高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚?準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時(shí)請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄皺，不得使用涂改液?修正帶?刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A2.為了得到的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向右平移個(gè)單位長度 D.向左平移個(gè)單位長度【答案】A【解析】由可知，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度即得的圖象.故選：A.3.設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于，，由平面平行的性質(zhì)定理可得：，所以是的充分條件；但當(dāng)，，并不能推出，也有可能相交，所以是的不必要條件；故選:A.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D5.若直線平分圓，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】可化為，則，又直線平分圓，則直線經(jīng)過圓心.代入直線得，解得或.因?yàn)椴粷M足，故故選：C.6.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，小寒?立春?驚蟄日影長之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，則小滿日影長為（）A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺【答案】B【解析】設(shè)冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長分別為，，，，前項(xiàng)和，由小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，得，解得，，所以小滿日影長為（尺）．故選：B7.已知函數(shù)，其中且且為常數(shù).若對任意且，在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，若函數(shù)在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，只需即可，即，因?yàn)榍遥?，所以對一切成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以.故選：C．8.已知為球面上四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，以為直徑的球稱為的“伴隨球”.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球面上，它的兩條棱的長度分別為8和6，則的伴隨球的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以球的半徑為，則球的兩條弦的中點(diǎn)為，則，即弦分別是以為球心，半徑為和的球的切線，且弦在以為球心，半徑為的球的外部，的最大距離為，最小距離為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，分別取最大值與最小值，故的伴隨球半徑分別為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的體積為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的體積．∴的伴隨球的體積的取值范圍是．故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A.B.與可作為一組基底向量C.與夾角的余弦值為D.在上投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】因?yàn)?，，對于A：，則，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋耘c為不共線的向量，故與可作為一組基底向量，故B正確；對于C：，所以，故C正確；對于D：，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D錯(cuò)誤.

故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞增D.在上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】．A．因?yàn)?，所以，故A正確．B．因?yàn)?，所以，是偶函?shù)，故B正確．C．由選項(xiàng)可得，，由余弦函數(shù)的圖象可知，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤．D．令，則，所以．令，可得，又，所以或，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ABD11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.與的定義域不同B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.若有三個(gè)不同的解，則D.對任意兩個(gè)不相等正實(shí)數(shù)，若，則【答案】AD【解析】對于A，由的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以選項(xiàng)A是正確的；對于B，由函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，由，得到，解得或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，由，解得且，所以的增區(qū)間為區(qū)間，，由選項(xiàng)B知，的減區(qū)間為，，又，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，其圖象如圖所示，

由圖知，有三個(gè)不同的解，則且，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤；對于D，由題知，得到，由圖，不妨設(shè)，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，得到，又，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到，所以選項(xiàng)D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角的對邊分別為，其中，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由余弦定理，即，所以（?fù)值已舍去）.故答案為：13.已知集合，，則__________.【答案】【解析】由，即，所以，解得，所以，由，解得，所以，所以.故答案為：14.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上且不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，，若，則的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，則，又，，所以，所以，即，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則，所以，所以，所以，∴，∴，由三角形面積相等，得，，，，所以，，即得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為,已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，則，由余弦定理得.又，所以.（2）因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，即，所以.在中，，由余弦定理得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即面積的最大值為.16.南方游客勇闖冰雪大世界點(diǎn)燃了民眾對冰雪運(yùn)動的熱情，其中雪上運(yùn)動深受游客的喜愛.某新聞媒體機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了男?女性游客各100名，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：對滑雪的喜愛情況性別合計(jì)男性游客女性游客喜歡滑雪603595不喜歡滑雪4065105合計(jì)100100200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客是否喜歡滑雪與性別有關(guān)聯(lián)？（2）冰雪大世界招募初學(xué)者進(jìn)行滑雪培訓(xùn)，對四個(gè)滑雪基本動作（起步?滑行?轉(zhuǎn)彎?制動）進(jìn)行指導(dǎo).據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位初學(xué)者對起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動這四個(gè)動作達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為，且四個(gè)滑雪基本動作是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若這四個(gè)滑雪基本動作至少有三個(gè)達(dá)到優(yōu)秀，則可榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號.求滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為游客是否喜歡滑雪與性別無關(guān)聯(lián)，依題意可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為游客是否喜歡滑雪與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.（2）令事件分別表示初學(xué)者對起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動達(dá)到優(yōu)秀，滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號為事件，所以，所以滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率是.17.如圖，在四棱臺中，平面，2，，.（1）記平面與平面的交線為，證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，，，由余弦定理可得，所以，所以，又，平面，所以平面，所以平?（2）因?yàn)?，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以.又是平面的一個(gè)法向量，記平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為為上異于原點(diǎn)且不重合的三點(diǎn).（1）求的方程；（2）若為的重心，求的值；（3）過兩點(diǎn)分別作的切線與相交于點(diǎn)，若，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，所以，所以拋物線.（2）由（1）可知，焦點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)闉榈闹匦模?所以，即.由拋物線的定義的.（3）顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，由，解得，所以，即，因?yàn)?，則，所以，所以切線的方程為，同理，切線的方程為，聯(lián)立兩直線方程，解得，即，則點(diǎn)到直線的距離，由，化解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以面積的最大值為.19.給定數(shù)列，若首項(xiàng)且，對任意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”.（1）已知數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”，若，求；（2）已知數(shù)列滿足，判斷數(shù)列是不是“指數(shù)型數(shù)列”？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；（3）若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，且，證明：數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.解：（1）因?yàn)閿?shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，所以對于任意的，都有.因?yàn)?，所以?（2）數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”.證明:由，得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且，則，，所以數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”.（3）因?yàn)閿?shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，故對任意的，有，則，所以，適合該式.假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則由，得，所以，當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，是偶數(shù)，而是奇數(shù)，是偶數(shù)，故不能成立；當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，是偶數(shù)，而是偶數(shù)，是奇數(shù)，故不能成立；所以，對任意的，不能成立，即數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.廣東省揭陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚?準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時(shí)請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄皺，不得使用涂改液?修正帶?刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A2.為了得到的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向右平移個(gè)單位長度 D.向左平移個(gè)單位長度【答案】A【解析】由可知，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度即得的圖象.故選：A.3.設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于，，由平面平行的性質(zhì)定理可得：，所以是的充分條件；但當(dāng)，，并不能推出，也有可能相交，所以是的不必要條件；故選:A.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D5.若直線平分圓，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】可化為，則，又直線平分圓，則直線經(jīng)過圓心.代入直線得，解得或.因?yàn)椴粷M足，故故選：C.6.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，小寒?立春?驚蟄日影長之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，則小滿日影長為（）A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺【答案】B【解析】設(shè)冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長分別為，，，，前項(xiàng)和，由小寒、立春、驚蟄日影長之和為尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，得，解得，，所以小滿日影長為（尺）．故選：B7.已知函數(shù)，其中且且為常數(shù).若對任意且，在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，若函數(shù)在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，只需即可，即，因?yàn)榍?，，所以對一切成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以.故選：C．8.已知為球面上四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，以為直徑的球稱為的“伴隨球”.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球面上，它的兩條棱的長度分別為8和6，則的伴隨球的體積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以球的半徑為，則球的兩條弦的中點(diǎn)為，則，即弦分別是以為球心，半徑為和的球的切線，且弦在以為球心，半徑為的球的外部，的最大距離為，最小距離為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，分別取最大值與最小值，故的伴隨球半徑分別為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的體積為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的體積．∴的伴隨球的體積的取值范圍是．故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A.B.與可作為一組基底向量C.與夾角的余弦值為D.在上投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】因?yàn)?，，對于A：，則，故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椋耘c為不共線的向量，故與可作為一組基底向量，故B正確；對于C：，所以，故C正確；對于D：，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D錯(cuò)誤.

