第1頁（共1頁）2025年遼寧省遼陽九中等多校中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)數(shù)（）A． B． C． D．2．（3分）國家能源局等多部門發(fā)布關(guān)于大力實(shí)施可再生能源替代行動的指導(dǎo)意見，提出了2025年全國可再生能源消費(fèi)量達(dá)到1100000000噸標(biāo)煤以上等系列目標(biāo)．將1100000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．11×108 B．1.1×108 C．1.1×109 D．1.1×10103．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)+b＞0 C．a(chǎn)+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b4．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則AB的長為（）A．12 B．9 C．8 D．65．（3分）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3 C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a26．（3分）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向右扭動框架，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線BD的長度減小 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變7．（3分）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，則最終剩余2輛車；若每2人共乘車，問：共有多少人？多少輛車？設(shè)有x輛車，列方程為（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．8．（3分）已知點(diǎn)M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一個(gè)函數(shù)圖象上，則這個(gè)函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為圓心、AC長為半徑作弧與AB交于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧分別與AB和BC交于點(diǎn)E和F的長為半徑作弧，兩弧在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)G，∠ABC＝β，則∠DHB的大小為（）A．α﹣β B．90°﹣α+β C． D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊長為13（8，12），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b＝6，ab＝72b+ab2的值為．12．（3分）如圖，有4張分別印有《西游記》人物圖案的卡片：A．唐僧，B．孫悟空，D．沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．13．（3分）如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，OB＝1，在直線l上截取OA＝2，且點(diǎn)A在OB上方．連接AB，則點(diǎn)C表示的數(shù)為．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax（a＞0），點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，則CD的長為．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處（點(diǎn)D′，E′，F(xiàn)′分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)）．當(dāng)點(diǎn)D′在BE上時(shí)，則EE′的長為．三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．（10分）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．17．（8分）某微型貨車最大載重量為1600kg，現(xiàn)接到裝運(yùn)一批設(shè)備的任務(wù)，每套設(shè)備由2個(gè)A部件和1個(gè)B部件組成（1）求1個(gè)A部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少千克；（2）為防止A、B部件在運(yùn)輸中擠壓破損，微型貨車加裝了質(zhì)量為140kg墊板和隔板，問該微型貨車一次最多可裝運(yùn)多少套設(shè)備？18．（8分）某校甲、乙兩個(gè)班級各有25名學(xué)生參加校運(yùn)動會彩旗方陣的隊(duì)列訓(xùn)練，為了解這兩個(gè)班級參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生的身高情況，對這些學(xué)生的身高進(jìn)行收集、整理、描述和分析（身高用x表示，共分為五組，A組：161≤x＜165，B組：165≤x＜170，C組：170≤x＜175，D組：175≤x＜180，E組：180≤x≤185）信息一：甲班25名學(xué)生的身高：161，163，164，165，166，166，166，168，168，169，169，171，172，172，173，175，176信息二：根據(jù)乙班25名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖，其中C組的數(shù)據(jù)是：170，170，173，174信息三：兩班學(xué)生身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲169168b乙169a175請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）乙班D組的人數(shù)比甲班D組的人數(shù)多3人，求m的值；（2）求信息三中a和b的值；（3）受彩旗數(shù)量影響，每班只能有22人參加入場式彩旗方陣隊(duì)列表演，要求這22人與原來25人的身高平均數(shù)相同，請說明甲班未入選的3名學(xué)生的身高．19．（8分）商家銷售某種日用品一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）（如圖所示），其中15≤x≤30．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該種日用品進(jìn)價(jià)為每件10元，該商家如何確定銷售單價(jià)才能使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？