21、數(shù)字和與最大最小問題

【數(shù)字求和】

例1100個連續(xù)自然數(shù)的和是8450取其中第1個第3個第5個......

第99個（所有第奇數(shù)個），再把這50個數(shù)相加，和是_____。

（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：第50、51兩個數(shù)的平均數(shù)是8450-100=84.5,所以，第50個

數(shù)是則個連續(xù)自然數(shù)是：

840100

35,36,37.................133,134。

上面的一列數(shù)分別取第L3、5.............99個數(shù)得：

35,37,39,……131,133。

則這50個數(shù)的和是：

35+37+39+.............+133=：X（35+133）X25=2100。

例2把1至100的一百個自然數(shù)全部寫出來，所用到的所有數(shù)碼的和是

（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析；可把1至100這一百個自然數(shù)分組，得

（L2、3.............9）,（10、11、12.............19）,（20、21、22...........

29）,……，（90、91、92............99）,（100）。

容易發(fā)現(xiàn)前面10組中，每組的個位數(shù)字之和為45。而第一組十位上是0,

第二組十位上是1,第三組十位上是2，……第十組十位上是9,所以全體十位

上的數(shù)字和是（1+2+3+……+9）xl0=450e故所有數(shù)碼的和是45x

10+450+1=901。

例3真分?jǐn)?shù)微化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點后第一位的數(shù)字開始連

續(xù)若干個數(shù)字之和是1992,那么a=―。

（北京市第八屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

1??2■?3?a4■>

講析：由,=0.142857,亍=0.285714,亍=0.428571，亍=0.571428,

1-=0.714285,1=0.857142,可知它們每個循環(huán)節(jié)中的數(shù)字之和是27。

又，1992^27=73余21,而21=8+5+7+1,所以a=6。

例4有四個數(shù)，每次選取其中三個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外一

個數(shù)，用這種方法計算了四次，分別得到四個數(shù)：86,92,100,106。那么，

原來四個數(shù)的平均數(shù)是

（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決塞試題）

講析：每次所選的三個數(shù)，計算其平均數(shù)，實際上就是計算這三個數(shù)中

每個數(shù)的;的和。將上面四個數(shù)相加，就得到原四個數(shù)和的2倍。所以，

原來四個數(shù)的平均數(shù)為（86+92+100+106）-2=192.

【最大數(shù)與最小數(shù)】

例1三個不同的最簡真分?jǐn)?shù)的分子都是質(zhì)數(shù)，分母都是小于20的合數(shù)，要

使這三個分?jǐn)?shù)的和盡可能大，這三個分?jǐn)?shù)是

（全國第四屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）。

講析：20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19

要使三個分?jǐn)?shù)盡量大，必須使每個分子盡量大而分母盡量小。且三個真

分?jǐn)?shù)分子要為質(zhì)數(shù)，分母要為小于20的合數(shù)，所以，三個分?jǐn)?shù)是1獸7、

lo

1311

14'120

例2將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分成三組，分別計算各組數(shù)的

和。已知這三個和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。問：最小的和是多少？

（全國第三屆"華杯賽〃決賽口試試題）

講析；因為1+2+3+......+8=36,又知三組數(shù)的和各不相同，而且最大的

和是最小和的2倍。所以，最小和比總和36的（要小，而比總和36的1要

大。因此，最小的和是8。

例3把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入口中（每個質(zhì)數(shù)只用一次）：

□+□+□+□+□+□+□

使A是整數(shù)。A最大是多少？

（第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）

講析：要使A最大，必須使分母盡量小，而分子盡量大。

分母分別取2、3、5時，A都不能為整數(shù)。當(dāng)分母取7時,

2+3+5+11+13+17+19

A==10為最大。

7

例4一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1,最大的數(shù)是250除1之

外、這組數(shù)中的任一儲或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中

某兩個數(shù)之和。問：這組數(shù)之和的最大值是多少？當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時，這

組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和是最小值的理由。

（全國第四屆"華杯賽〃次賽第一試試題）

析：觀察自然數(shù)1、2、3、4、5.....25這25個數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們除1之

外，每個數(shù)都能用其中某一個數(shù)的2倍，或者某兩個數(shù)之和表示。因此，這組數(shù)

之和的最大值是1+2+3+……+25=325。

下面考慮數(shù)組中各數(shù)之和的最小值。

1和25是必取的，25不能表示成一個數(shù)的2倍,而表示成兩個數(shù)之和的形

式，共有12種。我們?nèi)蓚€加數(shù)中含有盡可能大的公約數(shù)的一組數(shù)（20+5）

或者（10+15）。當(dāng)取1、5、20、25時，還需取2、3、10三個；當(dāng)取1、10、

15、25時,還需取2、3、5。經(jīng)比較這兩組數(shù)，可知當(dāng)取1、2、3、4、5、10、

15、25時，和最小是61。

22、數(shù)字串問題

【找規(guī)律填數(shù)】

例1找規(guī)律填數(shù)

Q）1、22、1、3、二、（）、（）、……

（杭州市上城區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

⑵4、幺竺、竺、1竺、（）.

