PAGEPAGE93．1.4空間向量的坐標(biāo)表示eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P56])空間向量的坐標(biāo)表示在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，在x軸，y軸，z軸上分別取三個單位向量i，j，k.問題1：用i，j，k表示，.提示：＝i＋j，＝j(luò)＋k.問題2：若＝xi＋yj＋zk，則x，y，z為多少？與點C1的坐標(biāo)有什么關(guān)系？提示：∵＝i＋j＋k，∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)與C1的坐標(biāo)相同．在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i、j、k作為基向量．對于空間隨意一個向量a，依據(jù)空間向量基本定理，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做向量a在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z).空間向量的坐標(biāo)運算一塊巨石從山頂墜落，攔住了前面的路，搶修隊員緊急趕到從三個方向拉倒巨石，這三個力為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，它們兩兩垂直，且|F1|＝3000N，|F2|＝2000N，|F3|＝2000eq\r(3)N.問題1：若以F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的方向分別為x軸，y軸，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，巨石受合力的坐標(biāo)是什么？提示：F＝(3000,2000,2000eq\r(3))．問題2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5000N.1．設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空間向量平行的坐標(biāo)表示為a∥b(a≠0)?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去它的起點坐標(biāo)．1．確定空間向量的坐標(biāo)的方法：(1)向量的坐標(biāo)可由其兩個端點的坐標(biāo)確定，可先求其兩端點的坐標(biāo)．(2)通過向量間的坐標(biāo)運算求得新向量的坐標(biāo)．2．空間向量的坐標(biāo)運算：(1)向量的加減等于對應(yīng)坐標(biāo)的加減，其結(jié)果仍是向量．(2)向量與實數(shù)相乘等于實數(shù)與其坐標(biāo)分別相乘，其結(jié)果仍是向量．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P57])空間向量的坐標(biāo)表示[例1]如圖所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PA＝AB＝1.求向量的坐標(biāo)．[思路點撥]以、、為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，用、、表示，得其坐標(biāo)．[精解詳析]∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴、、是兩兩垂直的單位向量．設(shè)＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.法一：∵＝＋＋＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e3，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).法二：如圖所示，連結(jié)AC、BD交于點O.則O為AC、BD的中點．∴＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，＝eq\f(1,2)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e3，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).[一點通]用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟：1.已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出，，的坐標(biāo)．解：設(shè)x、y、z軸的單位向量分別為e1，e2，e3，其方向與各軸上的正方向相同，則＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3，∴＝(2,2,2)．∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，∴＝(2,2,1)．又∵＝e2，∴＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求、的坐標(biāo)．解：(1)∵＝－＝－(＋)＝－[＋eq\f(1,2)(＋)]＝－－eq\f(1,2)－eq\f(1,2).又||＝4，||＝4，||＝2，∴＝(－2，－1，－4)．(2)∵＝－＝－(＋)＝－－.又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝(－4,2，－4)．3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐標(biāo)．解：由已知p＝2a＋3b－c，設(shè)p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.由向量分解的惟一性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝2，,y＋z＝3，,z＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝4，,z＝－1.))∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐標(biāo)為(－1,4，－1).空間向量的坐標(biāo)運算[例2]已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求：a＋b，a－b,3a＋2b.[思路點撥]空間向量的加、減、數(shù)乘運算與平面對量的加、減、數(shù)乘運算方法類似．[精解詳析]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a(chǎn)－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一點通]空間向量的加、減、數(shù)乘運算是今后利用向量學(xué)問解決立體幾何學(xué)問的基礎(chǔ)，必需嫻熟駕馭，并且能夠敏捷應(yīng)用．4．已知a＝(1，－2,4)，b＝(1,0,3)，c＝(0,0,2)．求：(1)a－(b＋c)；(2)4a－b＋2c.解：(1)∵b＋c＝(1,0,5)，∴a－(b＋c)＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．(2)4a－b＋2c＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8,17)．5．已知O為原點，A，B，C，D四點的坐標(biāo)分別為：A(2，－4,1)，B(3，2,0)，C(－2,1,4)，D(6,3,2)，求滿意下列條件的點P的坐標(biāo)．(1)＝2(－)；(2)＝－.解：(1)－＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴點P的坐標(biāo)為(10,2，－8)．