專題09平面向量1.平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量的基本定理【高考真題】1．（2022·全國=1\*ROMANI卷）在在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2019·全國=2\*ROMANII卷文數(shù)）已知向量，則（

）A．B．2C．5D．50【答案】A【詳解】由已知，，所以，故選A.3．（2018·全國=1\*ROMANI卷文/理數(shù)）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.4．（2019·全國=2\*ROMANII卷文/理數(shù)）已知向量滿足，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【詳解】因?yàn)樗赃xB.5．（2017·全國=3\*ROMANIII卷理數(shù)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．2【答案】A【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.6．（2021·全國=1\*ROMANI卷）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC7．（2018·全國=3\*ROMANIII卷文/理數(shù)）已知向量，，．若，則________.【答案】【詳解】由題可得，，,即,故答案為【基礎(chǔ)知識】1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.★★★平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．5．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．6．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).7．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.【題型方法】一、利用圖像關(guān)系進(jìn)行向量加減、數(shù)乘運(yùn)算1．已知的對角線和相交于點(diǎn)O，且為線段中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故選：B2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，，所以.故選：D.3．已知為的重心，為的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】如圖所示：，分別為，的中點(diǎn)，對選項(xiàng)A，，所以，故A正確.對選項(xiàng)B，因?yàn)?，，所以，故B正確；對選項(xiàng)C，，故C錯誤，對選項(xiàng)D，，故D正確.故選：ABD二、利用幾何性質(zhì)解決線性運(yùn)算問題1．設(shè)O為的重心，M為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得：在中，故選：D2．在平行四邊形中，若，則四邊形的形狀為__________.【答案】矩形【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，向量減法的三角形法則得，因?yàn)?，即，所以平行四邊形的對角線相等，所以該平行四邊形為矩形.故答案為：矩形3．設(shè)，，則的最大值與最小值分別為______，______.【答案】

20

4【詳解】當(dāng)，共線同向時，；當(dāng)，共線反向時，；當(dāng)，不共線時，，即，所以最大值為20，最小值為4.故答案為：20，4三、定理法解決平面向量共線問題1．已知向量、不共線，且，，若與反向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．B．C．或D．或【答案】B【詳解】由于與反向共線，則存在實(shí)數(shù)使得，則有，所以，整理可得，因?yàn)?，解?故選：B.2．若三點(diǎn)共線，則的值是___________．【答案】【詳解】由題意得，∵三點(diǎn)共線，∴，即，解得，故答案為：.3．已知向量，不共線，且，則___________.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?，不共線，且，所以有，則解得.故答案為：四、坐標(biāo)公式法解決平面向量共線問題1．設(shè)向量，且向量與共線，則銳角的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，即，又為銳角，所以故選：B2．設(shè)向量滿足，且，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．1【答案】B【詳解】因?yàn)榍?，所以，即，因?yàn)?、，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；故選：B3．已知平面向量，，，則___________.【答案】【詳解】由題意，，所以．故答案為：．五、利用結(jié)論解決平面向量共線問題1．如圖，中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，AM與CN交于點(diǎn)D，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，，則，又，于是得，因點(diǎn)C，D，N共線，則有，解得，所以.故選：C2．如圖，在中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則________________．【答案】【詳解】因?yàn)闉榫€段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以.故答案為：.3．如圖，在中，點(diǎn)D，E是線段BC上兩個動點(diǎn)，且，則____________，的最小值為_____________.【答案】

2

【詳解】設(shè)，，，，，共線，，，，又，，，顯然，，所以當(dāng)且僅當(dāng)且即，時取等號故答案為：2；．六、利用基底法解決平面向量基本定理問題1．如圖所示，在中，，，CD交BE于F，設(shè)，，，則x，y分別為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】延長AF與BC交于M，由于點(diǎn)F是三角形ABC的重心，故故選：A2．如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點(diǎn)，若，其中，則________.【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)楹头謩e是邊和的中點(diǎn)，可得,又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕?故答案為：.3．如圖所示，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【詳解】∵是上的一點(diǎn)，設(shè)，又

