高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市八區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，再用2B鉛筆將考生號、座位號對應(yīng)的信息點涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4、考生必須保證答題卡的整潔考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則（）A.7 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，所以，所以，解得．故選：C.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，.故選：.3.已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為且，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B4.五一假期期間，某單位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，則不同安排方法的種數(shù)有（）A.42 B.72 C.78 D.96【答案】C【解析】若甲值第五天，則有種不同安排方法；若甲不值第五天，則甲有種安排方法，乙有種安排方法，其余人全排列即可，故有種不同安排方法；綜上可得一共有種不同安排方法.故選：C5.有（）個不同正因數(shù)A.8 B.10 C.12 D.15【答案】D【解析】因為，所以的不同的正因數(shù)有個.故選：D6.某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：34562.5344.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為，若生產(chǎn)7噸產(chǎn)品，預(yù)計相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為（）A.5.15噸 B.5.25噸 C.5.5噸 D.9.5噸【答案】B【解析】依題意可得，，又回歸直線方程必過點，即，解得，所以，當(dāng)時，故生產(chǎn)7噸產(chǎn)品，預(yù)計相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為5.25噸.故選：B7.下列四個不等式①，②，③，④中正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；對于①：當(dāng)時，所以，故①正確；對于②：因為（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故②正確；對于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故③錯誤；對于④：令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故④正確；綜上可得①②④正確．故選：C8.有一個游戲，規(guī)則如下：如圖，在圓上有，，，，，，，共八個點，一枚棋子起始位置在點處，拋擲一枚均勻的骰子，若骰子正面向上的點數(shù)為.則棋子前進步，每步從一個點按順時針方向前進到相鄰的另一個點，可以循環(huán)進行，拋擲三次骰子后，游戲結(jié)束.若此時棋子在點處，則游戲過關(guān).試問游戲結(jié)束時過關(guān)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】舉出在點數(shù)中能夠使得三次數(shù)字和為或的有：，，共有7種組合，前2種組合每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果；后5種組合各有3種結(jié)果，共有種結(jié)果，由分類加法計數(shù)原理知，共有種結(jié)果；拋次骰子共有種結(jié)果，故拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處的概率.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)離散型隨機變量的分布列如下表，若離散型隨機變量滿足.則下列結(jié)論正確的是（）01230.20.10.2A. B.C. D.【答案】BC【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)得：，所以，A錯誤；，C正確；∴，B正確；，D錯誤.故選：BC．10.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形的，依此方法一直繼續(xù)下去.設(shè)第個正方形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.前6個正方形面積和為D.如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近【答案】ABD【解析】設(shè)第個正方形的邊長為，則第個正方形的對角線為，則第個正方形的邊長為，所以，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以第個正方形面積為，所以，故正確；，，所以，故正確；，故錯誤；，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近，故正確.故選：.11.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，.則下列結(jié)論正確的是（）A.任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率為B.任取一個零件，它是次品的概率為C.如果取到的零件是次品，它是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，設(shè)任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，對于A，任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率，故A錯誤；對于B，任取一個零件是次品的概率，故B正確；對于C，如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率，故C正確；對于D，記取到的零件不是第3臺車床加工的為事件，則，則，所以，即如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若數(shù)列滿足，，則_____________.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，①，②，①②得，即，所以.13.在展開式中，含項的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】，其中展開式的通項為（且），所以展開式中含項系數(shù)為：.故答案為：14.