專練四綜合探究與綜合運用題型一：綜合探究1.【知識技能】（1）如圖Z4-1①，△ABC和△CDE均為等邊三角形，直線AD和直線BE交于點F.填空：①∠AFB的度數(shù)是

；

②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為

；

60°AD=BE

圖Z4-1【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖Z4-1②，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直線AD和直線BE交于點F.請判斷∠AFB的度數(shù)及線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；圖Z4-1

圖Z4-1【拓展探索】（3）如圖Z4-1③，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E，AE=3，將△ADE繞著點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，求直線DE經(jīng)過點B時BD的長.圖Z4-1

答圖Z4-1

答圖Z4-2

圖Z4-2【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖Z4-2②，將等腰直角三角形AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°<α°<45°），連接CM，DM，CN，若DM∥CN，求證：4DM2+CN2=CM2；圖Z4-2

答圖Z4-3【拓展探索】（3）如圖Z4-2③，線段MN交線段AC于點E，P，Q分別為線段BC，線段AC上的點，連接PM，QN，將△DPM沿PM翻折得到△D'PM，將△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM=3DM，BC=8，在線段BC上找一點F，連接FD'，F(xiàn)E'，請求出FD'+FE'的最小值.圖Z4-2

答圖Z4-43.在平行四邊形ABCD中，AD=8，DC=6，∠FED的頂點在BC上，EF交直線AB于點F.【知識技能】（1）如圖Z4-3①，若∠FED=∠B=90°，EF=ED，連接DF，則DF的長為

；

圖Z4-3

圖Z4-3（2）證明：如答圖Z4-5，在AB上取點G，使BG=BE，連接EG，則△BEG為等邊三角形.∴∠BGE=∠BEG=60°.∴∠EGF=180°-∠BGE=120°.答圖Z4-5

答圖Z4-5【拓展探索】（3）如圖Z4-3③，若∠ABC=90°，對角線AC，BD交于點O，點C關(guān)于BD的對稱點為點C'，連接OC'交AD于點G，連接AC'，C'C，C'D，求AG的長.圖Z4-3

答圖Z4-6

答圖Z4-64.【經(jīng)典再現(xiàn)】如圖Z4-4①，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證AE=EF.（提示：取AB的中點H，連接HE）（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是為了構(gòu)造出

，進而得到AE=EF；

△AHE≌△ECF圖Z4-4

圖Z4-4

答圖Z4-7

圖Z4-4

答圖Z4-8

答圖Z4-8

圖Z4-5

答圖Z4-9【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖Z4-5②，連接OF，BF，以B為圓心，BF為半徑作☉B(tài)，求證：OF是☉B(tài)的切線；圖Z4-5

答圖Z4-10【深入探究】（3）點P在直線AC上，點Q是坐標系內(nèi)任意一點，當四邊形BCPQ為菱形時，求出點Q的坐標.

答圖Z4-116.

在平面直角坐標系中，直線y=-3x-3分別交x軸、y軸于A（a，0），C（0，b）兩點，點B為x軸正半軸上一點，BE⊥AC于點E，交y軸于點D，OE平分∠AEB.

（1）如圖Z4-6①，分別求a，b的值及點B的坐標；圖Z4-6解：（1）直線y=-3x-3分別交x軸、y軸于A（a，0），C（0，b）兩點，令y=0，則-3x-3=0，解得x=-1.

∴a=-1.

令x=0，則y=-3，∴b=-3.

∴A（-1，0），C（0，-3）.

∴OC=3.

如答圖Z4-12，過點O作OF⊥AC于點F，作OH⊥BE于點H.

∴∠OHB=∠OFC=90°.

∵OE平分∠AEB，∴OF=OH.

∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.

∵∠BOC=90°，∠ODB=∠EDC，∴∠OBH=∠OCF.

∴△OBH≌△OCF（AAS）.

∴OB=OC=3.

∴B（3，0）.

答圖Z4-12（1）如圖Z4-6①，分別求a，b的值及點B的坐標；圖Z4-6（2）如圖Z4-6②，若點Q在OB延長線上運動，直線QD交BC于點G，直線AT∥BC交直線QD于點T，四邊形ABGT的面積是否為定值？若為定值，請求出此值；若不為定值，請說明理由；圖Z4-6

答圖Z4-13（3）如圖Z4-6③，點M為直線BE上一動點，連接OM，將線段OM繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點O的對應(yīng)點為N.當點M運動時，判斷點N的運動路線是什么圖形，并說明理由.

圖Z4-6

答圖Z4-147.【問題背景】一張矩形紙片ABCD（如圖Z4-7①），AB=6，AD=3.E是BC邊上的一個動點，將△ABE沿直線AE折疊得到△AEF，延長AE交直線CD于點G，直線AF與直線CD交于點Q.【初步探究】（1）求證：△AQG是等腰三角形；圖Z4-7（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠BAG=∠G.由折疊的性質(zhì)可知∠QAG=∠BAG.∴∠G=∠QAG.∴AQ=GQ.∴△AQG是等腰三角形.（2）設(shè)FQ=m，當BE=2CE時，計算m的值；（2）解：如答圖Z4-15，過點F作FK∥CD，交直線AD，BC于點K，L.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=∠B=90°，AD=BC=3.∵BE=2CE，∴BE=2，CE=1.∵FK∥CD，∴∠K=∠L=∠KDC=∠DCL=90°.∴四邊形DKLC是矩形.∴DK=CL.答圖Z4-15圖Z4-7

答圖Z4-15【深入探究】（3）將矩形紙片放入平面直角坐標系中（如圖Z4-7②所示），點B與點O重合，邊OC，OA分別與x軸，y軸正半軸重合.點H在OC邊上，將△AOH沿直線AH折疊得到△APH.圖Z4-7

答圖Z4-16①當AP經(jīng)過CD的中點N時，求點P的坐標；圖Z4-7②在①的條件下，如圖Z4-7③，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A，D兩點.若將直線AH右側(cè)的拋物線沿AH對折，交y軸于點M，則AM的長度為

.

圖Z4-7

圖Z4-8

（2）當點P的橫坐標為2時，求證：四邊形CDPF是矩形；圖Z4-8

圖Z4-8

答圖Z4-17【深入探究】（3）如圖Z4-8②，