20．（8分）如圖1，一扇推拉式窗戶，AB為固定的窗框底邊，可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，MN為支撐桿，另一端點(diǎn)N在窗框底邊AB上滑動（窗戶關(guān)閉時(shí)，AC，MN疊合在AB邊上），支撐桿MN的長度固定不變．窗戶打開一定角度后，其俯視圖如圖2所示，窗戶的旋轉(zhuǎn)角∠MAN的大小控制在一定范圍內(nèi)（0°≤∠MAN≤160°）（1）如圖3，窗戶旋轉(zhuǎn)角∠MAN＝90°時(shí)，測得∠MNA＝45°（結(jié)果保留根號）；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)打開窗戶，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M，N的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M′，∠M′N′A＝37°時(shí)旋轉(zhuǎn)停止，如圖4所示（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：）21．（8分）已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，連接AD，BD（1）如圖1，若BD為⊙O的直徑，求∠CBD的度數(shù)；（2）如圖2，若AD∥BC，過點(diǎn)D作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)E，求的長．22．（12分）在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP（0°＜α＜180°）得到△DBE（點(diǎn)A，P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，E），DE的延長線與直線AP交于點(diǎn)F連接DA（1）如圖1，若∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°時(shí)．①求證：AD∥BC；②若∠APC＝120°，猜想線段DF和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，的值最小？請說明理由；（2）如圖2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m≠0），求的值（用含m和α的式子表示）．23．（13分）在平面直角坐標(biāo)系中，對于一個(gè)函數(shù)F給出一個(gè)定義，當(dāng)自變量m≤x≤m+2（m為實(shí)數(shù)）時(shí)，最低點(diǎn)記為C，以AC為對角線作矩形ABCD，則稱該矩形為函數(shù)F的伴隨矩形，該矩形ABCD的周長l為函數(shù)F的伴隨函數(shù)．（1）如圖，當(dāng)m＝1時(shí)，求函數(shù)；（2）一次函數(shù)y＝kx+4（k＜0）伴隨函數(shù)的函數(shù)值為12，求k的值；（3）二次函數(shù)y＝x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)P（1，0）和點(diǎn)Q．①當(dāng)m＜0時(shí)，伴隨矩形ABCD能否為正方形？若能，求出伴隨函數(shù)的函數(shù)值，說明理由；②當(dāng)m＞0時(shí)，求伴隨函數(shù)l關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；③在②的條件下，伴隨函數(shù)l圖象上的點(diǎn)到直線y＝13的距離為2時(shí)，請直接寫出自變量m的值．

2025年遼寧省遼陽九中等多校中考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DC．DADCBBCD一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)數(shù)（）A． B． C． D．【解答】解：從左面看去，一共兩列，右邊有2個(gè)小正方形．故選：D．2．（3分）國家能源局等多部門發(fā)布關(guān)于大力實(shí)施可再生能源替代行動的指導(dǎo)意見，提出了2025年全國可再生能源消費(fèi)量達(dá)到1100000000噸標(biāo)煤以上等系列目標(biāo)．將1100000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．11×108 B．1.1×108 C．1.1×109 D．1.1×1010【解答】解：1100000000＝1.1×103．故選：C．3．（3分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)+b＞0 C．a(chǎn)+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b【解答】解：從圖中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣8，所以ab＜0；（2）a和b相加是負(fù)數(shù)，所以a+b＜0；（3）因?yàn)閍＞b，所以a+7＞b+3；（4）因?yàn)閍是正數(shù)，所以﹣3a＜4，所以﹣3b＞0，故選項(xiàng)D正確；答案為：D．4．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則AB的長為（）A．12 B．9 C．8 D．6【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE＝6，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AC＝7CD＝12，∴AB＝AC＝12，故選：A．5．（3分）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3 C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2【解答】解：A、3a2，﹣2a非同類項(xiàng)，不能合并，不符合題意；B、（2a3b）3＝8a9b5，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab+8a，不符合題意；D、（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，計(jì)算正確，符合題意．故選：D．6．