第3講空間幾何體中的平行與垂直考點(diǎn)一線面平行的證明【例1-1】（24-25山西）如圖，多面體中，，底面是矩形，為的中點(diǎn)，證明：平面【例1-2】（2025·四川達(dá)州）如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，求證：平面【例1-3】（24-25邢臺(tái)）如圖，在正四棱錐中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)，證明：平面【例1-4】（2025湖南）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：平面．【例1-5】（2025江蘇）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，為等邊三角形.若分別是棱的中點(diǎn)，證明：平面；【變式】1．（24-25山東威海）如圖，在以為頂點(diǎn)的多面體中，M為的中點(diǎn)，證明：平面

2．（24-25高一下·河南·期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，M為PA的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，，求證：平面BMN3（2025·安徽黃山）如圖，四棱錐中，，，，點(diǎn)在棱上，當(dāng)時(shí)，求證：平面考點(diǎn)二面面平行的證明【例2】（2025·河南）如圖，在四棱錐中，，，，，若，，求證：平面平面【變式】1．（24-25安徽）如圖，在六面體中，平面，平面，四邊形為菱形，，，，證明：平面平面2．（24-25高一下·全國·單元測(cè)試）如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，DA的中點(diǎn)．求證：平面平面3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在正四棱臺(tái)中，，，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)．證明：平面平面．考點(diǎn)三線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3-1】（2025·北京延慶）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F，求證：【例3-2】（2025·新疆）如圖，和都垂直于平面，且，是線段上一點(diǎn)，若平面，證明是的中點(diǎn)【例3-3】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體中，，點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)在CD上，若平面，求線段EF的長度．【變式】1（2025·山東淄博）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上，且平面，證明：為線段的中點(diǎn)2.（24-25江西）如圖所示的幾何體是由直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）被一個(gè)不平行于底面的平面所截得的，已知，，是線段上的一點(diǎn)，平面，求的長3.．（23-24高一下·江蘇常州·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，且平面平面，求證：為線段中點(diǎn)4（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過和作平面交平面于．求證：．考點(diǎn)四線面垂直的證明【例4】（2025江蘇·期中）如圖所示，在正方體中，與，都垂直相交，垂足分別是點(diǎn)、點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.【變式】1．（24-25上海）棱錐中，平面平面，，，是棱的中點(diǎn)，證明：平面2．（2025·湖南長沙）如圖，在直三棱柱中，是四邊形（不含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)且，求證：平面

3．（24-25河南焦作）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，證明：平面考點(diǎn)五線線垂直【例5】（2025·上海寶山·二模）如圖，在四面體中，是邊長為的正三角形，且，證明：【變式】1．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）已知平面平面，平面，于點(diǎn)．(1)判斷與的關(guān)系；(2)求證：．2．（2025·山西太原）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面，平面平面，是等邊三角形，求證：

3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，為邊的中點(diǎn).求證：(1)平面；(2).考點(diǎn)六面面垂直【例6】（2025·河北衡水）如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點(diǎn)，，，且點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合，證明：平面平面