故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞增D.在上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】．A．因?yàn)?，所以，故A正確．B．因?yàn)?，所以，是偶函?shù)，故B正確．C．由選項(xiàng)可得，，由余弦函數(shù)的圖象可知，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤．D．令，則，所以．令，可得，又，所以或，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ABD11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.與的定義域不同B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.若有三個(gè)不同的解，則D.對任意兩個(gè)不相等正實(shí)數(shù)，若，則【答案】AD【解析】對于A，由的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以選項(xiàng)A是正確的；對于B，由函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，由，得到，解得或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，由，解得且，所以的增區(qū)間為區(qū)間，，由選項(xiàng)B知，的減區(qū)間為，，又，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，其圖象如圖所示，

由圖知，有三個(gè)不同的解，則且，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤；對于D，由題知，得到，由圖，不妨設(shè)，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，得到，又，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到，所以選項(xiàng)D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角的對邊分別為，其中，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由余弦定理，即，所以（?fù)值已舍去）.故答案為：13.已知集合，，則__________.【答案】【解析】由，即，所以，解得，所以，由，解得，所以，所以.故答案為：14.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上且不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線的斜率分別為，，若，則的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)，設(shè)圓與軸相切于點(diǎn)，則，又，，所以，所以，即，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則，所以，所以，所以，∴，∴，由三角形面積相等，得，，，，所以，，即得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為,已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，即，則，由余弦定理得.又，所以.（2）因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，即，所以.在中，，由余弦定理得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即面積的最大值為.16.南方游客勇闖冰雪大世界點(diǎn)燃了民眾對冰雪運(yùn)動的熱情，其中雪上運(yùn)動深受游客的喜愛.某新聞媒體機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了男?女性游客各100名，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：對滑雪的喜愛情況性別合計(jì)男性游客女性游客喜歡滑雪603595不喜歡滑雪4065105合計(jì)100100200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客是否喜歡滑雪與性別有關(guān)聯(lián)？（2）冰雪大世界招募初學(xué)者進(jìn)行滑雪培訓(xùn)，對四個(gè)滑雪基本動作（起步?滑行?轉(zhuǎn)彎?制動）進(jìn)行指導(dǎo).據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位初學(xué)者對起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動這四個(gè)動作達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為，且四個(gè)滑雪基本動作是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若這四個(gè)滑雪基本動作至少有三個(gè)達(dá)到優(yōu)秀，則可榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號.求滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率.附：.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）零假設(shè)為游客是否喜歡滑雪與性別無關(guān)聯(lián)，依題意可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為游客是否喜歡滑雪與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.（2）令事件分別表示初學(xué)者對起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動達(dá)到優(yōu)秀，滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號為事件，所以，所以滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率是.17.如圖，在四棱臺中，平面，2，，.（1）記平面與平面的交線為，證明：平面；（2）