PAGEPAGE13.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知空間四邊形ABCD中，G為CD的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于()A.eq\o(AG,\s\up6(→)) B.eq\o(CG,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))解析：選A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×(2eq\o(BG,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).2．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，則()A．λ＝μ＝0 B．a(chǎn)＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D.μ＝0，a＝0解析：選A.因?yàn)閍，b不共線，所以a，b均為非零向量，又因?yàn)棣薬＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D.A、C、D解析：選A.因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有一個(gè)公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線．4．在下列條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))解析：選C.因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以M與A，B，C必共面．5．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CD；④對(duì)空間隨意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．其中不正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：選C.明顯①正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯(cuò)誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故③錯(cuò)誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故④錯(cuò)誤．故選C.6．化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5(eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(2,3)c)－3(a－2b＋c)＝________．解析：原式＝(eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)a＋(eq\f(1,2)×2－5×eq\f(1,2)＋3×2)b＋(－3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(2,3)－3)c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的結(jié)果為_(kāi)_______．解析：如圖，延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)F，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.答案：08．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在惟一實(shí)數(shù)k使eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝k(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以(k－1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－keq\o(OC,\s\up6(→))＝0.又λeq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，則λ＋m＋n＝0.答案：09.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外隨意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．解：因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面．證明：令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c.因?yàn)镸，N，P，Q均為棱的中點(diǎn)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))＋μeq\o(MP,\s\up6(→))，則－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(μ－λ)a＋eq\f(1,2)λb＋eq\f(1,2)μc，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（μ－λ）＝－\f(1,2)，,\f(1,2)λ＝1，,\f(1,2)μ＝\f(1,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1.))所以eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，所以向量eq\o(MQ,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))共面，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面．[B實(shí)力提升]11．對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，則()A．O，A，B，C四點(diǎn)共面B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面解析：選B.由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又它們有公共點(diǎn)P，因此，P，A，B，C四點(diǎn)共面．12．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外隨意一點(diǎn)，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則λ＝________．解析：依據(jù)P，A，B，C四點(diǎn)共面的條件，知存在實(shí)數(shù)x，y，z，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))成立，其中x＋y＋z＝1，于是eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，所以λ＝eq\f(2,15).答案：eq\f(2,15)13．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，另外一點(diǎn)M滿意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)推斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)推斷M是否在平面ABC內(nèi)．解：(1)因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)).所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).所以向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，而它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．14.(選做題)如圖，已知OE是平行六面體OADB-CFEG的體對(duì)角線，點(diǎn)M是△ABC的重心，求證：點(diǎn)M在直線OE上．證明：如圖，連接AM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H，因?yàn)镸是△ABC的重心，所以H為BC的