(2)設(shè)P(x，y，z)，則＝(x－2，y＋4，z－1)，又＝(1,6，－1)，＝(－8，－2,2)，∴－＝(9,8，－3)，∴(x－2，y＋4，z－1)＝(9,8，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝9，,y＋4＝8，,z－1＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝11，,y＝4，,z＝－2.))所以點P的坐標(biāo)為(11,4，－2).空間向量的平行[例3]已知四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求證：四邊形ABCD是一個梯形．[思路點撥]證明∥且不平行，或證∥且||≠|(zhì)|即可．[精解詳析]∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴eq\f(－2,4)＝eq\f(3,－6)＝eq\f(－3,6)，∴與共線，即AB∥CD，又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴eq\f(0,－2)≠eq\f(－4,－1)≠eq\f(1,－2)，∴與不平行．∴四邊形ABCD為梯形．[一點通]利用空間向量的坐標(biāo)運算證明線線平行時，應(yīng)當(dāng)遵循的步驟是：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)；(2)寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)；(3)證明兩個向量平行；(4)證明其中一個向量所在直線上一點不在另一向量所在的直線上，從而證得線線平行．6．設(shè)a＝(1,2，－1)，b＝(－2,3,2)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值．解：∵ka＋b＝(k,2k，－k)＋(－2,3,2)＝(k－2,2k＋3,2－k)，a－3b＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴eq\f(k－2,7)＝eq\f(2k＋3,－7)＝eq\f(2－k,－7)，∴k＝－eq\f(1,3).7.如圖，在長方體OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點P在棱AA1上，且AP＝2PA1，點S在棱BB1上，且SB1＝2BS，點Q、R分別是棱O1B1、AE的中點．求證：PQ∥RS.證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q、R分別是棱O1B1、AE的中點，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).于是＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))＝.∴∥.∵R?PQ，∴PQ∥RS.1．運用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題的一般步驟：(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo)；(3)寫出向量的坐標(biāo)；(4)結(jié)合公式進行論證、計算；(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．2．用空間向量的坐標(biāo)運算解決問題的前提是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，為便于坐標(biāo)的求解及運算，在建立空間直角坐標(biāo)系時，要充分分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點，應(yīng)使盡可能多的點在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．[對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(二十一)]1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b＝________.解析：b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知點A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，則點A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為________．解析：由題意知點A對應(yīng)向量為2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，故點A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,0，λ)，若a、b、c三個向量共面，則實數(shù)λ＝________.解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2x－y，,0＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得λ＝10.答案：104．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，則x＝_______________，y＝________.解析：∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，明顯y≠0，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)，∴x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).答案：eq\f(1,6)－eq\f(3,2)5．已知點A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C為線段AB上一點，且＝eq\f(1,3)，則C點坐標(biāo)為________．解析：設(shè)C點坐標(biāo)(x，y，z)，則＝(x－4，y－1，z－3)．∵＝(－2，－6，－2)，∴eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(－2，－6，－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－2，－\f(2,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝－\f(2,3)，,y－1＝－2，,z－3＝－\f(2,3).))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10,3)，,y＝－1，,z＝\f(7,3).))答案：(eq\f(10,3)，－1，eq\f(7,3))6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并寫出向量，的坐標(biāo)．解：如圖，因為PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可設(shè)＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因為＝＝e2，＝＋＋＝＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋＋)＝－eq\f(1,2)e2＋e3＋eq\f(1,2)(－e3＋e1＋e2)＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e3.所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))，＝(0,1,0)．7．已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求點P的坐標(biāo)，使：(1)＝eq\f(1,2)(－)；(2)＝eq\f(1,2)(－)．解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．(1)＝eq\f(1,2)(6,3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1