/上海市嘉定區(qū)2024_2025學(xué)年高二下3月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題）1．函數(shù)y=2x在2．若x＜0時，指數(shù)函數(shù)y=a?1x的值總大于1，則實數(shù)3．若向量a=1,?3是直線l4．若方程x2k?4+y25．若關(guān)于x的不等式x+1+x?2＞a對于一切實數(shù)x6．若fx=x+1x在137．若，則.8．已知點P?22,2在拋物線C:y29．已知點A?1,0，B1,0，若直線l：kx?y=0上存在點P，使得PB=210．若方程lnx?kx=0有且僅有一個實數(shù)，則實數(shù)k11．“曼哈頓距離”是人工智能中常用的一種測距方式．定義平面上兩點Px1,y1，Qx2,y2之間的“曼哈頓距離”為dP,Q=x1?12．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1+1?i+二、單選題（本大題共4小題）13．x∈R，且下列式子有意義，則下列代數(shù)式中最小值為2的是（）A．x+1x B．C．x2+4x214．若函數(shù)，則等于（

）A． B．0 C．1 D．215．如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（

）A． B．C． D．16．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a＞0,b＞0，圓C:x?12+yA．1,95 B．0,113 C．113三、解答題（本大題共5小題）17．（1）已知關(guān)于x，y的方程組3x?y=2a?5x+2y=3a+3的解都為正數(shù)，求實數(shù)a（2）已知a＞1，b＞1，M=a2a?1+b2b?118．已知函數(shù)fx=x2+ax?2b+1(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若對?x∈1,2，fx?2+3k?019．設(shè)m為實數(shù)，已知函數(shù)fx(1)求m的值；(2)求證：fx20．汽車的前燈、探照燈、反射式的天文望遠(yuǎn)鏡以及日常生活中使用的手電筒，它們的反光鏡都是采用旋轉(zhuǎn)拋物面，即拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面.這種反光鏡（拋物鏡面）有一個很好的光學(xué)特性：把光源放在拋物線的焦點處，經(jīng)鏡面反射后的光線變成了與對稱軸平行的光束.現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來證明這個性質(zhì).如圖所示，不妨設(shè)拋物線y2=4x的焦點為(1)求拋物線上任一點Px1,y1處的切線PQ(2)證明：∠FPQ=∠FQP，并由此說明對于拋物鏡面來說，從焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)鏡面反射后的反射光線一定與該鏡面的對稱軸（x軸）平行.21．已知拋物線的頂點為，過焦點的直線交拋物線于兩點．(1)若，求線段中點到軸的距離；(2)設(shè)點是線段上的動點，頂點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值；(3)已知，過點作直線分別交拋物線于兩點，作直線分別交拋物線于兩點，且，設(shè)直線與直線的交點為，求直線的斜率．

