8.3雙曲線考點(diǎn)1雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2023天津,9,5分,中)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.過(guò)F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為P.已知|PF2|=2,直線PF1A.x2C.x2答案D由題意知|PF2|=b(雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng))又|PF2|=2,∴b=2.在Rt△POF2中,|PF2|=b,|PO|=a,|OF2|=c,∴12ab=12|yP|c,即|又∵kPF1=24>0,∴點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)P所在漸近線方程為y=bax,∴Pa2c,abc,∵kPF1=abca2c+c=24,即4ab=2∴a=2,∴雙曲線的方程為x22?y2.(2021北京,5,4分)若雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率為2,A.2x2-y2=1B.x2-y2C.5x2-3y2=1D.x2答案B設(shè)雙曲線的半焦距為c,由題意可知2a2?3b2=1,3.(2017課標(biāo)Ⅲ理,5,5分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212A.x28-y210=1B.C.x25-y24=1D.答案B本題考查雙曲線的方程.由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為x24-y25=k(k>0),即x24k-y25k=1,∵雙曲線與橢圓x212+y23一題多解∵橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為(±3,0),雙曲線與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn),∴a2+b2=(±3)2=9①,∵雙曲線的一條漸近線為y=52x,∴ba=52②,聯(lián)立①②可解得a4.(2017課標(biāo)Ⅰ文,5,5分)已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APFA.13B.12C.2答案D本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).易知F(2,0),不妨取P點(diǎn)在x軸上方,如圖.∵PF⊥x軸,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),∴|AP|=1,AP⊥PF,∴S△APF=12×3×1=32.5.(2015安徽理,4,5分)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-y24=1B.x2C.y24-x2=1D.y2-答案C由于焦點(diǎn)在y軸上,故排除A、B.由于漸近線方程為y=±2x,故排除D.故選C.6.(2014天津理,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.答案A由題意得ba=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a2=5,b2=20,從而雙曲線方程為x257.(2014江西文,9,5分)過(guò)雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)(OA.x24-y212=1B.C.x28-y28=1D.答案A由雙曲線方程知右頂點(diǎn)為(a,0),不妨設(shè)其中一條漸近線方程為y=bax,因此可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b).設(shè)右焦點(diǎn)為F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a=c2=2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故雙曲線的方程為x24-評(píng)析本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的定義,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.8.(2016課標(biāo)Ⅰ,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A解法一:由題意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c為半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,∵方程x2m2+n-y23m2∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故選A.解法二:∵原方程表示雙曲線,且焦距為4,∴m2或m2由①得m2=1,n∈(-1,3).②無(wú)解.故選A.知識(shí)拓展對(duì)于方程mx2+ny2=1,若表示橢圓,則m、n均為正數(shù)且m≠n;若表示雙曲線,則m·n<0.9.(2016天津,6,5分)已知雙曲線x24-y2b2=1(b>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形A.x24-3y24C.x24-y24=1D.答案D設(shè)A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由題意得x可得x02=164+b2,y02結(jié)合2x0·2y0=2b,可得b2=12.所以雙曲線的方程為x24-y210.(2023北京,12,5分,易)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為2,則C的方程為.

答案x2解析由題意設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),由題知c=2,ca=2,則a=2,又c2=a2+b2,11.(2015課標(biāo)Ⅰ文,16,5分)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點(diǎn),P是C的左支上一點(diǎn),A(0,66).當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為答案126解析由已知得雙曲線的右焦點(diǎn)F(3,0).設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F',則F'(-3,0).由雙曲線的定義及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周長(zhǎng)最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即當(dāng)A、P、F'三點(diǎn)共線時(shí),△APF的周長(zhǎng)最小.