6715532339

（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講折：數(shù)列填數(shù)問題，關(guān)鍵是要找出規(guī)律；即找出數(shù)與數(shù)之間有什么聯(lián)系。

第（1）小題各數(shù)的排列規(guī)律是:第L3、5....（奇數(shù)）個數(shù)分別

是1、2、3、……；而偶數(shù)項的數(shù)又分別是前一個數(shù)的故括號里的數(shù)分

別是4和20

第（2）小題粗看起來,各數(shù)之間好像沒有什么聯(lián)系。于是，運用分?jǐn)?shù)

的性質(zhì)將某些分?jǐn)?shù)進(jìn)行變化，得最=左噌=舞。這樣，就

ID6U23463，39

得到了

48163264r、

6760534639

從而很容易找到答案為等。

D乙

例2右表中每豎行的三個數(shù)都是按照一定的規(guī)律排列的。按照這個規(guī)律在

空格中填上合適的數(shù)。

0.43.880.58

0.702.5104

1.281216

（1994年天津市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講折：根據(jù)題意，可找出每豎行的三個數(shù)之間的關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)每豎行中的

第三個數(shù)，是由前兩數(shù)相乘再加上1得來的。所以空格中應(yīng)填33。

【數(shù)列的有關(guān)問題】

例加h1在左一生串八刀粕數(shù)：T1551，2了12；1W2亨3號23,13?1“2"

/7,7；……中，Q）二是第幾個分?jǐn)?shù)？（2）第400個分

4444410

數(shù)是幾分之幾？

（第一屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）

講析：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，分母是1、2、3、4、5......的分?jǐn)?shù)個數(shù)，分別是1、3、

5、7、9……。所以，分母分別為1、2、3……9的分?jǐn)?shù)共

有1.x（1+17）x9=81（個）

2

不難求出得是第88和第94個分?jǐn)?shù)。

又因為1+3+5+7+9+……+（2n-l）=n2,而400=20。所以,

第400個分?jǐn)?shù)是:。

乙U

例2有一串?dāng)?shù)：1,1993,1992,1,1991,1990,1,1989,1988,...

這個數(shù)列的第1993個數(shù)是_____

（首屆《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）

講析：把這串?dāng)?shù)按每三個數(shù)分為一組，則每組第一個數(shù)都是1,第二、三個

數(shù)是從1993開始，依次減1排列。

而1993+3=664余1,可知第1993個數(shù)是1。

例3已知小數(shù)0.12345678910111213......9899的小數(shù)點后面的數(shù)字,是

由自然數(shù)1—99依次排列而成的0則小數(shù)點后面第88位上的數(shù)字是0

（1988年上海市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：將原小數(shù)的小數(shù)部分分成A、B兩組：

0.123-91D1112…99

、一/V_/

AB

A中有9個數(shù)字，B中有180個數(shù)字，從10到49共有80個數(shù)字。所以，

第88位上是40

例4觀察右面的數(shù)表（橫排為行，豎排為列）；

1

?

2'

21

**I■?

r2、

321

—???

r2‘3,

4321

『2；3；“

54321

~

1'2'3'4'5

根據(jù)前五行數(shù)所表達(dá)的規(guī)律’說明：源這個數(shù)’位于由上而下的第

幾行，自左向右的第幾列。（全國第三屆"華杯賽"決賽試題）

講析：第一行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為2,第二行每個分?jǐn)?shù)的分子與分

母之和為3,第三行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為4，……即每行各數(shù)的分子與

分母之和等于行數(shù)加

10

例5如圖5.4,除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個數(shù)都是與它相連的上一行

的兩個數(shù)的平均數(shù)，那么第100行各數(shù)之和是

（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講折：可試探著計算每行中各數(shù)之和。第一、二、三、四行每行的各數(shù)之和

分別是6、8、10、12,從而得出，每行的數(shù)字之和，是行數(shù)的2倍加4。故第

100行各數(shù)之和為100x2+4=204.

