專題101概率統(tǒng)計(jì)（選填）目錄TOC\o"11"\h\u 1題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣 1題型二：用樣本估計(jì)總體 3題型三：樣本的數(shù)字特征 8題型四：百分位數(shù) 10題型五：線性回歸 13題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn) 18題型七：排列組合 25題型八：二項(xiàng)式定理 29題型九：古典概型 33題型十：條件概率 37題型十一：正態(tài)分布 41題型十二：均值和方差 45 50題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣【典例分析】例題1．（2022秋·廣東潮州·高一饒平縣第二中學(xué)校考期中）從某班名同學(xué)中選出人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將名同學(xué)按，，…，進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第行的第列和第列數(shù)字開(kāi)始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第個(gè)同學(xué)的編號(hào)為(注：表為隨機(jī)數(shù)表的第行與第行)（

）

A． B． C． D．例題2．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）某日某火鍋店進(jìn)貨了四種食品，其中毛肚、鴨腸、牛肉及萵筍分別進(jìn)貨了700份、600份、500份、200份，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的毛肚份數(shù)與萵筍份數(shù)之和是（

）A．7 B．13 C．8 D．9【提分秘籍】隨機(jī)數(shù)表法是常用的一種抽樣方法，使用時(shí)做到不重復(fù)，不遺漏.分層抽樣注意分層，每層抽樣比相同.【變式演練】1．（2022春·廣東珠?！じ叨楹Ｊ袑?shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢驗(yàn)，將它們編號(hào)為000，001，002，…499，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)開(kāi)始，按3位數(shù)依次向右讀取，到行末后接著從下一行第一個(gè)數(shù)繼續(xù).則第四袋牛奶的標(biāo)號(hào)是（

）（下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）A．358 B．301 C．071 D．2062．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)的高一?二?三這三個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均身高分別為，若按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)600人的樣本，抽到高一?高二?高三的學(xué)生人數(shù)分別為100?200?300，則估計(jì)該高中學(xué)生的平均身高為（

）A． B． C． D．題型二：用樣本估計(jì)總體【典例分析】例題1．（多選）（2022·山東東營(yíng)·勝利一中校考模擬預(yù)測(cè)）某校舉行勞動(dòng)技能大賽，統(tǒng)計(jì)了名學(xué)生的比賽成績(jī)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，不低于分的視為優(yōu)秀，低于分的視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)比不及格學(xué)生人數(shù)少人C．該次比賽成績(jī)的平均分約為D．這次比賽成績(jī)的分位數(shù)為例題2．（多選）（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）教育部辦公廳“關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康0.06重要性的宣傳，中小學(xué)校要通過(guò)體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競(jìng)賽、班團(tuán)隊(duì)活動(dòng)，家校協(xié)同聯(lián)動(dòng)等多種形式加強(qiáng)教育引導(dǎo)，讓家長(zhǎng)和中小學(xué)生007科學(xué)認(rèn)識(shí)體質(zhì)健康的影響因素．了解運(yùn)動(dòng)在增強(qiáng)體質(zhì)、促進(jìn)健康、預(yù)防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增強(qiáng)體質(zhì)健康管理的意識(shí)和能力，某學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）A．樣本的眾數(shù)為 B．樣本的80%分位數(shù)為72C．樣本的平均值為66 D．該校男生中低于60公斤的學(xué)生大約為300人【提分秘籍】頻率分布直方圖中的考點(diǎn)常常涉及到:①平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)估計(jì)值；②各個(gè)小矩形面積之和等于1【變式演練】1．（多選）（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）某電視傳媒機(jī)構(gòu)為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性占40%.根據(jù)調(diào)查結(jié)果分別繪制出男?女觀眾兩周時(shí)間收看該類體育節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖，則（

）A．B．女觀眾收看節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為6.5小時(shí)C．女觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長(zhǎng)小于男觀眾的平均時(shí)長(zhǎng)D．收看節(jié)目不少于9小時(shí)觀眾中的女觀眾人數(shù)是男觀眾人數(shù)的2．（多選）（2022·江蘇南京·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校為了解學(xué)生體能素質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)=0.012B．這100名學(xué)生中成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的人數(shù)為52C．這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為65D．這100名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8.2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）題型三：樣本的數(shù)字特征【典例分析】例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市第一中學(xué)校?？家荒＃┮阎粋€(gè)容量為的樣本數(shù)據(jù)的平均值為90，方差為10，若去掉其中5個(gè)為90的樣本數(shù)據(jù)，剩余樣本數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，例題2．（2022春·四川成都·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)9，，6，，5的平均數(shù)為7，方差為2，則數(shù)據(jù)11，9，，17，的平均數(shù)和方差分別為（

