高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省益陽市安化縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】由題可知，故.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A4.已知函數(shù)過定點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)過定點(diǎn)，可得，解得：，則拋物線，即的準(zhǔn)線方程是．故選：D．5.已知等比數(shù)列中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.故選：B6.已知，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，令可得，令可得，所以，，又，其中展開式的通項(xiàng)為（且），所以，所以，所以.故選：B7.若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，令，可得，原題意等價于與在內(nèi)有交點(diǎn)，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.定義域?yàn)?B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】C【解析】A．有意義時真數(shù)大于0，故定義域?yàn)?，故A正確，不符合題意；B．，故，令，即，解得，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，正確，不符合題意；C．當(dāng)時，例如時，，當(dāng)，顯然，故錯誤，符合題意；D．當(dāng)時，，令，即，解得，當(dāng)時，則，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，則，故上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取到極小值，也是最小值，，故正確，不符合題意；故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論成立的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.數(shù)列的前100項(xiàng)和為10000C.若，則D.若，則的最小值為8【答案】AB【解析】對于A，因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以，選項(xiàng)A正確；對于B，根據(jù)已知，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，所以前100項(xiàng)和為，選項(xiàng)B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以，由，得，解得，選項(xiàng)C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，所?1解得，選項(xiàng)D錯誤.故選：AB10.湖南張家界是級景區(qū)，有許多好看的景點(diǎn)．李先生和張先生預(yù)選該景區(qū)的玻璃棧道和鳳凰古城游玩．李先生和張先生第一天去玻璃棧道和鳳凰古城游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他們第一天去玻璃棧道，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.7；如果第一天去鳳凰古城，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.6.設(shè)“第一天去玻璃棧道”；“第二天去玻璃棧道”；“第一天去鳳凰古城”；“第二天去鳳凰古城”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題干可知，，A正確，B錯誤；，，所以，，C、D正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)下列說法正確的是（）A.的單調(diào)減區(qū)間是B.是函數(shù)的一個極值點(diǎn)C.只有一個零點(diǎn)D.對任意的恒成立時，取值范圍為【答案】BCD【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以?dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在處取得極小值即最小值，所以，故A錯誤，B正確；又當(dāng)時，當(dāng)時，，所以只有一個零點(diǎn)，故C正確；若對任意的恒成立，則，即取值范圍為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，解?故答案為：13.若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如都是“十全十美數(shù)”，則一共有__________個“十全十美數(shù)”.【答案】54【解析】構(gòu)成“十全十美數(shù)”有3類辦法，有一位數(shù)字是0的“十全十美數(shù)”有個；不含0但有相同數(shù)字的“十全十美數(shù)”有個；不含0無相同數(shù)字的“十全十美數(shù)”有，所以符合要求的的“十全十美數(shù)”有個.故答案為：5414.若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【解析】，則，若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則在x∈R上有唯一的根，所以由可得，則有唯一的根，直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)（非切點(diǎn)），又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈0,+∞時，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)得圖象如下圖所示：所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)（非切點(diǎn)），因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，．（1）求角；（2）D為邊BC的中點(diǎn)，，求面積的最大值．解：（1）根據(jù)題意，，則，由于，則，則，所以；（2）因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以面積的最大值為.16.樹人中學(xué)為了落實(shí)教育部頒布的“五項(xiàng)管理”，舉辦高二學(xué)生跳繩比賽，學(xué)校根據(jù)男女生比例從男生中隨機(jī)抽取120人，女生中隨機(jī)抽取100人，進(jìn)行成績統(tǒng)計分析，其中成績在160分以上為優(yōu)秀，根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別制作了男生、女生成績頻數(shù)分布表：男生成績：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)812205525女生成績：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)5151030355（1）①根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生女生合計②依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為跳繩比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？參考公式：，，（2）以樣本中的頻率作為概率，從高二跳繩比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加全市中學(xué)生跳繩比賽.設(shè)3人中女生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）①依題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生8040120女生4060100合計120100220②零假設(shè)為跳繩比賽成績優(yōu)秀與性別獨(dú)立，由列聯(lián)表可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為跳繩比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān)，該結(jié)論犯錯誤的概率不超過.（2）高二跳繩比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中女生的概率為，則，所以的可能取值為、、、，則，，，所以的分布列為：0123所以.17.已知函數(shù)，.（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個解，求的取值范圍；解：（1）由題意，函數(shù)定義域?yàn)椋?，，?dāng)時，恒成立，即在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則；令，則；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）方程有兩個解，即有兩個解，令，則，令，則，在單調(diào)遞增；令，則，在單調(diào)遞減；所以函數(shù)的最大值為，如圖所示，所以的取值范圍為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值.解：（1）根據(jù)題意，．在橢圓上下頂點(diǎn)，面積的最大值.此時.所以，則求橢圓方程.（2）如圖所示，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，.，，又，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且，所以．綜上，的面積為定值．19.立德中學(xué)高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新小組開展一項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（1）給出兩塊相同的邊長都為8cm的正三角形薄鐵片（如圖1、圖2），其中圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個正三棱錐；圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形（陰影部分）每個四邊形中有且只有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）試求圖1剪拼的正三棱錐體積的大?。