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),y0>0,由x0?3+y066=1,x02?y028=1得y所以當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積S=12×6×66-12×6×26=1212.(2015課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,3),且漸近線方程為y=±12x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案x24-y解析根據(jù)漸近線方程為x±2y=0,可設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4,3),所以42-4×(3)2=λ,即λ=4.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y考點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2023全國(guó)乙理,11,5分,中)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可以為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)答案D由雙曲線方程x2-y29=1知a=1,b=3,則其漸近線方程為y觀察選項(xiàng)知,四個(gè)點(diǎn)均在雙曲線外,所以點(diǎn)A,B分別在雙曲線的兩支上,所以-3<kAB<3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12?y129=1,則kAB=y1對(duì)于A,x1+x2=2,∵kAB=9>3,∴A不滿足題意.對(duì)于B,x1+x2=?2,y∵kAB=-92<-3,∴B不滿足題意對(duì)于C,x1+x2=2,y1+y對(duì)于D,x1+x2=?2,y則直線AB的方程為y+4=94(x+1即y=94由y=94x?74,x2∵Δ=1262-4×63×(-193)>0,且x1x2<0,∴直線AB與雙曲線的兩支分別相交,∴D滿足題意.故選D.2.(2023全國(guó)甲理,8,5分,中)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,C的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B兩點(diǎn),則|A.55B.255C.答案D由雙曲線方程可知e=1+b2a2=5,由圖形知與圓相交的漸近線方程為y=2x,即2x-y=0,又圓(x-2)2+(y-3)2=1的圓心為(2,3),半徑r=1,∴圓心到直線2x-y=0的距離d=|4?3|2∴|AB|=2r2?d23.(2021全國(guó)甲文,5,5分)點(diǎn)(3,0)到雙曲線x216?y29A.9答案A雙曲線x216?y29=1的漸近線方程為y=±34x,根據(jù)對(duì)稱性,不妨取y=34x,即3x-4y=0,點(diǎn)(3,0)到直線3x-4y=0易錯(cuò)警示在寫(xiě)漸近線方程時(shí)首先要根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷雙曲線焦點(diǎn)位置:雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=±bax;雙曲線y2a2?x2b24.(2021全國(guó)甲理,5,5分)已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為()A.7答案A設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),由題意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,兩式聯(lián)立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos60°,可得ca=7方法總結(jié)求圓錐曲線的離心率,一般是利用條件得到a,c或a,b的關(guān)系式,然后利用離心率的定義得出結(jié)論.5.(多選)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲線C:mx2+ny2=1.()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為nC.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±?mD.若m=0,n>0,則C是兩條直線答案ACDA選項(xiàng)中,若m>n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為x21m+y21n=1,因?yàn)閙>n>0,所以0<1m<1B選項(xiàng)中,若m=n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為x2+y2=1n,所以此曲線表示圓,半徑為1n,所以BC選項(xiàng)中,若mn<0,則此曲線應(yīng)為雙曲線,mx2+ny2=0可化為y2=-mx2n,即y=±?mnx,即雙曲線的漸近線方程為y=±?mD選項(xiàng)中,若m=0,n>0,則方程mx2+ny2=1可化為y2=1n(x∈R),即y=±1n,表示兩條直線,所以D故選ACD.6.(2019北京文,5,5分)已知雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的離心率是5A.6B.4C.2D.1答案D由題意得e=ca=5,又a2+b2=c2,∴b2a2=∵b2=1,∴a2=14.∵a>0,∴a=1易錯(cuò)警示把雙曲線的離心率錯(cuò)認(rèn)為e=1?b7.(2018浙江,2,4分)雙曲線x23-y2=1A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B∵a2=3,b2=1,∴c=a2+b2=2.又∵焦點(diǎn)在x易錯(cuò)警示求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)的易錯(cuò)點(diǎn)(1)焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上,容易判斷錯(cuò)誤;(2)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的關(guān)系式容易混淆.8.(2015課標(biāo)Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:x22-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若MF1·MF2A.?33,3C.?223,答案A若MF1·MF2=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c=3為半徑的圓上,則x02+y02=3,x022?y02=1,解得y02=13.可知:MF19.(2015課標(biāo)Ⅱ理,11,5分)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A.5B.2C.3D.2答案D設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限內(nèi),則易得M(2a,3a),又M點(diǎn)在雙曲線E上,于是(2a)2a2-(10.