PAGE1搶分秘籍15一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問題目錄【解密中考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】一次函數(shù)的圖象和性質【題型二】反比例函數(shù)的圖象和性質【題型三】一次函數(shù)和反比例函數(shù)與不等式綜合問題【題型四】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求三角形面積問題【題型五】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中由面積求點的坐標問題【題型六】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求線段長問題【題型七】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求線段和最小值問題【題型八】利用反比例函數(shù)的圖象和性質探究平移問題【題型九】反比例函數(shù)與三角形的綜合問題【題型十】反比例函數(shù)與四邊形的綜合問題：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。1．從考點頻率看，一次函數(shù)占比更高，?？紙D像性質、解析式求解、實際應用；反比例函數(shù)側重圖像與k的幾何意義、與一次函數(shù)綜合，選擇填空及解答題均常見，前者出現(xiàn)頻率略高于后者。2．從題型角度看，一次函數(shù)多為求解析式、圖像平移、行程/費用類應用題；反比例函數(shù)以求k值、面積計算、交點問題為主，常與一次函數(shù)結合命題，解答題中多為中等難度題型。：在中考數(shù)學備考中，牢記解析式形式與圖像特征，針對一次函數(shù)強化實際問題建模訓練，針對反比例函數(shù)掌握k的幾何意義與面積轉化；多練綜合題，注重數(shù)形結合，規(guī)范解題步驟，總結易錯題避免計算失誤?！绢}型一】一次函數(shù)的圖象和性質【例1】（2025·北京·模擬預測）在平面直角坐標系中，將函數(shù)向上平移2個單位，與的圖象交于點．(1)求的值；(2)當時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值，且小于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，；(2)且．【知識點】用一元一次不等式解決實際問題、求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象平移問題【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，一次函數(shù)的平移，兩直線的交點問題，確定不等式的取值范圍，掌握一次函數(shù)的圖象和性質是解題關鍵．（1）根據(jù)一次函數(shù)的平移得到新函數(shù)，再求出兩直線的交點坐標，得到的值，再代入函數(shù)解析數(shù)求出的值即可；（2）根據(jù)題意得：當時，且，然后對每個不等式分兩種情況分析求解，最后確定取值范圍即可．【詳解】（1）解：將函數(shù)向上平移2個單位，得到新函數(shù)，當時，，即函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點，將點代入函數(shù)，則，解得：；（2）解：由（1）得：，根據(jù)題意得：當時，且，，當時，，最大值在時，得，當時，，恒成立，得，綜合得：；，當時，，最小值在時，得，當時，，恒成立，得，綜合得：；綜上可得：且．1.

定解析式：用待定系數(shù)法，找兩點坐標代入y=kx+b列方程組求解，注意交點（與坐標軸交點令x=0或y=0）。2.

判圖像：k>0過一、三象限（y隨x增大而增大），k<0過二、四象限（y隨x增大而減?。?；b決定與y軸交點位置。3.

巧平移：圖像平移遵循“上加下減常數(shù)項，左加右減自變量”，如y=kx+b向左平移m個單位得y=k(x+m)+b。4.

用性質：比較函數(shù)值大小或解不等式時，結合圖像增減性直觀分析，注意數(shù)形結合簡化計算。【例2】（2025·北京·一模）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向下平移1個單位得到．(1)求該一次函數(shù)的解析式；(2)對于x的每一個值，函數(shù)的值都大于一次函數(shù)的值且小于的值，直接寫出m和n的取值范圍．【答案】(1)(2)，【知識點】一次函數(shù)圖象平移問題、比較一次函數(shù)值的大小【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移和函數(shù)性質，熟練掌握函數(shù)圖象平移的技巧和結合圖像分析函數(shù)值大小是解題的關鍵．（1）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移法則進行求解即可；（2）從函數(shù)位置關系入手，根據(jù)的圖象和的圖象平行即可確定m的值，再結合與y軸交點即可確定n的范圍．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向下平移1個單位得到，∴．（2）解：∵對于x的每一個值，函數(shù)的值都大于一次函數(shù)的值且小于的值，∴函數(shù)的圖象在的圖象和的圖象之間，∵的圖象和的圖象平行，且與y軸交點分別為和0，∴，．【變式1】（2024·北京·三模）在平面直角坐標xOy中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，與過點且平行于x軸的直線交于點C．(1)求該函數(shù)的解析式及點C的坐標；(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于5，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)，(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、比較一次函數(shù)值的大小【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法的應用，（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點C的縱坐標為4，代入函數(shù)解析式求出點C的橫坐標即可；（2）當時，，當時，，根據(jù)題意可得，問題隨之得解．【詳解】（1）解：把點，代入得：，解得：，∴該函數(shù)的解析式為，由題意知：點C的縱坐標為4，當時，解得：，∴；（2）解：由（1）知：當時，，當時，，∵當時，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于5，∴，解得：．【變式2】（2024·河北邢臺·模擬預測）如圖，已知直線經(jīng)過點、點，點P是x軸上一個動點，過點C、P作直線．(1)求直線的表達式；(2)已知點，當時，求點P的坐標；(3)設點P的橫坐標為m，點，是直線上任意兩個點，若時，有，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)．【知識點】求一次函數(shù)解析式、根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)、一次函數(shù)與幾何綜合【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識．（1）由待定系數(shù)法可求解析式；（2）求出，設點，由面積公式可求解；（3）結合圖象可求解．【詳解】（1）解：設直線的表達式為，∵、點在直線上，∴解得∴；（2）∵，，∴，過點C作軸于E，∵，∴，∴，∵，∴，設點，∴，∴或，∴P的坐標為或；（3）過點C作軸于E，∵，∴，∵的圖象是y隨x的增大而減小，經(jīng)過，∴當點P在的左側時，符合題意，∴．【變式3】（2025·河北石家莊·一模）如圖，直線分別與軸及直線交于點，點與點關于軸對稱，直線與軸交于點，連接．(1)直接寫出點的坐標，并求直線的表達式；(2)設，求的值；(3)設直線關于軸對稱的直線為，請通過計算說明點是否在上．【答案】(1)，，；(2)；(3)點不在直線上，見解析．【知識點】求一次函數(shù)解析式、比較一次函數(shù)值的大小、一次函數(shù)與幾何綜合【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質、求一次函數(shù)的解析式．因為當時，可得，解方程求出，從而可得點的坐標為，根據(jù)點與點關于軸對稱，可得點的坐標為；設直線的表達式為，利用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；分別求出和四邊形的面積，把兩個面積相加即可；因為點與點關于軸對稱，可知直線與直線關于軸對稱，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，即為直線的解析式，把代入解析式，可得：，所以可知點不在直線上．【詳解】（1）解：當時，，解得：，點的坐標為，又點與點關于軸對稱，點的坐標為；設直線的表達式為，把，分別代入，可得：，解得：，直線的表達式為；（2）解：當時，，點的坐標為，，，，，，，，，；（3）解：直線與關于軸對稱，直線經(jīng)過點．設直線的表達式為，把，分別代入，可得：，解得：，直線的表達式為，當時，，點不在直線上．【題型二】反比例函數(shù)的圖象和性質【例1】（2025·貴州銅仁·模擬預測）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)已知點、都在反比例函數(shù)的圖象上，且滿足，比較的大?。敬鸢浮?1)(2)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、比較反比例函數(shù)值的大小，正確利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關鍵．（1）把點的坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出的值，即可得到反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)，可得反比例函數(shù)的圖象在每個象限內，隨的增大而減小，據(jù)此增減性即可得到答案．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點∴，，反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：∵反比例函數(shù)的解析式為，，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，且在每一象限內，隨的增大而減小，

點、均在反比例函數(shù)的圖象上，且，．1.