）A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8【變式演練】1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某地區(qū)連續(xù)六天的最低氣溫(單位:℃)為:9,8,7,6,5,7,則該六天最低氣溫的平均數(shù)和方差分別為A．7和 B．8和 C．7和1 D．8和2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______.3．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是.題型四：百分位數(shù)【典例分析】例題1．（2022春·浙江紹興·高三紹興一中?？计谥校?，3，4，5，6，7，8，9中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)一個(gè)比大，一個(gè)比小的概率為，已知為上述數(shù)據(jù)中的分位數(shù)，則的取值可能為（

）A．50 B．60 C．70 D．80例題2．（2022春·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知甲?乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：.若甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則等于______.【提分秘籍】①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．②計(jì)算．③若不是整數(shù)而大于的比鄰整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【變式演練】1．（2022春·山東聊城·高三山東聊城一中校考期末）2021年2月20日，在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上，習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)這次學(xué)習(xí)教育“總的來(lái)說(shuō)就是要做到學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)全黨同志學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事?開(kāi)新局”.某單位為了解該單位黨員開(kāi)展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，92．（2022·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為20的身高樣本，數(shù)據(jù)從小到大排序如下（單位：）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175，若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173，則的值為_(kāi)_______.3．（2022春·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在我市今年高三年級(jí)期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成績(jī)依次是：這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)是___________.題型五：線性回歸【典例分析】例題1．（2022秋·北京朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析與之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點(diǎn)處的殘差為（

）A． B．2.45 C．3.45 D．54.55例題2．（2022秋·江蘇鹽城·高二鹽城市田家炳中學(xué)?？计谥校┮阎撤N商品的廣告費(fèi)支出（單位：萬(wàn)元）與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：245683040506070根據(jù)上表可得回歸方程，計(jì)算得，則當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷售額的預(yù)報(bào)值為A．75萬(wàn)元 B．85萬(wàn)元C．99萬(wàn)元 D．105萬(wàn)元例題3．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知變量與的一組數(shù)據(jù)如表所示，根據(jù)數(shù)據(jù)得到關(guān)于的回歸方程為．234562030506070若，則_______．【提分秘籍】回歸直線方程一定經(jīng)過(guò)樣本中心.【變式演練】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公交公司推出掃碼支付乘車優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)為期兩周，活動(dòng)的前五天數(shù)據(jù)如下表：第天12345使用人數(shù)()151734578421333由表中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的回歸方程為，則據(jù)此回歸模型相應(yīng)于點(diǎn)（2，173）的殘差為（

）A． B． C．3 D．22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知變量，的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：468102356由上表可得線性回歸方程，則______．3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市郫都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年3月成都市連續(xù)5天的日平均氣溫如下表所示：日期89101112平均氣溫(℃)20.521.521.52222.5由表中數(shù)據(jù)得這5天的日平均氣溫關(guān)于日期的線性回歸方程為，據(jù)此預(yù)測(cè)3月15日成都市的平均氣溫為_(kāi)______℃．4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：x3456y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.據(jù)此計(jì)算出在樣本點(diǎn)處的殘差為，則的值為_(kāi)_____，表中m的值為_(kāi)_____.題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn)【典例分析】例題1．（2022秋·北京朝陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的列聯(lián)表：性別鍛煉情況合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生/人14721男生/人81119合計(jì)/人221840注：獨(dú)立性檢驗(yàn)中，．常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響；②依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響；③根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；④根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市舉行了首屆閱讀大會(huì)，為調(diào)查市民對(duì)閱讀大會(huì)的滿意度，相關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取男女市民各50名，每位市民對(duì)大會(huì)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當(dāng)時(shí)，若沒(méi)有的把握認(rèn)為男?女市民對(duì)大會(huì)的評(píng)價(jià)有差異，則的最小值為_(kāi)__________.附：，其中【提分秘籍】①能正確計(jì)算②能讀對(duì)表中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，并能正確回答出結(jié)論【變式演練】1．（2022秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)研究表明健康的飲食和科學(xué)的運(yùn)動(dòng)能夠有效減少低密度脂蛋白濃度．為了調(diào)查某地青年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查該地100名青年大，得到2×2列聯(lián)表如下：肥胖不肥胖總計(jì)低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L106575低密度脂蛋白高于3.1mmol/L101525總計(jì)2080100由此得出的正確結(jié)論是（