例6伸出你的左手，從大拇指開始，如圖5.5所示的那樣數(shù)數(shù)：1、2、3......。

問：數(shù)到1991時,會落在哪個手指上？

(全國第三屆"華杯賽”決賽口試試題)

講析：除1之外，從2開始每8個數(shù)為一組，每組第一個數(shù)都是從食指開

始到拇指結(jié)束。???(1991—1)+8=248余6,.?剩下最后6個數(shù)又從食指開始

數(shù)，會到中指結(jié)束。

圖5.5

例7如圖5.6,自然數(shù)按從小到大的順序排成螺旋形c在"2〃處拐第一個

彎，在〃3"處拐第二個彎......問拐第二十個彎處是哪個數(shù)？

21f22f23-24f25f26

207f8f9-HO27

ttI1

1961-*21128

tttI

185-4—312

tI

圖5.6

(全國第一屆"華杯賽"決賽口試試題)

講析：寫出拐彎處的數(shù)，然后按每兩個數(shù)分為一組：

(2,3),(5,7),

。將會發(fā)現(xiàn),每組數(shù)中依次相差

(10,13)f(17,21),(26,31)，……

1、2、3、4、5.....每組的第二個數(shù)與后一組的第二個數(shù)依次相差2、3、4、

5.....從而可推出，拐第二十個彎處的數(shù)是lllo

例8自然數(shù)按圖5.7順次排列。數(shù)字3排在第二行第一列。問：1993排

在第幾行第幾列？

12671516-

3581417-

4913…

1012…

11…

■?■

圖5.7

（全國第四屆"華杯賽"復(fù)賽試題）

講折：觀察每斜行數(shù)的排列規(guī)律，每斜行數(shù)的個數(shù)及方向。

每一斜行數(shù)的個數(shù)分別是L2、3、4、5.....奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上

排列，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下排列。

不難得出，所有第62斜行及以前的數(shù)，共有JX62X63=1953（個）；

而第63斜行及以前的數(shù)共有:><63X64=2016（個），則，1993位于第63

斜行，該斜行的數(shù)是由下向上排列的，且第63行第1列是19540

由于從1954開始，每增加1時行數(shù)就減少1,而列數(shù)就增加L所以1993

的列數(shù)、行數(shù)分別是：

1993—1954+1=40（歹（J）,63-（1993—1954）=24（行）

23、數(shù)陣圖

【方陣】

例1將自然數(shù)1至9,分別填在圖5.17的方格中，使得每行、每列以及兩

條對角線上的三個數(shù)之和都相等。

圖5.17

（長沙地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析中間一格所填的數(shù)在計算時共算了4次所以可先填中間一格的數(shù)。

（1+2+3+......+9）+3=15,則符合要求的每三數(shù)之和為15。顯然，中間

一數(shù)填〃5〃。

再將其它數(shù)字順次填入，然后作對角線交換，再通過旋轉(zhuǎn)（如圖5.18）,

便得解答如下。

圖5.18

例2從1至13這十三個數(shù)中挑出十二個數(shù)，填到圖5.19的小方格中，使

每一橫行四個數(shù)之和相等，使每一豎列三個數(shù)之和又相等。

圖519

（"新苗杯"小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：據(jù)題意，所選的十二個數(shù)之和必須既能被3整除，又能被4整除,

（三行四列）。所以，能被12整除。十三個數(shù)之和為91,91除以12,商7

余因此，應(yīng)去掉每歹」為

7,70I（91—7）+4=21

而1至13中，除7之外，共有六個奇數(shù)，它們的分布如圖5.20所示。

三個奇數(shù)和為21的有兩種：21=1+9+11=3+5+13。經(jīng)檢驗，三個奇數(shù)

為3、5、13的不合要求，故不難得出答案，如圖5.21所示。

奇奇

奇奇

奇奇

圖5.20

例3十個連續(xù)自然數(shù)中，9是第三大的數(shù)月巴這十個數(shù)填到圖5.22的十個

方格中，每格填一個，要求圖中三個2x2的正方形中四數(shù)之和相等。那么，這

個和數(shù)的最小值是_____O

（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

講析不難得出十個數(shù)為、、、、、7、、、它們的和

：：23456、8910110

是65。在三個2x2的正方形中，中間兩個小正方形分別重復(fù)了兩次。

設(shè)中間兩個小正方形分別填上a和b,則（65+a+b）之和必須是3的倍

數(shù)。所以，（a+b）之和至少是7。

故，和數(shù)的最小值是24。

【其他數(shù)陣】

例1如圖5.23，橫、豎各12個方格,每個方格都有一個數(shù)。

已知橫行上任意三個相鄰數(shù)之和為20,豎列上任意三個相鄰數(shù)之和為21。

圖中已填入3、5、8和〃x〃四個數(shù)，那么"x〃代表的數(shù)是

3

5Tx

圖5.23

（1994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

講析：可先看豎格。因為每相鄰三格數(shù)字和為21,所以每隔兩格必出現(xiàn)重

復(fù)數(shù)字。從而容易推出，豎格各數(shù)從上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、

