第1頁（共1頁）2025年河南省南陽市中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1．（3分）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）A．﹣3 B．1 C．2 D．32．（3分）據(jù)燈塔專業(yè)版全球票房榜，截至2025年3月22日21時06分，中國動畫電影《哪吒之魔童鬧海》全球票房（含預售），進入全球影史票房榜前5名！將數(shù)據(jù)“152.81億”用科學記數(shù)法可表示為（）A．152.81×108 B．1528.1×107 C．0.15281×1011 D．1.5281×10103．（3分）“陀螺”一詞的正式出現(xiàn)是在明朝時期，陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示放置的是一個木制陀螺玩具（上面是圓柱體，下面是圓錐體）（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，直線a∥b，直線l與a，B，過點A作AC⊥直線b于點C，若∠1＝62°（）A．38° B．32° C．30° D．28°5．（3分）實數(shù)m對應的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則不等式組的解集為（）A．x＞﹣2 B．x≤m C．﹣2＜x≤m D．﹣2＜x＜m6．（3分）如圖，點C是⊙O中優(yōu)弧AB的上一點，過P點的兩條切線PA、PB夾角∠APB＝80°，A，則∠ACB的度數(shù)是（）A．80° B．60° C．50° D．40°7．（3分）假日出游已成為生活新潮，數(shù)學活動課上某班同學搜集了河南四個景區(qū)的圖片，制成四張卡片（除內(nèi)容外，其余均相同），恰好選中“清明上河園”和“云臺山”兩張卡片的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）若k為任意整數(shù)，則（k+3）2﹣（k﹣2）2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，，BC＝8．以BC的中點O為圓心，則陰影部分的面積為（）A．4π﹣8 B．8﹣4π C．4π﹣4 D．2π﹣410．（3分）隨著人工智能的發(fā)展，智能機器人送餐成為時尚．如圖①是某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發(fā)，聰聰比慧慧先出發(fā)，且速度保持不變（s），聰聰和慧慧行走的路程分別為y1（cm），y2（cm），y1，y2與x的函數(shù)圖象如圖②所示，則下列說法不正確的是（）A．客人距離廚房門口450cm B．慧慧比聰聰晚出發(fā)15s C．聰聰?shù)乃俣葹?5cm/s D．從聰聰出發(fā)直至送餐結(jié)束，聰聰和慧慧最遠相距150cm二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）寫出一個一次函數(shù)，使它的圖象經(jīng)過點（﹣2，3）：．12．（3分）若關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．13．（3分）某校為了進一步落實“德智體美勞五育并舉”，決定結(jié)合學生需求增設體育項目為此校學生會對該校600名初中學生最喜愛的體育項目（從乒乓球、籃球、足球、羽毛球4項體育活動中選擇，每人只選一項）進行了隨機抽查，根據(jù)圖表信息，可知該校約有名初中學生最喜愛足球．14．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，DE，AF交于點G，連接GH，則GH的長為．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AC的中點，連接BD，得到△BEF．連接CF，當CF∥AB時．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（9分）計算：（1）；（2）．17．（9分）汽車“以舊換新”正在各地如火如荼的進行．小林爸爸準備趁著國家的好政策換購一輛新能源汽車．在預算范圍內(nèi)，他打算從A、B兩款汽車中換購一輛．為此，小林和爸爸收集了10名消費者對這兩款汽車的相關評價表一：A、B兩款汽車的四項指標得分統(tǒng)計表外觀造型舒適程度操控性能售后服務A款6788B款7867表二：A、B兩款汽車的滿意度得分統(tǒng)計表A款5566788889B款5667777889根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）若爸爸認為汽車四項指標的重要程度有所不同，且給予“外觀造型”“舒適程度”“操控性能”“售后服務”四項指標得分的占比為2：3：3：2，請你幫爸爸計算A、B兩款汽車四項指標得分的平均分．（2）A款汽車滿意度得分的眾數(shù)為，中位數(shù)為；B款汽車滿意度得分的眾數(shù)為，中位數(shù)為．（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，你建議小林爸爸換購哪款汽車？簡要說明理由．18．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（8，4），過點A作AB⊥y軸于點B．（1）求k的值；（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段AO的垂直平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（3）（2）中所作的垂直平分線與AB交于點C，與x軸交于點D，求證：四邊形OCAD是菱形．19．（9分）停車楔（圖1），又稱車輪止退器、駐車楔、三角木，是用于防止車輛不必要移動的裝置，即可防止輪胎的滑動．