）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無(wú)關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無(wú)關(guān)”2．（2022秋·重慶九龍坡·高二四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班人數(shù)50乙班人數(shù)20合計(jì)30110附：，其中.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系的把握為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有__________人.參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的.若有的把握認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，求男生至少有______人.題型七：排列組合【典例分析】例題1．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）為貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面深化新時(shí)代教師隊(duì)伍建設(shè)改革的意見(jiàn)》精神，加強(qiáng)義務(wù)教育教師隊(duì)伍管理，推動(dòng)義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，安徽省全面實(shí)施中小學(xué)教師“縣管校聘”管理改革，支持建設(shè)城鄉(xiāng)學(xué)校共同體.2022年暑期某市教體局計(jì)劃安排市區(qū)學(xué)校的6名骨干教師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校工作一年，每所學(xué)校至少安排1人，則不同安排方案的總數(shù)為（

）A．2640 B．1440 C．2160 D．1560例題2．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．5151例題3．（2022·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將中國(guó)古代四大名著——《紅樓夢(mèng)》《西游記》《水滸傳》《三國(guó)演義》，以及《詩(shī)經(jīng)》等12本書(shū)按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩(shī)經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書(shū)中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.例題4．（2022·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）安排高二年級(jí)一?二兩個(gè)班一天的數(shù)?語(yǔ)?外?物?體，一班的化學(xué)及二班的政治各六節(jié)課．要求體育課兩個(gè)班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的化學(xué)和二班的政治要安排在同一節(jié)；其他語(yǔ)?數(shù)?外?物四科由同一任課教師分班上課，則不同的排課表方法共有__________種．【提分秘籍】排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列、組合混合問(wèn)題先選后排；(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理；(5)不相鄰問(wèn)題插空處理；(6)定序問(wèn)題排除法處理；(7)分排問(wèn)題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價(jià)條件．【變式演練】1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將6盆不同的花卉擺放成一排，其中A?B兩盆花卉均擺放在C花卉的同一側(cè)，則不同的擺放種數(shù)為（

）A．360 B．480 C．600 D．7202．（2022·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個(gè)基層社區(qū)開(kāi)展防詐騙宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個(gè)社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．72 B．84 C．90 D．963．（2022·四川成都·成都七中校考三模）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲、乙各需1人承擔(dān)，丙需2人承擔(dān)且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的安排方法種數(shù)是______．（用具體數(shù)字作答）題型八：二項(xiàng)式定理【典例分析】例題1．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)校考一模）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．20例題2．（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．5 B．5 C．15 D．15例題3．（2022·山東濱州·山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的值為_(kāi)__________.例題4．（2022·陜西寶雞·寶雞中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）【提分秘籍】二項(xiàng)式定理中，三項(xiàng)展開(kāi)式中具體某項(xiàng)，兩個(gè)式子相乘展開(kāi)式中具體某項(xiàng)是考試的重點(diǎn)，通項(xiàng)公式是重要解題工具.【變式演練】1．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中，一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和為（

）A．33 B．34 C．35 D．362．（2022·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．280 B．35 C． D．3．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為121，則實(shí)數(shù)___________.4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)是20，則實(shí)數(shù)__________.5．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)__________．題型九：古典概型【典例分析】例題1．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某校為落實(shí)“雙減”政策；在課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四名同學(xué)擬參加籃球?足球?乒乓球?羽毛球四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2022年2月4日，北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式于當(dāng)晩20點(diǎn)整在國(guó)家體育場(chǎng)隆重舉行.在開(kāi)幕式入場(chǎng)環(huán)節(jié)，91個(gè)國(guó)家（地區(qū)）按順序入場(chǎng).入場(chǎng)順序除奧林匹克發(fā)祥地希臘（首先入場(chǎng)）、東道主中國(guó)（最后入場(chǎng)）、下屆2026年冬季奧運(yùn)會(huì)主辦國(guó)意大利（倒數(shù)第二位入場(chǎng)）外，其余代表團(tuán)根據(jù)簡(jiǎn)體中文的筆劃順序入場(chǎng)，詮釋了中文之美．現(xiàn)若以抽簽的方式?jīng)Q定入場(chǎng)順序（希臘、中國(guó)、意大利按照傳統(tǒng)出場(chǎng)順序，不參與抽簽），已知前83位出場(chǎng)的國(guó)家（地區(qū)）均已確定，僅剩烏茲別克斯坦、北馬其頓、圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國(guó)末抽簽，求烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場(chǎng)的概率（

