專題24.1圓的基本認(rèn)識【九大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1圓的有關(guān)概念辨析】...........................................................................1

【題型2求圓中弦的條數(shù)】.............................................................................3

【題型3求圓內(nèi)最長一點的弦】.........................................................................5

【題型4圓的周長與面積問題】........................................................................6

【題型5確定圓的條件】...............................................................................10

【題型6點與圓的位置關(guān)系】..........................................................................12

【題型7圓中角度的計算】............................................................................14

【題型8圓中線段長度的計算】........................................................................17

【題型9求一點到圓上點的距離的最值】...............................................................21

，舉一反三

【知識點1圓的有關(guān)概念】

圓：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓.

固定的端點O叫做圓心，線段0A叫做半徑.以0點為圓心的圓，記作“00”，讀作“圓0”.

定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合.

弦:連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，

弧:圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做

半圓，大于半圓的孤叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.

【題型1圓的有關(guān)概念辨析】

【例1】（2023春?江蘇無錫?九年級統(tǒng)考期中）已知線段的中點為M,動點P滿足45=2戶M,則點尸的軌

跡是（）

A.以為直徑的圓B.AB的延長線C.力B的垂直平分線D.平行的直線

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念即可分析判斷.

【詳解】解：???線段A8的中點為M,

：,MA=MB

'：AB=2PM,

工點P在以點M為圓心,48為直徑的圓上，

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的有關(guān)認(rèn)識，掌握圓的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023春?新疆烏魯木齊?九年級烏市八中校考期中）下列說法中，不正確的是（）

A.直徑是最長的弦B.同圓中，所有的半徑都相等

C.長度相等的弧是等弧D.圓既是軸對稱圖形又是中心對稱

【答案】C

【分析】根據(jù)弦的定義、中心對稱圖形和軸對稱圖形定義、等弧定義可得答案.

【詳解】A、直徑是最長的弦，說法正確，故A選項不符合題意；

B、同圓中，所有的半徑都相等，說法正確，故B選項不符合題意：

C、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，說法錯誤，故C選項符合題意；

D、圓既是軸對稱圖形乂是中心對稱，說法正確，故D選項不符合題意；

故選：C

【點睛】此題主要考查了圓的認(rèn)識，掌握在同圓或等圓中，能重合的弧叫等孤，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023春?山東臨沂?九年級統(tǒng)考期中）下列說法中正確的有（填序號）.

（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面

枳相等的兩個圓是等圓：（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧.

【答案】⑴（3）（4）

【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可.

【詳解】解：（1）直徑是圓中最大的弦，說法正確；

（2）長度相等的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長

度相等，彎曲程度也要相同；

（3）半徑相等的兩個圓是等圓，說法正確；

（4）面積相等的兩個圓是等圓，說法正確；

（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，同一條弦所對的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦是

直徑.

故答案為：（1）（3）（4）.

【點睛】本題考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握弦、等圓、等弧的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023春?黑龍江綏化九年級統(tǒng)考期末）一個長方形的長是4厘米，寬是2厘米，在長方形內(nèi)畫

一個最大的圓，其直徑等于.

【答案】2厘米

【分析】根據(jù)在一個長方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的短邊的長，即可得到答案.

【詳解】解：?.?長方形的長是4厘米，寬是2厘米

二在長方形內(nèi)畫一個最大的圓，其直徑等于2厘米，

故答案為：2厘米.

【點睛】本題主要考查了圓的直徑，明確在一個長方形內(nèi)畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的短邊的長,

是解題的關(guān)鍵.

【題型2求圓中弦的條數(shù)】

【例2】（2023春?河南濮陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。。中，點A,0,D以及點B,0,C分別在一條直線上,

圖中弦的條數(shù)有（）

A

A.2條B.3條C.4條D.S條

【答案】B

【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有4B,BC,CE共三條.

故選B.