（3分）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向右扭動框架，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線BD的長度減小 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變【解答】解：過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，連接BD，如圖所示： 對于選項(xiàng)A，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝EF，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性得：AF＝AD，BF＝BC，∴AF＝BE，EF＝AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；對于選項(xiàng)B，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝，在Rt△BFH中，由勾股定理得：BF＝，∵BH＜AB，F(xiàn)H＜AF＝AD，∴BF＜BD，∴對角線BD的長度減小，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；對于選項(xiàng)C，∵矩形ABCD的面積為：AB?AD，平行四邊形ABEF的面積為：AB?FH，又∴FH＜AD，∴AB?FH＜AB?AD，∴矩形ABCD的面積在減小，故選項(xiàng)C不正確，符合題意；對于選項(xiàng)D，∵AF＝AD，四邊形ABEF是平行四邊形，∴四邊形ABEF的周長為：2（AF+AB）＝6（AD+AB），又∵矩形ABCD的周長為：2（AD+AB），∴四邊形ABCD的周長不變．故選項(xiàng)D正確，不符合題意．故選：C．7．（3分）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，則最終剩余2輛車；若每2人共乘車，問：共有多少人？多少輛車？設(shè)有x輛車，列方程為（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D．【解答】解：由題意可得：3（x﹣2）＝4x+9，故選：B．8．（3分）已知點(diǎn)M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一個(gè)函數(shù)圖象上，則這個(gè)函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由N（﹣2，a），a）在同一個(gè)函數(shù)圖象上，故選項(xiàng)A；由M（﹣4，a﹣8），a），y隨x的增大而增大；故選：B．9．（3分）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)C為圓心、AC長為半徑作弧與AB交于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧分別與AB和BC交于點(diǎn)E和F的長為半徑作弧，兩弧在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)G，∠ABC＝β，則∠DHB的大小為（）A．α﹣β B．90°﹣α+β C． D．【解答】解：由題意知AC＝CD，∴∠CDA＝∠BAC＝α；由條件可知∠DCB＝∠ADC﹣∠ABC＝α﹣β；由尺規(guī)作圖知，BH平分∠ABC，∴；∴∠DHB＝∠HBC+∠DCB＝＝．故選：C．10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊長為13（8，12），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7）【解答】解：連接BD，AC，則：BD與AC垂直平分，∵點(diǎn)B（8，12），2），∴BD∥y軸，E（5，∴AC⊥y軸，，∴E（8，8），∵AB＝13，∴，∴A（4﹣12，7），7），故選：D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b＝6，ab＝72b+ab2的值為42．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7，∴a3b+ab2＝ab（a+b）＝7×3＝42．故答案為：42．12．（3分）如圖，有4張分別印有《西游記》人物圖案的卡片：A．唐僧，B．孫悟空，D．沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．【解答】解：畫樹狀圖如圖，由樹狀圖可知：兩次取出的兩張卡片中至少有1張圖案為“A．唐僧”的概率是，故答案為：．13．（3分）如圖，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，OB＝1，在直線l上截取OA＝2，且點(diǎn)A在OB上方．連接AB，則點(diǎn)C表示的數(shù)為．【解答】解：由題意可知：AB＝BC，點(diǎn)B表示的數(shù)是1，∵直線l⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵OB＝1，OA＝7，由勾股定理得：，∴，設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，∴，，，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為：，故答案為：．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax（a＞0），點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B是y軸正半軸上一點(diǎn)，則CD的長為4．【解答】解：由拋物線解析式可知A（1，﹣a）；由題意設(shè)B（0，b），6b+a）；∵CD∥x軸，∴點(diǎn)C，點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴CD＝2×[1﹣（﹣4）]＝4．故答案為：4．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A恰好落在CD邊上的點(diǎn)F處（點(diǎn)D′，E′，F(xiàn)′分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)）．當(dāng)點(diǎn)D′在BE上時(shí)，則EE′的長為．【解答】解：如圖所示，∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，由折疊得，AB＝BF＝5，∴，∴，由平移可得，，EE′＝FF′，∵DC∥AB，∴D′F′∥AB，∴∠F′D′B＝∠D′BA，由折疊得，∠FBE＝∠ABE，∴∠F′D′B＝∠F′BD′，∴，∴．∴．故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．（10分）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．【解答】解：（1）＝＝；（2）原式＝＝＝．17．