【變式】1．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在直角梯形中，已知，，，，E為對(duì)角線的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面．求證：(1)直線平面；(2)平面平面．2．（24-25上海虹口）如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，，求證：平面平面3.．（2025·上海長寧）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，求證：平面平面4．（2025·河北保定）在四棱錐中，底面是菱形，，若，證明：平面平面考點(diǎn)七平行垂直中的動(dòng)點(diǎn)問題【例7-1】（浙江省A9協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示，正四棱錐，，底面邊長，M為側(cè)棱PA上的點(diǎn)，且．(1)求正四棱錐的體積；(2)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(3)側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)E，使平面，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例7-2】（23-24高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，判斷在梭上是否存在一點(diǎn)使平面，若存在，求；若不存在，說明理由【變式】1．（23-24高一下·河北唐山·期中）如圖，四棱錐中，底面為正方形，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)不包括端點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形是什么圖形？(2)是否存在一點(diǎn)，使得面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（2025北京）如圖，在等腰直角三角形中，，，為的中點(diǎn)，分別為邊上一點(diǎn)，滿足．將分別沿著翻折成，滿足在平面的同一側(cè)，面面．(1)證明：共面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），滿足平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐被稱為鱉臑，由于它固有的優(yōu)異性質(zhì)，所以被稱為立體幾何中的“小王子”.如圖，在鱉臑中，底面，若為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，探究平面與平面是否垂直，如果垂直請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說明理由.4．（2025湖北）如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.考點(diǎn)八平行、垂直判斷于性質(zhì)定理的辨析【例8-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）設(shè)m，n，l是不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列說法，其中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例8-2】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知正方體分別是的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．平面D．平面【變式】1．（24-25高一下·福建龍巖·期中）已知m，n是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若m，n是異面直線，，，，，則2．（24-25高一下·重慶·期中）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3.（2025·天津）已知m，n是兩條直線，是一個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4.（2025·甘肅蘭州）已知是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，以下判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則單選題1．（2025·四川達(dá)州）相交直線都在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2025·天津河北）若，為空間兩條不同的直線，，為空間兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則3．（24-25高一下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，四棱柱中，四邊形為平行四邊形，，分別在線段，上，且，在上且平面平面，則（

）A． B． C． D．4．（2025·福建廈門）在正方體中，為的中點(diǎn)，為平面與平面的交線，則（

）A． B． C． D．5．（24-25上海浦東新·階段練習(xí)）如下四個(gè)正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的共有（

）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．4多選題6．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱錐如圖，且，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．平面B．四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則C．平面與平面的交線記為，則直線平面D．平面與平面的交線記為，則直線平面7．（2025·浙江溫州）在四棱錐中，分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定平面的是（

）A． B．C．平面 D．平面8．（24-25高一下·浙江·期中）已知四棱錐如圖，且，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．平面B．四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，則C．平面與平面的交線記為，則直線平面D．平面與平面的交線記為，則直線平面9．（2025·浙江溫州）在四棱錐中，分別是上的點(diǎn)，，則下列條件可以確定平面的是（

）A． B．C．平面 D．平面解答題10．（2025·貴州畢節(jié)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，求證：平面ACE11．（24-25安徽）四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，證明：平面12．（24-25河南洛陽）如圖，在空間幾何體中，平面，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面

13．（24-25高二下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且，為棱的中點(diǎn)，求證：平面14．（24-25上?！るA段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，，分別是上的一點(diǎn)，且，，求證:平面

15．（24-25河南·階段練習(xí)）在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，記平面和平面的交線為，證明：直線平面16．（2025·浙江）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，M，N為別為棱PB，CD的中點(diǎn)，證明：平面

17．（2025·上海松江）已知梯形中，，，將沿翻折使得二面角的平面角為，連接、，為棱的中點(diǎn)，求證：平面18．（24-25高一下·浙江寧波·期中）如圖已知四棱錐，底面為梯形，，，，P、Q為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)平面與側(cè)棱相交于點(diǎn)，求的值．19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．證明：；20．（24-25黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：；21．（24-25上海·階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．(1)若平面，求長度；(2)證明：平面；22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，是正三角形，．證明：平面平面.23．（2025湖南）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，(1)設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求證：平面；24．（24-25河南許昌·期中）如圖，棱長1的正方體．

(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面平面．25．（2025河北）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.證明：平面平面.26．（2025·上海）如圖，在三棱錐中，平面平面、分別為線段、上的點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)求證：平面；27．（2026四川）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，為的中心，，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)證明：平面平面．27（24-25寧夏·期中）如圖，直四棱柱中，.(1)求證：平面平面；(2)若，平面平面，判斷的形狀并證明.28．（24-25四川內(nèi)江·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且．(1)證明：：(2)已知點(diǎn)是側(cè)棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求證：平面．29．（2025蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖所示，平面為圓柱的軸截面，點(diǎn)為底面圓周上異于，的任意一點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面．30．（2024全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．求證：平面平面；31．（2025江西）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，.證明：平面平面；

32．（24-25江蘇南通·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點(diǎn)分別在上，且．(1)證明：平面；(2)若平面，求．33．（2025安徽）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，等邊所在的平面垂