唬?）設(shè)正三棱柱底面邊長為x，將正三棱柱形容器的容積V表示為關(guān)于x的函數(shù)，并標(biāo)明其定義域，并求其最值．（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請仿照圖2設(shè)計剪拼方案，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明．解：（1）正三棱錐底面是邊長為4的正三角形，其面積為．如圖所示：在正三棱錐中，高，（2）結(jié)合平面圖形數(shù)據(jù)及三棱柱直觀圖，求得：三棱柱的高，其底面積，則三棱柱容器的容積，即所求函數(shù)關(guān)系式為，，令，即，解得：，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，在時，正三棱柱形容器的容積V有最大值為：（3）如圖，分別連接三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)，得三條線段，再以這三條線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點(diǎn)向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，再將三個四邊形拼成上底即可得到直三棱柱．湖南省益陽市安化縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】由題可知，故.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A4.已知函數(shù)過定點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)過定點(diǎn)，可得，解得：，則拋物線，即的準(zhǔn)線方程是．故選：D．5.已知等比數(shù)列中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.故選：B6.已知，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋羁傻?，令可得，所以，，又，其中展開式的通項(xiàng)為（且），所以，所以，所以.故選：B7.若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，令，可得，原題意等價于與在內(nèi)有交點(diǎn)，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.定義域?yàn)?B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】C【解析】A．有意義時真數(shù)大于0，故定義域?yàn)?，故A正確，不符合題意；B．，故，令，即，解得，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，正確，不符合題意；C．當(dāng)時，例如時，，當(dāng)，顯然，故錯誤，符合題意；D．當(dāng)時，，令，即，解得，當(dāng)時，則，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，則，故上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取到極小值，也是最小值，，故正確，不符合題意；故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論成立的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.數(shù)列的前100項(xiàng)和為10000C.若，則D.若，則的最小值為8【答案】AB【解析】對于A，因?yàn)椋?dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以，選項(xiàng)A正確；對于B，根據(jù)已知，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，所以前100項(xiàng)和為，選項(xiàng)B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以，由，得，解得，選項(xiàng)C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以，所?1解得，選項(xiàng)D錯誤.故選：AB10.湖南張家界是級景區(qū)，有許多好看的景點(diǎn)．李先生和張先生預(yù)選該景區(qū)的玻璃棧道和鳳凰古城游玩．李先生和張先生第一天去玻璃棧道和鳳凰古城游玩的概率分別為0.3和0.7，如果他們第一天去玻璃棧道，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.7；如果第一天去鳳凰古城，那么第二天去玻璃棧道的概率為0.6.設(shè)“第一天去玻璃棧道”；“第二天去玻璃棧道”；“第一天去鳳凰古城”；“第二天去鳳凰古城”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題干可知，，A正確，B錯誤；，，所以，，C、D正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)下列說法正確的是（）A.的單調(diào)減區(qū)間是B.是函數(shù)的一個極值點(diǎn)C.只有一個零點(diǎn)D.對任意的恒成立時，取值范圍為【答案】BCD【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以?dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在處取得極小值即最小值，所以，故A錯誤，B正確；又當(dāng)時，當(dāng)時，，所以只有一個零點(diǎn)，故C正確；若對任意的恒成立，則，即取值范圍為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)__________．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，解?故答案為：13.若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如都是“十全十美數(shù)”，則一共有__________個“十全十美數(shù)”.【答案】54【解析】構(gòu)成“十全十美數(shù)”有3類辦法，有一位數(shù)字是0的“十全十美數(shù)”有個；不含0但有相同數(shù)字的“十全十美數(shù)”有個；不含0無相同數(shù)字的“十全十美數(shù)”有，所以符合要求的的“十全十美數(shù)”有個.故答案為：5414.若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【解析】，則，若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，則在x∈R上有唯一的根，所以由可得，則有唯一的根，直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)（非切點(diǎn)），又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈0,+∞時，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)得圖象如下圖所示：所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)（非切點(diǎn)），因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，．（1）求角；（2）D為邊BC的中點(diǎn)，，求面積的最大值．解：（1）根據(jù)題意，，則，由于，則，則，所以；（2）因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以面積的最大值為.16.樹人中學(xué)為了落實(shí)教育部頒布的“五項(xiàng)管理”，舉辦高二學(xué)生跳繩比賽，學(xué)校根據(jù)男女生比例從男生中隨機(jī)抽取120人，女生中隨機(jī)抽取100人，進(jìn)行成績統(tǒng)計分析，其中成績在160分以上為優(yōu)秀，根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別制作了男生、女生成績頻數(shù)分布表：男生成績：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)812205525女生成績：分?jǐn)?shù)段頻數(shù)5151030355（1）①根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生女生合計②依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為跳繩比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？參考公式：，，（2）以樣本中的頻率作為概率，從高二跳繩比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加全市中學(xué)生跳繩比賽.設(shè)3人中女生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）①依題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生8040120女生4060100合計120100220②零假設(shè)為跳繩比賽成績優(yōu)秀與性別獨(dú)立，由列聯(lián)表可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為跳繩比賽成績優(yōu)秀與性別有關(guān)，該結(jié)論犯錯誤的概率不超過.（2）高二跳繩比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中女生的概率為，則，所以的可能取值為、、、，則，，，所以的分布列為：0123所以.17.已知函數(shù)，.（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個解，求的取值范圍；解：（1）由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，，，?dāng)時，恒成立，即在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則；令，則；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）方程有兩個解，即有兩個解，令，則，令，則，在單調(diào)遞增；令，則，在單調(diào)遞減；所以函數(shù)的最大值為，如圖所示，所以的取值范圍為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為