定解析式：用待定系數(shù)法，只需一個點坐標代入y=kx求k，注意k=xy2.

抓幾何意義：|k|為雙曲線上任一點向坐標軸作垂線圍成矩形的面積，即S_{\text{矩形}}=|k|，注意k的符號與象限對應。3.

判圖像與性質：k>0時，圖像在一、三象限，每個象限內y隨x增大而減??；k<0時在二、四象限，y隨x增大而增大，需分象限討論增減性。4.

解綜合題：與一次函數(shù)聯(lián)立求交點，利用圖像比較函數(shù)值大小，注意對稱性（關于原點對稱）及取值范圍分析?！纠?】（2025·天津紅橋·一模）已知在反比例函數(shù)（m為常數(shù)，且）的圖象上．(1)求m的值，并判斷該反比例函數(shù)的圖象所在的象限；(2)判斷點，，是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由：(3)當時，求該反比例函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)；第二、四象限(2)點，在反比例函數(shù)的圖像上，點不在反比例函數(shù)的圖像上，理由見解析(3)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)值、已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質，熟練求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關鍵．（1）將代入反比例函數(shù)解析式即可求得m的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質即可解答；（2）將各個點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式，再對比縱坐標即可；（3）將代入反比例函數(shù)解析式，求得橫坐標，即可解答．【詳解】（1）解：將代入反比例函數(shù)解析式可得，解得，反比例函數(shù)的解析式為，該反比例函數(shù)的圖象所在的象限為第二、四象限；（2）解：當時，，故點在反比例函數(shù)上；當時，，故點不在反比例函數(shù)上；當時，，故點在反比例函數(shù)上；（3）解：當時，；當時，，故當時，該反比例函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍為．【變式1】（2024·江蘇泰州·二模）如圖，已知，，三點在反比例函數(shù)的圖像上，且．(1)當時，請比較與的大小關系，并說明理由；(2)若，，求該函數(shù)的表達式．【答案】(1)(2)【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合以及解分式方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先因為，所以，，，再代入，得出，再比較與的大小關系，即可作答．（2）先表示，再結合，，解方程組，即，得出，再代入，即可作答．【詳解】（1）解：∵已知，，三點在反比例函數(shù)的圖像上，且∴，，則則，∵∴（2）解：∵已知，，三點在反比例函數(shù)的圖像上∴∵，，∴整理得，∴解得，（舍去）經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，∴．∴【變式2】（2024·浙江寧波·一模）已知反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上．(1)求的值；(2)若點都在該反比例函數(shù)圖象上；①當，點和點關于原點中心對稱時，求點坐標；②當時，求的取值范圍．【答案】(1)3(2)①；②【知識點】求反比例函數(shù)解析式、由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質，利用待定系數(shù)法列方程求解即可得到答案；（2）①利用反比例函數(shù)圖象與性質，結合題意求出，利用待定系數(shù)法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函數(shù)圖象與性質，利用待定系數(shù)法求出，列不等式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上，，解得，；（2）解：點都在該反比例函數(shù)圖象上，且點和點關于原點中心對稱，，，則，解得，，將代入得，解得，；②，則，，，，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質，涉及待定系數(shù)法確定、點的對稱性質、解不等式等知識，熟練掌握反比例函數(shù)圖象與性質是解決問題的關鍵．【變式3】（2024·天津紅橋·一模）已知在反比例函數(shù)(m為常數(shù)，且的圖象上．(1)求m的值，并判斷該反比例函數(shù)的圖象所在的象限；(2)判斷點，是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；(3)若Q為x軸上一點，且，求的面積．【答案】(1)，該反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限(2)點A，C在這個函數(shù)的圖象上，點B不在這個函數(shù)的圖象上，理由見解析(3)6【知識點】坐標與圖形、求反比例函數(shù)解析式、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限、等腰三角形的定義【分析】（1）由點在該反比例數(shù)的圖象上，可得，可求，由，判斷反比例函數(shù)的圖象所在的象限即可；（2）由（1）可知，該反比例函數(shù)的解析式為，然后將3個點坐標代入判斷即可；（3）由Q為x軸上一點，且，可知是等腰三角形，且點Q的坐標為，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）解：∵點在該反比例數(shù)的圖象上，∴，解得．∵，∴該反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限．（2）解：由（1）可知，該反比例函數(shù)的解析式為，當時，；當時，；當時，；∴點A，C在這個函數(shù)的圖象上，點B不在這個函數(shù)的圖象上．（3）解：∵Q為x軸上一點，且，∴是等腰三角形，且點Q的坐標為，∴，∴的面積為6．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質，等腰三角形的判定，坐標與圖形等知識．熟練掌握反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質，等腰三角形的判定，坐標與圖形是解題的關鍵．【題型三】一次函數(shù)和反比例函數(shù)與不等式綜合問題【例1】（2025·湖南·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（，為常數(shù)且）的圖象相交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)請結合函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為；(2)【知識點】求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析，圖象法求不等式的解集是關鍵．（1）把點代入一次函數(shù)得到點坐標，再代入反比例函數(shù)，運用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）聯(lián)立方程組求出點的坐標，根據(jù)圖象求不等式的解集．【詳解】（1）解：把點代入一次函數(shù)得，，∴，把點代入反比函數(shù)中，，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：聯(lián)立方程組得，，解得，，∴，∴當時，，∴不等式的解集為．1.

聯(lián)立求交點：聯(lián)立兩函數(shù)解析式，解方程確定交點坐標，作為不等式解集的分界點。2.

數(shù)形結合分析：畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像位置關系（如一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方或下方）確定不等式解集對應的區(qū)間。3.

分象限討論：反比例函數(shù)分象限的增減性不同，需結合交點所在象限，分區(qū)域判斷函數(shù)值大小，注意x\neq0的定義域限制。4.