（8分）某微型貨車最大載重量為1600kg，現(xiàn)接到裝運(yùn)一批設(shè)備的任務(wù)，每套設(shè)備由2個(gè)A部件和1個(gè)B部件組成（1）求1個(gè)A部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少千克；（2）為防止A、B部件在運(yùn)輸中擠壓破損，微型貨車加裝了質(zhì)量為140kg墊板和隔板，問該微型貨車一次最多可裝運(yùn)多少套設(shè)備？【解答】解：（1）設(shè)1個(gè)A部件的質(zhì)量是x千克，1個(gè)B部件的質(zhì)量是y千克．，∴，答：1個(gè)A部件30千克，2個(gè)B部件60千克；（2）該微型貨車一次最多可裝運(yùn)m套設(shè)備，（2×30+1×60）m≤1600﹣140，∴，∴m的最大值為12，答：一次最多可裝運(yùn)12套設(shè)備．18．（8分）某校甲、乙兩個(gè)班級各有25名學(xué)生參加校運(yùn)動會彩旗方陣的隊(duì)列訓(xùn)練，為了解這兩個(gè)班級參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生的身高情況，對這些學(xué)生的身高進(jìn)行收集、整理、描述和分析（身高用x表示，共分為五組，A組：161≤x＜165，B組：165≤x＜170，C組：170≤x＜175，D組：175≤x＜180，E組：180≤x≤185）信息一：甲班25名學(xué)生的身高：161，163，164，165，166，166，166，168，168，169，169，171，172，172，173，175，176信息二：根據(jù)乙班25名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖，其中C組的數(shù)據(jù)是：170，170，173，174信息三：兩班學(xué)生身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲169168b乙169a175請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）乙班D組的人數(shù)比甲班D組的人數(shù)多3人，求m的值；（2）求信息三中a和b的值；（3）受彩旗數(shù)量影響，每班只能有22人參加入場式彩旗方陣隊(duì)列表演，要求這22人與原來25人的身高平均數(shù)相同，請說明甲班未入選的3名學(xué)生的身高．【解答】解：（1）用D組的人數(shù)除以總數(shù)可得：；∴m＝20；（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的確定方法可得：25×（28%+20%）＝12，∴乙組數(shù)據(jù)排序后第13個(gè)數(shù)據(jù)為：170；∴a＝170；甲組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是：166；∴b＝166；（3），∴甲班未入選的3名學(xué)生的身高為181cm，161cm．19．（8分）商家銷售某種日用品一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）（如圖所示），其中15≤x≤30．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該種日用品進(jìn)價(jià)為每件10元，該商家如何確定銷售單價(jià)才能使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，由題意可得：，解得，∴y＝﹣10x+400（15≤x≤30）；（2）設(shè)該商家每天獲得的利潤為w元，∴w＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000＝﹣10（x﹣25）2+2250，∵﹣10＜2，∴當(dāng)x＝250時(shí)，w取得最大值，答：該商家將售價(jià)定為25元時(shí)，才能使每天獲得的利潤最大．20．（8分）如圖1，一扇推拉式窗戶，AB為固定的窗框底邊，可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，MN為支撐桿，另一端點(diǎn)N在窗框底邊AB上滑動（窗戶關(guān)閉時(shí)，AC，MN疊合在AB邊上），支撐桿MN的長度固定不變．窗戶打開一定角度后，其俯視圖如圖2所示，窗戶的旋轉(zhuǎn)角∠MAN的大小控制在一定范圍內(nèi)（0°≤∠MAN≤160°）（1）如圖3，窗戶旋轉(zhuǎn)角∠MAN＝90°時(shí)，測得∠MNA＝45°（結(jié)果保留根號）；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)打開窗戶，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M，N的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M′，∠M′N′A＝37°時(shí)旋轉(zhuǎn)停止，如圖4所示（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：（1）窗戶旋轉(zhuǎn)角∠MAN＝90°時(shí)，測得∠MNA＝45°，∴∠AMN＝∠MNA＝45°，∵M(jìn)N＝20，∴；（2）作M′H′⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)H′，∠M′N′H′＝37°，M′N′＝20cm，∴M′H′＝M′N′?sin37°＝20×0.7＝12（cm），，∵，．∴∴端點(diǎn)N在此過程中滑動的長度為：．21．（8分）已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，連接AD，BD（1）如圖1，若BD為⊙O的直徑，求∠CBD的度數(shù)；（2）如圖2，若AD∥BC，過點(diǎn)D作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)E，求的長．【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝40°，∴，若BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵＝，∴∠ACD＝∠ABD＝50°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝70°﹣50°＝20°；（2）∵＝，∴∠BAC＝∠BDC＝70°，∵＝，∴∠ACB＝∠ADB＝40°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝40°+70°＝110°，∵AD∥BC，∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝70°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝70°﹣40°＝30°，如圖所示，連接OD，∵所對圓心角是∠AOD，∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，在Rt△ODE中，∠E＝30°，∴OE＝4OD，∴OE2＝OD2+DE6，即可（2OD）2＝OD2+52，解得OD＝（負(fù)值舍去），∴＝＝．