謖施族沏

華盛頓的傍晚親愛(ài)的小朋友們：他潛心探討，“在那山的那邊海那邊的的美國(guó)首都華盛

頓，有一位中年人，他聰明又勤奮，年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年

人他反復(fù)思考與演算……，那是1876正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共

和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談

論著什么，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，加菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想

搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見(jiàn)一個(gè)小男于是加菲爾德便問(wèn)他在干什么？那個(gè)小咒孩頭也孩

正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形。，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”加不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先

生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么這個(gè)直角三角形75和菲爾德答道：“是5

呀?！毙∧泻⒂謫?wèn)道：“如果兩條直角邊分別為的平的平方加上7的斜邊長(zhǎng)又是多少？”加菲爾德

不加思索地回答到:“那斜邊的平方一定等于5方.”小男孩說(shuō):“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”

加菲爾德一時(shí)語(yǔ)寒，無(wú)法解釋了，心里很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小

男孩給他出的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)思考與演算，具體方法如下：終于弄清了其中的道理，并給出

了簡(jiǎn)潔的證明方法。

BDE可以拼成直角梯形ACDE,和RtA兩個(gè)全等的RtZkABC則梯形面積等于二:個(gè)直角三角形面積

之和。即

(AC+DE)XCD-r2=ACXBC4-2+BDXDE4-2+ABXBE-r2

2)+2=aXb+2+aXb+2+cXc+2+(ab^a化簡(jiǎn)整理得+=

E

下底）x高（上底+點(diǎn)評(píng)：此種解法主要利用了三角形的面根公式：底X高+2,和梯形的面枳公

式：+2.而在我國(guó)對(duì)于勾股定理的證明乂做出了那些貢獻(xiàn)哪？在我國(guó)古代，把直角三隹形叫

做勾股形。把直角三角形的較短直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)直角邊為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”，所以

把這個(gè)定理稱(chēng)為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。即：在直角三光形中

倆條直股修四、徑，故折矩世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中提到:，以為句廣三角邊的平方和等于斜邊的平

方。公元前11卿一矩，.外半環(huán)而共盤(pán).修五.既方之

a.既方之c?環(huán)而共盤(pán)

得成三、四、五.

弦圖又可以句股相乘開(kāi)方除之，即弦.案:，三國(guó)時(shí)期的趙爽注解道:句股各自乘并之為弦實(shí)，亦

成弦實(shí).加差之以句股之差自相乘為中黃實(shí),，為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，

?既方之

ah環(huán)而共盤(pán)c.外半之

短面口句，氏面口股，.其中解釋到:漢朝張蒼、狄昌壽整理的《九章算術(shù)》第九卷為《句股》.

句短其股，股短其弦.相與結(jié)角日弦句股各自乘，并，而開(kāi)方除之，即弦.勾股定理的證明：）

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：（ID_A1c_B_2??2ab4?S?a?b?c?ADCD

正方形2z22.?cba??

將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形：：）方法二2（.

HG12??2ab?bS?c??4a?：i＜；ii正方%2i22.?b??acFE

如圖所示將兩個(gè)直角二角形拼成直角悌形：（3）方法三：“總統(tǒng)”法.ll?b）（a?b）@cab???2?SAncD??

222總.a??bc?HOGOG

1.會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。會(huì)用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形2.勾股

但

定理與弦圖的聯(lián)系與應(yīng)用3.

做題需S3

,現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是，20,24,25,【例1】五根小木棒，其長(zhǎng)度分

另I］為715()72520242O252424252O2H52071572515157(D)(B)(C)(A)AB

CD

()【鞏固】如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么入能組成直角三角形的一組數(shù)是

11111,4,5C.3,4,5D.4,7,8A.7,24,25B.3______________22222

時(shí)/海里12出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以A時(shí)的速度從港口/海里16】己知，如圖，一輪船

以21例

_________小時(shí)后，則兩船相距A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2的速度同時(shí)從港口海里D

40B30海里C35海里A25海里

北

A

東

南

.6012【鞏固】一個(gè)三角形的三邊之比為5：：13,它的周長(zhǎng)為，則它的面積是

厘米，如果夾在兩個(gè)正方形之間】有一大一小的兩個(gè)正方形（如下圖），對(duì)應(yīng)邊之間的距離都是

13【例部分的面積為12平方厘米，那么大正方形的面積是多少？

厘米。832【鞏固】四個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形木板，拼成如圖的正方形,大正方形周長(zhǎng)厘米，小正

方形周長(zhǎng)求：每塊長(zhǎng)方形木板的面積和周長(zhǎng)。.