(2015湖南文,6,5分)若雙曲線x2a2-y2bA.73B.54C.4答案D雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程為y=±bax,則點(diǎn)(3,-4)在直線y=-bax上,即-4=-3ba,所以4a=3b,即ba11.(2015重慶文,9,5分)設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn).若A1BA.±12B.±22答案C不妨令B在x軸上方,因?yàn)锽C過(guò)右焦點(diǎn)F(c,0),且垂直于x軸,所以可求得B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為c,b2a,c,?b2所以A1B=c+a,因?yàn)锳1B⊥A2C,所以A1B·即(c+a)(c-a)-b2a·即c2-a2-b4a2=0,所以b2故b2a2=1,即ba=1,又雙曲線的漸近線的斜率為±ba12.(2014課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)已知F為雙曲線C:x2-my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A.3B.3C.3mD.3m答案A由題意知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23m-y23=1,其中a2=3m,b2=3,故c=a2+b2=3m+3,不妨設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn),故F(3m+3,0).其中一條漸近線的方程為y=1評(píng)析本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力和運(yùn)算求解能力.13.(2014課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)已知雙曲線x2a2-y23A.2B.62C.5答案D由雙曲線方程知b2=3,從而c2=a2+3,又e=2,因此c2a2=a2+3a214.(2013課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為A.y=±14xB.y=±1C.y=±12答案C∵ba=e2?1=54?1=115.(2011課標(biāo)全國(guó)理,7,5分)設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.3答案B不妨設(shè)雙曲線C為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),并設(shè)l過(guò)F2(c,0)且垂直于x∴2b2a=2×2a,b2=2a2,∴離心率e=ca=1+b16.(2016課標(biāo)Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:x2a2-y2b2=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=A.2B.32C.3答案A解法一:不妨設(shè)M在第二象限,由MF1⊥x軸,可得M?c,b2a,∴|MF1|=b2a.由sin∠MF2F1=13,可得cos∠MF2F1=1?132=223,又tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=b2a2c,∴b2a2c=132解法二:不妨設(shè)M在第二象限,由MF1⊥x軸,得M?c,b2a,∴|MF1|=b2a,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+b2a,又sin∠MF2F1=|MF1||MF217.(2016浙江,7,5分)已知橢圓C1:x2m2+y2=1(m>1)與雙曲線C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1答案A在橢圓中,a1=m,c1=m2?1,e1=m2?1m.在雙曲線中,a2=n,c2=n2+1,e2=n2+1n.因?yàn)閏1=c2,所以n2=m2-2.從而e12·e22=(m2?1)(n2+1)m2思路分析根據(jù)焦點(diǎn)重合可得m2與n2之間的關(guān)系,進(jìn)而建立e12e22關(guān)于18.(2024北京,13,5分,中)若直線y=k(x-3)與雙曲線x24-y2=1只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的一個(gè)取值為13答案12或-12(解析解法一:聯(lián)立x24-y2=1,y=k(x-3),①當(dāng)1-4k2=0,即k=±12時(shí),方程可化為6x-13=0,得x=136,代入x24-y2=1得當(dāng)k=12時(shí),公共點(diǎn)為13當(dāng)k=-12時(shí),公共點(diǎn)為136,②當(dāng)1-4k2≠0,即k≠±12時(shí)Δ=(24k2)2-4(1-4k2)(-36k2-4)=0,化簡(jiǎn)得5k2+1=0,無(wú)實(shí)數(shù)解,故舍去.綜上所述,k=12或-1解法二:由題知雙曲線的漸近線為y=±12x,右頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵y=k(x-3)恒過(guò)點(diǎn)(3,0),該點(diǎn)位于右頂點(diǎn)右側(cè),∴直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線y=k(x-3)與漸近線平行,∴k=±1219.(2024新課標(biāo)Ⅰ,12,5分,易)設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F112答案3解析如圖所示,在△AF1F2中,|F1A|=13,|AF2|=12|AB|=5,∠AF2F1=90°∴|F1F2|=13設(shè)雙曲線的焦距為2c,則2c=12,c=6.又2a=|F1A|-|F2A|=13-5=8,∴a=4,因此C的離心率e=ca=320.(2023新課標(biāo)Ⅰ,16,5分,中)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,F1A⊥F答案3解析如圖,由題可知|F1B|=|F2B|.設(shè)|F1B|=|F2B|=m(m>0),∵F2A=-23F2B,∴A,F2,B三點(diǎn)共線,|∴|AB|=|F2A|+|F2B|=5m∴|F1A|=|AB|2?|F又2a=|F1A|-|F2A|=2m3,∴m=3a.∴|F1A|=4a,|F2A|=2a,|AB|=5a,又|F1F2|=2c,cos∠F1AB=|F∴|F1A|2整理得54-e24=45,即e2=95.∵e>1,21.(2022北京,12,5分)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33x,則m答案-3解析由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且m<0,所以漸近線方程為y=±?1mx,所以-1m=120.