8、3、10、8。

同理可推導(dǎo)出橫格各數(shù)，其中"X"=5。

例2如圖5.24,有五個圓，它們相交后相互分成九個區(qū)域，現(xiàn)在兩個區(qū)域

里已經(jīng)分別填上數(shù)字10、6,請在另外七個區(qū)域里分別填進(jìn)2、3、4、5、6、7、

9七個數(shù)字，使每個圓內(nèi)的數(shù)之和都是15。

（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

圖5.24

圖5.25

講析：可把圖中要填的數(shù)，分別用a、b、c、d、e、f、g代替。（如圖5.25）

顯然a=5,g=9o

貝I」有：b+c=10,e+f=6zc+d+e=15o經(jīng)適當(dāng)試驗，可得b=3,c=7t

d=6,e=2,f=40

例3如圖5.26,將六個圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20,而且每

個小三角形三個頂點上的數(shù)之和相等。那么，這六個質(zhì)數(shù)的積是______

（全國第一屆"華杯賽”決賽試題）

講析：最上面的小三角形與中間的小三角形，都有兩個共同的頂點，且每個

小三角形頂點上三數(shù)之和相等。所以，最上邊圓圈內(nèi)數(shù)字與最下面中間圓圈內(nèi)數(shù)

字相等°

圖5.26

同樣，左下角與右邊中間的數(shù)相等,右下角與左邊中間數(shù)相等。

20/2=10,10=2+3+5。

所以，六個質(zhì)數(shù)積為2x2x3x3x5x5=900.

例4在圖5.27的七個。中各填上一個數(shù)，要求每條直線上的三個數(shù)中，中

間一個數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)。現(xiàn)已填好兩個數(shù)，那么X=。

(1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題)

a

b

1317.13——電

圖

圖5.275.28

講析：如圖5.28,可將圓圈內(nèi)所填各數(shù)分別用a、b、c、d代替。

則d=15。

由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。

所以，b=13+2=15e進(jìn)而容易算出，x=19o

例5圖5.29中8個頂點處標(biāo)注的數(shù)字：

a、b、c、d、e、f、g、h,其中的每一個數(shù)都等于相鄰三個頂點

處數(shù)字和的;。求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。

圖5.29

(全國第三屆"華杯賽"復(fù)賽試題)

講析：將外層的四個數(shù)，分別用含其它字母的式子表示，得

a=y(b+e+d)；b=y(c+f+a)

a=g(d+g+b)；d=y(a+h+e)°

所以，a+b+c+d=；(b+e+d)+；(c+f+a)+：(d+g+b)+

；(a+h+e)0

=y[2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)]

即(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0

24、數(shù)的組成

【數(shù)字組數(shù)】

例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)

字都要用到，并且只能用一次，那么這九個數(shù)字最多能組成個質(zhì)數(shù)。

(1990年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題)

講折：自然數(shù)1至9這九個數(shù)字中，2、3、5、7本身就是質(zhì)數(shù)。于是只剩

下L4、6、8、9五個數(shù)字，它們可組成一個兩位質(zhì)數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)：41和

689c所以,最多能組成六個質(zhì)數(shù)0

例2用0、1、2....9這十個數(shù)字組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，

要求它們的和是一個奇數(shù)，并且盡可能的大。那么，這五個兩位數(shù)的和是_____0

(1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題)

講析：組成的五個兩位數(shù),要求和盡可能大，則必須使每個數(shù)盡可能大。所

以它們的十位上分別是9、8、7、6、5,個位上分別是0、1、2、3、4。但

要求五個兩位數(shù)和為奇數(shù)，而1+2+3+4=10為偶數(shù)，所以應(yīng)將4與5交換，

使和為：

(9+8+7+6+4)xl0+(1+2+3+5)=351。

351即本題答案。

例3一個三位數(shù)，如果它的每一個數(shù)字都不超過另一個三位數(shù)對應(yīng)數(shù)位上

的數(shù)字，那么就稱它被另一個三位數(shù)〃吃掉〃。例如，241被342吃掉，123

被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互不被吃掉。

現(xiàn)請你設(shè)計出6個三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個數(shù)不被其它5個數(shù)吃掉，并且它

們的百位上數(shù)字只允許取1、2;十位上數(shù)字只允許取1、2、3;個位上數(shù)字只

允許取1、2、3、4。

這6個三位數(shù)是_____。

（第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）

講折：六個三位數(shù)中，任取兩個數(shù)a和b,則同數(shù)位上的數(shù)字中，a中至少

有一個數(shù)字大于而中至少有一個數(shù)字大于

b,bao

當(dāng)百位上為1時，十位上可從1開始依次增加1,而個位上從4開始依次減

少1。即：114,123,132。當(dāng)百位上為2時，十位上從1開始依次增加1而

個位上只能從開始依次減少即：。經(jīng)檢驗，這六個數(shù)符

310213,222,231

合要求。

例4將1、1、2、2、3、3、4、4這八個數(shù)字排成一個八位數(shù)，使得兩個

1之間有一個數(shù)字；兩個2之間有兩個數(shù)字；兩個3之間有三個數(shù)字；兩個4

之間有四個數(shù)字。那么這樣的八位數(shù)中的一個是____O

（1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

講析：兩個4之間有四個數(shù)字，則在兩個4之間必有一個數(shù)字重復(fù),而又

要求兩個1之間有一個數(shù)，于是可推知，這個重復(fù)數(shù)字必定是1,即412134或

421314。然后可添上另一個2和3。

經(jīng)調(diào)試，得23421314,此數(shù)即為所答。

【條件數(shù)字問題】

例1某商品的編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)有五個三位數(shù)：874,765,123,364,

