第12講幾個三角恒等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】例1．通過類比推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式及萬能公式．體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力．體會三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．例2．通過和差化積公式和積化和差公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的欲望和信心．【考點目錄】考點一：降冪公式及其應(yīng)用考點二：輔助角公式考點三：三角恒等變換的化簡問題考點四：給角求值問題考點五：給值求值問題考點六：給值求角問題考點七：三角恒等式的證明【基礎(chǔ)知識】知識點一：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡、求值等．知識點二：半角公式（以下公式只要求會推導(dǎo)，不要求記憶），以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．知識點三：積化和差公式知識點詮釋：規(guī)律1：公式右邊中括號前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號中前后兩項的角分別為和．規(guī)律3：每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù)．知識點十一：和差化積公式知識點詮釋：規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個公式中，左邊是兩個余弦相加，右邊是兩個余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個公式中，左邊是兩個余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒有運算錯誤，其結(jié)果實質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個三角函數(shù)式的最簡形式．【考點剖析】考點一：降冪公式及其應(yīng)用例3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由，得，即，，所以，.故選：D．例4．（2022·四川成都·高一期末）已知函數(shù)，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，，所以最小正周期為.故選：B例5．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)時，，故選：A.考點二：輔助角公式例6．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，則，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以.故選：A.例7．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高一期末）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，根據(jù)二倍角公式，得，又，因為，所以，故故選：A例8．（2022·四川成都·高一期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，即，即，即，所以.故選：D.考點三：三角恒等變換的化簡問題例9．（2022·上海市陸行中學(xué)高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的最小值及取到最小值時的值.【解析】（1），所以函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)，即時，.例10．（2022·上海市控江中學(xué)高一期末）.(1)將函數(shù)化為的形式，并寫出其最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【解析】（1）.所以的最小正周期.（2）由于，所以，所以在區(qū)間上的值域為.例11．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時，，求.【解析】（1）因為，所以的最小正周期為，由，得；所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.考點四：給角求值問題例12．（2022·全國·高一）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故選：A例13．（2022·江蘇·吳縣中學(xué)高一期中）計算：（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以原式故選：C例14．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式.故選：D.考點五：給值求值問題例15．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.例16．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，即，即即，即，所以，所以.故選：B例17．（2022·北京·高一期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.考點六：給值求角問題例18．（2022·河南省嵩縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，且，，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】因為，，所以，.易知，，，則，故.故選：A例19．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高一期中）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，且，所以，則故選：A．例20．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知且則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，且，所以，因為，所以，所以，，所以因為，所以故選：D考點七：三角恒等式的證明例21．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，求證：．【解析】證明：因為，所以，于是，因為，所以，，同理可得，所以，從而，所以．例22．（2022·全國·高一）已知，求證：.【解析】左邊，右邊，因此，.例23．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高一期中）某同學(xué)再一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于一個常數(shù).①.②.③.（1）試從上述三個式子中選出一個計算出這個常數(shù).（2）猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明.【解析】（1）（2）一般規(guī)律：證明：例24．（2022·全國·高一）求證：.【解析】由，知：左式右式，故等式得證.【真題演練】1．（2021·全國·高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】由題，，所以的最小正周期為，最大值為．故選：C．2．（2020·全國·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，則：，，從而有：，即．故選：B．3．（2007·全國·高考真題（理））函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．【答案】1【解析】，，所以，所以，的最小值為1．故答案為：1．4．（2013·全國·高考真題（文））設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則______．【答案】；【解析】f（x）＝sinx－2cosx＝＝sin（x－φ），其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數(shù)f（x）取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－．5．（2021·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值．【解析】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期；（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值．6．（2019·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域．【解析】（1）由題意結(jié)合函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時，，即，結(jié)合可取，相應(yīng)的值為．（2）由函數(shù)的解析式可得：．據(jù)此可得函數(shù)的值域為：．7．（2008·陜西·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及最值；（2）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．【解析】（1），故，當(dāng)，即時，函數(shù)有最大值為；當(dāng)，即時，函數(shù)有最小值為．（2），，函數(shù)為偶函數(shù)．8．（2008·山東·高考真題（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)申長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．求的單調(diào)遞減區(qū)間．【解析】（1）．為偶函數(shù)，對，恒成立，因此．即，整理得到．，且，，又，故，．，，故，．故．（2）根據(jù)題意：．當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減．即的單調(diào)減區(qū)間為．9．（2007·陜西·高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中向量，且．（1）求實數(shù)m的值；（2）求函數(shù)的最小值．【解析】（1）向量，，，，又，∴，解得．（2）由（1）得，當(dāng)時，的最小值為．10．（2007·浙江·高考真題（理））已知函數(shù)．（1）求的值；（2）設(shè)，，求的值．【答案】（1）0；（2）．【解析】【分析】試題分析：（1）這類問題一般先化簡函數(shù)式，由二倍角公式及兩角和的正弦公式可得，由此可計算出的值；（2）由（1），代入條件，得，再由，結(jié)合兩角差的正弦公式可求得．試題解析：．（1）==；（2），．由，易得，所以．．考點：二倍角公式，兩角和與差的正弦公式．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，所以，因為，所以令，得，故選：C2．（2022·全國·高一單元測試）設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，.因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：C.3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡=（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】.故選：C.4．（2022·全國·高一單元測試）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令可得，故，則故選：C5．（2022·四川成都·高一期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，即，即，即，所以.故選：D.6．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，即，即即，即，所以，所以.故選：B7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得：，，兩式相加，整理得：，所以.因為，所以，所以，即，代入題設(shè)條件，可得，即整理得：，所以.故選：B.8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在中，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，，，則，則，且有，則，故.故選：C.二、多選題9．（2022·福建省福州高級中學(xué)高一期末）在內(nèi)，使成立的x取值范圍不是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，得，所以，即，所以，即因為，所以，所以在內(nèi)，能使成立的x取值范圍為，故選：ABD10．（2022·江西宜春·高一期末）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，，其中，為銳角，故所以：，故A正確；因為，所以，故B錯誤；可得，故C正確；可得，所以，故D錯誤．故選:AC11．（2022·遼寧·沈陽市第四十中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，判斷下列給出的四個命題，其中正確的命題有(