(2022浙江,16,4分)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為b4a的直線交雙曲線于點(diǎn)A(x1,y1),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(x2,y2)且x1<0<x2.答案3解析如圖所示,由題意得雙曲線左焦點(diǎn)為F(-c,0),點(diǎn)B所在的漸近線方程為y=bax,過(guò)F且斜率為b4a的直線方程為y=b4a(x+c),聯(lián)立由|FB|=3|FA|,可得A?59c,bc9a,又A在雙曲線上,所以25c28122.(2021全國(guó)乙文,14,5分)雙曲線x24?y25=1的右焦點(diǎn)到直線x答案5解析由x24?y25=1得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0易錯(cuò)警示不能正確地寫(xiě)出右焦點(diǎn)坐標(biāo)以及記錯(cuò)點(diǎn)到直線的距離公式導(dǎo)致出錯(cuò).23.(2021全國(guó)乙理,13,5分)已知雙曲線C:x2m-y2=1(m>0)的一條漸近線為3x+my=0,則C的焦距為答案4解析由雙曲線C:x2m-y2=1(m得漸近線方程為y=±m(xù)mx結(jié)合題設(shè)得-3m=?mm,∴m=3,∴雙曲線C的方程為x2∴C的焦距為23+1=4.24.(2022全國(guó)甲文,15,5分)記雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫(xiě)出滿足條件“直線y=2答案2(答案不唯一,在(1,5]范圍內(nèi)取值均可)解析欲使直線y=2x與雙曲線C無(wú)公共點(diǎn),則0<ba≤2,所以e=ca=a2+b所以當(dāng)e∈(1,5]時(shí),直線y=2x與雙曲線C無(wú)公共點(diǎn).答案不唯一,可取e=2.25.(2018上海,2,4分)雙曲線x24-y2=1的漸近線方程為答案y=±12解析本題主要考查雙曲線的漸近線方程.解法一:由雙曲線x24-y2=1知a2=4,b∴a=2,b=1,∴該雙曲線的漸近線方程為y=±12解法二:令雙曲線x24-y2=1中的“1”為“0”,即可得到雙曲線的漸近線方程,即x24-y2=0,∴26.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)答案2解析本題考查雙曲線的性質(zhì).雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為|bc|b2+(?a)2=32c,∴b=32c,∴b2=34c2,又b27.(2017課標(biāo)Ⅰ理,15,5分)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠答案2解析本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和圓的性質(zhì).不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y=bax上,如圖,△AMN為等邊三角形,且則A點(diǎn)到漸近線y=bax的距離為32b,又將y=bax變形為一般形式為bx-ay=0,則A(a,0)到漸近線bx-ay=0的距離d=|ba|a2+b2=|ab所以雙曲線離心率e=ca=228.(2017課標(biāo)Ⅲ文,14,5分)雙曲線x2a2-y29=1(a>0)的一條漸近線方程為y=3答案5解析由題意可得3a=35,29.(2017北京理,9,5分)若雙曲線x2-y2m=1的離心率為3,則實(shí)數(shù)m=答案2解析本題考查雙曲線的性質(zhì).由題意知,a2=1,b2=m.∵e=ca=1+b2a230.(2016山東理,13,5分)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且答案2解析由已知得|AB|=|CD|=2b2a,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因?yàn)?|AB|=3|BC|,所以4b2a=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,評(píng)析本題考查了雙曲線的基本性質(zhì),利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2構(gòu)造關(guān)于離心率e的方程是求解的關(guān)鍵.31.(2016北京理,13,5分)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC答案2解析由OA、OC所在直線為漸近線,且OA⊥OC,知兩條漸近線的夾角為90°,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=22,根據(jù)c2=2a2可得a=2.評(píng)析本題考查等軸雙曲線及其性質(zhì).32.(2015北京理,10,5分)已知雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的一條漸近線為3x+y=0,則答案3解析由雙曲線x2a2-y2=1(a>0)知其漸近線方程為y=±1ax,又因?yàn)閍>0,所以1a=333.(2014浙江理,16,4分)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足答案5解析由x?3y+由x?3y+m=0,y=?bax得B?am3b+a,bm3b+a,則線段AB的中點(diǎn)為Ma2m考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系1.(2022新高考Ⅰ,21,12分)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)上,直線l交C于P,Q(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面積.解析(1)∵點(diǎn)A在雙曲線上,∴4a2解得a2=2.∴C的方程為x22-y2=1設(shè)直線l:y=kx+m.②聯(lián)立①②,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4km1?2k2,x1xkPA=y1?1x1?2,由kPA+kQA=0,得y1?1化簡(jiǎn)得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2k·?2m2+21?2k2+(m-2k-1)·4化簡(jiǎn)得(2k+m-1)(k+1)=0,∴2k+m-1=0或k+1=0.若2k+m-1=0,則l:y=k(x-2)+1,這時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)A,不合題意,∴k+1=0,∴k=-1.(2)由(1)知k=-1,從而l:y=-x+m,設(shè)直線PA的傾斜角為α,直線QA的傾斜角為β,則∠PAQ=α-β,∴|tan(α-β)|=22,即kPA由題意知kQA=-kPA,解得kPA2=2或∵雙曲線C的漸近線斜率為±22∴kPA2=2,由對(duì)稱性可取kPA=-2,則kQA=∴直線PA的方程為y=-2(x-2)+1,聯(lián)立y=?2(x?2)+1,x同理,x2=10?42∴|PA|=1+k|QA|=1+k由tan∠PAQ=22得sin∠PAQ=