925。其中每一個數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個相同的數(shù)字，那么這個

三位數(shù)是______

（1993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）

講析：將五個數(shù)按百位、十位、個位上的數(shù)字分組比較，可發(fā)現(xiàn)：百位上五

個數(shù)字都不同；十位上有兩個和兩個;個位上有兩個和兩個故所求的

26450

數(shù)的個位數(shù)字一定是4或5,百位上一定是2或6。經(jīng)觀察比較，可知724符合

要求。

例2給一本書編頁碼，共用了1500個數(shù)字，其中數(shù)字"3〃共用了

個

（首屆《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)）》邀請賽試題）

講折：可先求出1500個數(shù)字可編多少頁。

從第一頁到第9頁，共用去9個數(shù)字；從第10頁到第99頁，共用去2x

90=180（個）數(shù)字；余下的數(shù)字可編（1500-189）+3=437（頁）

所以，這本書共有536頁。

I至99頁，共用20個，從100至199頁共用20個"3”,從200

至299頁共用20個"3〃，從300至399頁共用去120個〃3"，從400至

499頁共用去20個〃3",從500到536頁共用去11個"3〃。所以，共用去

211個數(shù)字3。

例3在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有_____個。

（全國第四屆"華杯賽"決賽口試試題）

講析：可把三位數(shù)100至999共900個數(shù)，從100起，每10個數(shù)分為一

組，得

（100,101...........109）,（110、111...........119）,……（990、991.............

999）

共分成了90組，而每組中有且只有兩個數(shù)的數(shù)字和是5的倍數(shù)，所以一共

有2x90=180（個）。

例4有四個數(shù)，取其中的每兩個數(shù)相加，可以得到六個和。這六個和中最

小的四個數(shù)是83、87、92、94,原因數(shù)中最小的是_____。

（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：設(shè)原四個數(shù)從小到大為a、b、jd,則有a+b=83,a+c=87,所

以比大。而對于和為和時，或者是,或者是

cb49294b+c=92b+c=94o

當(dāng)時，因比大,可得,進(jìn)而可求得

b+c=92cb4b=45a=380

當(dāng)時，因比大,可得進(jìn)而可求得

b+c=94cb4b=44,a=390

所以，原四數(shù)中最小的數(shù)是38或39。

例5一個四位數(shù)而，增加它的8倍后，得到四位數(shù)砒，那么原數(shù)

abcd=

（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：原四位數(shù)增加8倍后得新的四位數(shù)，也就是原四位數(shù)乘以9,得新四

位數(shù)（如圖5.29）。從而可知，a一定為1,否則積不能得四位數(shù)。貝（J

d=9。進(jìn)而可推abed=1089。

abed

X9

dcba

圖5.29

例6有兩個兩位數(shù)，它們的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和是1L這兩個數(shù)

的積的十位數(shù)字肯定不會是哪兩個數(shù)字？

(1990年《小學(xué)生報》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)

講析：由題意可知，兩個數(shù)的十位上為(2,9),(3,8),(4,7),

(5,6),而個上則可以是0至9的任意一個數(shù)字。如果分別去求這兩個數(shù)的

積，那是很麻煩的。

設(shè)這兩個數(shù)的個位數(shù)字是c,十位數(shù)字分別為a、b,則a+b=ll,兩數(shù)分

別為(10a+c),(10b+c)o

(10a+c)X(10b+c)=100(ab+c)+(10c+c2)0

而100(ab+c)的個位和十位都是0,所以只需看10c+一的十位數(shù)

字。

把。至9這十個數(shù)字分別代入(10c+3)中，由計算發(fā)現(xiàn)，十位上不

能是6、8。

例7期的記法是用6個數(shù)字，前兩個數(shù)字表示年份，中間兩個數(shù)字表示月

份，后兩個數(shù)字表示日(如1976年4月5日記為760405)。

第二屆小學(xué)〃祖杯賽"的競賽日期記為921129。這個數(shù)恰好左右對稱，因

此這樣的日期是“吉祥日"。問：從87年9月1日到93年6月30日，共有

個吉祥日。(第二屆“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)

