高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市瀏陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，故選：D2.已知向量，，且，則（）A.0 B. C.4 D.3【答案】B【解析】由，可得，故，即，則.故選：B.3.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除A；易知，排除B；當(dāng)且無限趨近于0時(shí)，，即，排除.故選：D4.函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對稱中心，所以，解得，又，所以，即，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，即，因?yàn)?，所?故選：A5.2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家喜愛，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（）時(shí)間x12345銷售量y/萬只54.543.52.5A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負(fù)相關(guān)B.當(dāng)時(shí)，殘差為0.2C.可以預(yù)測當(dāng)時(shí)銷量約為2.1萬只D.線性回歸方程中【答案】B【解析】對于選項(xiàng)A，從數(shù)據(jù)看，隨的增大而減小，所以變量與負(fù)相關(guān)，故A正確；對于選項(xiàng)B，由表中數(shù)據(jù)知，，所以樣本中心點(diǎn)為，將樣本中心點(diǎn)代入中得，所以線性回歸方程為，所以，殘差，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)銷量約為（萬只），故C正確．對于選項(xiàng)D，由B選項(xiàng)可知，故D正確.故選：B.6.某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個(gè)籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，從這一批籃球中隨機(jī)抽檢300個(gè)，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為（）A.246 B.252 C.286 D.293【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，所以，又，所以被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個(gè)數(shù)約為個(gè).故選：D7.若，且能被17整除，則的最小值為（）A.0 B.1 C.15 D.16【答案】D【解析】，因?yàn)槟鼙?7整除，所以上式中能被17整除即可滿足題意，所以，即，所以的最小值為16，故選：D.8.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，每個(gè)房間最多住2人，且男女不能混住．則不同的安排方法有（）種A1960 B.2160 C.2520 D.2880【答案】C【解析】3名女生需要住2個(gè)房間或3個(gè)房間．若3名女生住2個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為，若3名女生住3個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為，則不同的安排方法有種．故選:．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.已知，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為【答案】ACD【解析】對于A：若，則，A正確；對于B：若，則，B錯(cuò)誤；對于C：由已知，所以，所以，即，C正確；對于D：設(shè)，則，所以，所以，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，D正確.故選：ACD.10.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程，若，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】對于A，我們首先按順序排列數(shù)據(jù)，得到，而第百分位數(shù)即為中位數(shù)，所以該數(shù)為，故A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，，故，得到，故B正確，對于C，因?yàn)?，所以，將代入中，得到，解得，故C正確，對于D，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.對于任意的表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.函數(shù)的值域?yàn)镃.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以y=x，x∈R不是奇函數(shù)，即函數(shù)的圖象不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A對于B：由取整函數(shù)的定義知，，所以，，函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；對于C：由取整函數(shù)的定義知，，，所以，故C正確；對于D：由得，解得，結(jié)合取整函數(shù)的定義可得，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)________.【答案】【解析】令，解得，又，所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：13.已知，則______.【答案】【解析】令，即，因此原等式為，項(xiàng)為，所以.故答案為：14.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有內(nèi)切球，則此三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為__________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，因?yàn)槿庵袃?nèi)切球，所以，因?yàn)椋?，所以直三棱柱的外接球的直徑就是以為棱的長方體的對角線，其長為，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知.（1）若展開式的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求的值，并求常數(shù)項(xiàng);（2）若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：（1）因?yàn)檎归_式的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，即，，整理得，解得或（舍），所以展開式的通項(xiàng)為，令，得，故常數(shù)項(xiàng)為.（2）令，得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，解得.由于是偶數(shù)，所以展開式中共有5項(xiàng)，且第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積為．（1）求；（2）若，且的周長為5，設(shè)為邊BC中點(diǎn)，求AD.解：（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因?yàn)?，所以；?）依題意，，因?yàn)?，解得，因?yàn)?，所以，所以?7.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.（1）任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率．解：設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．根據(jù)題意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.（1）由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.（2）“如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率．P(A1|B)＝＝＝＝.類似地，可得P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.18.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)A的曲率為，N，M分別為AB，的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．（3）若，求二面角的正切值．解：（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，則，，所以點(diǎn)A的曲率為，所以．因?yàn)?，所以△ABC為正三角形．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面．?）取的中點(diǎn)D，連接DM，DN．因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以且．又且，所以且，所以四邊形CNDM平行四邊形，則．由（1）知平面，則平面．又平面，所以平面平面．（3）取BC的中點(diǎn)F，連接AF，則．因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．又平面，所以，過F作的垂線，垂足為H，連接AH，則，又平面，所以平面，又平面，，所以∠AHF為二面角的平面角的補(bǔ)角．設(shè)，，則，，．由等面積法可得，則，則，故二面角的正切值為．19.數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列稱為的一階差數(shù)列，記為，依此類推，的一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，記為，…．如果一個(gè)數(shù)列的p階差數(shù)列是等比數(shù)列，則稱數(shù)列為p階等比數(shù)列．（1）已知數(shù)列滿足，．（ⅰ）求，，；（ⅱ）證明：是一階等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列為二階等比數(shù)列，其前5項(xiàng)分別為，求及滿足為整數(shù)的所有n值．解：（1）（ⅰ）由，易得，……由一階等差數(shù)列的定義得：，，.（ⅱ）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有，所以，即，即，又因?yàn)?，故是?為首