考點07余弦定理6種常見考法歸類1、余弦定理的公式表達及語言敘述余弦定理公式表達a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC語言敘述三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2、利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知兩邊和一邊的對角，可以用余弦定理解三角形．3.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角.4.當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考慮使用余弦定理或變形形式對條件進行化簡變形.5.利用余弦定理判斷三角形形狀的方法(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換(因式分解、配方等)，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．(2)判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.④若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝.考點一解三角形（一）已知兩邊及其夾角（二）已知兩邊及一邊的對角（三）已知三邊（四）已知一邊一角及另外兩邊的關(guān)系（五）已知一角及另外三邊關(guān)系考點二判斷三角形的形狀考點三余弦定理的應(yīng)用（一）求邊（求值）（二）求角（三）最值（范圍）考點四利用余弦定理解決實際問題考點五利用余弦定理證明角相等考點六余弦定理與三角函數(shù)的綜合考點一解三角形（一）已知兩邊及其夾角1．（2023·高一課時練習(xí)）在中，角所對邊分別為．若，則______．【答案】【分析】利用余弦定理求解.【詳解】由余弦定理得，解得故答案為:.2．（2023·高一課時練習(xí)）若中，，，，則______．【答案】或【分析】由已知可求得.分與兩種情況，根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以.當(dāng)時，由余弦定理，因為，，解得；當(dāng)時，由余弦定理，因為，，解得.故答案為：或.3．（2023·高一課時練習(xí)）三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為___________.【答案】【分析】解方程可得，利用余弦定理求出第三邊的長即可．【詳解】解：解方程可得此方程的根為2或，故夾角的余弦，由余弦定理可得三角形的另一邊長為：．故答案為：.4．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）在中，若，則（

）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】利用余弦定理直接求解.【詳解】在中，若，，，由余弦定理得.故選：B（二）已知兩邊及一邊的對角5．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】利用余弦定理計算可得.【詳解】解：在中，因為，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故選：C6．（2023秋·貴州黔東南·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，，，則______．【答案】【分析】利用余弦定理列方程求解.【詳解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案為:.7．（2023·高一課時練習(xí)）在中，已知，，，b＝5，則c＝______．【答案】2【分析】由，得，再結(jié)合，得到角為鈍角，然后利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，b＝5，由，得，因為，所以角為鈍角，則，由余弦定理得，即，解得或（舍去），故答案為：28．（2022春·上海黃浦·高一格致中學(xué)校考階段練習(xí)）滿足條件的的個數(shù)為（

）A．一個 B．兩個 C．不存在 D．無法判斷【答案】B【分析】利用余弦定理運算求解即可判斷.【詳解】因為，即，解得或，所以滿足條件的有兩個．故選：B．（三）已知三邊9．（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因為，所以由余弦定理得，又，則．故選：B.10．（2022·高一課時練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：因為，所以設(shè)，由余弦定理可得.故選：C.11．（2022春·浙江麗水·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，則的最小角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根據(jù)條件給出的三邊確定的最小角為，直接利用余弦定理計算，即可完成求解.【詳解】由已知，在中，，因為，所以的最小角為，所以，又因為，所以.故選：C.12．（2022春·山西晉中·高一校考階段練習(xí)）已知中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三邊的比令，，，，進而可知，根據(jù)勾股定理逆定理推斷出，進而根據(jù)推斷出，進而求得，則三個角的比可求．【詳解】解：依題意令，，，，，所以為直角三角形且，又，且，，，故選：A．13．（2023·高一單元測試）已知的三邊長，，，求．【答案】.【分析】已知三邊長，由余弦定理求三個內(nèi)角的余弦值，利用向量數(shù)量積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得；同理，．所以．14．（2022春·河南·高一校聯(lián)考期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理計算可得；【詳解】解：由，得，故選：B．（四）已知一邊一角及另外兩邊的關(guān)系15．（2023·高一課時練習(xí)）的三個內(nèi)角所對邊的長分別為，已知，，，則的值為______．【答案】【分析】由的值及,利用余弦定理即可列出關(guān)于的方程,求出方程的解即可得到的值.【詳解】由,根據(jù)余弦定理得：,即,所以.故答案為:16．（2022·高一單元測試）在中，已知，則____________．【答案】3或1##1或3【分析】利用余弦定理結(jié)合可求出的值.【詳解】在中，，由余弦定理得，所以，得．由，得或所以或1．故答案為：或1．17．（2022·江蘇·高一開學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用余弦定理及完全平方公式計算可得.