)A．對任意的，都有B．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可以得到偶函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．“函數(shù)取得最大值”的一個充分條件是“”【答案】BCD【解析】，當(dāng)時，，所以不關(guān)于對稱，故A錯誤；函數(shù)圖象向左平移個單位，得函數(shù)，是偶函數(shù)，故B正確；當(dāng)，則，函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；當(dāng)時，，所以，函數(shù)取得最大值，故D正確.故選：BCD12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．圖象的對稱中心為B．圖象的對稱軸方程為C．的增區(qū)間為D．的最大值是，最小值是【答案】ACD【解析】；對于A，令，解得：，此時，的對稱中心為，A正確；對于B，令，解得：，的對稱軸為，B錯誤；對于C，令，解得：，的增區(qū)間為，C正確；對于D，，，最大值是，最小值是，D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2022·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）把化為的形式為______．【答案】【解析】因為，故答案為：.14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）求值：____________．【答案】【解析】．故答案為：15．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是___________．①函數(shù)的最小正周期為

②時，取得最大值③在上單調(diào)遞增

④的對稱中心坐標(biāo)是【答案】①③【解析】；對于①，的最小正周期，①正確；對于②，當(dāng)時，，此時不取最大值，②錯誤；對于③，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，③正確；對于④，令，解得：，此時，的對稱中心為，④錯誤.故答案為：①③.16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在上僅有個最值，且是最大值，則實數(shù)的取值范圍為_____．【答案】【解析】因為又函數(shù)在上僅有個最值，且是最大值，所以，可得，有；時，.故答案為：四、解答題17．（2022·上海市陸行中學(xué)高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的最小值及取到最小值時的值.【解析】（1），所以函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)，即時，.18．（2022·上海崇明·高一期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，用五點法作出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖像；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題知，所以，當(dāng)時，，列表0200作圖（2）由（1）得，因為，所以，又函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，，解得，，又解得，所以的取值范圍為.19．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的值域．【解析】（1），∴的最小正周期；

令，解得：，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，

∴，

∴

，

即在上