如圖2為停車楔工作模型側(cè)面示意圖，水平地面DE與車輪⊙O切于點D，射線AB與射線ED交于點C，AE⊥DE于點E（1）求證：AD平分∠CAE．（2）若BC＝10cm，CD＝30cm，求車輪⊙O的半徑．20．（9分）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，∠BOA＝60°，；當擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求DE的長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．（9分）近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，進貨價和銷售價如表：價格/類別短款長款進貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數(shù)；（2）第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，最大銷售利潤是多少？22．（9分）根據(jù)以下素材，完成探究任務．城墻建多高才能抵御敵方的進攻？【素材1】圖1是古代一種攻城器械“發(fā)石車”，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分．【素材2】如圖2，防守方的護城墻BD垂直于地面AB，墻高BD＝10m，石塊從A處豎直方向上的C處被投出，當石塊在空中飛行到與AC的水平距離為50m時，最高高度為27m．已知AC＝2m．【解決問題】（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求拋物線（石塊運動軌跡）的解析式．（2）進攻方的石塊能飛進防守方的城墻嗎？若能，城墻應加建多高以上，才能讓進攻方的石塊飛不進防守方城墻，請說明理由．23．（12分）綜合與實踐在數(shù)學學習中，我們發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學過的四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，對下列特殊四邊形進行研究．定義：在四邊形中，若有一個角是直角，且從這個直角頂點引出的對角線，有一個是直角，我們稱這樣的四邊形為“雙垂四邊形”．【初步探究】（1）如圖1，在“雙垂四邊形ABCD”中，若∠A＝60°，的值為．【問題解決】（2）如圖2，在“雙垂四邊形ABCD”中，∠ADB＝∠ABC＝90°，E為線段AB上一點，且CD⊥DE，求【拓展應用】（3）如圖3，在“雙垂四邊形ABCD”中，∠A＝45°，E為線段AB上一動點，且CD⊥DE，將△CDE沿CE翻折，得到△CFE，若BF＝2，請直接寫出△BDE的面積．

2025年河南省南陽市中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BD．ADCCCCAC一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1．（3分）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（）A．﹣3 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵|﹣3|＝3，|5|＝1，|3|＝2，而3＞2＞6，∴1與原點距離最近，故選：B．2．（3分）據(jù)燈塔專業(yè)版全球票房榜，截至2025年3月22日21時06分，中國動畫電影《哪吒之魔童鬧?！啡蚱狈浚êA售），進入全球影史票房榜前5名！將數(shù)據(jù)“152.81億”用科學記數(shù)法可表示為（）A．152.81×108 B．1528.1×107 C．0.15281×1011 D．1.5281×1010【解答】解：152.81億1.5281×1010．故選：D．3．（3分）“陀螺”一詞的正式出現(xiàn)是在明朝時期，陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示放置的是一個木制陀螺玩具（上面是圓柱體，下面是圓錐體）（）A． B． C． D．【解答】解：從正面看易得，底層是一個三角形，故選：A．4．（3分）如圖，直線a∥b，直線l與a，B，過點A作AC⊥直線b于點C，若∠1＝62°（）A．38° B．32° C．30° D．28°【解答】解：如圖，由條件可知∠4＝90°，∵a∥b，∴∠3＝180°﹣∠7＝90°，∴∠2＝28°；故選：D．5．（3分）實數(shù)m對應的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則不等式組的解集為（）A．x＞﹣2 B．x≤m C．﹣2＜x≤m D．﹣2＜x＜m【解答】解：由題意可得：數(shù)軸的性質(zhì)可得﹣2＜m＜﹣1，，分別求出兩個不等式的解集可得：解不等式①得：x＞﹣6，解不等式②得：x≤m，∴﹣2＜x≤m．故選：C．6．（3分）如圖，點C是⊙O中優(yōu)弧AB的上一點，過P點的兩條切線PA、PB夾角∠APB＝80°，A，則∠ACB的度數(shù)是（）A．80° B．60° C．50° D．40°【解答】解：由題意可得：OA⊥PA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝100°，∴．故選：C．7．（3分）假日出游已成為生活新潮，數(shù)學活動課上某班同學搜集了河南四個景區(qū)的圖片，制成四張卡片（除內(nèi)容外，其余均相同），恰好選中“清明上河園”和“云臺山”兩張卡片的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：令“清明上河園”、“龍門石窟”、“老君山”四張卡片為A、B、C、D∴抽到的兩張卡片恰好是“A”和“C”的概率為．∴抽到的兩張卡片恰好是“清明上河園”和“云臺山”的概率為，故選：C．8．