9.1.1平面及其表示法

在研究空間圖形時(shí)。常要在平面上把它表現(xiàn)出來，當(dāng)我們從適當(dāng)?shù)奈恢每春诎迕?、課桌面時(shí)，可感覺到它們都像平行四邊形，因此，通常用平行四邊形來表示平面.※平整的鏡面、黑板面、課桌面等等都看作是平面的一部分.

9.1平面的表示法及其基本性質(zhì)

當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角畫成約45?，其中一邊畫成水平方向，另一邊的長度等于它的一半.ABCDN

同理，畫垂直放置的平面時(shí)，通常也把平行四邊形的內(nèi)銳角畫成約45?，其中一邊畫成鉛垂方向，另一邊的長度等于它的一半.ABCDα

平面通常用小寫的希臘字母α、β、γ…來表示,如:平面α、平面β、平面γ,也可用大寫的英文字母M、N、Q…來表示，還可用表示平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示,如:平面M、平面ABCD、平面AC等等.

※當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，被遮住部分的線段通常被畫成虛線或不畫出來.9.1.2平面的基本性質(zhì)

公理1

如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

※直線在平面內(nèi)指直線上所有的點(diǎn)都在平面上.ABlα

空間圖形的線、面都可以看成是點(diǎn)的集合,點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種:（1）點(diǎn)A在直線l上,記作A∈l；（2）點(diǎn)A在直線l外,記作A

l.同理,點(diǎn)與平面的位置關(guān)系也有兩種:（1）點(diǎn)A在平面α內(nèi),記作A∈α；（2）點(diǎn)A在平面α外,記作A

α.類似地,直線l在平面α內(nèi),則記作l

α.

公理2

如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.

※在本章中，沒有特別注明的“兩個(gè)平面”均指不重合的兩個(gè)平面.

公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),可以確定一個(gè)平面.Alα

推論2兩條相交直線可以確定一個(gè)平面.mlα

推論3兩條平行直線可以確定一個(gè)平面.mlα

※公理1指出了直線是否包含于平面內(nèi)的判定方法.

公理2指明了兩個(gè)平面相交時(shí)確定交線的方法.

公理3及推論提供了確定一個(gè)平面的基本方法.※(1)推論1中確定平面的點(diǎn)必須在直線外.(2)這里的“確定”指的是“有且只有”.9.2.1空間兩條直線平行

觀察下圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1的各條棱,由長方體的各個(gè)面都是矩形,不難發(fā)現(xiàn),AB∥A1B1,D1C1∥A1B1,AB∥D1C1；AA1∥BB1,CC1∥BB1,AA1∥CC1.

9.2空間兩條直線的位置關(guān)系A(chǔ)BCDA1B1C1D1

公理4

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

由公理4,我們?nèi)菀椎玫娇臻g等角定理:

定理如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行,則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.9.2.2異面直線及其所成的角

一般地,我們把不能同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.

由此可見,空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:(1)平行——在同一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)；

(2)相交——在同一個(gè)平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)異面——不能在同一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

在畫異面直線的圖形時(shí),為了顯示“異面”的特性(既不平行也不相交),一般畫成如下圖所示的三種形狀.mlαmlαmlαβ

如下圖所示,直線l、m是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)P作直線l′、m′,分別使l∥l′,m∥m′,我們把直線l′和m′所成的銳角(或直角)叫做異面直線l和m所成的角.如果l′⊥m′,那么稱異面直線l和m互相垂直,記作l⊥m.在空間中,若兩條直線垂直,則這兩條直線不一定相交.顯然,異

面直線所成角的取值范圍是.mlαm′l′P9.3空間直線與平面的位置關(guān)系空間的直線與平面的位置有三種.lαlαlαA

(1)直線與平面平行——直線和平面沒有公共點(diǎn)；

(2)直線與平面相交——直線和平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)直線在平面內(nèi)——直線和平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

9.3.1空間直線與平面平行

直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.

即如果直線l不在平面α內(nèi),直線m在平面α內(nèi)且直線l∥m,則直線l∥平面α.mlα

直線與平面平行的性質(zhì)定理

如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和交線平行.