答案1．【正確答案】?12/【詳解】增量為f2+d函數(shù)的平均變化率為?d2+d而lim?12+d2．【正確答案】1,2【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0＜a?1＜1解得1＜a＜2.3．【正確答案】π6【詳解】因為向量a=1,?3所以直線l的斜率k=?1?31=則k=tanα=3所以直線l的傾斜角α=π4．【正確答案】?∞,4【詳解】由方程x2k?4+所以k?4＜06?k＞0，解得k＜4，所以k的取值范圍是?∞,45．【正確答案】?∞,3【詳解】x??1時，x+1+?1＜x＜2時，x+1+x?2時，x+1+則x+1+故a＜，故實數(shù)a的取值范圍是?∞,3.6．【正確答案】3【詳解】由fx=x+1x=103由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=x+1x在0,1上單調(diào)遞減，在當(dāng)13＜m?1時，函數(shù)fx在1當(dāng)m＞1時，函數(shù)fx在13,1由題意可得fm?f3綜上，13＜m?3，因此，實數(shù)m的最大值為7．【正確答案】【詳解】由題意：，所以.8．【正確答案】92【詳解】因為點P?22,2所以4=?42p，解得所以拋物線C:y2=?所以點P到拋物線C焦點的距離是d=29．【正確答案】?4【詳解】解：設(shè)點Px,y∵點A?1,0，B1,0，∴x+12+y2=2×x?12又∵直線l:kx?y=0上存在點P使得PB=2∴圓x?532∴圓心53,0到直線l的距離d=53k10．【正確答案】k=1e或【詳解】由lnx?kx=0可得k=記fx=ln故當(dāng)x∈e,+∞時，f′x當(dāng)x∈0,e時，f′x又fe=1e，且當(dāng)x→+∞,fx故作出fx故lnx?kx=0有且僅有一個實數(shù)，則k=1e11．【正確答案】10【詳解】由dM,F1+dM,將?x代換x，方程不變，可知曲線C關(guān)于y軸對稱；將?y代換y，方程不變，可知曲線C關(guān)于x軸對稱；根據(jù)x，y對稱性可知，只需討論x?0，y?0即可．此時6=x+2+x?2可得軌跡C在第一象限內(nèi)與x軸和y軸所圍成的面積為12所以C的面積為4×512．【正確答案】6【詳解】設(shè)z1=x+yi，（其中x∈R,y∈R,i是虛數(shù)單位），z1則z1=x+1即點Z1的軌跡是以?1,1且該橢圓的長軸在直線y=?x上，短軸在直線y=x上．長半軸長為a=6，半焦距c=12因為p＞0，所以p+8p?2p×8設(shè)z2在復(fù)平面的對應(yīng)點為Z即點Z2的軌跡為射線y=x若使得z1?z即點Z1為橢圓在第一象限內(nèi)的短軸端點，點Z2為射線y=xx?4z113．【正確答案】B【詳解】對于選項A，當(dāng)x＜0時，x+1對于選項B，易知2x＞0，因為當(dāng)且僅當(dāng)2x=1對于選項C，易知x≠0，所以x2＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)x2=4對于選項D，易知x2+2?當(dāng)且僅當(dāng)x2+2=所以x2故選B.14．【正確答案】D【詳解】依題意，，所以.故選：D.15．【正確答案】A【詳解】顯然圖象關(guān)于y軸對稱，即把x換成方程不變，可知CD錯誤；對于B：令，可得，解得或，不合題意；故選：A.16．【正確答案】C【詳解】圓C:x?12+y2故a=2,c=4，根據(jù)雙曲線定義得PF1?令t=PF1又函數(shù)y=t+16t在區(qū)間2,4上單調(diào)遞減，在區(qū)間4,+∞上單調(diào)遞增，故所以PF22故選C.17．【正確答案】（1）1,+∞；（2）M?N【詳解】（1）根據(jù)方程組3x?y=2a?5x+2y=3a+3，解得x=a?1又因為關(guān)于x，y的方程組的解都為正數(shù)，所以x=a?1＞0y=a+2＞0，解得a＞1a＞?2，即所以實數(shù)a的取值范圍為1,+∞.（2）因為M=a2a?1又因為a＞1，b＞1，所以a?1＞0，b?1＞0，a+b＞0，a2所以M?N=?a+ba?b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時M=N.18．【正確答案】(1)a=?1b=(2)k?8【詳解】（1）因為x2+ax?2b+1＜0的解集為所以x2+ax?2b+1=0的兩根為所以?a=?2+3=1,?2b+1=（2）由（1）得fx?x∈1,2，fx?2+3k?0因為當(dāng)x∈1,2時，f所以fxmin=f1=?619．【正確答案】(1)2(2)證明見解析【詳解】（1）函數(shù)fx則f0=1?m經(jīng)檢驗，當(dāng)m=2時，fx則f?x=5所以m的值為2.（2）由（1）可知，fx=1?2則fx1?f所以5x1?故fx1?f所以fx是R20．【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)點Px1,y1在x∴y′=1x，故在點∴所求切線的方程為PQ:y?y由y1=2x當(dāng)點Px1,y1在x∴y′=?1x，故在點∴所求切線的方程為PQ:y?y由y1=?2x綜上得，當(dāng)點Px1,y1在x軸上方時，切線PQ的方程為y=xx1+（2）不妨設(shè)點P在x軸上方，要證∠FPQ=∠FQP，即證FP=在直線PQ:y=xx1+x1中，令∴FQ=1+x1∴FP=FQ，故由鏡面反射得，∠α=∠β，∵∠α=∠FPQ=∠FQP=∠γ，∴∠β=∠γ，∴對于拋物鏡面來說，從焦點出發(fā)的入射光線經(jīng)鏡面反射后的反射光線一定與該鏡面的對稱軸（x軸）平行.21．【正確答案】(1)；(2)16；(3).【詳解】（1）設(shè)，因為過焦點的直線交拋物線于兩點，且，所以由拋物線的性