22．（12分）在△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP（0°＜α＜180°）得到△DBE（點(diǎn)A，P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，E），DE的延長線與直線AP交于點(diǎn)F連接DA（1）如圖1，若∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°時(shí)．①求證：AD∥BC；②若∠APC＝120°，猜想線段DF和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，的值最??？請說明理由；（2）如圖2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m≠0），求的值（用含m和α的式子表示）．【解答】（1）①證明：∵∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°，∴∠ABC＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DB＝AB，∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠BDA＝45°，∴∠BAD＝∠ABC，∴AD∥BC；②解：，證明如下：∵∠APC＝120°，∴∠BAP＝∠APB﹣∠ABC＝75°，由①可得∠BAD＝∠BDA＝45°，∴∠DAF＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BDE＝∠BAP＝75°，∴∠ADF＝∠BDE﹣∠BDA＝30°，∴∠AFD＝90°，∴；③解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，有最小值；理由如下：當(dāng)點(diǎn)F在線段PA延長線上時(shí)，如圖2.1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BDE＝∠BAP，∵∠BAP+∠BAF＝180°，∴∠BDF+∠BAF＝180°，∴A、B、D、F四點(diǎn)共圓，∵∠ABD＝90°，∴∠AFD＝90°，∴點(diǎn)F在以AD為直徑的圓上運(yùn)動，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EBC＝90°，BE＝BP，∴∠ABE＝45°，∴點(diǎn)E在直線BE上運(yùn)動，設(shè)直線BE與⊙O（直徑為AB）交于T，則點(diǎn)F在弧AT上運(yùn)動，∴由圓的對稱性可得DF≥AF，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)T重合時(shí)，∴的最小值為1，即此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；當(dāng)點(diǎn)F在線段PA上時(shí)，如圖6.2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BDE＝∠BAP，∴A、B、D、F四點(diǎn)共圓，∴此時(shí)點(diǎn)F在弧AB上運(yùn)動，同理可得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，的最小值為1，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不存在△ABP；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，，最小值為2．（2）解：當(dāng)點(diǎn)F在PA延長線上時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥DF于H，連接BG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BGE＝∠BAP，BD＝BA，∵∠BDG+∠BDE＝∠BAP+∠BAF＝180°，∴∠BDG＝∠BAF，在△BDG和△BAF中，，∴△BDG≌△BAF（SAS），∴∠DBG＝∠ABF，BG＝BF，∴∠FBG＝∠DBG+∠DBF＝∠ABF+∠DBF＝∠ABD＝α，∵BH⊥FG，∴，，∴，∴，∴DF＝GF﹣DG＝2mAF?sin﹣AF，∴＝6m?sin；如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在PA上時(shí)，在ED上截取DG＝AF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BDG＝∠BAF，BD＝BA，在△BDG和△BAF中，，∴△BDG≌△BAF（SAS），∴∠DBG＝∠ABF，BG＝BF，∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝∠DBG+∠ABG＝∠ABD＝α，∵BH⊥FG，∴，，∴，∴，∴DF＝GF+DG＝4mAF?sin+AF，∴＝2m?sin；綜上所述，＝2m?sin＝6m?sin．23．（13分）在平面直角坐標(biāo)系中，對于一個(gè)函數(shù)F給出一個(gè)定義，當(dāng)自變量m≤x≤m+2（m為實(shí)數(shù)）時(shí)，最低點(diǎn)記為C，以AC為對角線作矩形ABCD，則稱該矩形為函數(shù)F的伴隨矩形，該矩形ABCD的周長l為函數(shù)F的伴隨函數(shù)．（1）如圖，當(dāng)m＝1時(shí)，求函數(shù)；（2）一次函數(shù)y＝kx+4（k＜0）伴隨函數(shù)的函數(shù)值為12，求k的值；（3）二次函數(shù)y＝x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)P（1，0）和點(diǎn)Q．①當(dāng)m＜0時(shí)，伴隨矩形ABCD能否為正方形？若能，求出伴隨函數(shù)的函數(shù)值，說明理由；②當(dāng)m＞0時(shí)，求伴隨函數(shù)l關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；③在②的條件下，伴隨函數(shù)l圖象上的點(diǎn)到直線y＝13的距離為2時(shí)，請直接寫出自變量m的值．【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)中．當(dāng)x＝m＝1時(shí)，得；當(dāng)x＝m+2＝3時(shí)，得：，∴當(dāng)自變量m≤x≤m+2（m為實(shí)數(shù)）時(shí)，其對應(yīng)函數(shù)的最高點(diǎn)為A（4，最低點(diǎn)記為C（3，∴該矩形ABCD的周長l，即函數(shù)F的伴隨函數(shù)值為：2[（xC﹣xA）+（yA﹣yC）]＝6[（3﹣1）+（6﹣2）]＝12；（2）∵一次函數(shù)y＝kx+4（k＜6），y隨著x的值增大而增大，當(dāng)x＝