，則．∴，，解得，．故答案為：．七、利用坐標(biāo)方程法解決平面向量基本定理問題1．設(shè)，向量，，，若，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【詳解】向量，，，，，解得：.則.故選：C2．已知向量??在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若λμ（λ，μ∈R），則λ+μ=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可令，，，代入λμ（λ，μ∈R）得：，即，解得，所以.故選：B.3．如圖，是圓O的直徑，C、D是圓O上的點(diǎn)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)圓的半徑為1，因?yàn)?，，則，，，，所以，，又因?yàn)?，所以，即，解得，所?故選：A.八、建系坐標(biāo)法求平面向量基本定理中參數(shù)值1．已知在中，，，設(shè)是的內(nèi)心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐標(biāo)系：設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，解得故，則因?yàn)?，所以，即，解得，?故選：C2．在等腰直角中，D為斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Р為內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，以為原點(diǎn)，，的方向?yàn)檩S，軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，則.要使點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），直線，，所以，即.故選：D.3．如圖，已知，，，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：以為負(fù)半軸，為正半軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，即，解得，故.故選：C.【高考必刷】1．設(shè)為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖，而，又，所以.故選：C2．如圖，在中，C為BD的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】.故選：D3．平面上有四個互異點(diǎn)，己知，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．無法確定【答案】B【詳解】∵，∴，∴，得，即所以的形狀是等腰三角形，故選：B．4．已知中，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，此時

，則，，即，①因?yàn)辄c(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，所以，此時

，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，②聯(lián)立①②，解得，所以，又則故選:B．5．在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)橛善矫嫦蛄炕径ɡ淼?，，，則，故選：C.6．設(shè)，，則（

）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.7．若點(diǎn)G是的重心，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【詳解】如圖：為的重心，分的比為，即延長到，使，連接，則故選：B.8．已知、是平面上的兩個不共線向量，向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，.故選：A.9．設(shè)與是不共線的非零向量，若與共線且方向相同，則為（

）A． B．1C． D．任意不為零的實(shí)數(shù)【答案】B【詳解】設(shè)，且，因?yàn)榕c是不共線的非零向量，所以，因?yàn)?，故解得．故選：B．10．下面四個命題哪些是平面向量，共線的充要條件（

）A．存在一個實(shí)數(shù)， B．，兩向量中至少有一個為零向量C．，方向相同或相反 D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，【答案】D【詳解】當(dāng)為零向量，為非零向量時，，則AC選項(xiàng)錯誤.當(dāng)為非零向量且同向時，，則B選項(xiàng)錯誤.根據(jù)共線向量基本定理的推論可知，D選項(xiàng)正確.故選：D11．已知，，，則（）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【答案】B【詳解】，又∵與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選：B.12．已知向量，則與的關(guān)系是（

）A．不共線 B．相等C．方向相同 D．方向相反【答案】D【詳解】因?yàn)樗?，∴與方向相反.故選：D.13．在中，點(diǎn)D在線段上，且滿足，點(diǎn)Q為線段上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【詳解】由題知點(diǎn)D滿足，由，由點(diǎn)Q在線段上，結(jié)合向量的三點(diǎn)共線定理可得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，即D選項(xiàng)正確.故選：D14．在中，是直線上的點(diǎn).若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】，，，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：D.15．過，兩點(diǎn)的直線的一個方向向量為，則（

）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】C【詳解】由題設(shè)，，則且，所以，即，可得.故選：C16．已知，且A，B，C三點(diǎn)共線，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】由，可得，由A，B，C三點(diǎn)共線，則，則，解之得，故選：C17．已知向量，且與反向，則t的值為(

)A．2 B． C．4 D．【答案】D【詳解】，，與反向，∴，解得．t＝－2時，滿足反向.故選：D.18．設(shè)是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】依題意是非零向量，“存在實(shí)數(shù)λ，使得”，“”同向，所以“存在實(shí)數(shù)λ，使得”是“”的必要而不充分條件.故選：C19．如圖所示，矩形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】矩形中，，所以，，．故選：A．20．原點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，則＝（

）A．－ B．C．－ D．【答案】D【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，，B，C，因?yàn)?，由向量相等的坐?biāo)表示可得:,解得，即.故選：D.21．如圖，點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】以為原點(diǎn)?的方向?yàn)檩S的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則有，.設(shè)，則.由題意可知所以.因?yàn)椋?，故的最大值?22．如圖，半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)C在弧上，且，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，，，即，，，即，又，，，解得，，故選：B23．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周牌算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示若為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，由為的中點(diǎn)，∴，則，由，得：，∴，解得，則故選：D.24．已知向量，和在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則等于（

）A．2B．－2C．3D．－3【答案】A【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，.因?yàn)?，所?2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得，所以.故選：A.25．在邊長為2的正方形中，為的中點(diǎn)，交于.若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】建立以為原點(diǎn)，為軸的直角坐標(biāo)系，則，，.又根據(jù)題意，得，，則.所以，，則，，.故選:B.26．已知向量不共線，若，，且，，三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2， B．， C．2， D．，【答案】CD【詳解】因?yàn)橄蛄坎还簿€，，，且，，三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，故選：CD27．已知梯形中，，且，點(diǎn)在線段上.若，則___________.【答案】【詳解】設(shè)∵B、P、C三點(diǎn)共線，∴設(shè)，則，，.故答案為：.28．在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，若＝x＋y(x，y∈R)，則x－y＝_______.【答