階段提升突破練(一)(三角函數(shù)及解三角形)(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.要得到函數(shù)f(x)=2sinxcosx，x∈R的圖象，只需將函數(shù)g(x)=2cos2x1，x∈R的圖象()A.向左平移π2個單位 B.向右平移πC.向左平移π4個單位 D.向右平移π【解析】選D.因為f(x)=2sinxcosx=sin2x，g(x)=2cos2x1=cos2x，所以sin2x=cos2x-cos2x-π42.已知函數(shù)f(x)=43sinωx+π3(ω>0)在平面直角坐標系中的部分圖象如圖所示，若∠ABC=90°，則A.π4 B.π8 C.π6【解析】選B.根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可知，BC=CP=PA，又因為∠ABC=90°，所以BP是Rt△ABC斜邊的中線，所以BP=BC=CP，所以△BCP是等邊三角形，所以32BP=43?BP=8，所以2πω=2×8?ω=3.在△ABC中，“角A，B，C成等差數(shù)列”是“sinC=(3cosA+sinA)cosB”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因為角A，B，C成等差數(shù)列，所以B=π3又sinC=(3cosA+sinA)cosB，所以sin(A+B)=3cosAcosB+sinAcosB，所以cosAsinB=3cosAcosB，所以cosA(sinB3cosB)=0，即cosA=0或tanB=3，即A=π2或B=π3，4.已知tanα=3，tan(α2β)=1，則tan4β的值為()A.43 B.43 C.2【解析】選B.因為2β=α(α2β)，所以tan2β=tan[α(α2β)]=tanα-tan(α-2β)1+tanαtan(α-2β)=所以tan4β=2tan2β1-tan22β5.將函數(shù)y=3sin4x+π6的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移π6個單位，所得函數(shù)圖象的一個A.7π48,0 C.5π8,0 【解析】選A.將函數(shù)y=3sin4x+π6的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍變?yōu)閥=3sin8x+π6=3sin8x-7π6，令8x7π6=kπ?x=kπ8+7π6.若α∈π4,π，且3cos2α=4sinπ4-α，A.79 B.79 C.19 【解析】選C.3(cos2αsin2α)=22(cosαsinα)，因為α∈π4,π，所以cosαsinα≠0，所以3(cosα+sinα)=22，即cosα+sinα=223，兩邊平方可得1+sin2α=89?7.已知銳角A是△ABC的一個內(nèi)角，a，b，c是各內(nèi)角所對的邊，若sin2Acos2A=1A.b+c≤2a B.a+c≤2bC.a+b≤2c D.a2≤bc【解題導引】根據(jù)題中條件可以求出角A，結(jié)合余弦定理求出a，b，c三邊的關(guān)系，選項可以看成比較大小，平方作差即可.【解析】選A.因為sin2Acos2A=cos2A=12，且A為銳角，所以cos2A=12?2A=2π3?A=π3，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosπ3，即a2=b2+c2bc，對于選項A，(b+c)2-4a2=b2+c2+2bc4(b2+c28.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωxφ)1(ω>0，φ<π)的一個零點是x=π3，x=π6是y=f(x)的圖象的一條對稱軸，則ω取最小值時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(導學號92494177A.-π3+3kπ,-πB.-5π3+3kπ,-πC.-2π3+2kπ,-πD.-π3+2kπ,-π【解題導引】首先根據(jù)x=π3，x=π6分別是零點和對稱軸表示出ω，結(jié)合ω的范圍求出其最小值，根據(jù)對稱軸的取值，求出【解析】選B.由條件得sinωπ3-φsin-ωπ6-φ=±1，所以ωπ3φ=2kπ+π6或2kπ+5π6(k∈Z).ωπ6φ=tπ+π2(t∈Z)，所以ω=2(2kt)±23=tπ+π2，t∈Z，所以φ=tπ1118π(t∈Z)，因為φ<π，所以φ=所以f(x)=2sin23x+11π181，由π2+2kπ≤23x+11π得5π3+3kπ≤x≤π6+3kπ(k∈Z).所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是-二、填空題(每小題5分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx2sin2x，x∈R，則函數(shù)f(x)在0,π4導學號92494178【解析】f(x)=3sin2x+cos2x1=2(3212cos2x)1=2sin2x+π61.因為0≤x≤π4，所以π6≤2x+π6≤2π3，所以12≤sin2x+π6≤1，于是1≤2sin2x+π6答案：110.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,φ<π2【解析】因為34T=5π12-π3=34π，所以T=π，所以ω=2.把512π,2代入，得2sin56π+φ=2?56π+φ=π2+2kπ，所以φ=π3+2kπ，k∈Z，因為π2<φ答案：311.