即如果直線l在平面β內(nèi),且直線l∥平面α,平面α與β相交于直線m,則直線l∥m.mlαβ

9.3.2空間直線與平面垂直

定義如果一條直線和平面內(nèi)的任何直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的垂線,這個(gè)平面叫做這條直線的垂面,垂線和垂面的交點(diǎn)叫做垂足.

為了直觀、形象地體現(xiàn)線面垂直,通常把直線l畫成和表示平面α的平行四邊形的一邊垂直.

直線l與平面α垂直,交點(diǎn)為O,記作l⊥α,O為垂足.Olα

直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

如下圖所示,平面α上的直線m、n相交于O點(diǎn),如果直線l⊥m、l⊥n,那么l⊥α.Olαmn

直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面內(nèi),那么這兩條條直線互相平行.

如下圖所示,已知l⊥α、m⊥α,那么l∥m.lαm9.3.3空間直線與平面所成的角

一般地,平面的一條斜線l和它在平面α內(nèi)的射影BP所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

若將直線與平面所成的角記為θ,則

θ的取值范圍是θ∈.※（1）若直線與平面垂直，則θ=90°.

（2）若直線平行平面或直線在平面內(nèi)，則θ=0°.9.4兩個(gè)平面的位置關(guān)系

空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種.(1)兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；

(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.

平面α與平面β平行,記作α∥β；平面α與平面β相交于直線l,記α∩β=l.lαβαβ

9.4.1平面與平面平行

平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.

如上圖所示,已知直線l、m都在平面α內(nèi),直線l與直線m相交于點(diǎn)A,且直線l平行平面β,直線m平行平面β,則平面α平行平面β.αβmlA

平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.

如上圖所示,已知平面α、β、γ,且平面α平行于平面β,平面α與平面γ相交于直線l,平面β與平面γ相交于直線m,則直線l平行直線m.lαβmγ9.4.2二面角

我們知道,兩個(gè)平面相交必交于一條直線.當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),它們的交線AB將平面P、Q分割成兩個(gè)半平面α、β,由這兩個(gè)半平面α、β及其交線AB所組成的空間圖形叫做二面角.其中,交線AB叫做二面角的棱,α、β這兩個(gè)半平面叫做二面角的面,由兩個(gè)半平面α、β及棱AB組成的二面角記作α-AB-β.lPQABBAαβ

以二面角棱上的任意一點(diǎn)P為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線PM與PN,這兩條射線所成的角∠MPN叫做二面角的平面角.BAαβPMN

由空間等角定理知,∠MPN的大小和點(diǎn)P在棱AB上的位置無關(guān),因此當(dāng)二面角α-AB-β給定時(shí),它的平面角∠MPN的大小也就唯一確定,因此二面角的大小是用它的平面角來度量的.

※(1)當(dāng)二面角的平面角的大小是n°時(shí)，二面角的大小也是n°.(2)當(dāng)二面角的平面角是90°時(shí)，這個(gè)二面角就叫直二面角.(3)當(dāng)兩個(gè)平面平行或重合時(shí)，二面角是0°.

9.4.3平面與平面的垂直

平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.MNABαβ

如上圖所示,已知直線AB,平面α、β,如果AB在平面α內(nèi),直線AB⊥平面β,直線AB與平面β相交于B,則平面α⊥平面β.

平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面.lmαβ

如上圖所示,已知平面α垂直平面β,且平面α與平面β相交于直線m,直線l在平面α內(nèi),直線l垂直直線m,則直線l垂直平面β.9.5正棱柱與正棱錐

在一個(gè)多面體中,如果有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰的兩個(gè)面的交線互相平行,那么這樣的多面體叫做棱柱.其中,互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面,其余各個(gè)面叫做棱柱的側(cè)面,相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做棱柱的頂點(diǎn),不在棱柱同一個(gè)底面或側(cè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線,兩個(gè)底面間的距離叫做棱柱的高.

下圖中的三個(gè)多面體都是棱柱.棱柱通常以它的底面的邊數(shù)來命名,如:三棱柱ABC-A1B1C1、四棱柱ABCD-A1B1C1D1、六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1等.ABCA1B1C1OO'ABCDA1B1C1D1ABCDEFA1B1C1D1E1F1

9.5.1正棱柱及其面積、體積計(jì)算

正棱柱有如下性質(zhì):(1)側(cè)棱相互平行且垂直于底面,側(cè)棱和高相等；

(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的正多邊形；

(3)側(cè)面是全等的矩形.