【點睛】埋解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023春?北京昌平?九年級?？计谀┻^圓內(nèi)的一點（非圓心）有條弦，有條直徑.

【答案】無數(shù)一

【分析】根據(jù)弦和直徑的定義求解.

【詳解】過圓內(nèi)一點（非圓心）有無數(shù)條弦，有1條直徑.

故答案為：無數(shù)，1.

【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定氏r的點的集合.掌握與圓有關(guān)的

概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）.

【變式2-2]（2023春?湖北恩施?九年級?？计谥校┤鐖D，圖中的弦共有（）

【答案】B

【分析】根據(jù)弦的定義解答即可.

【詳解】解?：圖形中有弦A8和弦8,共2條，

故選B.

【點睛】本題考查弦的定義，熟記弦的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2013秋?北京海淀?九年級統(tǒng)考期中）如圖，O。的半徑為5,點P到圓心。的距離為g,如果

過點P作弦，那么長度為整數(shù)值的弦的條數(shù)為（）

【答案】C

【分析】分別求出過點P的最長的弦長和最短的弦長，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①當(dāng)過點P的弦，過圓心時，弦為圓的直徑，此時弦長最長，

:0。的半徑為5,

???。0的直徑為10,即此時的弦長為10,

②當(dāng)OP垂直于過點P的弦時，此時弦長最短，由垂徑定理，可得：弦長=2J52—（國丫=2、砥;

設(shè)過點P的弦長為",貝IJ2g<%<10,

???長度為整數(shù)值的弦的條數(shù)為5條；

故選C.

【點睛】本題考查圓中的弦長的取值范圍.解題的關(guān)鍵是掌握直徑是圓中最長的弦，以及利用垂徑定理求值.

【題型3求圓內(nèi)最長一點的弦】

【例3】（2023春?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期末）已知48是半徑為2的圓的一條弦，則的長可能是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】求出圓的直徑，根據(jù)直徑是圓中最長的弦判斷即可.

【詳解】二圓的半徑為2,

???圓的直徑為4,

是半徑為2的圓的一條弦，

<4,

故選：A.

【點睛】此題考查r圓的弦的性質(zhì)：直徑是圓中最長的弦，正確理解是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?浙江?九年級專題練習(xí)）已知。O中最長的弦為16cm,則。O的半徑為___________cm

【答案】8cm.

【詳解】試題分析：。。最長的弦就是直徑從而不難求得半徑的長.

試題解析：???。0中最長的弦為16cm,即直徑為16cm,

A00的半徑為8cm.

考點：圓的認(rèn)識.

【變式3-2］（2023春?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）已知4B是直徑為1（）的圓的一條弦，則48的長度不可能

是（）

A.2B.5C.9D.II

【答案】D

【分析】根據(jù)圓中最長的弦為直徑求解.

【詳解】解：因為圓中最長的弦為直徑，

所以弦長00.

??/8的長度不可電是II；

故選：D.

【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識，在本題中，圓的弦長的取值范圍OVISO.

【變式3-3］（2023春?江蘇宿遷?九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為00的直徑，AB=6cm,點C在AB延長線

上且BC=3cm,點P為。。上動點，則△OPC的面枳的最大值是cm2.

【分析】作PH_LAB于H,如圖，利用三角形面積公式得到SAOPC=|QC?PH=3PH,則當(dāng)PH最大時，SAOPC

有最大值，然后利用PH&OP得到PH最大值為3,從而得到S.OPC有最大值9.

【詳解】解：作PH_LAB于H,如圖，

OC=OB+BC=-AB+BC=6

2

SAOPC=；OC?PH=1X6XPH=3PH,

，當(dāng)PH最大時,SAOPC有最大值,

VPH<OP,

，當(dāng)PH=OP=3時，PH最大，SAOPC有最大值9，

即AOPC的面積的最大值是9cm2.

故答案為9.