講析：一個六位數(shù)從中間分開，要求左右對禰，則在表示月份的兩個數(shù)中,

只有11月份。而且"年份"的個位數(shù)字只能是0、L2。

所以是共有3個吉祥日：901109、911119.9211290

25、數(shù)的整除性規(guī)律

【能被2或5整除的數(shù)的特征】（見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略）

【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的各個數(shù)位上的數(shù)字

之和能被3和9整除時，這個數(shù)便能被3或9整除。

例如，1248621各位上的數(shù)字之和是

1+2+4+8+6+2+1=24

3|24,則3|1248621。

又如，372681各位上的數(shù)字之和是

3+7+2+6+8+1=27

9|27,則9|372681。

【能被4或25整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4或

25整除時，這個數(shù)便能被4或25整除。

例如，173824的末兩位數(shù)為24,4|24,則4|173824。

43586775的末兩位數(shù)為75,25|75,則25|

43586775。

【能被8或125整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字為0,或

者末三位數(shù)能被8或125整除時，這個數(shù)便能被8或125整除。

例如，32178000的末三位數(shù)字為0，則這個數(shù)能被8整除，也能夠被125

整除。

3569824的末三位數(shù)為824,8|824，貝U8|3569824。

214813750的末三位數(shù)為乃0,125|750,則125|214813750。

【能被7、11、13整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示

的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、13整

除時，這個數(shù)就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位數(shù)為523,末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75,

523-75=448,448+7=64,即

7|448,則7|75523。

又如,1095874的末三位數(shù)為874末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095,

1095-874=221,221+13=17,即

13|221,則13—095874。

再如，868967的末三位數(shù)為967,末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868,

967-868=99,99/11=9,即

11|99,則11|868967。

此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述：

一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減

?。┠鼙?1整除時，則這個數(shù)便能被11整除。

例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為

4+3+2+5=14,

偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14,

二者之差為14-14=0,0^11=0,

即11|0,則11|4239235。

26、數(shù)的公理、定理或性質(zhì)

【小數(shù)性質(zhì)】小數(shù)的性質(zhì)有以下兩條:

(1)在小數(shù)的末尾添上或者去掉幾個零，小數(shù)的大小不變。

(2)把小數(shù)點向右移動n位，小數(shù)就擴大10n倍；把小數(shù)點向左移動n位,

小數(shù)就縮小10n倍。

【分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)】一個分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者都除以同一不為零的數(shù),

分?jǐn)?shù)的大小不變。即

aa*maa+m

1mmxO)-=?—(m，0)

【去九數(shù)的性質(zhì)】用9去除一個數(shù)，求出商后余下的數(shù)，叫做這個數(shù)的”去

九數(shù)"，或者叫做"9余數(shù)"。求一個數(shù)的“去九數(shù)"，一般不必去除，只要把

該數(shù)的各位數(shù)字加起來，再減去9的倍數(shù)，就得到該數(shù)的"去九數(shù)"。(求法見

本書第一部分"(四)法則、方法〃"2.運算法則或方法"中的"棄九驗算法"

詞條。)去九數(shù)有兩條重要的性質(zhì)：

(1)幾個加數(shù)的和的去九數(shù)，等于各個加數(shù)的去九數(shù)的和的去九數(shù)。

(2)幾個因數(shù)的積的去九數(shù)，等干各個因數(shù)的去九數(shù)的積的去九數(shù)0

這兩條重要性質(zhì)，是用〃棄九驗算法〃驗算加、減、乘、除法的依據(jù)。

【自然數(shù)平方的性質(zhì)】

(1)奇數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。

為什么有這一性質(zhì)呢？這是因為奇數(shù)都可以表示為2k+l的形式k為整數(shù)。

而

(2k+l)2=4k2+4k+l

=4k(k+1)+1

k與k+1又是連續(xù)整數(shù)，其中必有一個是偶數(shù)，故4k(k+1)是8的倍數(shù)，

能被8整除，所以"4k(k+1)+1",即(2k+l)2能被8除余1,也就是任

何一個奇數(shù)的平方被8除余1。

例如，272=729

7294-8=91......1

(2)偶數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個偶數(shù)的平方,都是4的倍數(shù)。