已知函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】令，則，令，則，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，且，，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，則的函數(shù)圖象如下所示：依題意與有且只有一個交點，則或，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，求切線的方程；（2）若，，求的取值范圍.解：（1）設(shè)切線的斜率為，直線的斜率為，，，又，，，，則，所以切點為，切線的方程為：，即，化簡得；（2）因為，，即可化為，設(shè)，，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是.16.某?！白闱蛏鐖F”為了解學(xué)生對足球的喜歡是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別足球合計喜歡不喜歡男生302050女生102030合計404080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生性別與喜歡足球有關(guān)聯(lián)？（2）現(xiàn)從喜歡足球的學(xué)生中按性別比例進行分層抽樣，抽取8人組成志愿服務(wù)隊.再從志愿服務(wù)隊中抽取3人進行宣傳報導(dǎo)活動，記抽到3人中的男生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：喜歡足球與性別之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表，由得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為喜歡足球與性別之間有關(guān)聯(lián).（2）在分層抽樣中，喜歡足球的男生有6人，女生有2人，則的可能取值為且，則的分布列為123則17.數(shù)列的首項，.（1）證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，①當(dāng)數(shù)列的項取得最大值時，求的值；②求數(shù)列的前項和.解：（1）由，可得，所以，即又由，可得，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以則，即數(shù)列的通項公式為.（2）①由（1）知，可得，當(dāng)時，所以不是最大項，設(shè)第項（）最大，則，可得，解得，所以數(shù)列第項和第項取得最大，②由，①可得，②由①-②得，，可得，即，所以.18.3名同學(xué)去聽同時舉行的，，課外知識講座，每名同學(xué)只能隨機選擇聽其中1個講座（每個講座被選擇是等可能的）.（1）記選擇課外知識講座的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）對于兩個不相互獨立的事件，，若，，稱為事件，的相關(guān)系數(shù).①已知，證明；②記事件“課外知識講座有同學(xué)選擇”，事件“至少有兩個課外知識講座有同學(xué)選擇”，判斷事件，是否獨立，若獨立，說明理由；若不獨立，求.解：（1）由題意每位同學(xué)選擇課外知識講座的概率均為，則，即的可能的取值為，所以，，，，所以的分布列為：所以；（2）①因為，且，所以，又，，即，而，所以成立；②事件不相互獨立，事件課外知識講座有同學(xué)選擇，則事件課外知識講座沒有同學(xué)選擇，由（1）可知，所以，事件：至少有兩個課外知識講座有同學(xué)選擇，則事件：有一個課外知識講座有同學(xué)選擇，所以，所以.事件：至少有兩個課外知識講座有同學(xué)選擇且課外知識講座有同學(xué)選擇，分為兩種情況，一種是三個課外知識講座都有同學(xué)選擇；另一種是兩個課外知識講座都有同學(xué)選擇且課外知識講座有同學(xué)選擇，此時或者是沒有同學(xué)選擇，故按照、分組即可，故，所以，即事件不相互獨立，所以，化簡得.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.解：（1），當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令得，當(dāng)?shù)?，?dāng)?shù)茫援?dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增.（2）證法一：由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，，要證，即證，設(shè)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，，設(shè)，滿足，則，解得，當(dāng)，當(dāng)，，把代入得，設(shè)，，在上單調(diào)遞減，，對恒成立，即成立.所以對恒成立，所以對恒成立.，（2）證法二：由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，，要證，即證，現(xiàn)證，設(shè)，，當(dāng)令得，當(dāng)?shù)茫?dāng)?shù)?，在處取得最小值，即，，，，只需證，即，顯然成立，所以對恒成立.廣東省廣州市八區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上，再用2B鉛筆將考生號、座位號對應(yīng)的信息點涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4、考生必須保證答題卡的整潔考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，為其前項和，若，，則（）A.7 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，，所以根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，所以，所以，解得．故選：C.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】D【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，.故選：.3.已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為且，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B4.五一假期期間，某單位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，則不同安排方法的種數(shù)有（）A.42 B.72 C.78 D.96【答案】C【解析】若甲值第五天，則有種不同安排方法；若甲不值第五天，則甲有種安排方法，乙有種安排方法，其余人全排列即可，故有種不同安排方法；綜上可得一共有種不同安排方法.故選：C5.有（）個不同正因數(shù)A.8 B.10 C.12 D.15【答案】D【解析】因為，所以的不同的正因數(shù)有個.故選：D6.某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：34562.5344.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為，若生產(chǎn)7噸產(chǎn)品，預(yù)計相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為（）A.5.15噸 B.5.25噸 C.5.5噸 D.9.5噸【答案】B【解析】依題意可得，，又回歸直線方程必過點，即，解得，所以，當(dāng)時，故生產(chǎn)7噸產(chǎn)品，預(yù)計相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為5.25噸.