符號與范圍：根據(jù)k的正負判斷圖像分布，結合不等式符號（>或<）寫出對應區(qū)間，避免遺漏分界點或忽略分母不為零的情況?！纠?】（2025·河南周口·一模）如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于，兩點，其中點的坐標為．(1)求，的值；(2)求的坐標；(3)直接寫出不等式的解．【答案】(1)，(2)點的坐標(3)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，函數(shù)的圖象，熟練掌握以上知識點并利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．（1）把點的坐標代入一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可；（2）把一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立得出方程組，即可求出點坐標；（3）根據(jù)、的坐標結合圖象即可得出答案．【詳解】（1）解：把點代入反比例函數(shù)，可得，，的值為；把點代入一次函數(shù)，可得，，解得，的值為1；（2）解：由（1）可知，一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為，根據(jù)題意，聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，得解得，；，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于，兩點，其中點，（3）解：，，根據(jù)圖像可知，當或時一次函數(shù)值的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，不等式的解集為或．【變式1】（2025·河南周口·一模）如圖所示，一次函數(shù)：的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于A，B兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為點，若的面積為3．(1)分別求出m和n的值；(2)求點B的坐標；(3)結合圖像直接寫出關于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)(3)或【知識點】因式分解法解一元二次方程、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖像與性質是解題的關鍵．（1）根據(jù)點C坐標及的面積，求出點A的坐標，再分別代入反比例函數(shù)及一次函數(shù)解析式即可解決問題；（2）將（1）中所得函數(shù)解析式，組成方程即可解決問題．（3）利用數(shù)形結合的數(shù)學思想，得到一次函數(shù)圖像位于反比例函數(shù)圖像上方部分的點的橫坐標的取值范圍即可解決問題．【詳解】（1）解：點的坐標為，，軸，且的面積為3，，，點的坐標為，將點代入，得，將點代入，得；（2）解：由（1）可知，，，令，解得，，經(jīng)檢驗，是原方程的解，當時，，點的坐標為；（3）解：由函數(shù)圖像可知，關于的不等式的解集為或．【變式2】（2025·山東濱州·一模）如圖，直線（，為常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于兩點．(1)求的值．(2)在雙曲線上任取兩點和．若，試確定和的大小關系，并寫出判斷過程．(3)請直接寫出關于的不等式的解集．【答案】(1)，(2)當或時，；當時，，判斷過程見詳解(3)或【知識點】求反比例函數(shù)解析式、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的結合，以及數(shù)形結合，（1）利用待定系數(shù)法求得，即可求得點中a的值；（2）根據(jù)反比例函數(shù)k，可知反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大，分情況討論即可；（3）結合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點，以及圖象位置關系即可求得滿足條件的x．【詳解】（1）解：將代入，得，雙曲線的解析式為．將代入，得．則，；（2）解：對于，故反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，且在每個象限內，隨的增大而增大，當或時，；當時，根據(jù)圖象可得．綜上所述，當或時，；當時，．（3）解：∵交于兩點，且，∴或．【變式3】（2025·黑龍江大慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與x軸交于點B．(1)求k和b的值；(2)連接，取線段上一點C，連接，使得與的面積比為，將線段繞點O逆時針旋轉，得到，判斷點是否落在函數(shù)（）的圖象上，并說明理由．(3)請直接寫出當時，x的取值范圍；【答案】(1)k和b的值分別為，5(2)點是落在函數(shù)的圖象上．理由見解析(3)或【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、根據(jù)旋轉的性質求解、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）將代入可求出b的值；將代入可求出k的值；（2）由一次函數(shù)的解析式求出B點坐標為．根據(jù)與的面積比為，得出C為中點，利用中點坐標公式求出C點坐標為．過點C作軸，垂足為D，過點作軸，垂足為E．根據(jù)證明，得出，又在第二象限，得出，進而判斷點是落在函數(shù)的圖象上；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可直接進行求解．【詳解】（1）解：將代入，得，，∴，將代入得，，解得，；（2）解：點是落在函數(shù)的圖象上．理由如下：∵，∴時，，解得，∴．∵與的面積比為，∴C為中點，∵，，∴，即．如圖，過點C作軸，垂足為D，過點作軸，垂足為E．∵將線段繞點O逆時針旋轉，得到，∴．∴．在與中，，∴，∴，∵在第二象限，∴，∴點是落在函數(shù)的圖象上．（3）解：由題意可聯(lián)立：，解得：或，∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)的另一個交點坐標為，由圖象可知：當時，x的取值范圍為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，線段中點坐標公式，全等三角形的判定與性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，都是基礎知識，需熟練掌握．【題型四】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求三角形面積問題【例1】（2025·貴州銅仁·模擬預測）如圖，雙曲線與直線交于A，C兩點，軸于B，且．(1)求直線的表達式；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，正確求出對應的函數(shù)解析式是解題的關鍵．（1）根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得，據(jù)此求解即可；（2）先求出反比例函數(shù)解析式，再求出點C坐標，設與x軸交于D，則，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】（1）解：∵軸，，且點A在雙曲線的圖象上，∴，∴，∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，∴，∴，∴直線的表達式為；（2）解：由（1）可知反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立，解得或，∴，.設與x軸交于D，則，∴，,∴．1.

找交點定頂點：聯(lián)立函數(shù)求交點坐標，確定三角形頂點（常含原點或坐標軸交點）。2.

拆圖形選底高：以坐標軸為底邊，頂點縱坐標/橫坐標為高，或用割補法拆分圖形。如頂點為A(x1,y1)、B(x2,y2)，與原點O構成三角形，面積可用12|x1y2-x2y13.

用k的幾何意義：反比例函數(shù)中，利用|k|與面積關系（如含原點的三角形面積為k24.

注意分類討論：交點分屬不同象限時，需分別計算各區(qū)域面積，避免漏解?！纠?】（2025·甘肅臨夏·一模）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（）在第一象限內的圖象相交于點，點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的解析式及點的坐標；(2)求直線與兩坐標軸圍成的的面積．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為，點的坐標為；(2)．【知識點】一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、求直線圍成的圖形面積、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時注意：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．（1）由點可求得，聯(lián)立得，求得，據(jù)此可求得點的坐標；（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，再求得，，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立得，解得，∵點在第一象限，當時，，∴點的坐標為；（2）解：設直線的解析式為，將，代入得，，解得，∴直線的解析式為，當時，，當時，，∴，，∴．【變式1】（2025·廣東中山·一模）如圖，直線與坐標軸交于點A、B，與雙曲線交于C、D兩點，其中點D坐標為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸上取一點，當?shù)拿娣e為12時，求m的值．(3)當時，根據(jù)圖象直接寫出此條件下x的取值范圍；【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為；(2)或；(3)x的取值范圍為或．【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)與幾何問題，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）分別求出點的坐標，再結合，得出點D的坐標為，再把點D的坐標代入，進行計算，即可作答．（2）因為直線與坐標軸交于點A、B，與雙曲線交于C、D兩點，則，解得，得出，結合的面積為12，列式計算，即可作答；（3）由，，運用數(shù)形結合思想，即可作答．【詳解】（1）解：在直線中，當時，，∴點A的坐標為，當時，，解得：，∴點B的坐標為，當時，，∴點D的坐標為，將點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式得：，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵直線與坐標軸交于點A、B，與雙曲線交于C、D兩點，∴，得或，∴，∵，，∴，∴，解得或；（3）解：∵，，觀察圖象可得：當時，x的取值范圍為或．【變式2】（2025·山東濟南·一模）如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點，一次函數(shù)與軸相交于點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)連接，，求的面積；(3)如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上點右側一點，連接，把線段繞點順時針旋轉，點的對應點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的表達式為；(2)16(3)點E的坐標為．【知識點】用勾股定理解三角形、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．也考查了等腰直角三角形的性質．熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．（1）將代入反比例函數(shù)的解析式求得m的值，再將代入，即可求解；（2）利用的面積，即可求解；（3）先設出點E的坐標，再利用旋轉的性質結合全等三角形的性質得出點F的坐標即可解決問題．【詳解】（1）解：將代入反比例函數(shù)，解得，∴，將代入，得，將，點代入，，解得，∴；（2）解：設一次函數(shù)與x軸交于點D，令，則，令，則，∴的面積；（3）解：設點E的坐標為，過點A作y軸的平行線l，分別過點E和點F作l的垂線，垂足分別為M和N，由旋轉可知，，，∴，∴．在和中，，∴．∴，．∵，點E的坐標為，∴，，∴點F的坐標為．∵點F在函數(shù)的圖象上，∴，解得，（舍去），所以點E的坐標為．【變式3】（2025·山東濟南·一模）直線與雙曲線交于點，交y軸于點．(1)求k，m的值；(2)如圖1，點E是直線上A點右側的一個動點，過點E作y軸的平行線，交反比例函數(shù)圖象于點D，連接，．①當時，求的面積；②如圖2，在①的條件下，將沿射線方向平移一定距離，得到，若點恰好落在反比例函數(shù)圖象上，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)，(2)①；②【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、坐標系中的平移【分析】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，平移的性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．（1）把坐標代入一次函數(shù)解析式求出的值，確定出一次函數(shù)解析式，再求出點坐標，將坐標代入反比例函數(shù)解析式求出的值，即可確定出反比例解析式；（2）①設的坐標為，表示出的坐標，兩點縱坐標之差即為的長，由已知的長求出的值，確定出的坐標，三角形面積以為底，橫坐標為高，求出即可；②連接，由平移可得：，根據(jù)兩直線平行時的值相同確定出直線的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求出交點的坐標，根據(jù)平移的性質，由平移到的路徑確定出平移到的路徑，進而確定出的坐標即可．【詳解】（1）解：∵點在直線上，，解得：，∴一次函數(shù)解析式為，∵在的圖象上，∴，∴，∵在的圖象上，，解得：．（2）解：①由（1）得反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為，設，則有，，，，解得：（舍去）或，，，；②連接，由平移可得：，即，∴直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得：或（不合題意，舍去），，即通過往右平移個單位，往上平移個單位得到，又由①中知，∴點往右平移個單位，往上平移個單位得到．【題型五】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中由面積求點的坐標問題【例1】（2025·山東淄博·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若是直線上的一個動點，的面積為21，求點坐標；(3)若，請直接寫出關于的不等式的解．【答案】(1)，(2)或(3)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題：（1）把代入可得反比例函數(shù)解析式；把代入反比例函數(shù)解析式求出n的值，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）記直線與直線的交點為，求出點C的坐標，設點，根據(jù)即可求解．（3）運用數(shù)形結合思想，得出當時，則或，即可作答．【詳解】（1）解：依題意把代入，得出，解得，反比例函數(shù)的解析式為：；把代入中，得出，，則把和分別代入，得出，解得，；（2）解：如圖，記直線與直線的交點為，當時，則，是直線上的一個動點，設點，的面積為21，，即，，解得或，點坐標為或．（3）解：依題意，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．則結合圖象，當時，則或．1.