【點睛】此題考查的是三角形的面積和圓的基本性質(zhì)，掌握圓的基本性質(zhì)和線段的最值問題是解決此題的關(guān)

鍵.

【題型4圓的周長與面積問題】

【例4】（2023春?上海青浦?九年級?？计谀┤绻髨A周長比小圓周長大;，那么小圓面積比大圓面積?。ǎ?/p>

4

9

A-；B-C-卷D.

【答案】D

【分析】設(shè)小圓的周長為Q,則大圓周長為Q+：a=：a，表示出小圓面積和大圓面枳，求出小圓面積比大圓

44

面枳小多少即可解得.

【詳解】解：設(shè)小圓的周長為a,則大圓周長為a+；Q=：Q,

44

???小圓半徑為；，大圓半徑為巳

2n8兀

???小圓面枳為7TX緇產(chǎn)=大圓的面積為7rX（Q2=需，

???小圓面積比大圓面積小袈-=孚，

64〃47T647r

,空一25a2_9

**Mn?647r-25,

???小圓面積比大圓面積小白，

故選：D.

【點睛】本題考查圓的周長和面積，解題的關(guān)鍵是掌握圓的周長和面積的計算方法.

【變式4-1］（2023春?上海徐匯?九年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀┠惩瑢W(xué)用所學(xué)過的圓與扇形的知識設(shè)計了

一個問號，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4,兩個小圓的半徑均為2,請計算圖中陰影部分

的周長和面積.

【答案】陰影部分的周長為48.82,陰影部分的面積為40.82

【分析】根據(jù)圓的周長和面積公式分別求出陰影的周長和面積，再進(jìn)行運算即可.

【詳解】解：C陰影=2（R大圓-R小圓）+:（，大圓+C小倒）+C小網(wǎng)

3

=2x（4—2）+-x（2zrx4+2兀x2）+2兀x2

4

=8+13〃

?48.82：

S陰影=4（s大圓+S小圓）+S小圓

3

=-（7TX42+7TX22）+7TX22

=137r

?40.82.

答：陰影部分的周長為48.82,陰影部分的面積為40.82.

【點睛】本題考查了圓的面積、周長公式的運用；能夠熟練運用公式，并正確化簡計算是解題的關(guān)鍵

【變式4-2]（2023春?九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，兩個圓的圓心相同，圓環(huán)的面積是8,則陰影部分的面

積是.（結(jié)果保留兀）

【答案w

【分析】設(shè)大圓的半徑為R，小圓的半徑為廣，然后根據(jù)圓環(huán)面積得到7TR2—7r丁2=8,則S陰影二礦一產(chǎn)二*

【詳解】解：設(shè)大圓的半徑為R,小圓的半徑為「，

由題意得，nR2-nr2=8,

陰影=R2-r2=^,

故答案為：*

【點睛】本題主要考查了圓的面枳計算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3]（2023春?江蘇無錫?九年級統(tǒng)考期末）（1）①倍圓問題；如圖1,已知。。，請你用圓規(guī)和無

刻度的直尺作一個以。為圓心，面積是原O。的兩倍的圓：

②均分問題：如圖2,已知。。，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個以。為圓心,面積是原。。的一半的圓;

（不寫作法，但需保留作圖痕跡）

（2）若。。的半徑為5,則上述所作圓的周長分別是

OG

圖1圖2

【答案】⑴①見解析；②見解析（2）10V2ir,5V2TT

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）根據(jù)倍圓和均分圓的性質(zhì)可得所作圓的半徑，再求周長即可.

【詳解】解?：（1）①作直徑48,過。作A8的垂線交圓與。，連接B0,以。為圓心，8。為半徑畫圓，如

②如圖，以。C為半徑作圓（或以08為斜邊作等腰直角三角形0C8）.

