高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，根?jù)交集的運(yùn)算，所以.故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“，”的否定為，.故選：C.3.在半徑為4的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為.故選：D.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知是偶函數(shù)，排除，又且，排除C.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)和函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.由零點(diǎn)存在定理知零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.7.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，函數(shù)，則“”的一個(gè)充分不必要條件為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)槠鋱D象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，又滿足，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是，因?yàn)闉榈恼孀蛹?，故為一個(gè)充分不必要條件，其他選項(xiàng)不合要求.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)滿足，所以，可得的周期為，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則B.終邊在軸上的角的集合為C.若為鈍角，則不一定是第三或第四象限角D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，故，故A正確；對(duì)于B，終邊在軸上的角，如取，顯然，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為鈍角，如取，則，不是第三或第四象限角，故C正確；對(duì)于D，，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，但是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，故B正確；在上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，故D正確.故選：BD.11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.的單調(diào)遞增區(qū)間為、C.若，，則的取值范圍是D.方程的所有實(shí)數(shù)根之積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，又由為偶函數(shù)可得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意，函數(shù)的圖象如圖所示，的遞增區(qū)間有3個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以只需?duì)于任意，，由圖知，即，故C正確；令，則，解得，即，若，即，解得或；若，即，解得，所以方程所有實(shí)數(shù)根之積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】由，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?13.已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值.14.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】解法一：設(shè)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，則，所以，整理可得，此式對(duì)定義域內(nèi)的任意值都成立，則必有，所以，回代可得，解得，故對(duì)稱中心坐標(biāo)為.解法二：易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故圖象的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，將其代入中，可得，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，又集合，所以，所以解或.（2）因?yàn)椋?又，故解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，并與單位圓交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的值．解：（1）由得，，又，所以，由題可知，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）由（1）可知．所以．17.某大學(xué)校園選擇了一個(gè)八邊形區(qū)域設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀，如圖所示，圖中四個(gè)三角形為全等的等腰直角三角形，主干路總面積（圖中陰影部分和中間白色正方形面積之和）為，在重合的部分處建一正方形特色涼亭，涼亭造價(jià)為600元；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）建造水池和噴泉，造價(jià)為1600元；四個(gè)矩形路（圖中陰影部分）不處理，造價(jià)忽略不計(jì).設(shè)長(zhǎng)為（單位：），長(zhǎng)為（單位：）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)校園景觀總造價(jià)為（單位：元），求的最小值.解：（1）由題意可知，即，又，得，解得，所以關(guān)于函數(shù)關(guān)系式為.（2）由題意可得，涼亭總造價(jià)為元，水池和噴泉總造價(jià)為元，所以校園景觀總造價(jià).當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值40000元.18.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求的解析式和最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得，，，，即，，，所以的最小正周期為.（2）設(shè)，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是，所以由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）不等式在區(qū)間上有解，即為在區(qū)間上有解，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以只需，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.定義一種新運(yùn)算“”，.（1）計(jì)算，并判斷與的大小關(guān)系；（2）若函數(shù)有最小值，且最小值大于0，求所有滿足題意整數(shù)的值；（3）已知關(guān)于的不等式的解集為中的整數(shù)恰有4個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?所以.，，所以.（2），令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有最小值，且最小值大于0，因?yàn)槎魏瘮?shù)過(guò)定點(diǎn)，故只需解得，而是整數(shù)，所以.（3）由題意，不等式，即，即，即，要想滿足題意，則必有，則，或.①令，則，所以的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，因?yàn)榻饧械恼麛?shù)恰有4個(gè)，所以4個(gè)整數(shù)解是，故的另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).所以即②由①②解得，或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，根?jù)交集的運(yùn)算，所以.故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“，”的否定為，.故選：C.3.在半徑為4的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角為.故選：D.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知是偶函數(shù)，排除，又且，排除C.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)和函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.由零點(diǎn)存在定理知零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.7.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，函數(shù)，則“”的一個(gè)充分不必要條件為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)槠鋱D象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，又滿足，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是，因?yàn)闉榈恼孀蛹?，故為一個(gè)充分不必要條件，其他選項(xiàng)不合要求.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)滿足，所以，可得的周期為，又當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若，則B.終邊在軸上的角的集合為C.若為鈍角，則不一定是第三或第四象限角D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，故，故A正確；對(duì)于B，終邊在軸上的角，如取，顯然，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為鈍角，如取，則，不是第三或第四象限角，故C正確；對(duì)于D，，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，但是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，故B正確；在上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，故D正確.故選：BD.11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.的單調(diào)遞增區(qū)間為、C.若，，則的取值范圍是D.方程的所有實(shí)數(shù)根之積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，又由為偶函數(shù)可得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意，函數(shù)的圖象如圖所示，的遞增區(qū)間有3個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以只需?duì)于任意，，由圖知，即，故C正確；令，則，解得，即，若，即，解得或；若，即，解得，所以方程所有實(shí)數(shù)根之積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】由，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?13.已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值.14.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】解法一：設(shè)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，則，所以，整理可得，此式對(duì)定義域內(nèi)的任意值都成立，則必有，所以，回代可得，解得，故對(duì)稱中心坐標(biāo)為.解法二：易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，故圖象的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，將其代入中，可得，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，又集合，所以，所以解或.（2）因?yàn)?，所?又，故解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，并與單位圓交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的值．解：（1）由得，，又，所以，由題可知，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）由（1）可知．所以．17.某大學(xué)校園選擇了一個(gè)八邊形區(qū)域設(shè)計(jì)一個(gè)校園景觀，如圖所示，圖中四個(gè)三角形為全等的等腰直角三角形，主干路總面積（圖中陰影部分和中間白色正方形面積之和）為，在重合的部分處建一正方形特色涼亭，涼亭造價(jià)為600元；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）建造水池和噴泉，造價(jià)為1600元；四個(gè)矩形路（圖中陰影部分）不處理，造價(jià)忽略不計(jì).設(shè)長(zhǎng)為（單位：），長(zhǎng)為（單位：）.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)校園景觀總造價(jià)為（單位：元），求的最小值.解：（1）由題意可知，即，又，得，解得，所以關(guān)于函數(shù)關(guān)系式為.（2）由題意可得，涼亭總造價(jià)為元，水池和噴泉總造價(jià)為元，所以校園景觀總造價(jià).當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值40000元.18.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求的解析式和最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得，，，，即，，，所以的最小正周期為.（2）設(shè)，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是，所以由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）不等式在區(qū)間上有解，即為在區(qū)間上有解，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以只需，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.定義一種