設坐標表面積：設未知點坐標為(x,y)，代入函數(shù)解析式（如一次函數(shù)y=kx+b或反比例函數(shù)y=kx2.

定底高列方程：以坐標軸為底（如底邊為|a|），高為點的縱坐標/橫坐標絕對值（如|y|），根據(jù)面積公式S=12×底×高3.

用坐標公式簡化：三點A(x1,y1)、B(x2,y2)、O(0,0)構成的三角形面積可用S=12|x1y2-x2y14.

分類討論求解：分點在不同象限或函數(shù)分支討論，解方程后驗根，確保坐標滿足函數(shù)解析式及三角形存在性（三點不共線）?！纠?】（2025·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，且，與雙曲線交于點C、D，連接并延長與雙曲線交于點E，連接．(1)求直線的解析式；(2)若的面積為8，求點D的坐標；(3)若，求k的值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關系、求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，熟練利用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可解答；（2）利用中心對稱的性質可得，則可得，表示出坐標，再代入反比例函數(shù)解方程即可；（3）列方程得到，表示出點的坐標，根據(jù)即可得到點的坐標，代入反比例函數(shù)即可解答．【詳解】（1）解：把代入，可得，，即，，，把代入可得，解得，直線的解析式為；（2）解：延長與雙曲線交于點E，點關于原點中心對稱，，,設點的橫坐標為，點的橫坐標為，，，設，則點的橫坐標為，把代入直線解析式可得，，點都在雙曲線上，，解得，；（3）解：列方程，整理得，直線與雙曲線交于點C、D，點的橫坐標即為方程的兩個解，，設，則，且，把代入直線解析式可得，，，，，，解得（舍去），，把代入反比例函數(shù)可得，【變式1】（2025·江蘇南通·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象交，兩點，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點C．(1)求一次函數(shù)解析式；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象，直接寫出不等式的解集；(3)點P是x軸上一點，的面積等于面積的2倍，求點P坐標．【答案】(1)(2)或(3)或【知識點】求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式求點的坐標，根據(jù)三角形的面積求點的坐標，注意數(shù)形結合思想的應用．（1）利用待定系數(shù)法求出，的坐標即可解決問題．（2）觀察圖象寫出一次函數(shù)的圖象不在反比例函數(shù)的圖象下方的自變量的取值范圍即可解決問題．（3）根據(jù)，求出的面積，設，構建方程即可解決問題．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，，解得，，，，把、的坐標代入得，解得，一次函數(shù)的解析式為．（2）解：觀察圖象，不等式的解集為：或．（3）解：連接，，由題意，，設，由題意，解得，或．【變式2】（2025·山東濟南·一模）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點，點在線段的延長線上．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)如圖1，過點作軸的平行線，與的圖象交于點，與軸交于點，當線段時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，如圖2，連接并延長，與軸交于點，點為軸上一點，且滿足，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)【知識點】等邊對等角、相似三角形的判定與性質綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應用、坐標與圖形綜合【分析】（1）結合正比例函數(shù)先求出點，再利用待定系數(shù)法求解，即可解題；（2）根據(jù)題意設，進而得到，，再結合建立方程求解，即可解題；（3）方法一：根據(jù)坐標得到，結合等腰直角三角形性質證明，利用相似三角形性質進而求出，即可解題；方法二：根據(jù)坐標得到，結合等腰直角三角形性質證明，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進而得到，最后利用相似三角形性質進而求出，即可解題．【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)過點，∴，∴點，∵反比例函數(shù)過點，∴，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：∵點是在線段的延長線上，∴設，∵軸，且與的圖象交于點，與x軸的交點為點，∴，，∴，，∵，∴，解得（負值舍去），∴；（3）解：方法一：由（2）得，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，解得，∴；方法二：由（2）得得，，，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，解得，∴．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形，一元一次方程的應用，等腰直角三角形性質，相似三角形性質和判定，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．【變式3】（2025·四川成都·一模）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B，點A的橫坐標為，點B的橫坐標為2．(1)求k和b的值；(2)若點C在反比例函數(shù)第一象限內的圖象上，直線與直線交于點M，且，求點C的坐標；(3)若點C在反比例函數(shù)第一象限內的圖象上，點D是平面直角坐標系內的一點，且以點A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，求點C的坐標．【答案】(1)，(2)點C的坐標為或(3)點C的坐標為或【知識點】求矩形在坐標系中的坐標、相似三角形的判定與性質綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．（1）設點A的坐標為，代入反比例函數(shù)的表達式可得點B的坐標為，將點A，B的坐標分別代入，即可得到結論；（2）由（1）得，求得直線的函數(shù)表達式為，設．①當點M在線段上時；②當點M在線段的延長線上時；③，知，則點M不在線段的延長線上，于是得到結論；（3）設點C的坐標為，①當為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，②當為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）解：設點A的坐標為，代入反比例函數(shù)的表達式，得，∴點B的坐標為，將點A，B的坐標分別代入，得，解得，∴；（2）解：由（1），得，，∴直線的函數(shù)表達式為，∵直線與直線交于點M，∴點M在直線上，設，①如圖1，當點M在線段上時，∵，∴，由相似比及線段長度與坐標的關系，得，∴，解得，∴點M的坐標為，此時直線的函數(shù)表達式為x，由得（負值舍去），∴點C的坐標為；②如圖2，當點M在線段的延長線上時，∵，∴同①，得，∴，解得，∴點M的坐標為，∴直線的解析式為，由得（負值舍去），∴點C的坐標為；③由，知，則點M不在線段的延長線上，綜上所述，點C的坐標為或；（3）設點C的坐標為，且，①如圖3，當為矩形的邊時，過點B作x軸的平行線，分別過點A，C作這條平行線的垂線，垂足分別為M，N，則，∴，即，化簡，得，解得，（（與點B重合，舍去），∴點C；②如圖4，當為矩形的對角線時，過點C作y軸的平行線，分別過點A，B作這條平行線的垂線，垂足分別為P，Q，則，∴，∴，化簡，得，解得，（負值舍去），（負值舍去），（與點B重合，舍去）；∴點C的坐標為，綜上所述，點C的坐標為或．【題型六】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求線段長問題【例1】（2025·湖北孝感·一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點是軸上一點，過點作軸的垂線分別交反比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)圖像于點．(1)求的值；(2)若，求的長．【答案】(1)，(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)解析式求點的坐標等知識，解題的關鍵是熟練掌握點的坐標和函數(shù)解析式的關系．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用函數(shù)表達式求出點的坐標，利用點的特殊位置關系求線段長度．【詳解】（1）解：將代入，解得，，將代入，得，解得，．（2）解：由（1）知，反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)的解析式為，軸于，軸，，點的縱坐標都為1，將代入，得，將代入，得，，．1.