這是因為偶數(shù)可以用2k(k為整數(shù))表示，而(2k)2=4k2

顯然，4k2是4的倍數(shù)，即偶數(shù)的平方為4的倍數(shù)。

例如，2162=46656

46656+4=11664

即4|46656

【整數(shù)運算奇偶性】整數(shù)運算的奇偶性有以下四條：

(1)兩個偶數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。

(2)一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。

(3)兩個奇數(shù)之積為奇數(shù)；兩個偶數(shù)之積為偶數(shù)。

(4)一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積為偶數(shù)。

由第(4)條性質(zhì)，還可以推廣到：

若干個整數(shù)相乘，只要其中有一個整數(shù)是偶數(shù)，那么它們的積就是個偶數(shù)。

【偶數(shù)運算性質(zhì)】偶數(shù)運算性質(zhì)有：

(1)若干個偶數(shù)的和或者差是偶數(shù)。

(2)若干個偶數(shù)的積是偶數(shù)。

例如，四個偶數(shù)38、126、672和1174的和,是偶數(shù)2010;用偶數(shù)相減

的算式3756-128-294-1350的差，也是偶數(shù)1984。

【奇數(shù)運算性質(zhì)】奇數(shù)運算性質(zhì)有：

(1)奇數(shù)個奇數(shù)的和(差)是奇數(shù)"禺?dāng)?shù)個奇數(shù)的和(差)是偶數(shù)。

(2)若干個奇數(shù)的積是奇數(shù)。

27、數(shù)的大小概念

【比較分?jǐn)?shù)大小】用常規(guī)方法比較分?jǐn)?shù)大小，有時候速度很慢。采用下述辦

法，往往可大大提高解題的速度。

(1)交叉相乘。把要比較大小的兩個分?jǐn)?shù)的分子分母交叉相乘，然后

再比較兩分?jǐn)?shù)的大小。比方比較:和〈的大?。?/p>

oy

57

-X-5X9=45,8X7=56

57

因為45V56,所以［《工

oy

又比方，比較2=3和I5的大小

3Jo

-2X-3X-5

358

2x5=10,3x3=9,3x8=24,5x5=25,

因為10〉9,故J〉：；又因24<25,故!<白所以，三個分?jǐn)?shù)的大

JO

,曰2、5、3

小是一〉一〉一。

」385

之所以能這樣比較，是由于它們通分時，公分母是分母的乘積。這時，分?jǐn)?shù)

的大小就只取決于分子的大小了。

(2)用"1"比較。當(dāng)兩個分?jǐn)?shù)都接近1,又不容易確定它們的大小

22221

時，先分別求出它們與1的差，差較小的分?jǐn)?shù)比較大。比方，比較

22223

33331gq?

33334的大小:

2222126

因為1-

222232222366669

3333136

1-

333343333466668

66

而66669,66668

一”

P斤以-2-2-2-2-1<,-3-3-3-3-1-

2222333334

BL*222222221如444444443出，.

又比方，比較73和工一捻一的大小:

33。333332666666665

HR.222222221111111111222222222

333333332333333332666666664

444444443222222222

1-----------------=----------------

666666665666666665

222222222222222222

的666666664）656666665

Mm222222221444444443

所以---------<----------

333333332666666665

(3)用“J”比較。當(dāng)兩個或幾個要比較大小小的分?jǐn)?shù)都接近:時,

乙乙

用:作標(biāo)準(zhǔn)來比較它們的大小，往往可迅速找出它們大小關(guān)系。比方，比較

1911知21出

34'詆和行的大小:

.191111211

因為市＞5建（于石=5

所以”＞里）衛(wèi)

歷次34‘42'22

(4)化相同分子。把分子不同的分?jǐn)?shù)化成同分子分?jǐn)?shù)比較大小。有時

候比先通分再比大小，來得比較簡便。比方，把高、=和導(dǎo)按從小到大的順

13o1b

序排列起來：

ma22X153055X630

因為—=------=-=-----=—

1313X1519566X636

3_3X10_30

16=16X1O=160

=30/30,30

而麗（麗

所嗚44

(5)兩分?jǐn)?shù)相除。用兩個分?jǐn)?shù)相除，看它們的商是大于1還是小于1，往

往能快速地找出它們的大小關(guān)系。由于這樣做，省略了通分的過程，所以

它非常簡便。例如，卜子交肝和，的大小:

因為詈一511911333

—=—X-=一x-

乙192157535

即非有飄II

所以*I

顯然，將它們反過來相除，也是可以的：

因為尹112157352

=X---------X—1萬

211131133

即?是g"的12倍，1

2r乙￡JJ

所以於今或宗4。

【巧比兩數(shù)大小】若年、乙兩數(shù)間的關(guān)系未直接給出，比較它們的大小，有一定

難度。這時，可按下面的辦法去做：

(1)先看分子是1的情況。例如下題:

“己知甲數(shù)的5等于乙數(shù)的｝甲乙二數(shù)哪一個較大？”

第一種方法是直觀比較。先畫線段圖(圖4.4):

甲數(shù)?T?iii

1

乙數(shù)iT.i___i____ii___i

圖4.4

由對線段圖的直觀比較可知，乙數(shù)大于甲數(shù)。

第二種方法是統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)后再比較大小。設(shè)甲數(shù)的;=1個長度單位，乙數(shù)

