEGF=NBEG+ZDFG=-(NBEP+NDFP)

=-[3600-(NAEP+ZCFP)]=-(360°-ZEPF),

???Z￡P(guān)F+/:ZEGF=360°；

【點睛】

考核知識點：平行線性質(zhì)和判定的綜合運用.熟練運用平行線性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.

四、解答題

16.(l)ZE、ZCAF；ZCDE、ZBAF；⑵①20。；@30

【分析】

（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與NB相等的角；由等角代換即可得

與NC相等的角；

（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，

解析：⑴NE、ZCAF；NCDE、ZBAF；（2）①20°；②30

【分析】

（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與NB相等的角；由等角代換即可得與/C相等

的角；

（2）①由二角形內(nèi)角和定埋可得N”+NC=9U。，再由NON夕5。。根據(jù)角的和差計算即

可得NC的度數(shù)，進而得NB的度數(shù).

②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三隹形外角及三角形內(nèi)角和定理，用含X的代數(shù)式表示出NFDE、

ZDFE的度數(shù)，分三種情況討論求出符合題意的X值即可.

【詳解】

（1）由翻折的性質(zhì)可得：ZE=ZB,

ZBAC=90°,AE±BC,

ZDFE=90°,

180°—/BAC=1800-ZDFE=90°,

即：NB+NC=NE+NF3E=90°,

ZC=ZFDE,

/.ACIIDE,

NCAF=NE,

NCAF=NE=NB

故與/B相等的角有/CAF和/E；

,/ZBAC=90°,AE±BC,

...ZBAF+ZCAF=90°,ZCFA=180°-（ZCAF+zC）=90°

ZBAF+ZCAF=ZCAF+zC=90°

ZBAF=ZC

XACIIDE,

ZC=ZCDE,

故與/C相等的角有/CDE、ZBAF；

（2）①?「ABAC=9（）°

：.ZB+ZC=90°

又ZC-Z5=50°,

/.ZC=70°,ZB=20°;

②?「ZBAD=x°,ZB=20°則ZA￡>F160°r°,ZAO產(chǎn)=20°+x°,

由翻折可知：ZADE=ZADB=\60°-x°,ZE=Z￡?=20°,

ZFDE=\400-2x°tZDFE=20°+2x°/

當(dāng)NFDE=ZDFE時，140。—2x°=20°+2H,解得：x°=30°；

當(dāng)/FDE=NE時，140。-M。=20。，解得：,r0=60°（因為0Vx“5,故舍去）；

當(dāng)NDFE=NE時，20。+2d=20。，解得：*。=0（因為0Vx?4S,故舍去）；

綜上所述，存在這樣的X的值，使得ADEF中有兩個角相等.且x