（2）???0。的半徑為5,

???原來圓的面積為25m

???倍圓問題中，所作圓面積為原來圓的2倍，設(shè)所作圓半徑為，

nr2=50TT,得r=5V2,

二所作倍圓的圓周長為2irr=10&7T,

???均分問題中，所作圓面枳為原來圓的:倍，設(shè)所作圓半徑為4，

...nr2=yTT,得「1=竽，

???所作均分圓的圓周長為271rl=5/2n.

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，圓的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決

問題.

【知識點2確定圓的條件】

不在同一直線上的三點確定一個圓.注意：這里的"三個點''不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個

點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有“，即過不在同一條直線上的三

個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且

只能畫一個圓.

【題型5確定圓的條件】

【例5】(2023?浙江?九年級假期作業(yè))已知M(1,2),N(3,?3),P(x,)，)三點可以確定一個圓，

則以下P點坐標(biāo)不滿足要求的是()

A.(3,5)B.(-3,5)C.(1,2)D.(1,-2)

【答案】C

【分析】先利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，再把每點代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在同一直線上的三點

能確定一個圓即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)直線MN的解析式為y=+

將點M(l,2),N(3,—3)代入得：1白？;2解得|~2，

13K十。一一3b=9—

2

則直線MN的解析式為y=

A、當(dāng)％=3時，y=-gx3+g=-3H5,則此時點M,N,P不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符

題意；

B、當(dāng)％=-3時，y=-1x(-3)+^=12*5,則此時點M,N,P不在同一直線上，可以確定一個圓，此項

不符題意；

C、當(dāng)乃=1時，y=-1xl+；=2,則此時點M,N,P在同一直線上，不可以確定一個圓，此項符合題意；

D、當(dāng)％=1時，y=-：x1+?=2。一2,則此時點M,N,P不在同一直線上，可以確定一個圓，此項不符

題意；

故選:C.

【點睛】本題考查了確定一個圓、求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握確定一個圓的條件是解題關(guān)鍵.

【變式5-1](2023春?浙江?九年級統(tǒng)考期末)給定下列條件可以確定唯一的一個圓的是()

A.已知圓心B.已知半徑C.已知直徑D.不在同一直線上的三個點

【答案】D

【分析】根據(jù)確定圓的條件，逐一判斷選項，即可得到答案.

【詳解】A.已知圓心，但半徑不確定，不可以確定唯一的一個園，不符合題意，

B.已知半徑，但圓心位置不確定，不可以確定唯一的一個圓，不符合題意，

C.已知直徑，但圓心位置不確定，不可以確定唯一的一個圓，不符合題意，

D.不在同一條直線.上的三個點可以確定一個圓，符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查確定圓的條件，掌握不在同一直線上的三個點確定一個圓，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）如圖，點兒B,C,D均在直線/上，點P在直線，外，則經(jīng)過其中任

意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）

P*

ABCD

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】D

【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓可得，直線上任意2個點加上點P可以畫出一個圓，據(jù)此列舉所有可能

即可求解.

【詳解】解：依題意，4B；A,C；A,D；B,C；B,D,C,D加上點P可以畫出一個圓，

，共有6個，

故選：D.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知：A,B,C,E五個點中無任何三點共線，無任何四點

共圓，那么過其中的三點作圓，最多能作出（）.

A.5個圓B.8個圓C.10個圓D.12個圓

【答案】C

【分析】根據(jù)過不共線三點可作一個圓，找出不共線三點的組數(shù)即可.

【詳解】解：過其中的三點作圓，最多能作出10個，即分別過點ABC、ABD、ABE、ACD.ACE.ADE.BCD.

BCE、BDE、COE的圓.

故選C.

【點睛】本題考查三點共圓問題，掌握查確定圓的個數(shù)方法是解題關(guān)鍵.

【知識點3點與圓的位置關(guān)系】

設(shè)00的半徑為r,點P到圓心的距離為OP=d,則有：

點P在圓外Od>r；

點P在圓上Od=r：

點P在圓內(nèi)QdVr.