求端點坐標：聯(lián)立函數(shù)解析式求交點，或求函數(shù)與坐標軸交點（一次函數(shù)令x=0/y=0，反比例函數(shù)無坐標軸交點）。2.

用距離公式：已知兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)，線段長AB=(x3.

借函數(shù)性質簡化：利用一次函數(shù)斜率或反比例函數(shù)對稱性（如交點關于原點對稱時，線段長為原點到一點距離的2倍）。4.

注意分類與驗根：交點分屬不同象限時需分別計算，解方程后驗證坐標是否滿足題意，避免增根。【例2】（2025·河南安陽·一模）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)將直線向上平移3個單位后，與y軸交于點B，與的圖象交于點C，求的長．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為(2)【知識點】一次函數(shù)圖象平移問題、求反比例函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）作平移后的直線，過點C作軸于D，根據(jù)平移求出，得出點B的坐標為，求出C點坐標為，根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）解：把代入得：，解得，∴，把代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：作平移后的直線，過點C作軸于D，如圖：將直線向上平移3個單位后，其函數(shù)解析式為，當時，，∴點B的坐標為，聯(lián)立解析式得：，解得：，∴C點坐標為，∴，在中，∴．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應用，求反比例函數(shù)解析式，勾股定理，直線的平移，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．【變式1】（2025·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點，，與軸交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)過點作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點，連接，求的長．【答案】(1)，(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題和反比例函數(shù)與幾何的綜合應用．熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)表達式是解題的關鍵．（1）先將點的坐標代入中得到的值，從而得出反比例函數(shù)的表達式，再把點代入中，求出的值，最后根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達式；（2）先把代入中求出點的坐標，再由題意可以知道軸，得到點與點的縱坐標相等，從而求出點的坐標，最后根據(jù)勾股定理求出的長．【詳解】（1）解：將代入中，得反比例函數(shù)的表達式為．將代入中，得，．將，分別代入中，得，解得，一次函數(shù)的表達式為．（2）把代入得，點坐標為，由題意知點，點縱坐標相等，把代入中，得，點坐標為，，在中，．【變式2】（2025·遼寧·一模）如圖，點在反比例函數(shù)：（，）的圖象上，過點，過點作的切線：（）交、軸于、，連接．(1)求的值；(2)求證：的面積為常數(shù)．【答案】(1)(2)見解析【知識點】求反比例函數(shù)解析式、已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積、相似三角形的判定與性質綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）將點代入，計算即可求解；（2）求出的解析式，聯(lián)立直線與反比例函數(shù)的解析式整理得，由雙曲線與直線的位置關系是相切得，設，將式代入可知：，過作軸于點，即軸，，證明，即為中點，根據(jù)三線合一的性質，得，又，所以，最后根據(jù)相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）解：將代入，得，解得：；（2）解：設：（），聯(lián)立，得到：，，上式化簡為：，雙曲線與直線的位置關系是相切，，設，將式代入可知：，過作軸于點，即軸，，，即為中點，，即，根據(jù)三線合一的性質，得，根據(jù)雙曲線的性質，得，，，，即知的面積為常數(shù)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．【變式3】（2025·山東日照·一模）如圖1，反比例函數(shù)（）的圖象過點，直線：與軸交于點．(1)求和的值．(2)點，點均在第一象限，且滿足，直接寫出的取值范圍．(3)如圖2，若直線與反比例函數(shù)（）的圖象只有一個公共點．連接，，求證：．【答案】(1)，(2)(3)見解析【知識點】求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用，正確運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．（1）把點代入反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式中可求出和的值，（2）先判斷出點，點分別在反比例函數(shù)和直線上，得出交點坐標，根據(jù)可得結論．（3）聯(lián)立和，根據(jù)直線與反比例函數(shù)（）的圖象只有一個公共點求出，求出C點和B點的坐標，根據(jù)兩點間距離公式求出，，從而可得結論．【詳解】（1）解：把點代入反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式中可得：，，解得，，；（2）解：由（1）知，∴點，點，∴點P在反比例函數(shù)的圖象上，點Q在直線上，∴由（1）知兩函數(shù)圖象交點坐標為，∴當，的取值范圍是．（3）解：由（1）知直線的解析式為，聯(lián)立方程組得，，整理得，，∵直線與反比例函數(shù)（）的圖象只有一個公共點，∴，解得，，∴反比例函數(shù)的解析式為；∵與軸交于點，∴令，則∴，聯(lián)立方程組，解得，，∴，∵，∴，，∴．【題型七】一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求線段和最小值問題【例1】（24-25九年級上·廣東河源·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于和兩點，過點作軸的垂線，垂足為點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)在軸上求一點，使的值最小，并求出此時點的坐標．【答案】(1)，(2)(3)見解析，【知識點】一次函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、坐標與圖形變化——軸對稱、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、求一次函數(shù)解析式、軸對稱的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點的坐標為，再由三角形面積公式計算即可得解；（3）作點關于軸的對稱點，則點的坐標為，連接，交軸于點，點即為所求．先求出直線的解析式，即可得解．【詳解】（1）解：將點代入，得，．一次函數(shù)的解析式為．將點代入，得，．反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：在反比例函數(shù)中，令，得．點的坐標為．．（3）解：如圖，作點關于軸的對稱點，則點的坐標為，連接，交軸于點，點即為所求．設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為．令，得．點的坐標為．1.