【詳解】解：由余弦定理可得，又因為，所以.因為，所以.故選：B18．（2023·高三課時練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，，則的值為___________.【答案】12【分析】利用余弦定理結(jié)合已知條件求得，進而得出，即可得解．【詳解】由余弦定理可得，即，解得，則，故．故答案為：12．（五）已知一角及另外三邊關(guān)系19．（2022春·河北唐山·高一?？计谥校┰谥校瑑?nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知．求的值．【答案】2【分析】利用余弦定理把轉(zhuǎn)化為三邊的關(guān)系，再結(jié)合條件算出三邊的比例即可求解【詳解】由余弦定理得聯(lián)立,得所以所以，即.20．（2022春·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學(xué)?？计谥校┮阎娜齼?nèi)角A,B,C所對的邊分別為，且(1)求角C﹔(2)若，,求的值；【答案】(1)(2)【分析】(1)角化邊化簡可得即可求解;(2)利用余弦定理結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】（1）由得,因為,所以,因為,所以,因為,所以.（2）由余弦定理得，所以，因為，所以，所以，解得.考點二判斷三角形的形狀21．（2022·全國·高一假期作業(yè)）在中，若，則該三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定【答案】A【分析】利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，然后化簡可得結(jié)果.【詳解】因為，所以由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以為等腰三角形，故選：A22．（2022·高一課時練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，結(jié)合，得到，判斷出三角形為直角三角形.【詳解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A23．（2022·高一課時練習(xí)）在中，（分別為角的對邊），則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式將已知條件變形，然后利用余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化進行判斷.【詳解】∵，∴，即，根據(jù)余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，為直角三角形.故選：B24．（2023·高一課時練習(xí)）在中，，且，試判斷的形狀．【答案】等邊三角形【分析】先利用余弦定理求得，再利用兩角和與差的余弦公式求得，進而求得，由此求得，據(jù)此得解.【詳解】因為，所以，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，，又，所以，則，所以，因為，所以，故，即，又因為，所以，又，所以是等邊三角形.25．（2022·高一課時練習(xí)）在中，若，，則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．無法確定【答案】A【分析】由，利用余弦定理可求，再利用三角形內(nèi)角的關(guān)系結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)可求，進而可得三角形的形狀.【詳解】解：由，根據(jù)余弦定理，故，所以，所以，，所以，所以，因為，所以，即，所以，因為，所以，所以，從而.所以三角形為等邊三角形，故選:考點三余弦定理的應(yīng)用（一）求邊（求值）26．（2023·高一課時練習(xí)）在中，已知三條邊是連續(xù)自然數(shù)，且最大角為鈍角，求三角形三條邊的長．【答案】2，3，4【分析】首先設(shè)的三邊為，且，根據(jù)題意得到，從而得到，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到答案.【詳解】設(shè)的三邊為，且，因為最大角為鈍角，所以，化簡得：，解得.又因為，即，所以，且，即，三邊為：.27．（2022春·四川成都·高一校聯(lián)考期中）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由余弦定理求出答案.【詳解】由得：，解得：故選：B（二）求角28．（2022春·四川德陽·高一四川省廣漢中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，則角的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理的邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，即可求角.【詳解】由已知及余弦定理知：，而，所以.故選：C29．（2022春·吉林長春·高一長春市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中，，則角A等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理邊化角，可得的值，即得答案.【詳解】由中，可得,由于,故,故選：A30．【多選】（2022·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，結(jié)合的范圍即能得到答案【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因為，所以或，故選：BD.31．（2023·高一課時練習(xí)）在中，，則邊所對的角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)式子的特點，聯(lián)想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.【詳解】因為，所以，即，即，所以.故選：B32．（2022春·山西運城·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角的對邊分別是，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理化角為邊，然后由勾股定理逆定理可得．【詳解】由題意，化簡得，所以，故選：C．33．（2023·高一課時練習(xí)）在中，，則__________.【答案】【分析】利用余弦定理角化邊，然后化簡整理后，再使用余弦定理求得.【詳解】，,,,,故答案為：.34．（2021秋·河南·高二?