山西省部分學校2024?2025學年高三下學期4月鞏固提升卷數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，或，則（

）A． B．C． D．2．已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（

）A．或 B．C．2 D．44．若雙曲線的一個焦點為，則實數(shù)為（

）A． B．4 C．5 D．5．若，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的圖象連續(xù)不間斷的奇函數(shù)，且，若，則的值域是（

）A． B． C． D．7．一個三位數(shù)的百位?十位?個位上的數(shù)字依次記為，當中有兩個數(shù)字的和等于剩下的一個數(shù)字時，則稱這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”（如121，213等）．現(xiàn)從這五個數(shù)字中任取三個數(shù)字（可以重復）組成一個三位數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個數(shù)為（

）A．24 B．27 C．30 D．338．已知10個樣本數(shù)據(jù)的平均值為10，方差為6，則這10個數(shù)據(jù)的分位數(shù)的最大值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知圓錐的頂點為，為底面直徑，是面積為1的直角三角形，則（

）A．該圓錐的母線長為 B．該圓錐的體積為C．該圓錐的側(cè)面積為 D．該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．的圖象關(guān)于原點對稱C．若，則D．，都有成立11．設函數(shù)的定義域為，且當時，，則（

）A．B．C．D．可能為單調(diào)遞增函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則.13．已知，則．14．已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，拋物線在處的切線為，過作與平行的直線，記與的另一交點為，則的面積的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）記的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求；（2）若，且的面積為，求．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)的兩個極值點分別為和3．（1）求的解析式；（2）若直線與曲線有且僅有兩個公共點，求的值．17．（本小題滿分15分）景德鎮(zhèn)瓷器是中國傳統(tǒng)的手工藝品之一，因產(chǎn)于江西省景德鎮(zhèn)而得名．景德鎮(zhèn)瓷器以其精美的工藝、獨特的風格和高質(zhì)量的品質(zhì)而聞名于世．景德鎮(zhèn)瓷器的歷史可以追溯到唐代，經(jīng)過宋、元、明、清等朝代的發(fā)展，逐漸形成了獨特的風格．景德鎮(zhèn)瓷器的制作過程非常復雜，需要經(jīng)過多道工序，包括制坯、彩繪、燒制等．其中，彩繪是景德鎮(zhèn)瓷器的一大特色，采用的是傳統(tǒng)的釉下彩和釉上彩技法，色彩鮮絕、圖案精美．假設景德鎮(zhèn)的青花瓷燒制開窯后經(jīng)檢驗分為成品和廢品兩類，現(xiàn)有青花瓷10個，其中5個由工匠甲燒制，3個由工匠乙燒制，2個由工匠丙燒制，甲、乙、丙這三人燒制青花瓷的成品率依次為0.5，0.8，0.9．（1）若從這10個青花瓷中任取1個，求取出的青花瓷是成品的概率；（2）若每件青花瓷成品的收入為600元，每件青花瓷廢品的收入為0元，記隨機變量為乙燒制的這3個青花瓷的總收入，求的分布列及數(shù)學期望．18．（本小題滿分17分）如圖，在直四棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）若為線段上的動點，求到直線距離的最小值．19．（本小題滿分17分）橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.記橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與相似，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓相似，且與的相似比為.（1）求的方程；（2）已知點是的右焦點，過點的直線與交于兩點，直線與交于兩點，其中點在軸上方.（i）求證：；（ii）若過點與直線垂直的直線交于兩點，其中點在軸上方，分別為，的中點，設為直線與直線的交點，求面積的最小值.

參考答案1．【答案】A【詳解】依題意，.故選A2．【答案】A【詳解】由，得．故選A．3．【答案】D【詳解】，故，解得.故選D4．【答案】B【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，解得．故選B．5．【答案】D【詳解】同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，如圖，由圖可知，即，又因為，所以．故選D．

6．【答案】B【詳解】因為，可知，又因為為奇函數(shù)，且連續(xù)不斷，則，則，且，可知，由奇函數(shù)對稱性可知：時，，且，，所以在定義域的值域為.故選B.7．【答案】C【詳解】從這五個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個數(shù)為24；從這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個數(shù)為，所以全部“有緣數(shù)”的個數(shù)為．故選C．8．【答案】C【詳解】設這10個樣本數(shù)據(jù)分別為，且．因為，所以這10個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．設的平均值為，方差為，的平均值為，方差為，由題意知，則；，所以，整理得，解得，所以，當且僅當時等號成立，即，時，取到最大值13.故選C.9．【答案】ABD【詳解】設該圓錐的母線長為，如下圖所示：因為軸截面是面積為1的直角三角形，即為直角；所以，解得，A正確；設該圓錐的底面圓心為，在中，，所以，則圓錐的高，所以該圓錐的體積，側(cè)面積為，B正確、C錯誤；設該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，所以，D正確．故選ABD．10．【答案】CD【詳解】對于A，若，則，所以，或，即，或，故A錯誤；對于B，又，由于，所以不可能是奇函數(shù)，則的圖象不可能關(guān)于原點對稱，故B錯誤；對于C，當時，，滿足是正弦函數(shù)的增區(qū)間的子集，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，所以，故，所以，又，即，所以，都有成立，故D正確．故選CD．11．【答案】AD【詳解】因為，又，所以，即，故A正確；取滿足題意，故B?C均錯誤；取函數(shù)滿足題意，且為上的增函數(shù)，故D正確．故選AD12．【答案】16【詳解】由，，可得：，解得：，所以.13．【答案】/【詳解】由，得，解得，所以，又因為，且，所以，，所以，則.14．【答案】36【詳解】

由題意知拋物線的焦點為，易知直線的斜率存在，故設直線的方程為，，，聯(lián)立消去，得，，所以，，因為，所以，則直線的斜率為，因，故直線的方程為，即，也即，聯(lián)立，消去，得，所以，即，設直線與交于點，則，則，，當且僅當，即時，等號成立，所以的面積的最小值為36．15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，由正弦定理得．因為，所以，即，得到，又，則，所以．（2）由（1）知，又，所以，又的面積為，所以，得到，在中，由余弦定理，得，所以，又，所以，因為，所以．16．【答案】（1）（2）或【詳解】（1），由題意，得和3是關(guān)于的方程的兩根，由韋達定理，得解得此時．當時，；當時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，是的極小值點，符合題意．綜上，．（2）直線與曲線有且僅有兩個公共點，等價于關(guān)于的方程僅有兩個實根，即關(guān)于的方程僅有兩個實根．設，則．當時，；當時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點，是的極小值點，且，．根據(jù)題意，得或解得或．17．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【詳解】（1）記事件為“取出的青花瓷是甲燒制的”，事件為“取出的青花瓷是乙燒制的”，事件為“取出的青花瓷是丙燒制的”，設事件為“取出的青花瓷是成品”，則，，，，，，所以．（2）的所有可能取值為，則，，，，所以的分布列為：060012001800數(shù)學期望．18．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）證明：由直四棱柱知底面，因為平面，所以，又，，，平面，所以平面，因為平面，所以．因為，，，所以，，所以∽，所以，因為，所以，所以，又，，平面，所以平面．（2）解：因為底面，平面，所以，因為，所以，，兩兩垂直，所以以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，由（1）知，為平面的一個法向量．設為平面的一個法向量，因為，，所以，即，令，可得．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：設，，則，，設到直線的距離為，則，所以當時，，即到直線距離的最小值為．19．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）由題意知橢圓的長軸長為，短軸長為4，橢圓的長軸長為，短軸長為，又與的相似比為，所以，解得，所以的方程為.（2）（i）證明：由（1）知，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，由，得，