幾何對稱法：利用軸對稱轉化線段和，如將軍飲馬模型。將某定點關于動點所在函數(shù)（如一次函數(shù)直線）對稱，連接對稱點與另一動點，交點即為最小值點。2.

代數(shù)表達式法：設動點坐標（如一次函數(shù)上點(x,kx+b)或反比例函數(shù)上點(x,mx），用距離公式表示線段和，轉化為二次函數(shù)或利用不等式求最值，注意定義域（x≠3.

聯(lián)立與判別式：若線段和涉及兩動點（分別在一次函數(shù)與反比例函數(shù)上），聯(lián)立表達式后，通過判別式判斷方程有解時的參數(shù)最小值。4.

分象限討論：反比例函數(shù)分象限，需分析動點在不同象限時的路徑，避免遺漏最小值情況?！纠?】（2024·河南周口·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達式與的值．(2)若為軸上的一點，求的值最小時點的坐標．【答案】(1)，(2)點的坐標為【知識點】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．（1）把A點坐標代入反比例函數(shù)解析式，進而求出反比例函數(shù)解析式，把點代入反比例函數(shù)，求出B點坐標即可；（2）作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為滿足條件的點．先求出直線的表達式，然后求出直線與y軸的交點坐標即可．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象過點，，反比例函數(shù)的表達式為，點在反比例函數(shù)的圖象上，，．（2）解：如圖，作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為滿足條件的點，連接．根據(jù)軸對稱可知：，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時最小，即最小，點的坐標為，點的坐標為，設直線的表達式為，，解得：，直線的表達式為．當時，，點的坐標為．【變式1】（2024·河南信陽·二模）如圖所示，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，過作軸于點，且．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)設點是軸上一點，是否存在，使得最小?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，，理由見詳解【知識點】求反比例函數(shù)解析式、用SAS證明三角形全等（SAS）、特殊三角形的三角函數(shù)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）根據(jù)題意求得，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）作的垂直平分線交于點，交軸于點，連接和，根據(jù)中點坐標公式求出的坐標，進而求出，通過證明，得到是等腰直角三角形，即可得算出的值．【詳解】（1）由可得，即．軸于點，點的橫坐標為點在直線上點的縱坐標為即反比例函數(shù)的解析式為．（2）存在，使得最小，此時點在線段的中垂線與軸的交點上．作的垂直平分線交于點，交軸于點，連接和的垂直平分線交于點要使得最小，點在線段的中垂線與軸的交點上點坐標為，點坐標為線段的中點坐標為．點是與軸的交點，解得：軸是等腰直角三角形點坐標為【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、中點坐標公式、特殊角的三角函數(shù)值以及最小值問題，正確的作出輔助線是解題的關鍵．【變式2】（2024·黑龍江大慶·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知點A的坐標為，點B的坐標為．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)結合圖象，請直接寫出不等式的解集；(3)在y軸上是否存在一點P，使得周長最小，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)或(3)存在，【知識點】線段問題(軸對稱綜合題)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例解析式與一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．（1）把坐標代入反比例解析式求出的值，即可確定出反比例解析式；把坐標代入反比例解析式求出的值，確定出坐標，由與坐標，利用待定系數(shù)法確定出直線解析式即可；（2）根據(jù)題意得出不等式的解集即為直線在反比例函數(shù)下面的部分，結合圖象即可得出結果；（3）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時三角形周長最小，求出直線解析式即可知道點的坐標．【詳解】（1）把代入反比例解析式得：，即，則反比例解析式為；點的坐標為，，解得：，，把與坐標代入一次函數(shù)解析式得：，解得：，一次函數(shù)的解析式為；（2）由（1）得，，，即為直線在反比例函數(shù)下面的部分和交點，或；（3）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時三角形周長最小，根據(jù)題意和作圖可知，，，設直線解析式為，，解得，直線解析式為，．【變式3】（2024·山東濟南·三模）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與一次函數(shù)的圖象在同一坐標系中．(1)如圖1，當反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點時，求n的值；(2)如圖2，當直線經(jīng)過點A時，它與反比例函數(shù)的另一個交點記為B，在y軸上找一點M，使的周長最小，求出M的坐標及周長的最小值；(3)如圖3，點P是反比例函數(shù)圖象上A點左側一點，連接，把線段繞點A逆時針旋轉，點P的對應點Q恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點P的坐標．【答案】(1)(2)周長的最小值為，點M的坐標為(3)【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)旋轉的性質求解、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；（2）將代入反比例函數(shù)的解析式求得，再將代入，即可求解出n的值，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，求出點B的坐標，作點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸與點M，連接，此時的周長最小，為的長，利用兩點的距離公式解答即可，設直線解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，令，即可求出點M的坐標；（3）過點作x軸的垂線，與過點作軸的平行線，分別交于點，設點，證明，根據(jù)，得到，進而得出，根據(jù)點在反比例函數(shù)上，代入解析式，求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，則，即，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有一個公共點，，即，；（2）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，，將代入，則，，一次函數(shù)的解析式為：，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式得，則，即，，當時，，根據(jù)題意得：，作點A關于y軸的對稱點，連接，交y軸與點M，連接，則，，，此時的周長最小，為的長，，；設直線解析式為，則，解得，直線解析式為，令，則，點M的坐標為；（3）解：過點作x軸的垂線，與過點的軸的平行線，分別交于點，設點，，，，由旋轉知：，，，，，，，點在反比例函數(shù)上，，即，解得或（舍去），∴．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，軸對稱求最短距離，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質．利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；熟練掌握對稱的性質及等腰三角形的性質是解題的關鍵．【題型八】利用反比例函數(shù)的圖象和性質探究平移問題【例1】（2024·廣東深圳·一模）參照學習函數(shù)的過程與方法，探究函數(shù)的圖象與性質，因為即所以我們對比函數(shù)來探究．列表：x…1234……124……2350…描點：在平面直角坐標系中以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點如圖所示；(1)請把y軸左邊各點和右邊各點分別用一條光滑曲線，順次連接起來；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：當時，y隨x的增大而；（填“增大’或“減小”）的圖象可看作是由的圖象向平移個單位而得到的；圖象的兩個分支關于點中心對稱；（填點的坐標）(3)試說明函數(shù)與直線的交點情況．【答案】(1)見解析；(2)①增大；②上、1；③；(3)無交點【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息、由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標、判斷反比例函數(shù)的增減性、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質．熟練掌握描點法繪制函數(shù)圖象，函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的對稱性和增減性，是解題的關鍵．（1）用光滑曲線順次連接即可；（2）利用圖象法即可解決問題；（3）聯(lián)立方程根據(jù)方程組解的情況判斷，即可解決問題．【詳解】（1）把y軸左邊各點和右邊各點分別用一條光滑曲線，順次連接起來，如圖，（2）當時，y隨x的增大而增大；故答案為：增大；的圖象可看作是由的圖象向上平移1個單位而得到的；故答案為：上、1；圖象的兩個分支關于點中心對稱；故答案為：；（3）解方程組，代入，消去y，得，，去分母，得，，矛盾，x值不存在，故函數(shù)與直線無交點．1.

解析式平移規(guī)律：反比例函數(shù)y=kx平移后形如y=kx??+m（右移h，上移m），對稱中心由原點(0,0)變?yōu)?h,m)，漸近線為x=h和y=2.