（3分）若k為任意整數(shù)，則（k+3）2﹣（k﹣2）2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【解答】解：原式＝k2+6k+7﹣（k2﹣4k+8）＝10k+5＝5（8k+1），由條件可知2k+2是整數(shù)，∴（k+3）2﹣（k﹣4）2的值總能被5整除，故選：C．9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，，BC＝8．以BC的中點O為圓心，則陰影部分的面積為（）A．4π﹣8 B．8﹣4π C．4π﹣4 D．2π﹣4【解答】解：如圖，設半圓O交AD于點F，G，GO，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵FE⊥BC，∴∠BEF＝90°，∴四邊形ABEF為矩形，∴，∵OF＝OB＝BC＝，∴，∴∠FOE＝45°，同理可得∠GOC＝45°，∴∠FOG＝90°，∴，所以陰影部分的面積為4π﹣3，故選：A．10．（3分）隨著人工智能的發(fā)展，智能機器人送餐成為時尚．如圖①是某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發(fā)，聰聰比慧慧先出發(fā)，且速度保持不變（s），聰聰和慧慧行走的路程分別為y1（cm），y2（cm），y1，y2與x的函數(shù)圖象如圖②所示，則下列說法不正確的是（）A．客人距離廚房門口450cm B．慧慧比聰聰晚出發(fā)15s C．聰聰?shù)乃俣葹?5cm/s D．從聰聰出發(fā)直至送餐結(jié)束，聰聰和慧慧最遠相距150cm【解答】解：A、由圖象知，A選項正確；B、慧慧比聰聰晚出發(fā)15s，不符合題意；C、慧慧提速前的速度是，故提速后慧慧行走所用時間為：，∴m＝31，∴聰聰?shù)乃俣葹?，C選項不正確；D、由條件可知OD表示的是聰聰行走的時間與路程的關系，設OD的解析式為y1＝kx（k≠0），圖象經(jīng)過點（31，∴310＝31k，解得，k＝10，∴OD的解析式為y4＝10x，當0≤x≤15時，聰聰與慧慧的距離逐漸增大，∴當x＝15（s）時，y1＝10×15＝150（cm），當15＜x≤31時，慧慧的速度大于聰聰?shù)乃俣?，再增加，∵當x＝31時，y7＝310（cm），y2＝450（cm），∴y2﹣y3＝450﹣310＝140（cm）＜150（cm）；∵，∴從聰聰出發(fā)直至送餐結(jié)束，聰聰和慧慧最遠距離為150cm，∴D選項正確，不符合題意；故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）寫出一個一次函數(shù)，使它的圖象經(jīng)過點（﹣2，3）：（答案不唯一）．【解答】解：設一次函數(shù)的解析式為y＝ax（a≠0），∵它的圖象經(jīng)過點（﹣2，4），∴3＝﹣2a，∴a＝﹣，∴函數(shù)解析式可以為：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．12．（3分）若關于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是k＞﹣2且k≠﹣1．【解答】解：由題意可知：Δ＝b2﹣4ac＝8+4（k+1）＞3，且k+1≠0，解得k＞﹣2且k≠﹣1，故答案為：k＞﹣2且k≠﹣2．13．（3分）某校為了進一步落實“德智體美勞五育并舉”，決定結(jié)合學生需求增設體育項目為此校學生會對該校600名初中學生最喜愛的體育項目（從乒乓球、籃球、足球、羽毛球4項體育活動中選擇，每人只選一項）進行了隨機抽查，根據(jù)圖表信息，可知該校約有240名初中學生最喜愛足球．【解答】解：∵此學校共有600名初中學生，喜歡足球的占，∴（人）該校約有240名初中學生最喜愛足球，故答案為：24014．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，DE，AF交于點G，連接GH，則GH的長為2.5．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴BE＝BC﹣CE＝2﹣1＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF＝∠CDE，∵∠CDE+∠ADG＝90°，∴∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠AGD＝90°，即AF⊥DE，∴∠AGE＝90°，即△AEG是直角三角形，∵點H為AE的中點，∴，故答案為：2.5．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AC的中點，連接BD，得到△BEF．連接CF，當CF∥AB時2+或﹣2．【解答】解：作BG⊥CF于點G，如圖所示，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴CD＝，∠ABC＝45°，∴BD＝＝＝，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△DCB≌△FEB，∴BD＝BF＝，∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠BCG＝45°，∴CG＝BC?cos∠BCG＝2×＝2，∴BG＝＝8，∴GF＝＝＝，∴CF＝CG+GF＝2+；當點D運動點F′時，此時CF′∥AB，同理可得，GF′＝，∴CF′＝﹣2；故答案為：3+或﹣8．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（9分）計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．17．（9分）汽車“以舊換新”正在各地如火如荼的進行．小林爸爸準備趁著國家的好政策換購一輛新能源汽車．在預算范圍內(nèi)，他打算從A、B兩款汽車中換購一輛．