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別是，，，已知，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理可表示出，進而構(gòu)造等式求得，由此可求得.【詳解】由余弦定理得：，，，又，，，．故選：A．（三）最值（范圍）35．（2023·高一課時練習(xí)）若銳角三角形三邊長分別為，則的范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角形分別應(yīng)用余弦定理列邊長關(guān)系不等式,計算即可.【詳解】因為三角形是銳角三角形，所以三角形的三個內(nèi)角都是銳角，則設(shè)邊對的銳角為角，根據(jù)余弦定理得，解得；設(shè)邊對的銳角為，根據(jù)余弦定理得，解得，設(shè)邊對的銳角為角,根據(jù)余弦定理得恒成立;所以實數(shù)的取值范圍是.故選:.36．（2023·高三課時練習(xí)）已知，，是一個鈍角三角形的三邊長，則的取值范圍是______.【答案】（0，2）【分析】由題意可知此三角形的最大邊為，設(shè)此邊所對應(yīng)的角為，則為鈍角，，結(jié)合余弦定理可得，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因為，所以此三角形的最大邊為，設(shè)此邊所對應(yīng)的角為，則為鈍角，由余弦定理可得，即有，整理得，解得，又因為，即，所以的取值范圍為：.故答案為：37．（2022·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且，，，符合條件的三角形有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_____【答案】【分析】利用余弦定理，構(gòu)造關(guān)于c的方程，利用根的分布求出x的范圍.【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，即.因為符合條件的三角形有兩個，所以關(guān)于c的方程由兩個正根，所以，解得：.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：38．（2022·高一課時練習(xí)）在鈍角中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則最大邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大邊的取值范圍是：.故選：D39．（2022春·黑龍江大慶·高一?？茧A段練習(xí)）中，，則最大值______．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判別式，可得答案.【詳解】設(shè)，，，由余弦定理：，所以，設(shè)，則，代入上式得，方程有解，所以，故，當(dāng)時，此時，，符合題意，因此最大值為.故答案為：.40．（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，角的對邊分別為.若，則的最小值是___________.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理以及基本不等式可求得答案.【詳解】解：由余弦定理得，又，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以的最小值是，故答案為：.41．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知中，，且，則的最大值為______.【答案】【分析】利用基本不等式結(jié)合余弦定理可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，進而可求得的最大值.【詳解】由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，因為，則，故.即的最大值為.故答案為：.42．（2022春·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)條件得，結(jié)合余弦定理求得，根據(jù)同角三角函數(shù)值的平方關(guān)系可得答案.【詳解】由得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由于,故，則，則，故答案為：43．（2022·高一課時練習(xí)）在中，，則取最小值時，___________．【答案】【分析】將代入余弦公式化簡可得，再代入計算可得，利用不等式可求出的最小值，并求出此時的大小.【詳解】解：，可得，即,，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以,，.故答案為：．44．（2022春·北京朝陽·高一統(tǒng)考期末）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角A的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由化簡得，再由余弦定理得，即可求得角A的取值范圍.【詳解】由可得，整理得，由余弦定理得，則，又，則.故選：A.考點四利用余弦定理解決實際問題45．（2023·全國·高一專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中用“圭田”一詞代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰長為4，頂角的余弦值為，則該“圭田”的底邊長為______．【答案】【分析】利用余弦定理結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)“圭田”的底邊長為，則由余弦定理可得，解得，即該“圭田”的底邊長為.故答案為：.46．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，某住宅小區(qū)的平面呈扇形AOC，小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點A和點C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120°.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘，若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑OA的長約為______米.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】445【分析】設(shè)出半徑，直接余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得米，米，.在△CDO中，由余