性質遷移：平移后k值不變，保持原函數(shù)的增減性和對稱性，通過對比標準式確定平移方向與距離。3.

數(shù)形結合：先畫原函數(shù)圖象，按平移單位移動漸近線和關鍵點（如(1,k)），再補全雙曲線，利用對稱中心分析交點、距離等問題。4.

化歸思想：將平移后的函數(shù)通過變量代換（如令x'=x-h）還原為標準式，套用原有性質解題。【例2】（2024·湖南株洲·一模）小明學習正比例函數(shù)和反比例函數(shù)時，見到如下“疊合”函數(shù)，其中函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，請幫小明完成一下問題：(1)求該“疊合”函數(shù)的表達式；(2)如圖是該函數(shù)圖象的一部分，完成表格中的數(shù)據(jù)，并補全y關于x的函數(shù)圖象；x…1234…y…________________________________…(3)下列結論：①該函數(shù)圖象關于直線對稱；②該函數(shù)圖象關于直線對稱；③當時，隨的增大而增大；④當函數(shù)值時，x的取值范圍是或．其中結論正確的是_______（填序號）．【答案】(1)(2)見解析(3)③④【知識點】用描點法畫函數(shù)圖象、正比例函數(shù)的定義、求反比例函數(shù)解析式、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，疊合”函數(shù)的圖象和性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．（1）把，代，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用解析式計算填表即可，然后描點、連線畫出函數(shù)的圖象；（3）利用函數(shù)的圖象判斷即可．【詳解】（1）解：把，代，得：，解得：，∴該“疊合”函數(shù)的表達式為；（2）令，1，2，3，4，則，0，，，，完成表格中的數(shù)據(jù)如下：x…1234…y…0…補全y關于x的函數(shù)圖象如圖：（3）觀察圖象：①該函數(shù)圖象關于直線對稱，結論錯誤；②該函數(shù)圖象關于直線對稱，結論錯誤；③當時，隨的增大而增大，結論正確；④當函數(shù)值時，的取值范圍是或，結論正確．故答案為：③④．【變式1】（2024·山東濟南·模擬預測）通過課本上對函數(shù)的學習，我們積累了一定的經(jīng)驗．以下是探究函數(shù)的圖象和性質的部分過程，請按要求完成下列各題．x…2345678…y…9a32b…(1)①列表，表中________，________；②描點：根據(jù)表中數(shù)值，描出①中的點；③連線：在平面直角坐標系中，請用平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象；(2)觀察畫出的圖象，請寫出該函數(shù)的兩條性質：①；②；(3)結合函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象如何變換得到．【答案】(1)①5；；②見解析；③見解析(2)見解析(3)函數(shù)的圖象可由函數(shù)先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到【知識點】求反比例函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)值、判斷（畫）反比例函數(shù)圖象、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題主要考查了畫反比例函數(shù)圖象，求反比例函數(shù)值，反比例函數(shù)圖象的性質等等：（1）①先把，代入解析式求出函數(shù)解析式，再分別求出當時，當時y的值即可得到答案；②在坐標系中描點即可；③根據(jù)所描的點連線即可；（2）根據(jù)所畫函數(shù)圖象進行求解即可；（3）觀察函數(shù)圖象可得函數(shù)的圖象可由函數(shù)先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到．【詳解】（1）解：∵當時，，∴，∴，∴對應的函數(shù)解析式為，∴當時，，當時，，故答案為：①5；；②如圖所示，即為所求；③如圖所示，即為所求；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當時，y隨x增大而減小；當，函數(shù)有最小值；（3）解：觀察函數(shù)圖象，可知函數(shù)的圖象可由函數(shù)先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的．【變式2】（2024·四川達州·模擬預測）小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質進行了探究，請補充完整：(1)，再根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用描點法在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；0123230(2)結合函數(shù)的圖象，說出兩條不同類型的性質；①；．②的圖象是由的圖象如何平移得到？．(3)當函數(shù)值時，x的取值范圍是．【答案】(1)5，見解析(2)①函數(shù)圖象為雙曲線；關于點中心對稱；②向左平移一個單位，再向上平移一個單位(3)或【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關鍵是理解題意，數(shù)形結合解決問題．（1）把代入解析式即可求得的值，利用描點法畫出函數(shù)圖象即可（2）①根據(jù)圖象解答問題即可；②根據(jù)平移的性質解決問題即可．（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）解：把代入得，，，畫出函數(shù)圖象如圖：故答案為：5；（2）解：觀察圖象，①函數(shù)圖象為雙曲線；關于點中心對稱；故答案為：函數(shù)圖象為雙曲線；關于點中心對稱；②的圖象是由的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位得到；故答案為：向左平移一個單位，再向上平移一個單位；（3）解：由圖象可知，當函數(shù)值時，的取值范圍是或．故答案為：或．【變式3】（2024·山東濟南·二模）探究函數(shù)性質時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程．數(shù)學興趣小組的同學們準備結合已有的學習函數(shù)的經(jīng)驗，畫出函數(shù)的圖象并探究該函數(shù)的性質，x01234y…36ab(1)【圖象初探】列表，寫出表中的值：______，______；并觀察表格中數(shù)據(jù)的特征，在所給的平面直角坐標系中補全該函數(shù)的圖象．(2)【性質再探】觀察函數(shù)圖象，下列關于函數(shù)的結論正確的是_______．①函數(shù)的圖象關于y軸對稱．②函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三、四象限．③當時，函數(shù)有最大值，最大值為6．④在自變量的取值范圍內，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)【學以致用】寫出直線與函數(shù)有兩個交點時，a的取值范圍，并說明理由．【答案】(1)，，補全該函數(shù)的圖象見解析(2)①②③(3)，理由見解析【知識點】求自變量的值或函數(shù)值、用描點法畫函數(shù)圖象、判斷反比例函數(shù)的增減性、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，會畫函數(shù)的圖象和識別圖象是解題的關鍵．（1）分別將，代入函數(shù)解析式求解即可，再根據(jù)表格中數(shù)據(jù)即可補全函數(shù)圖象；（2）根據(jù)圖象的增減性和最值及對稱性求解；（3）仿照函數(shù)，作出圖象，結合圖象可知函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍為，進而結合圖象即可求解．【詳解】（1）當時，，當時，，即：，，補全該函數(shù)的圖象如下：故答案為：，；（2）由表格中的數(shù)據(jù)知：圖象關于軸對稱，故①是正確的；∵，∴，∴圖象不經(jīng)過三、四象限，故②是正確的；∵，∴，∴的最大值為6；由圖象得，當時，隨的增大而減小，故④是錯誤的；故答案為：①②③；（3）類比函數(shù)，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍為，結合圖象可知，直線與函數(shù)有兩個交點時，．【題型九】反比例函數(shù)與三角形的綜合問題【例1】（2025·江蘇宿遷·一模）在直角坐標系中，已知，設函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是1，點的縱坐標是．(1)求，的值；(2)根據(jù)圖像，直接寫出當時自變量的取值范圍；(3)若直線與軸、軸分別交于、兩點，在軸上找一點，使得以、為頂點的三角形與相似，請直接寫出點坐標．【答案】(1)，(2)或(3)或【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了反比例函數(shù)，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可求解；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解；（3）分兩種情況：或討論，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質求解即可．【詳解】（1）解：對于，當時，，∴，代入，得，∴，∴，當時，，解得，∴代入，得，解得；（2）解：觀察函數(shù)圖象知：當時，自變量x的取值范圍為或；（3）解：由（1）知：，當時，，∴，當時，，解得，∴，∴，，∴，∵，∴當時，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；當時，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；綜上，點P的坐標為或．1.