】如圖，以?個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)分別向外作三個(gè)止方形，如果兩個(gè)較大正方形的面積分

別41例,那么最小的正方形的面積為是和676576

【鞏固】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊和長(zhǎng)為2的面積之和為_(kāi)_________emoD則正方形A,B,C,

D

A

,CD=12cm,且BC=13cmAD=4cmAB=3cmABCD5【例】已知，如圖，四邊形中，，，A=90Z0,求四

邊形的面積。ABCDD

A

B

C

【鞏固】剛剛從地平線升起，巴河姆就在草原上大步朝東方走去，他走了足足有10俄里才左拐

彎，接著又走了許久許久，再向左拐彎，這樣又走了2俄里，這時(shí)，他發(fā)現(xiàn)天色不早了，而自己

離出發(fā)點(diǎn)還足足有17俄里.于是改變方向，拼命朝出發(fā)點(diǎn)跑去，在H落前趕回了出發(fā)點(diǎn)。這是

俄羅斯大作家托爾斯泰在作品《一個(gè)人需要很多土地嗎》中寫(xiě)的故事的一部分。你能算出巴河姆

這一天共走了多少路？走過(guò)的路所圍成的土地面積有多大嗎？

【例6】下圖將矩形ABCD分成18個(gè)大小相等的正方形,E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD的邊

上,且是某個(gè)小正方形的頂點(diǎn),若四邊形EFGH的面枳為1,則矩形ABCD的面枳為()

18932(B)(c)(D)(A)-------------

E

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Lb」ZrLL?

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U

BC

G

11229圖32-1

（）ARCD的面積是1的正方形，則四邊形【鞏固】如圖小方格都是邊長(zhǎng)為12.5(C)9

/

/

、//7

(D)()(A25B)8.5D、/

ACB.

【例7】四個(gè)完全一樣的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖）如果小正方形的

面積是1平方米，大正方形的面積是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角邊長(zhǎng)度是米。

才能使剩下的圖形仍,D,試問(wèn)怎樣剪C的正方形1ABCD的四個(gè)角剪抻，得一四邊形AB【鞏固】若

把邊長(zhǎng)為請(qǐng)說(shuō)明理由.（為止方形，且剩下圖形的面積為原來(lái)正方形面積的寫(xiě)出證明及計(jì)算過(guò)

程）_9

的面，，】如右上圖所示，【列8EFG各邊的中點(diǎn)，求陰影部分與正方形分別是正方形H,

ABCDABCD積之比。.

EEQBCFBCFP

分別是四邊的三等分點(diǎn)（如圖）、H,那么所得的小正方形的面積占大正方形面枳的、【鞏固】

若E、

MGNEOQBCF

。求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。倍，對(duì)角線長(zhǎng)】有一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)是寬的434cm【例9

【鞏固】若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，對(duì)角線的長(zhǎng)度為10,求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？

請(qǐng)用弦圖法完成

【例10］如圖32-3所示,直角三角形PQR的兩個(gè)直角邊分別為5厘米,9厘米問(wèn)下圖中3個(gè)正方

形面枳之和比4個(gè)三角形面枳之和大多少？

E

圖32-3

【鞏固】以三角形ABC的兩條邊為邊長(zhǎng)，做兩個(gè)正方形BDEC和ACFG.己知三角形ABC與正方形

BDEC的面積比，以及正方形BDEC和ACFG的邊長(zhǎng)的比都是3：5,求三角形CEF與整個(gè)圖形面積

的最簡(jiǎn)整數(shù)比是多少？

FE

GCD

BA

。邕臉蒯

1、等腰三角形底邊上的高為8,周長(zhǎng)為32,則三角形的面積為

A56B48C40D321

人都能組成一個(gè)新的正方形隊(duì)列，那么，120120人或者減少2、若干名戰(zhàn)士排成8列長(zhǎng)方形隊(duì)列,

若增加原有戰(zhàn)士多少名？

.,求這塊地的面積AB=13m,BC=12mAD_LDC,3、如圖所示的一塊地，已知AD=4m,CD=3m,

C

A

D

B

5

根據(jù)直角二角形計(jì)算出二角形中第二邊的長(zhǎng)度，在計(jì)算時(shí)可以借助分解質(zhì)因數(shù)，或者根據(jù)二遍美

系判斷是直角三角形；有直角的通過(guò)加輔助線構(gòu)造直角三角形：