為此，小林和爸爸收集了10名消費者對這兩款汽車的相關評價表一：A、B兩款汽車的四項指標得分統(tǒng)計表外觀造型舒適程度操控性能售后服務A款6788B款7867表二：A、B兩款汽車的滿意度得分統(tǒng)計表A款5566788889B款5667777889根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）若爸爸認為汽車四項指標的重要程度有所不同，且給予“外觀造型”“舒適程度”“操控性能”“售后服務”四項指標得分的占比為2：3：3：2，請你幫爸爸計算A、B兩款汽車四項指標得分的平均分．（2）A款汽車滿意度得分的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7.5；B款汽車滿意度得分的眾數(shù)為7，中位數(shù)為7．（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，你建議小林爸爸換購哪款汽車？簡要說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法可得：，；（2）A款汽車滿意度得分的眾數(shù)為8，中位數(shù)為；B款汽車滿意度得分的眾數(shù)為7，中位數(shù)為，故答案為：2，7.5，2，7；（3）∵A款汽車滿意度得分的眾數(shù)、中位數(shù)均高于B款汽車，∴建議小林爸爸換購A款汽車．18．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（8，4），過點A作AB⊥y軸于點B．（1）求k的值；（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段AO的垂直平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（3）（2）中所作的垂直平分線與AB交于點C，與x軸交于點D，求證：四邊形OCAD是菱形．【解答】解：（1）∵點A（8，4）在反比例函數(shù)，∴k＝4×8＝32；（2）如圖，分別以點O，以大于，兩弧分別相交于M，作直線MN即為線段OA的垂直平分線；（3）證明：設垂直平分線與OA交于點E，由作圖易知：OC＝AC，OD＝AD，∴∠COA＝∠CAO，∵AB⊥y軸于點B，∴AB∥OD，∴∠CAO＝∠AOD，∴∠COA＝∠AOD，又∵OE＝OE，∠CEO＝∠DEO＝90°，∴△OCE≌△ODE（ASA），∴OC＝OD，∴OC＝AC＝AD＝OD，∴四邊形OCAD是菱形．19．（9分）停車楔（圖1），又稱車輪止退器、駐車楔、三角木，是用于防止車輛不必要移動的裝置，即可防止輪胎的滑動．如圖2為停車楔工作模型側(cè)面示意圖，水平地面DE與車輪⊙O切于點D，射線AB與射線ED交于點C，AE⊥DE于點E（1）求證：AD平分∠CAE．（2）若BC＝10cm，CD＝30cm，求車輪⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連結(jié)OD，如圖2，∵DE切⊙O于點D，∴OD⊥DE．∵AE⊥DE，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠EAD，∴AD平分∠CAE；（2）解：設⊙O的半徑為rcm，則OB＝OD＝rcm．在Rt△OCD中，OD＝rcm，OC＝（r+10）cm，由勾股定理得：OD2+CD8＝OC2，∴r2+306＝（r+10）2，解得r＝40，即⊙O的半徑為40cm．20．（9分）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，∠BOA＝60°，；當擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求DE的長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：∵，∴．∴，∴．∴OC＝OB＝10．∴∠COE＝37°，，∴OE＝OC?cos∠COE＝10×cos37°＝10×0.80＝8，∴DE＝OE﹣OD＝4﹣5＝3（cm）．答：DE的長為4cm．21．（9分）近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，進貨價和銷售價如表：價格/類別短款長款進貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數(shù)；（2）第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，最大銷售利潤是多少？【解答】解：（1）由題意，設購進短款服裝x件，∴．∴．答：長款服裝購進30件，短款服裝購進20件．（2）由題意，設第二次購進m件短款服裝，∴80m+90（200﹣m）≤16800．∴m≥120．又設利潤為w元，則w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．∵﹣10＜0∴w隨m的增大而減小．∴當m＝120時，利潤w最大為：﹣10×120+6000＝4800（元）．答：當購進120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤．22．（9分）根據(jù)以下素材，完成探究任務．城墻建多高才能抵御敵方的進攻？【素材1】圖1是古代一種攻城器械“發(fā)石車”，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分．【素材2】如圖2，防守方的護城墻BD垂直于地面AB，墻高BD＝10m，石塊從A處豎直方向上的C處被投出，當石塊在空中飛行到與AC的水平距離為50m時，最高高度為27m．已知AC＝2m．【解決問題】（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求拋物線（石塊運動軌跡）的解析式．（2）進攻方的石塊能飛進防守方的城墻嗎？若能，城墻應加建多高以上，才能讓進攻方的石塊飛不進防守方城墻，請說明理由．【解答】解：（1）以點A為原點建立平面直角坐標系，∴設y＝a（x﹣50）2+27，將點C（0，5）代入得