河南省南陽(yáng)市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A． B． C． D．2．已知：，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C． D．23．如圖是底面半徑為的圓錐，將其放倒在水平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在水平面內(nèi)首次轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了周，則滾動(dòng)過(guò)程中該圓錐上的點(diǎn)到水平面的距離最大值為（

）A． B． C． D．4．已知向量若則與的夾角為（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，平面向量，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．6．如圖，一個(gè)三棱錐容器的三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D，E，F(xiàn)，經(jīng)測(cè)量知，這個(gè)容器最多可盛原來(lái)水的（

）

A． B． C． D．7．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的對(duì)稱中心為B．若，則的最大值為C．若，且，則圓心角為，半徑為3的扇形的面積為D．若，則8．如圖，在直角梯形中，已知，，，，現(xiàn)將沿折起到的位置，使二面角的大小為45°，則此時(shí)三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列有關(guān)復(fù)數(shù)內(nèi)容表述正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則一定為純虛數(shù)B．對(duì)任意的復(fù)數(shù)均滿足：C．設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的兩根為，，則D．對(duì)任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，，若，則，至少有一個(gè)為10．已知函數(shù)，且，則（

）A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減11．如圖，在正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別為側(cè)棱，上的異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則不可能存在這樣的點(diǎn)，使得B．若，，則C．若平面，則D．周長(zhǎng)的最小值是三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.13．如圖，在中，，，，的角平分線交于，交過(guò)點(diǎn)且與平行的直線于點(diǎn)，則.14．設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則的最大值是.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知復(fù)數(shù)滿足，求；（2）設(shè)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍.16．已知為銳角，為鈍角，且，.(1)求的值；(2)求的值.17．在中，，.(1)求證：；(2)若，，求的值.18．如圖，平面，底面為矩形，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，分別是，上的點(diǎn)，且，為上任意一點(diǎn)，試判斷：三棱錐的體積是否為定值？若是，請(qǐng)證明并求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，.圓與的邊及，的延長(zhǎng)線相切（即圓為的一個(gè)旁切圓），圓與邊相切于點(diǎn).記的面積為，圓的半徑為.(1)求證：；(2)若，，①求的最大值；②當(dāng)時(shí)，求的值.

參考答案1．【答案】C【分析】運(yùn)用二倍角余弦公式可解.【詳解】運(yùn)用二倍角余弦公式得到.故選C.2．【答案】A【分析】先運(yùn)用除法規(guī)則化簡(jiǎn)計(jì)算復(fù)數(shù)，后根據(jù)模公式求解即可.【詳解】，則.故選A.3．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)可得圓錐母線長(zhǎng)及圓錐的高，再根據(jù)等面積法可得距離的最大值.【詳解】如圖所示根據(jù)圓錐的性質(zhì)，可知，由圓錐底面半徑為，則，，所以，易知圓錐上到水平面的距離最大的點(diǎn)為，設(shè)距離為，所以，則，故選C.4．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到與的夾角為與夾角的補(bǔ)角，再計(jì)算與的夾角，求其補(bǔ)角即可.【詳解】因?yàn)?，所以與的夾角為與夾角的補(bǔ)角.設(shè)與夾角為，，由，所以，與的夾角為.故選C.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題主要考查向量的夾角公式，熟練掌握公式為解題的關(guān)鍵.5．【答案】D【分析】先求在向量上的投影，再乘以方向上的單位向量可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以在上的投影?shù)量為：，所以在上的投影向量為：.故選D.6．【答案】B【分析】當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共面時(shí)，容器可盛水最多，計(jì)算三棱錐的體積與原體積的關(guān)系，可得最多盛水量.【詳解】