）A． B． C． D．例題3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為_(kāi)__________.（用分?jǐn)?shù)作答）例題4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國(guó)郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”“飛躍”“冰墩墩”"雪容融”等，小明現(xiàn)有“冬夢(mèng)”"飛躍”“冰墩墩”"雪容融”郵票各2張，他打算從這8張郵票中任選3張贈(zèng)送給同學(xué)小紅，則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為_(kāi)__________.【提分秘籍】一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．【變式演練】1．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）屈原是中國(guó)歷史上第一位偉大的愛(ài)國(guó)詩(shī)人，中國(guó)浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》、《九歌》、《九章》、《天問(wèn)》等.某校于2022年6月第一周舉辦“國(guó)學(xué)經(jīng)典誦讀”活動(dòng)，計(jì)劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問(wèn)》，周三不讀《離騷》的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？寄M預(yù)測(cè)）李生素?cái)?shù)猜想是數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題中的第8個(gè)：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù).2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐發(fā)表的論文《素?cái)?shù)間的有界距離》第一次證明了存在無(wú)窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì)，那么在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè)，則不能組成孿生素?cái)?shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明給朋友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢(qián)分成三份（不定額數(shù)，每份是1分的正整數(shù)倍），若這三個(gè)紅包被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲同學(xué)搶到5分錢(qián)的概率為_(kāi)_______．4．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）上海某高校哲學(xué)專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級(jí)中學(xué)宣講習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想．若他們每人都隨機(jī)地從4所學(xué)校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學(xué)校的概率是______________．（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）題型十：條件概率【典例分析】例題1．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）“雙減”政策落實(shí)下倡導(dǎo)學(xué)生參加戶外活動(dòng)，增強(qiáng)體育鍛煉，甲、乙、丙三位同學(xué)在觀看北京冬奧會(huì)后，計(jì)劃從冰球、短道速滑、花樣滑冰三個(gè)項(xiàng)目中各自任意選一項(xiàng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，每人選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率均為，且每人選擇相互獨(dú)立，則至少有兩人選擇花樣滑冰的前提下甲同學(xué)選擇花樣滑冰的概率為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·北京東城·統(tǒng)考三模）若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程（兩針）接種率為60%，加強(qiáng)免疫接種（第三針）的接種率為36%，則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人，此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為（

）A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216例題3．（2022·天津南開(kāi)·南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一獵人帶著一把獵槍到山里去打獵，獵槍每次可以裝3發(fā)子彈，當(dāng)他遇見(jiàn)一只野兔時(shí)，開(kāi)第一槍命中野兔的概率為0.8，若第一槍沒(méi)有命中，獵人開(kāi)第二槍，命中野兔的概率為0.4，若第二槍也沒(méi)有命中，獵人開(kāi)第三槍，命中野兔的概率為0.2，若3發(fā)子彈都沒(méi)打中，野兔就逃跑了，則已知野兔被擊中的條件下，是獵人開(kāi)第二槍命中的概率為_(kāi)_________.例題4．（2022·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃├钊A應(yīng)聘一家上市公司，規(guī)則是從備選的10道題中抽取4道題測(cè)試，答對(duì)3道題及以上就可以進(jìn)入面試.李華可以答對(duì)這10道題目中的6道題.若李華第一道題就答對(duì)了，則李華進(jìn)入面試的概率為_(kāi)________.【提分秘籍】一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．【變式演練】1．（2022·江西·校聯(lián)考二模）有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù)，志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個(gè)比賽項(xiàng)目的志愿服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇南京·南京市第五高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）有四位同學(xué)參加校園文化活動(dòng)，活動(dòng)共有四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng).已知甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào)，則4位同學(xué)所報(bào)選項(xiàng)各不相同的概率等于（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某武裝部在預(yù)備役民兵的集訓(xùn)中，開(kāi)設(shè)了移動(dòng)射擊科目，移動(dòng)射擊科目規(guī)則如下：每人每次移動(dòng)射擊訓(xùn)練只有3發(fā)子彈，每次連續(xù)向快速移動(dòng)的目標(biāo)射擊，每射擊一次消耗一發(fā)子彈，若目標(biāo)被擊中，則停止射擊，若目標(biāo)未被擊中，則繼續(xù)射擊，3發(fā)子彈都沒(méi)打中，移動(dòng)目標(biāo)消失.通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析該武裝部的預(yù)備役民兵李好以往的訓(xùn)練成績(jī)發(fā)現(xiàn)，李好第一槍命中目標(biāo)的概率為0.8，若第一槍沒(méi)有命中，第二槍命中目標(biāo)的概率為0.4，若第二槍也沒(méi)有命中，第三槍命中目標(biāo)的概率為0.2.則目標(biāo)被擊中的條件下，李好第二槍命中目標(biāo)的概率是__________.題型十一：正態(tài)分布【典例分析】例題1．（2022·江蘇·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2012年國(guó)家開(kāi)始實(shí)施法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當(dāng)時(shí)下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）山東煙臺(tái)蘋(píng)果因“果形端正?色澤艷麗?果肉?脆?香氣濃郁”享譽(yù)國(guó)內(nèi)外據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋(píng)果（把蘋(píng)果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在]內(nèi)的概率為（

