線代期中考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.若\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.\(0\)或\(1\)B.\(-1\)或\(1\)C.\(0\)或\(-1\)D.\(2\)3.向量組\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6)\)的秩為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)4.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)5.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(A\)與\(B\)的秩不同6.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，則\((A^)^{-1}=(\)\)A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^T\)D.\(\vertA\vertA^T\)7.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性無關(guān)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)8.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，\(r(A)=2\)，則\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)9.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(A^2+2A+E\)的特征值為（）A.\(\lambda^2+2\lambda+1\)B.\(\lambda^2+2\lambda\)C.\(\lambda^2+1\)D.\(2\lambda+1\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則\(\vertA\vert=(\)\)A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣的運算，正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示3.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^2=A^2B^2\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)可同時對角化4.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)5.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.\(\xi\)一定是非零向量6.對于\(n\)元線性方程組\(Ax=b\)，下列說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則方程組有唯一解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解D.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解7.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timess\)矩陣，則（）A.\(r(AB)\leqr(A)\)B.\(r(AB)\leqr(B)\)C.\(r(AB)=r(A)+r(B)\)D.\(r(AB)\geqr(A)+r(B)-n\)8.已知矩陣\(A\)與\(B\)等價，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.\(A\)與\(B\)有相同的行數(shù)和列數(shù)C.存在可逆矩陣\(P\)、\(Q\)，使得\(PAQ=B\)D.\(A\)與\(B\)相似9.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的一個基礎(chǔ)解系，則（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)中任意兩個向量線性無關(guān)C.\(Ax=0\)的任意一個解向量都可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示D.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)也是\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可逆的有（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(r(A)=n\)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性無關(guān)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)。（）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，則其中任意部分向量組也線性無關(guān)。（）3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）4.相似矩陣有相同的特征多項式。（）5.正交矩陣的行列式的值為\(1\)。（）6.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則\(r(A)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）。（）7.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)階子式不為零，而所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為零。（）8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是對應(yīng)的特征向量，則\(\xi_1+\xi_2\)也是\(A\)的特征向量。（）9.若\(A\)為對稱矩陣，則\(A\)的特征值都是實數(shù)。（）10.對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有唯一解。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可表示為若干個初等矩陣的乘積；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)；\(Ax=0\)只有零解等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；若僅當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)成立，則稱向量組線性無關(guān)。3.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的伴隨矩陣\(A^\)。答案：先求元素\(a_{ij}\)的代數(shù)余子式\(A_{ij}\)，\(A_{11}=4\)，\(A_{12}=-3\)，\(A_{21}=-2\)，\(A_{22}=1\)，則\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。4.簡述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維列向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)成立，則稱\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是\(A\)對應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論\(n\)階方陣\(A\)可對角化的條件，并舉例說明。答案：\(n\)階方陣\(A\)可對角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量。例如\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，特征值\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，對應(yīng)的特征向量分別為\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)，線性無關(guān)，所以\(A\)可對角化。2.探討線性方程組解的結(jié)構(gòu)，以及基礎(chǔ)解系的作用。答案：對于齊次線性方程組\(Ax=0\)，若有非零解，其通解是基礎(chǔ)解系的線性組合?；A(chǔ)解系所含向量個數(shù)為\(n-r(A)\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）。非齊次線性方程組\(Ax=b\)的通解是它的一個特解加上對應(yīng)的齊次方程組\(Ax=0\)的通解?；A(chǔ)解系用于表示齊次方程組的所有解，進而表示非齊次方程組的通解。3.說明相似矩陣在實際應(yīng)用中的意義。答案：相似矩陣有相同的特征值等性質(zhì)。在實際中，如物理系統(tǒng)的狀態(tài)描述、數(shù)據(jù)處理中的矩陣變換等方面有應(yīng)用。相似變換可將復(fù)雜矩陣轉(zhuǎn)化為簡單形式（如對角矩陣），方便計算矩陣的冪、行列式等，簡化對系統(tǒng)模型的分析和計算。4.談?wù)劸仃嚨闹仍谂袛嗑€性方程組解的情況中的應(yīng)用。答案：對于\(n\)元線性方程組\(Ax=b\)，通過比較系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)與增廣矩陣\((A|b)\)的秩\(r(A|b)\)來判斷解的情況。若\(r(A)\ltr(A|b)\)，無解；\(r(A)=r(A|b)=n\)，有唯一解；\(r(A)=r(A|b