的?當(dāng)然也是1個長度單位，則甲數(shù)有1+9=4（個長度單位），乙數(shù)有1-

54

1=5（個長度單位）。所以，乙數(shù)比甲數(shù)大，或甲數(shù)比乙數(shù)小。

第三種方法是從分?jǐn)?shù)意義上去分析。因為甲數(shù)由4個"組成，乙數(shù)由5

個;組成，而一個（與一個］相同，所以4個*小于5個;，即甲數(shù)小于乙

數(shù)。

第四種方法是轉(zhuǎn)化關(guān)系式。由題中己知條件己知甲數(shù)的：等于乙數(shù)的，

45

可知

甲數(shù)X：=乙數(shù)X）

45

甲數(shù)=乙數(shù)xg+5

即甲數(shù)=乙數(shù)

也就是說，甲數(shù)是乙數(shù)的*。當(dāng)然，乙數(shù)大于甲數(shù)。

（2）再看分子不是1的情況。例如下題：

“甲數(shù)的專等于乙數(shù)的：，甲乙二數(shù)誰大？”

34

它同樣也可以用四種方法比較大小。比方

用直觀比較方法，可畫線段圖如下（圖4.5）:

甲數(shù)j-------1——

3

4

乙數(shù)1一1二1_

圖4.5

由圖可知，甲數(shù)大于乙數(shù)。

用統(tǒng)一分子的方法，也可比較它們的大小。因為

22X3633X26

3=3X3=§，4=4X2=8

用圖表示就是圖4.6:

這就是說，把甲數(shù)分為9份，乙數(shù)分為8份，它們的6份相等。所以，它

們每一份也相等。而甲數(shù)有9份，乙數(shù)只有8份，故甲數(shù)大于乙數(shù)。

從分?jǐn)?shù)意義上比較，由于甲數(shù)的|等于乙數(shù)的可知甲數(shù)的（等于乙

數(shù)的進(jìn)而可知，甲數(shù)的1等于乙數(shù)的《。再照上面的第三種方法分析下

o98

去，即可知道甲數(shù)大于乙數(shù)。

如果用轉(zhuǎn)化關(guān)系式比較。由題意可知

甲數(shù)乂搟二乙數(shù)乂.

根據(jù)一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，可得

甲數(shù)=乙數(shù)3即9甲數(shù)=乙數(shù)XI1?這就是說，甲數(shù)等于乙數(shù)

的4倍。所以，甲數(shù)大于乙數(shù)。

O

28.數(shù)的大小比較

【分?jǐn)?shù)、小數(shù)大小比較】

例1黑和焉，哪個分?jǐn)?shù)大?

（全國第二屆"華杯賽〃決賽口試試題）

講折：這兩個分?jǐn)?shù)如果按通分的方法比較大小，計算將非常復(fù)雜。于是可采

用比較其倒數(shù)的辦法去解答。倒數(shù)大的數(shù)反而較小。

蠱的例數(shù)是晉=1吟;

需的倒數(shù)是零=1。1

nTT;

所以蓋〈器

例2有八個數(shù)，I，10.5L/卷是其中的六個數(shù)。如

2>If乙一^

果從小到大順序排列時，第四個數(shù)是05,那么從大到小排列時，第四個

個數(shù)是

（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）

講析：將給出的六個數(shù)分別寫成小數(shù)，并且都寫出小數(shù)點后面前四位數(shù),則

把這六個數(shù)按從大到小排列是：

|、1°外的、

由題意可知，八個數(shù)中，排在0.5i的右邊還有兩個數(shù)，它們小于o.5i

所以，八個數(shù)按從大到小排列時，第四個數(shù)是o.5i

【算式值的大小比較】

例1設(shè)A=9876543x3456789;B=9876544x3456788。

試比較A與B的大小。

（1990年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：可將A、B兩式中的第一個因數(shù)和第二個因數(shù)分別進(jìn)行比較。這時,

只要把兩式中某一部分變成相同的數(shù)，再比較不同的數(shù)的大小，這兩個算式的大

小便能較容易地看出來了。于是可得

A=9876543x（3456788+1）

=9876543x3456788+9876543;

B=（9876543+1）x3456788

=9876543x3456788+3456788;

所以，A>B。

例2在下面四個算式中，最大的得數(shù)是算式。

Q）G+/20；（2）（5+—X30；

⑶G+疝X40；（4）（—X50。

（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）

講折：如果直接把四個算式的值計算出來，顯然是很麻煩的，我們不妨運用

化簡繁分?jǐn)?shù)的方法，比較每式中相同位置上的數(shù)的大小。

oo11

(1)5^=(—+—)x10=(—+—)x10；

'171"電.59.5，

⑵式=（￡劍

y一

3

（3）式=（五+藥）xlO=（――H-）x10；

7一9一

44

（4）式=（2+2_）x10=（」-+1-）x10。

4147，*29.4；

比較上面四個算式的結(jié)果，可得出最大的得數(shù)是算式（3）。

卜9932|紅卜9922歸

19962紅19972藍(lán)

圖5.1

例3圖5.1中有兩個紅色的正方形和兩個藍(lán)色正方