）附：若，則A． B． C． D．例題3．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則___________.（附：若，則，，）例題4．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）某省2021年開(kāi)始將全面實(shí)施新高考方案．在6門(mén)選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門(mén)科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．假設(shè)該省此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：若以此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為_(kāi)_________分（結(jié)果保留1位小數(shù)）附：若，．【提分秘籍】假設(shè)，可以證明：對(duì)給定的是一個(gè)只與有關(guān)的定值.特別地，，，.上述結(jié)果可用右圖表示.【變式演練】1．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．22．（2022·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.13．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取包食品，并測(cè)量其質(zhì)量（單位：g）.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示每天抽取的k包食品中其質(zhì)量在之外的包數(shù)，若的數(shù)學(xué)期望，則k的最小值為_(kāi)_______.附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則.4．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，，則對(duì)于任意，不等式成立．某次考試滿分150分，共有1200名學(xué)生參加考試，全體學(xué)生的成績(jī)～N（90，62），則分?jǐn)?shù)不低于110分的學(xué)生不超過(guò)______人．題型十二：均值和方差【典例分析】例題1．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)與方差的和為（

）A．6 B．15 C．19 D．22例題2．（2022·廣西桂林·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)．隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（

）A．不變 B．減小 C．先增大后減小 D．先減小后增大例題3．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則方差的取值范圍是_________.012例題4．（2022·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)為隨機(jī)變量，則方差______．【提分秘籍】離散型隨機(jī)變量的分布列…………均值；方差：【變式演練】1．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，若，則（

）A．3 B． C．4 D．2．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如表所示，若，則（

）01A． B． C．5 D．73．（2022·山東淄博·統(tǒng)考三模）設(shè)隨機(jī)變量，滿足．若，則_____．4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，若最大，則______．1．（2022·上海寶山·統(tǒng)考一模）某高中共有學(xué)生1200人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則高三年級(jí)應(yīng)該抽取（

）人.A．16 B．18 C．20 D．242．（2022·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？既＃┫铝姓f(shuō)法正確的序號(hào)是（

）①在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.8個(gè)單位；②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得最小的原理；③已知，是兩個(gè)分類變量，若它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大，則“與有關(guān)系”的把握程度越??；④在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，，…，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為.A．①③ B．①② C．②④ D．③④3．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）A．變量與不獨(dú)立B．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)C．變量與獨(dú)立D．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)4．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）為落實(shí)疫情防控“動(dòng)態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對(duì)奧密克戎變異株傳播風(fēng)險(xiǎn)，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測(cè).已知該企業(yè)組裝車間的某小組有6名工人，每次獨(dú)立、隨機(jī)的從中抽取3名工人參加核酸檢測(cè).設(shè)該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（

）A．該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B．C．該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D．5．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校開(kāi)展讀書(shū)活動(dòng)，要求每位同學(xué)從《三國(guó)演義》、《紅樓夢(mèng)》、《水滸傳》、《西游記》四本中國(guó)名著中選不同的兩本，《復(fù)活》、《老人與?！穬杀就鈬?guó)名著中選一本，共選三本書(shū)進(jìn)行閱讀賞析，則甲、乙兩人恰有兩本書(shū)選擇相同的概率為（

）A． B． C． D．6．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．21 C． D．357．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校為落實(shí)“雙減”政策，在課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富多彩的興趣拓展活動(dòng)，包含書(shū)法?舞蹈?圍棋?演講?武術(shù)五項(xiàng)活動(dòng)，甲同學(xué)打算從這五項(xiàng)活動(dòng)中隨機(jī)選三項(xiàng)，則書(shū)法?武術(shù)這兩項(xiàng)活動(dòng)中，至多有一項(xiàng)被選中的概率為（

）A． B． C． D．8．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知事件，，相互獨(dú)立，且，，則（

）A． B． C． D．9．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知盒中裝有1個(gè)黑球與2個(gè)白球，每次從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，并換入一個(gè)黑球.設(shè)三次摸球后盒子中所剩黑球的個(gè)數(shù)為，則為（

）A． B．2 C． D．10．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中校考模擬預(yù)測(cè)）冬奧會(huì)的