【題型6點與圓的位置關(guān)系】

【例6】（2023春?浙江寧波?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在內(nèi)△ABC中，4c=90。，AC=8,BC=14,點、D

在邊8C上，CD=6,以點。為圓心作0。，其半徑長為r,要使點A恰在。。外，點B在OD內(nèi)，則7?的

取值范圍是（）

A.8<r<10B.6<r<8C.6<r<10D.2<r<14

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出4。的長，進(jìn)而得出BD的長，由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】解：在中，ZC=90°,AC=8,CD=6,

則BO=BC-CD=14-6=8,AD=yjAC2+CD2=V82+62=10,

???點八恰在。。外，點8在。。內(nèi)，

8<r<10

故選:A.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握點與圓的三種位置關(guān)系，如設(shè)。。的

半徑為r,點P到圓心的距離0P=d,則有：①點P在圓外=d>r；②點P在圓上od=r?:③點P在圓內(nèi)=

d<r.

【變式6-1］（2023春?云南昭通?九年級統(tǒng)考期末）若。。的半徑為375,圓心。為坐標(biāo)系的原點，點P的坐

標(biāo)是（3,5）,點尸在。。.

【答案】外

【分析】設(shè)。。的半徑為廣，點夕到圓心。的距離為力求出點P到圓心。的距離d的值，比較點。到圓心

。的距離d與。。的半徑為〃的大小，即得

【詳解】設(shè)。。的半徑為「，點夕到圓心。的距離為d,

Vr=3V3,d=0P=A/324-52=V34,

:.d>r,

?,?點〃在。。外.

故答案為：外.

【點睛】本題主要考查了點和圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點之間的距離公式，運用點到圓

心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系.

【變式6-21（2023春?山東濱州?九年級統(tǒng)考期末）已知。。的半徑是8,點P到圓心。的距離d為方程/一4%-

5=。的一個根，則點P在（）

A.。。的內(nèi)部B.。。的外部

C.。。上或。0的內(nèi)部D.。。上或。0的外部

【答案】A

【分析】解一元二次方程根據(jù)點與圓的關(guān)系直接判定即可得到答案.

【詳解】解?：解方程可得，

x\=5,x?——1,

???點P到圓心0的距離d為方程/-4%-5=0的一個根，

???d=5<8,

，點P在。。的內(nèi)部，

故選A.

【點睛】本題考查解一元二次方程及點與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確解方程及掌握點到圓心距離與圓半徑

關(guān)系判斷點與圓的關(guān)系.

【變式6-3】（2023春?河南南陽?九年級?？计谀┮阎c尸為平面內(nèi)一點，若點戶到。。上的點的最長距離

為5,最短距離為1,則O0的半徑為.

【答案】3或2

【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P在圓內(nèi)，直徑長度為5+1=6,半徑為3；當(dāng)P在圓外，直徑長

度為5-1=4,半徑為2.

【詳解】解：???當(dāng)P在圓內(nèi)，直徑長度為5+1=6,半徑為3,

當(dāng)P在圓外，直徑長度為5-1=4,半徑為2,

???0。的半徑為3或2.

故答案為：3或2.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，在解答此題時要注意分類討論.

【題型7圓中角度的計算】

【例7】（2023春?河南洛陽.九年級統(tǒng)考期末）如圖，A8為半圓。的直徑，0C_LH8,。。平分乙80C,交半

圓于點。，4Q交。C于點七，貝此人￡。的度數(shù)是（）

C

A.75°B.67.5°C.60°D.30°

【答案】B

【分析】連接由題意可知，LCOB=Z-AOC=90°,由角平分線性質(zhì)得到乙。。8=：4。。8=45。，再根

據(jù)圓的半徑相等得到40=OD,由三角形外角性質(zhì)及等邊對等角解得22.5。，最后由直角三角形兩

個銳角互余解答.

【詳解】解：連接

???OC1AB

:.Z.COB=Z.AOC=90°

???0。平分ZBOC.