正棱柱側(cè)面積的計(jì)算公式S側(cè)=nah；正棱柱全面積的計(jì)算公式S全=2S底+S側(cè)；正棱柱的體積的計(jì)算公式V=S底h.

其中S側(cè)為側(cè)面積,S全為全面積,S底為一個(gè)底面的面積，V為體積,n為底面的邊數(shù)(也是側(cè)棱數(shù)),a為底邊長,h為棱柱的高.9.5.2正棱錐及其面積、體積計(jì)算

在一個(gè)多面體中,如果有一個(gè)面是多邊形,其余各個(gè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,那么這樣的多面體叫做棱錐.其中多邊形的面叫做棱錐的底面,其余三角形的面叫做棱錐的側(cè)面,兩個(gè)相鄰側(cè)面的交線叫做棱錐的側(cè)棱,各側(cè)棱的公共點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn),從頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高.

與棱柱類同,棱錐也是以它的底面的邊數(shù)命名,如:四棱錐P-ABCD、六棱錐P-ABCDEF等等.

如果棱錐的底面是正多邊形,而且過頂點(diǎn)作底面的垂線,垂足是底面的中心,那么這樣的棱錐叫做正棱錐.ABECDPOABCFDEOP

正棱錐有如下性質(zhì):(1)所有的側(cè)棱都相等，所有的斜高都相等；

(2)所有的側(cè)面都是全等的等腰三角形.

正棱錐側(cè)面積的計(jì)算公式S側(cè)=1/2nah′；正棱錐全面積的計(jì)算公式S全=S底+S側(cè)；正棱錐體積的計(jì)算公式V=1/3S底×h.

其中S底為底面積，S全為全面積,n為底面的邊數(shù),a為底邊長,h為高,h′為斜高.9.6圓柱、圓錐與球

9.6.1圓柱、圓錐及其面積、體積計(jì)算

1.圓柱一個(gè)矩形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形叫做圓柱.

如上圖所示的圓柱是由矩形OO1A1A繞著OO1旋轉(zhuǎn)一周所形成,記作圓柱OO1.其中,OO1叫做圓柱的軸,矩形的另一邊AA1叫做圓柱的母線,由母線AA1旋轉(zhuǎn)所成的面叫做圓柱的側(cè)面,由矩形其他兩邊OA、O1A1旋轉(zhuǎn)所成的兩個(gè)圓面叫做圓柱的底面,兩個(gè)底面間的距離OO1叫做圓柱的高.AA1O1OAA1O1OA1′(A1)A′(A)

圓柱有如下的性質(zhì):(1)垂直于軸的截面是與底面相等的圓；

(2)過軸的截面(又叫軸截面)是全等的矩形；

(3)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形,其中相鄰兩邊分別是圓柱的母線和底面的周長.

圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式S側(cè)=2πrh；圓柱全面積的計(jì)算公式S全=2πr2+2πrh；圓柱體積的計(jì)算公式V=πr2h.

其中r為底面圓的半徑,h為高.

2.圓錐一個(gè)直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形叫做圓錐.AOPOAPA′(A)

圓錐是由直角三角形POA繞著直角邊PO旋轉(zhuǎn)一周所形成,記作圓錐PO.其中,PO所在直線叫做圓錐的軸,斜邊PA叫做圓錐的母線,由母線PA繞著PO旋轉(zhuǎn)一周所形成的面叫做側(cè)面,由直角三角形另一直角邊OA繞著軸PO旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓面叫做圓錐的底面,點(diǎn)P叫做圓錐的頂點(diǎn),從頂點(diǎn)到底面的距離PO叫做圓錐的高.

圓錐有如下的性質(zhì):(1)垂直于軸的截面是平行于底面的圓；

(2)過軸的截面(又叫軸截面)是全等的等腰三角形；

(3)圓錐的母線都過頂點(diǎn)且長相等；

(4)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,它的半徑等于圓錐的母線,它的弧長等于圓錐底面圓的周長.

圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式S側(cè)=πrl；圓錐全面積的計(jì)算公式S