連接DE，DF，EF，當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共面時(shí)，容器可盛水最多，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋訤到平面SDE的距離是C到平面SAB的距離的，所以，容器可盛水原來(lái)水的.故選B.7．【答案】D【分析】根據(jù)新定義，把新函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)，再分析它們的有關(guān)性質(zhì)即可.【詳解】對(duì)A：.由，，，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：.設(shè)，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，.故B錯(cuò)誤；對(duì)C：.因?yàn)榍?，所?所以.所以圓心角為，半徑為3的扇形的面積為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由.所以，故D正確.故選D.8．【答案】D【分析】分別確定和的外心，再過(guò)外心作所在平面的垂線，兩線的交點(diǎn)就是三棱錐外接球的球心，確定球心位置，即可求外接球半徑，進(jìn)而求解.【詳解】如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，由題意可知：，，所以為二面角的平面角，.由題意可得為等腰直角三角形，所以為的外心，過(guò)作直線平面，則三棱錐外接球的球心必在直線上.因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以在平面?又為的外心，連接，則平面.所以.由于，，則，為等腰直角三角形，故，在中，，，，所以.所以三棱錐外接球的半徑：，所以三棱錐外接球的表面積為：.故選D.【方法總結(jié)】本題確定外接球球心位置的方法是：作三棱錐兩個(gè)平面的外心，過(guò)外心作所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是三棱錐的外接球的球心.9．【答案】CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義及運(yùn)算分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)為實(shí)數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)，則，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，則，，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)，，則，即，化簡(jiǎn)可得，即，則與至少有一個(gè)為，即，至少有一個(gè)為，D選項(xiàng)正確；故選CD.10．【答案】ABC【分析】依題意，得，可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：，且，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，即，正確；，，為偶函數(shù)，正確；又，當(dāng)時(shí)為最大值，當(dāng)時(shí)為最小值，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，正確；，則，由于的正負(fù)不確定，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性不確定，錯(cuò)誤．故選．11．【答案】AC【分析】根據(jù)線面垂直判斷點(diǎn)的位置，可判斷A的真假；利用錐體的體積公式可以求錐體和的體積之比，從而判斷B的真假；根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷C的真假；利用三棱錐的側(cè)面展開(kāi)求周長(zhǎng)的最小值，判斷D的真假.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：如圖：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，在中，，所以，，且平面，所以平面.平面，所以.又，，平面，所以平面.所以要有，則必有平面.故點(diǎn)與點(diǎn)重合.這與為上的點(diǎn)且異于端點(diǎn)矛盾，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：若平面，平面，平面平面，所以，故C正確；對(duì)D選項(xiàng)：如圖：將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，當(dāng)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小.此時(shí)，所以，所以.所以.故D錯(cuò)誤.故選AC.【方法總結(jié)】幾何問(wèn)題中，求線段或線段和的最小值，常常轉(zhuǎn)化為：一、兩點(diǎn)之間直線段最短，二、點(diǎn)到直線的距離垂線段最短.12．【答案】或【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算直接可得解.【詳解】由點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，可得，或，則，或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或.13．【答案】【分析】先在中利用余弦定理求，判斷為等腰三角形，進(jìn)一步可求，再根據(jù)，結(jié)合比例的性質(zhì)可求的長(zhǎng).【詳解】在中，由余弦定理可得：，即，又，所以.因?yàn)椋椒?，所以，所?在中，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?故答案為：.14．【答案】【分析】先證明，然后分類討論證明，最后給出取到等號(hào)的例子即可.【詳解】由已知有，且.由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故，從而.由于，故，從而.所以.這就得到.若，則；若，則，所以.綜上，有.當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)是時(shí)，即，時(shí)，有.所以的最大值是.故答案為：.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)使用不等關(guān)系求最大值.15．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算計(jì)算結(jié)果.（2）根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)列出不等式組，解不等式組可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，可設(shè)，則，所以.所以.（2）由題意：.所以所求的取值范圍為：.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，齊次式的方法即可求值；（2）分別求出，的值即可．【詳解】（1）；（2）因?yàn)闉殇J角，，可得，，由，可得，所以，則，又因?yàn)椋?，而，可得，所以?7．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)，利用三角形的面積公式，求證即可；（2）令，根據(jù)，且，利用三角形相似的性質(zhì)，求得，再在中，利用余弦定理求解即可．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，兩邊同時(shí)除以，得，故命題得證．（2）若，，則，，當(dāng)時(shí)，，和均為等腰三角形，且，，所以，所以，整理得，所以，解得（舍負(fù)），不妨取，，則，，在中，由余弦定理知，．18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)三棱錐的體積是為定值，為.【分析】（1）根據(jù)向量垂直的判定定理證明平面即可；（2）過(guò)作，且，過(guò)作，且，連接，則易證平面，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解．【詳解】（1）平面，平面，，又底面為矩形，則，又且都在面內(nèi)，平面，又平面，，又，則，又，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則，又且都在面內(nèi)，平面，又平面，；（2）三棱錐的體積是為定值，且定值為，理由如下：如圖，過(guò)作，且，過(guò)作，且，連接，又，，，，，，，又，則，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又為上任意一點(diǎn)，到平面的距離為定值，又的面積也為定值，三棱錐的體積是定值，由（1）知平面，由，故平面，到平面的距離為，又的面積為，三棱錐的體積為：，故三棱錐的體積是為定值，且定值為．19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②.【分析】（1）由圖中三角形的面積關(guān)系，結(jié)合，與圓相切即可證