1

A乙DOB=-LCOB=45°

2

AO=OD

11

LOAD=乙ADO=-Z-DOB=-x45°=22.5°

22

???Z.AEO=90°-WAE=90°-22.5°=67.5°

故選：B.

c

【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，涉及等邊對等角、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩個銳角互余等知識，

是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023春?河北石家莊?九年級?？计谥校┤鐖D所示，MN為。0的弦，4N=50。，則/MON的度

數(shù)為（）

A.100°B.40°C.50°D.80°

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】...MN為。0的弦，NN=50。，

：?OM=ON,NM=NN=50°,

?"MON=80°,

故選D.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2］（2023春.江蘇淮安?九年級?？计谀┘訄D，力口是的直徑，C是84延長線上一點，點。在。。

上，且G）=OA,CD的延長線交。。于點E,若乙E=40。，那么NC=.

【答案】200

【分析】連接。0,利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)證明乙￡=24。，即可解決問

題.

【詳解】解.：連接OD，

：?0D=OA=OE,

*：CD=04LE=40°,

ACD=OD=OE,

，乙C=乙DOC,LE=乙ODE,

.?.△E=乙ODE=Z.C+Z.DOC=2zC,

.\2zC=zF=40°,

：,LC=20°.

故答案為：20°.

【點睛】本題考查圓的認(rèn)識，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形

外角性質(zhì)是關(guān)鍵.

【變式7-3］（2023春?浙江紹興?九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A,B,。在。。上，^ABO=32°,LACO=36°,

則NBOC等于.

【答案】136。

【分析】過A、。作00的直徑AZ）,分別在等腰△OAB、等腰aOAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：過4作。。的直徑，交。。于。；

在△048中，OA=O8,

則N8OO=NO8A+NOA8=2x32°=64°,

同理可得：ZCOD=ZOCA+ZOAC=2x36°=72°,

故N80C=/BOD+NCOD=136°.

故答案為：136。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出NCO。及N5OO的度

數(shù).

【題型8圓中線段長度的計算】

【例8】（2023?安徽合肥?合肥壽春中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在。。中，直徑為MN,正方形48CD的四個頂點分

別在半徑OM、OP以及。。上，并且4POM=45。.

⑴若48=2,求PD的長度；

⑵若半徑是5,求正方形48CD的邊長.

【分析】（1）由四邊形/18CD為正方形，得DC=8C=718=1,則匕OC。=/48C=90。，又/POM=45。,

CO=OC=1.求出0￡）,再連接0人構(gòu)造直角三角形，求出和2。的長，然后利用勾股定理即可求出圓

的半徑，可得PO.

（2）證出△DC。是等腰直角三角形,得出DC=CO,求出80=248,連接力0,得出力0=5,再根據(jù)勾股定

理求出力8的長即可.

【詳解】（1）解：???四邊形48CD為正方形，

:.DC=BC=AB=2,乙DCO=LABC=90%

???Z.POM=45",

:.CO=DC=2,

0D=\[2C0=2vL

連接4。，則△45。為直角三角形，

團(tuán)A0=+8。2=422+42=2百，

回即。。的半徑為26，

PD=OP-OD=2>/5-2>/2;

A/.ABC=乙BCD=90°,AB=BC=CD,

Z.DCO=90%

vZ.POM=45°,

???Z.CDO=45。，

???CD=CO,

???BO=BC+CO=BC+CD,

???BO=2AB,

???MO=NO=5,

:.4。=5,

在中，AB2+BO2=AO2,

2

^AB+(248)2-52F

解得：AB=?

則正方形48CD的邊長為代.

【點睛】此題考查了圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證出ADCO是等腰直

角三角形，得出8。=248,作出輔助線，利用勾股定理求解.

【變式8-1](2023春?浙江衢州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，口ABC。的頂點A,B,C在。O上，若AB=2,則

。ABCO的冏長是.

【答案】8

【分析】證明四邊形48co是菱形，即可得到周長.