故選：B7.下列四個不等式①，②，③，④中正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；對于①：當(dāng)時，所以，故①正確；對于②：因為（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故②正確；對于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故③錯誤；對于④：令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故④正確；綜上可得①②④正確．故選：C8.有一個游戲，規(guī)則如下：如圖，在圓上有，，，，，，，共八個點，一枚棋子起始位置在點處，拋擲一枚均勻的骰子，若骰子正面向上的點數(shù)為.則棋子前進步，每步從一個點按順時針方向前進到相鄰的另一個點，可以循環(huán)進行，拋擲三次骰子后，游戲結(jié)束.若此時棋子在點處，則游戲過關(guān).試問游戲結(jié)束時過關(guān)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】舉出在點數(shù)中能夠使得三次數(shù)字和為或的有：，，共有7種組合，前2種組合每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果；后5種組合各有3種結(jié)果，共有種結(jié)果，由分類加法計數(shù)原理知，共有種結(jié)果；拋次骰子共有種結(jié)果，故拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處的概率.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)離散型隨機變量的分布列如下表，若離散型隨機變量滿足.則下列結(jié)論正確的是（）01230.20.10.2A. B.C. D.【答案】BC【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質(zhì)得：，所以，A錯誤；，C正確；∴，B正確；，D錯誤.故選：BC．10.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形的，依此方法一直繼續(xù)下去.設(shè)第個正方形面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.前6個正方形面積和為D.如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近【答案】ABD【解析】設(shè)第個正方形的邊長為，則第個正方形的對角線為，則第個正方形的邊長為，所以，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以第個正方形面積為，所以，故正確；，，所以，故正確；，故錯誤；，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么這些正方形的面積之和將趨近，故正確.故選：.11.有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，.則下列結(jié)論正確的是（）A.任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率為B.任取一個零件，它是次品的概率為C.如果取到的零件是次品，它是第2臺車床加工的概率為D.如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，設(shè)任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，對于A，任取一個零件，它是第1臺車床加工的次品的概率，故A錯誤；對于B，任取一個零件是次品的概率，故B正確；對于C，如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率，故C正確；對于D，記取到的零件不是第3臺車床加工的為事件，則，則，所以，即如果取到的零件不是第3臺車床加工的，它是次品的概率為，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若數(shù)列滿足，，則_____________.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，①，②，①②得，即，所以.13.在展開式中，含項的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】，其中展開式的通項為（且），所以展開式中含項系數(shù)為：.故答案為：14.已知函數(shù)只有1個零點，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】令，則，令，則，所以當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，且，，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，則的函數(shù)圖象如下所示：依題意與有且只有一個交點，則或，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，求切線的方程；（2）若，，求的取值范圍.解：（1）設(shè)切線的斜率為，直線的斜率為，，，又，，，，則，所以切點為，切線的方程為：，即，化簡得；（2）因為，，即可化為，設(shè)，，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是.16.某校“足球社團”為了解學(xué)生對足球的喜歡是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別足球合計喜歡不喜歡男生302050女生102030合計404080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生性別與喜歡足球有關(guān)聯(lián)？（2）現(xiàn)從喜歡足球的學(xué)生中按性別比例進行分層抽樣，抽取8人組成志愿服務(wù)隊.再從志愿服務(wù)隊中抽取3人進行宣傳報導(dǎo)活動，記抽到3人中的男生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：喜歡足球與性別之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表，由得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為喜歡足球與性別之間有關(guān)聯(lián).（2）在分層抽樣中，喜歡足球的男生有6人，女生有2人，則的可能取值為且，則的分布列為123則17.數(shù)列的首項，.（1）證明是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，①當(dāng)數(shù)列的項取得最大值時，求的值；②求數(shù)列的前項和.解：（1）由，可得，所以，即又由，可得，所以是以2為首項，1為公差的等