若tanα+1tanα=103，α∈π4,π2，則sin2α+π【解題導引】首先求出tanα的值，然后結(jié)合sin2α+cos2α=1，整體轉(zhuǎn)化成正切求解即可.【解析】因為tanα+1tanα=103，所以3tan2α10tanα+3=0，解得tanα=13或tanα=3，又α∈π4,π2，所以tanα=3，sin2α+π4+2cosπ4cos2α==22答案：012.在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c且a2+b2c2=ab，c=3，sinA+sinB=26sinAsinB，則△ABC的周長為__________.導學號92494179【解題導引】首先求出角C，然后將sinA+sinB=26sinAsinB兩邊同乘以sinC并結(jié)合正弦定理求出邊的關(guān)系.【解析】由a2+b2c2=ab及余弦定理，得cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=得(sinA+sinB)sinC=26sinCsinAsinB，(sinA+sinB)sinC=26sinπ3sinAsinB(sinA+sinB)sinC=32sinAsinB，再結(jié)合正弦定理，得(a+b)c=32ab，代入c=3，得a+b=2ab.再結(jié)合a2+b2c2=ab，得(a+b)22ab9=ab，得(2ab)23ab9=0，得2(ab)23ab9=0，得(2ab+3)(ab3)=0，解得ab=32(舍去)或ab=3.所以a+b=32，a+b+c=3+32.答案：3+32三、解答題(每小題10分，共40分)13.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(π<φ<0)，y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=π8導學號92494180(1)求φ并用“五點法”畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象.(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.【解析】(1)因為x=π8是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸，所以sin2×π8+φ=±1，所以π4+φ=kπ+π2，k∈Z.即φ=因為π<φ<0，φ=3π4.當x∈[0，π]時，t=2x3π4∈-3π4,5π4，取t=3由y=sin2x-2x33π0ππ5x0π357πy210102故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象是(2)由題意得2kππ2≤2x3π4≤2kπ+π2，k∈Z，得：kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z，所以函數(shù)y=sin(2x314.在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且4bsinA=7a.(1)求sinB的值.(2)若a，b，c成等差數(shù)列，且公差大于0，求cosAcosC的值.【解析】(1)由4bsinA=7a，根據(jù)正弦定理得4sinBsinA=7sinA，所以sinB=74(2)由已知和正弦定理以及(1)得sinA+sinC=72①，設(shè)cosAcosC=x②，①2+②2，得22cos(A+C)=74+x2③，又a<b<c，A<B<C，所以0<B<π2，cosA>cosC，故cos(A+C)=cosB=34，代入③式得x2=715.公園里有一扇形湖面，管理部門打算在湖中建一三角形觀景平臺，希望面積與周長都最大.如圖所示扇形AOB，圓心角AOB的大小等于π3，半徑為2百米，在半徑OA上取一點C，過點C作平行于OB的直線交弧AB于點P.設(shè)∠COP=θ.導學號92494181(1)求△POC面積S(θ)的函數(shù)表達式.(2)求S(θ)的最大值及此時θ的值.【解題導引】(1)根據(jù)正弦定理求出對應邊長，然后利用面積公式求出.(2)根據(jù)(1)的結(jié)果展開，重新化一，轉(zhuǎn)化成三角最值問題即可.【解析】(1)因為CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=π3θ在△POC中，由正弦定理得OPsin∠PCO=CPsinθ，即2sin2π3=CPsinθ，所以CP=43sinθ，又OCsinπ3=12·43sinθ·43sin=43sinθ·sinπ(2)由(1)知S(θ)=43sinθ·sin=43sinθ32cosθ-12sinθ=2sinθ=sin2θ+33cos2θ33=233令2θ+π6=2kπ+π2，k即θ=kπ+π6，k∈Z，因為0<θ<π所以當θ=π6時，S(θ)取得最大值為316.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+a(1+cosx)2x在x=5π(1)若f(x)的導函數(shù)為f′(x)，求f′(x)的最值.(2)當x∈[0，π]時，求f(x)的最值.【解題導引】(1)求出f′(x)，結(jié)合二次函數(shù)知識和sinx本身范圍可求解.(2)根據(jù)導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，注意三角不等式的求解.【解析】(1)f′(x)=2cos2xasinx2，因為f(x)在x=5πf′5π6=112a2=0，所以a=2