用k的幾何意義：過雙曲線上一點作坐標軸垂線，對應三角形面積為k22.

設坐標聯(lián)方程：設雙曲線上點坐標為(x,kx3.

選底高或公式：以坐標軸為底，用點縱坐標/橫坐標絕對值為高，或用坐標公式S=12|x1y2-x2y14.

分類與對稱性：分點在不同象限討論，利用雙曲線關于原點對稱性簡化計算，注意絕對值方程的多解性?！纠?】（2024·四川內江·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，已知點A坐標為，點B的坐標為．(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；(2)觀察圖象直接寫出滿足時的x的取值范圍；(3)P為x軸上一動點，當三角形為等腰三角形時，求點P的坐標．【答案】(1)，(2)或；(3)或或或．【知識點】等腰三角形的定義、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應用、用勾股定理解三角形【分析】（1）利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；（2）直接由圖象一次函數(shù)在反比例函數(shù)上邊時對應的取值；（3）存在三種情況：，，，根據(jù)點的坐標綜合圖形可得點的坐標．【詳解】（1）解：點坐標為，把點的坐標代入得：，反比例函數(shù)的解析式是；把點的坐標為代入得：，解得：，；把、兩點的坐標代入中得：，解得：，一次函數(shù)的解析式為：；（2）如圖，由圖象得：時的取值范圍是：或；（3）當是等腰三角形時，存在以下三種情況：當時，如圖，，，或；當時，如圖，

設，∴，解得：或（不符合題意舍去），；當時，如圖，過作軸于，

設，則，，，，，；綜上，的坐標為或或或．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，主要考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的應用，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像與性質，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，本題難度適中，運用分類討論思想是解答本題的關鍵．【變式1】（2024·四川廣安·模擬預測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點．(1)求k與m的值；(2)為x軸上的一動點，當?shù)拿娣e為時，求a的值；(3)已知點Q在x軸上，若以點A，B，Q為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點Q的坐標．【答案】(1)(2)，(3)或【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、用勾股定理解三角形、判斷直線和圓的位置關系【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題、三角形相似的判定和性質、勾股定理等知識點，（1）把點C的坐標代入一次函數(shù)的解析式求出k，再求出點A的坐標，把點A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式中，可得結論；（2）根據(jù)，構建方程求解即可；（3）A、B、Q分別為直角頂點三種情況進行討論即可求解；熟練掌握分類求解是解決此題的關鍵．【詳解】（1）把代入，得，∴，把代入，得，∴，把代入，得，∴；（2）當時，，∴，∵為x軸上的動點，∴，∴，，∵，∴，∴或，∴點，故a的值為3或；（3）當點B為直角頂點時，過點B作交x軸于點，如圖所示：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當點A為直角頂點時，過點A作于點，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當點Q為直角頂點時，即Q點在以為直徑的圓上，作的中點P，過P作軸交坐標軸于點D，如圖所示，∵，∴，即以為直徑的圓不與x軸相交，∴此情況不存在，故Q點的坐標為：或．【變式2】閱讀材料：有一邊是另一邊的倍的三角形叫做卓越三角形，這兩邊中較長邊稱為卓越邊，這兩邊的夾角叫做卓越角．

(1)在中，，若為卓越角，為卓越邊，則的度數(shù)為________；(2)如圖①，卓越中，，是卓越角，為卓越邊，若，求的長；(3)如圖②，卓越中，為卓越邊，為卓越角，且，點、均在函數(shù)的圖象上，點在點的上方，點的縱坐標為．當是直角三角形時，求的值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質綜合、等邊三角形的判定和性質、用勾股定理解三角形【分析】（1）連接點C和中點D，根據(jù)題意得出，設，則，則，通過證明為等邊三角形，得出，即可求解；（2）過點B作于點H，易得，根據(jù)題意得出，求出，最后根據(jù)即可解答；（3）根據(jù)題意得出，然后進行分類討論：①當時，過點B作軸于點N，過點C作于點M，通過證明，設，則，得出，，即可解答；②當時，過點B和點C作x軸的垂線，垂足分別為點F和點E，通過證明，設，則，則，設，則，得出，，即可解答．【詳解】（1）解：連接點C和中點D，∵為卓越角，為卓越邊，∴，設，則，根據(jù)勾股定理可得：，∵，點D為中點，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，故答案為：；

（2）解：過點B作于點H，∵，，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，解得：，∵是卓越角，為卓越邊，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∴；

（3）解：∵卓越中，為卓越邊，為卓越角，∴，①當時，過點B作軸于點N，過點C作于點M，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，設，則，∵，點的縱坐標為，∴，，∴，∴，把，代入得：，解得：（舍去），∴；

②當時，過點B和點C作x軸的垂線，垂足分別為點F和點E，∵，∴，∵軸，軸，∴，∴，∴，∴，設，則，根據(jù)勾股定理可得：，∴，設，則，∵，點的縱坐標為，∴，，∴，∴，把，代入得：，解得：（舍去），

綜上：．【點睛】本題主要考查了新定義，反比例函數(shù)的圖象和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握相關性質定理，正確理解題目所給“卓越三角形”的定義是解題的關鍵．【變式3】（2025·山東濟南·二模）兩個全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標系中，在x軸上，已知，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．(1)求k的值．(2)把沿射線移動，當點D落在圖象上時，求點D經(jīng)過的路徑長．(3)如圖2，點O與點M關于點A成中心對稱，連接把繞點B逆時針旋轉得到三角形，所在直線與x軸交點Q，所在直線與反比例函數(shù)交于點P，試問，是否存是否存在的一個值，使得，若存在請求出點P的坐標及的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)；【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求角的正切值、全等的性質和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質和判定【分析】（1）根據(jù)題意求得點B的坐標，再代入求得k值即可；（2）設平移后與反比例函數(shù)圖象的交點為，由平移性質可知，過作軸于點E，交于點F，設交y軸于點M，根據(jù)已知條件可求得點D的坐標為，設橫坐標為t，則，即可得，由此可得，解方程求得t值，利用勾股定理求得的長，即可得點D經(jīng)過的路徑長；（3）證明，得出，根據(jù)中心對稱的性質得出，，求出點P的橫坐標為，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式為，得出點P的縱坐標為，作于點H，證明為等腰直角三角形，得出，求出，根據(jù)三角函數(shù)定義求出結果即可．【詳解】（1）解：∵和為全等三的等腰直角三角形，，∴，∴點B坐標為，把代入得：；（2）解：設平移后與反比例函數(shù)圖象的交點為，由平移性質可知，過作軸于點E，交于點F，設交y軸于點M，如圖，∵，，∴，∴D坐標為，設橫坐標為t，則，∴，∴，∴，∵在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得：或（舍去），∴，∴，即點D經(jīng)過的路徑長為．（3）解：存在，理由如下：當，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵點O與點M關于點A成中心對稱，∴，，∴，∴，∴點P的橫坐標為，由（1）可知，反比例函數(shù)的解析式