【詳解】解：???四邊形A8CO是平行四邊形，OA=OC,

???四邊形48co是菱形，

???匚A8co的周長是2x4=8,

故答案為：8.

【點睛】此題考杳了菱形的判定及性質(zhì)定理，圓的半徑相等的性質(zhì)，熟記菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2]（2023春?安徽滁州?九年級校考期末）如圖,在RM4BC中,zC=90°,/IF=10cm,若以點C為

圓心，CB的長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點則AC的長等于（）

A.5cmB.6cmC.5或cmD.5V3cm

【答案】D

【分析】連接C。，由直角三角形斜邊中線定理可得CQ=BD,然后可得ACDB是等邊三角形，則有

?D=BC=5cm,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解.

【詳解】解：連接CQ,如圖所示：

???點。是4B的中點，ZC=90°,AB=10cm,

?.C?D=BD="B=5cm,

*：CD=BC,

CD=BD=BC=5cm,

在RtAACB中，由勾股定理可得AC=\/AB2-BC2=5\/3cm；

故選D.

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握圓的基本性質(zhì)、直角

三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式8-3]（2023春?山東濟(jì)寧?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，4c是。。的弦，AC=5,點3是。。上的一

個動點，且/48。=45。，若點M、N分別是鳳?的中點，則MN的最大值是.

【答案】姜

【分析】根據(jù)中位線定理得到MN的長最大時，A3最大，當(dāng)最大時是直徑，從而求得直徑后就可以求得最

大值.

【詳解】解：?.?點M,N分別是BC,4c的中點,

???MN=-2AB,

???當(dāng)AB取得最大值時，MN就取得最大值，當(dāng)是直徑時，力B最大,

連接力。并延長交。。于點夕，連接。夕，

???4夕是。0的直徑，

???乙ACB'=90°.

vZ.ABC=45°,AC=5,

???ZAB'C=45°,

???ABf=^=5V2,

T

5V2

'MN最大=—.

故答案為：苧.

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形的綜合運用，解題的關(guān)鍵

是了解當(dāng)什么時候MN的值最大，難度不大.

【題型9求一點到圓上點的距離的最值】

【例9】（2023春?山東泰安?九年級?？计谀┤鐖D，0M的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為（6,8）,點P是OM上

的任意一點，PA1PB,且PA、與工軸分別交于?小8兩點，若點4、點B關(guān)于原點。對稱，則力8的最大值

為（）

A.13B.14C.12D.28

【答案】D

【分析】由中48=20P知要使取得最大值，則尸。需取得最大值，連接。M,并延長交OM于點口,

當(dāng)點P位于P'位置時，0P'取得最大值，據(jù)此求解可得.

【詳解】解：連接P。，

\'PA1PB,

???〃P8=90。，

???點力、點8關(guān)于原點。對稱，

,\AO=BO,

：.AB=2P。，

若要使取得最大值.，則P。需取得最大值，

連接。M,并延長交OM于點P,當(dāng)點P位于P'位置時，OP'取得最大值，

過點M作MQ1”軸于點Q,

則OQ=6、MQ=8,

：.0M=10,

又=r=4,

：.0P'=MO+M尸'=10+4=14,

:,AB=2OPf=2x14=28；

故選：D.

【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

取得最小值時點P的位置.

【變式9-1](2023春?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在RtzMBC中，乙4cB=90。，AC=BC=2A/2,

點。為48的中點，點P在4c上，且CP=1,將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q,連接OQ.則OQ

的長度的取值范圍是.

【答案】1WDQW3

【分析】以點C為圓心，CP為半徑作圓，連接CD并延長，交OC于點Q'和Q,根據(jù)題意可得48=4,CD1AB,

CD=AD=2,根據(jù)分析圖中DQ為最大值，OQ'為最小值.

【詳解】解：如圖，以點C為圓心，CP為半徑作圓，連接C